Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή Γραμμική Απεικόνιση ή Γραμμική Συνάρτηση ή Μορφισμός ή Ομομορφισμός Είναι μία συνάρτηση μεταξύ δύο F-διανυσματικών χώρων V, W η οποία διατηρεί τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, δηλ. ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: Αν Οι πράξεις όπως ορίζονται στον V Οι πράξεις όπως ορίζονται στον W Πεδίο Ορισμού Ta ( + b) = Ta ( ) + Tb ( ), ab, V T ( ka) = kt ( a), a V, k F T ( ku + lv) = kt ( u) + lt ( v), u, v V, k, l F V O V T W W V Ενδομορφισμός ή Γραμμικός Τελεστής Οι δύο παραπάνω σχέσεις μπορούν να αντικατασταθούν από την ακόλουθη μία: v Tv () O W Εικόνα (ή Εύρος ή Σύνολο Τιμών) TV ( ) Παρατήρηση: Είναι πάντοτε TO ( ) = O, T( v) = Tv () V W

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί (Παραδείγματα) Ο μηδενικός μετασχηματισμός T: V W, Tv () = O, v V Ο ταυτοτικός μετασχηματισμός I : V V, I () v = v, v V V Ο πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα V T : R R, T( x) = A x, x R W m m H παράγωγος μίας συνάρτησης D C R C R D f f 1 : ( ) ( ), ( ) = ' To ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης b l: C( R) R, l( f) f( x) dx = a Προσοχή: π.χ. Ο T : R R, T ( x) = ax + b δέν είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός ενώ ο S : R R, S( x) = ax είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί ως Διανυσματικός Χώρος Το σύνολο όλων των Γραμμικών Μετασχηματισμών από τον V στον W: Hom ( F V, W ) αποτελεί F-διανυσματικό χώρο διάστασης: (dim V)(dim W) Το ίδιο ισχύει και για το σύνολο όλων των ενδομορφισμών: Ed ( V ) = Hom ( V, V ) F F Διάσταση: (dim V )

Δημιουργία Γραμμικών Μετασχηματισμών από άλλους Γραμμικούς Μετασχηματισμούς Το άθροισμα δύο Γραμμικών Συναρτήσεων U, S: V U είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. Η σύνθεση S T : U δύο Γραμμικών Συναρτήσεων T : U V, S: V T + S: V U ( T+ S)( v) = Tv () + Sv () Το γινόμενο αριθμού με Γραμμική Συνάρτηση ( α T )() v = at () v είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. ( S T)( u) : STu ( ( )) είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. Γράφεται και ως γινόμενο: ST: U a U T, Sµονοµορϕισµο ί S Tµονοµορϕισµ ός T, Sεπιµορϕισµοί S Tεπιµορϕισµ ός

Γραμμικός Μετασχηματισμός ορισμένος από μία βάση Αν U { } B= v1, v,..., v Γραμμικός Μετασχηματισμός μία βάση του V Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( ) οι εικόνες των διανυσμάτων της βάσης Β 1 Τότε για κάθε στοιχείο του V: w V w= av 1 1+ av +... + av θα είναι: Tw ( ) = atv ( ) + atv ( ) +... + atv ( ) 1 1 δηλ. Ένας Γραμμικός Μετασχηματισμός του V καθορίζεται πλήρως από τις εικόνες μίας βάσης του V

Πυρήνας / Εικόνα Γραμμικού Μετασχηματισμού Πυρήνας (Kerel) { } ker( T) = v V: Tv ( ) = OW Αποτελεί F-διανυσματικό υποχώρο του V Εικόνα (Image) ή Εύρος (Rage) ή rage( T ) ήt( V) { } { w W: w Tv ( ), v V} Im( T) = Tv ( ), v V = = Αποτελεί F-διανυσματικό υποχώρο του W Αντίστροφη εικόνα ενός στοιχείου { } T 1 ( w) = v V: Tv () = w

Μονομορφισμός / Ένδομορφισμός / Ίσομορφισμος / Αύτομορφισμος Μονομορφισμός: Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση (1-1) Επιμορφισμός: Συνάρτηση Επί f(v)=w rrrrrrrr([tt]) = dddddddd Ισομορφισμός: 1-1 και Επί (Μονομορφισμός και επιμορφισμός) Ισόμορφοι χώροι: V W επίσης Αυτομορφισμός: Ισομορφισμός επίσης V ker( T) = { O V } dimv dimw Ιm( T) = W επίσης dimw V W dimv dimv = dimw Κάθε F-διανυσματικός χώρος V διάστασης είναι ισόμορφος με τον διανυσματικό χώρο F π.χ. P[ x] + 1 m M m ( )

Μονομορφισμός / Επιμορφισμός Μονομορφισμός Όχι Μονομορφισμός Επιμορφισμός Όχι Επιμορφισμός

Προτάσεις Έστω ένας μονομορφισμός Αν τα v1, v,..., v V Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( ) W 1 είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε και τα 1 1 είναι γραμμικά ανεξάρτητα, και ισχύει ότι spa{ v, v,..., v } spa{ T ( v ), T ( v ),..., T ( v )} Έστω ένας επιμορφισμός Αν V = spa{ v1, v,..., v } τότε W= spatv { ( 1), Tv ( ),..., Tv ( )} T V Γενικότερα, για κάθε Γραμμικό Μετασχηματισμό : με V = spa{ v1, v,..., v } ισχύει ότι Im( ) { ( ), ( ),..., ( )} T = spatv1 Tv Tv

Αντίστροφος Γραμμικός Μετασχηματισμός Ο Γραμμικός Μετασχηματισμός καλείται αντιστρέψιμος αν υπάρχει ο αντίστροφος μετασχηματισμός του T 1 T 1 : W V Ο είναι και ο ίδιος Γραμμικός μετασχηματισμός και έχει την ιδιότητα: 1 1 και T T = I V T T I W = Ο Γραμμικός Μετασχηματισμός είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν είναι ισομορφισμός (ο είναι επίσης ισομορφισμός) T 1 Αν ο Γραμμικός Μετασχηματισμός είναι αντιστρέψιμος και ισχύει T 1 : W V ( 1) 1 είναι αντιστρέψιμος τότε και ο T = T Για τη σύνθεση αντιστρέψιμων Γραμμικών Μετασχηματισμών ισχύει η σχέση ( ) 1 1 1 S T = T S

Προτάσεις Μηδενικότητα του Τ ( ) ( ) dimv = dim ker ( T) + dim Im ( T) Βαθμίδα του Τ dim( V + W) + dim( V W) = dimv + dimw { v, v,..., v } V { w, w,..., w } W Αν τα 1 αν τα 1 είναι μία βάση του V (με dimv=) και είναι τυχαία διανύσματα του W τότε ορίζεται πάντοτε και με μοναδικό τρόπο μία γραμμική συνάρτηση T: V W, Tv ( ) = w 1 i V W { v1, v,..., v } V { Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( )} W Αν και τo είναι μία βάση του V, τότε τo 1 i i είναι μία βάση του W

Αναπαράσταση διανύσματος ως προς βάση Έστω ένας διανυσματικός χώρος V διάστασης και μία βάση του B= v1 v v x= kv + kv + + kv 1 1... {,,..., } Ένα τυχαίο διάνυσμα x του V γράφεται με μοναδικό τρόπο ως Αναπαράσταση του διανύσματος x ως προς τη βάση Β: k ρ : V R B [ ρ ( x)] = k, 1 i B i i Τα καλούνται συντεταγμένες του διανύσματος ως προς τη βάση Β i i-συνιστώσα του διανύσματος Παρατήρηση: Μία βάση αποτελεί στην πραγματικότητα μία λίστα διανυσμάτων και όχι ένα σύνολο διανυσμάτων, δηλαδή έχει σημασία η σειρά γραφής τους. x H ρ B είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός Αν V = R και Β είναι η κανονική του βάση τότε ρ B ( x ) = x

Πίνακας Αναπαράστασης Γραμμικού Μετασχηματισμού Κάθε Γραμμικός Μετασχηματισμός μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα πίνακα και αντιστρόφως κάθε πίνακας εκφράζει ένα Γραμμικό Μετασχηματισμό B1 = { v1, v,..., v } B = { w, w,..., w m } 1 Βάση του V Tv ( 1) = aw 11 1 + aw 1 +... + am 1wm Tv ( ) = aw 1 1 + aw +... + amwm... Tv ( ) = aw 1 1+ aw +... + amwm Βάση του W Πίνακας αναπαράστασης του T ως προς τις βάσεις και B 1 B Αν B= B1 = B γράφεται απλά ως [ T ] B [ T ] B, B 1 a a a a...... a a a a... a 11 1 1 1 = m1 m m Ανάλογα με τις βάσεις που επιλέγουμε, παίρνουμε διαφορετικούς πίνακες αναπαράστασης για τον ίδιο γραμμικό μετασχηματισμό

Ένας τρόπος υπολογισμού του Πίνακα Αναπαράστασης Γραμμικού Μετασχηματισμού Βάση του V Βάση του W B1 = { v1, v,..., v } = 1 B { w, w,..., w m } dim V= dimw=m Τα διανύσματα της B ως στήλες Οι εικόνες της B 1 ως στήλες w1 w... wm Tv ( 1) Tv ( )... Tv ( ) 1 0... 0 a a... a 0 1... 0 a a... a Gauss Jorda I m 0 0... 1 a a... a Ταυτοτικός πίνακας 11 1 1 1 m1 m m [ T ] B 1, B

Ιδιότητες Πίνακα Αναπαράστασης Έστω οι Γραμμικοί Μετασχηματισμοί: T, S Τότε ισχύουν τα ακόλουθα [ T + S] = [ T] + [ S] [ kt ] = k[ T ], k F [ S T] = [ S][ T] ker( T) = N([ T]) Im( T) = R([ T]) rak( T ) = rak([ T ]) ullity( T ) = ullity([ T ]) (όπου ορίζονται οι πράξεις) I : V V O πίνακας αναπαράστασης του ταυτοτικού μετασχηματισμού V ως προς μία βάση του V είναι ο ταυτοτικός πίνακας I ανεξαρτήτως της βάσης, (=dimv) Για έναν αυτομορφισμό αντίστροφου μετασχηματισμού V T 1 ο πίνακας αναπαράστασης του είναι ο [ ] 1 T

Πίνακας Μετάβασης ή Αλλαγής Βάσης Πίνακας μετάβασης από την B1 στην B P B I : V V V B1 = v1 v v B 1 Ταυτίζεται με: [ I V ] B1, B {,,..., } B = { w, w,..., w m } 1 v1 = a11w1 + a1w +... + am 1wm v = a1w1 + aw +... + amwm... v = a1 w1+ aw +... + amwm a a... a a a... a a a... a 11 1 1 1 = m1 m m Ταυτοτικός Μετασχηματισμός Ισχύει: P P = P 1 B B B B 1 1 = P 1 B B B B 1 1

Ένας τρόπος υπολογισμού του Πίνακα Αλλαγής Βάσης B v v v 1 = { 1,,..., } = 1 B { w, w,..., w m } Τοποθετούμε τα διανύσματα των βάσεων ως στήλες πινάκων = P1 v1 v v = P w1 w w m τότε P B = B 1 P P 1 1 και P B = B 1 P P 1 1

Συντεταγμένες και Πίνακας Αναπαράστασης Έστω οι βάσεις των V, W είναι B1 και B αντίστοιχα τότε οι συντεταγμένες k1, k,..., k l1, l,..., l m Tv () W l1 k1 l k = [ T ] B 1, B lm k ως προς Β1 ενός διανύσματος και οι συντεταγμένες ως προς Β του συνδέονται με τη σχέση: VW, ρ ή ( Tv ()) = [ T] ρ ( v) B B, B B R 1, 1 1 B B VW, v V Αν και οι κανονικές βάσεις των τότε είναι απλά: Tv () = [ Tv ]

Συντεταγμένες και Πίνακας Αλλαγής Βάσης Έστω ένας διανυσματικός χώρος V και δύο βάσεις του Β1, Β τότε οι συντεταγμένες και οι συντεταγμένες συνδέονται με τη σχέση: k1, k,..., k l, l,..., l 1 ως προς Β1 ενός διανύσματος του ίδιου διανύσματος ως προς Β v V I : V V V [ ] I V B, B 1 l1 k1 l k = P B1 B l k ρ ( I () v ) = [ I ] ρ ( v) B V V B, B B 1 1 ρ ή ( v) = P ρ ( v) B B B B 1 1

Όμοιοι Πίνακες Οι πίνακες, M AB αν υπάρχει αντιστρέψιμος τέτοιοι ώστε B P M = καλούνται όμοιοι 1 P AP Θα είναι επίσης και A με = 1 Q BQ Q= P 1 Ιδιότητες όμοιων πινάκων Αν δύο πίνακες είναι όμοιοι και ο ένας είναι αντιστρέψιμος τότε είναι και ο άλλος αντιστρέψιμος. det(a)=det(b) rak(a)=rak(b) tr(a)=tr(b) Προσοχή: Τα αντίστροφα αυτών των προτάσεων δεν ισχύουν αναγκαστικά. Οι A,B έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις ίδιες ιδιοτιμές Οι πίνακες αναπαράστασης ενός ενδομορφισμού διαφορετικές βάσεις του είναι όμοιοι V ως προς

Αλλαγή Βάσης και Ομοιότητα B, B : Ξεκινούμε εδώ και κινούμαστε κατά την φορά των βελών πολλαπλασιάζοντας πάντοτε από αριστερά τους πίνακες [ T ] B V TV ( ) T B ή ή 1 1,, PB 1 B I P 1 I B B1 T V TV ( ) B 1 [ T ] B1 [ T] = [ I ] [ T] [ I ] = P [ T] P = 1 V Βάσεις του V Επιθυμούμε να βρούμε τη σχέση που συνδέει τους πίνακες [ T ] B1 και [ T ] B B B, B B 1 B, B B B B B B 1 1 1 1 1 P [ T] P Επειδή: 1 B B B B B 1 1 1 PB B = PB B 1 1 [ ] B B I 1 Οι πίνακες [ T ] B1 και [ T ] B είναι όμοιοι. I : V V I 1 : TV ( ) V B B 1 [ I ] B B T = I T I Βάση B Βάση B 1 Εκφράζει τη σύνθεση 1

Ισοδύναμες Προτάσεις Έστω ένας τετράγωνος πίνακας A M ( ) F τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος det A 0 rak( A) = Οι στήλες του πίνακα Α είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του R dim N( A ) = 0 dim RA ( ) = T dim RA ( ) = Το ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει μοναδική λύση, την τετριμμένη μηδενική

Ειδικοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο Διαστολή - Συστολή T : R R, T ( x, y) ( ax, ay), a R a > 1 Στροφή = a 0 [ T ] = ιαστολή 0 a a < 1 Συστολή T R R Txy x y x y :, (, ) = ( cosθ si θ, siθ + cos θ) cosθ siθ [ T ] = siθ cosθ (Οι πίνακες αναπαράστασης δίνονται ως προς την κανονική βάση του R ) θ

Ειδικοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο Προβολή πάνω σε ευθεία (Οι πίνακες αναπαράστασης δίνονται ως προς την κανονική βάση του R ) T R R Txy= x θ + y θ θ x θ θ + y θ :, (, ) ( cos si cos, si cos si ) [ T ] cos θ siθcosθ = siθcosθ si θ θ Ισχύει: Δεν υπάρχει ο [ T] = [ T] T 1 Στρέβλωση S R R S x y = x + ay y S : R R, S ( x, y) = ( x, bx + y) x :, x(, ) (, ) y y [ S ] x 1 a = 0 1 [ ] S y 1 0 = b 1 Στρέβλωση παράλληλα στον άξονα x x Στρέβλωση παράλληλα στον άξονα y y

Ειδικοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο