ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙI

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙI ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΜΑΝΟΥΚΑΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός ΤΡΙΚΑΛΑ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 4

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΡΟΠΩΝ.... Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΚΙΝΗΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ...4. Σύμβαση προσήμων - Συμβολισμοί... 4. Ένταση αμφίπακτης και μονόπακτης δοκού... 5. Το σκεπτικό της μεθόδου μετακινήσεων... 9.4 Τεχνικές μείωσης του πλήθους των αγνώστων....5 Βαθμός κινητότητας Ο σχηματισμός των ράβδων... 4.6 Προσδιορισμός μετατοπίσεων και στροφών χορδής στο ΓΚΣ... 8.7 Η Αρχή των Δυνατών Έργων....8 Παράδειγμα επίλυσης κινητού ατενούς φορέα με τη μέθοδο μετακινήσεων. 4.9 Ειδικές περιπτώσεις....9. Ράβδοι πεπερασμένης δυστένειας....9. Ελαστικές στηρίξεις....9. Η ένταση από τους καταναγκασμούς... 4. ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ...6. Εισαγωγή... 6. Το σκεπτικό της μεθόδου στιβαρότητας... 6. Διακριτοποίηση... 7.4 Θεώρηση μεμονωμένων πεπερασμένων στοιχείων... 9.5 Σύνθεση διακριτοποιημένου φορέα... 48.6 Επίλυση Υπολογισμός φορτίων διατομής... 5.7 Βήμα προς βήμα διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου στιβαρότητας... 5 4. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...6

. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΡΟΠΩΝ Η μέθοδος των τριών ροπών ή μέθοδος Clapeyrn είναι μια απλή και εύχρηστη μέθοδος για τον υπολογισμό του διαγράμματος ροπών κάμψης συνεχών υπερστατικών δοκών (χωρίς ενδιάμεσες αρθρώσεις), όπως αυτή του σχήματος.. Αν Α, Β και C είναι τρεις διαδοχικές στηρίξεις της συνεχούς δοκού και, E, I και, E, I τα μήκη, τα μέτρα ελαστικότητας και οι ροπές αδράνειας των διατομών των ανοιγμάτων ΑΒ και ΒC αντίστοιχα, τότε οι ροπές κάμψης των τριών στηρίξεων συνδέονται με την παρακάτω εξίσωση: όπου r F και E I A r l ( F F ) E I E I B C (.) EI EI EI l F οι φορτιστικοί συντελεστές των δύο ανοιγμάτων που υπολογίζονται από τον πίνακα. συναρτήσει του εξωτερικού φορτίου. Στη συνήθη περίπτωση ίδιου υλικού και ίδιας διατομής στα δύο ανοίγματα η εξίσωση. απλοποιείται ως εξής: r l ( F F ) A B C (.) Σχήμα. Συνεχής υπερστατική δοκός Σε μια συνεχή δοκό οι ροπές των ακραίων στηρίξεων είναι γνωστές ή μπορούν να προσδιοριστούν εύκολα. Η εξίσωση των τριών ροπών. ή. εφαρμόζεται τόσες φορές όσες είναι οι ενδιάμεσες στηρίξεις (όσες και το πλήθος των διαδοχικών ζευγών ανοιγμάτων). Από το σύστημα εξισώσεων που προκύπτει μπορούν να προσδιοριστούν όλες οι άγνωστες ροπές κάμψης. Φυσικά, αν πρόκειται για δοκό τριών στηρίξεων δεν απαιτείται επίλυση συστήματος και η ροπή της μεσαίας στήριξης προκύπτει από μία μόνο εφαρμογή της εξίσωσης των τριών ροπών. Παρατήρηση : Η εξίσωση των τριών ροπών (. ή.) ισχύει για τη συνήθη περίπτωση ανυποχώρητων στηρίξεων. Αν υπάρχουν ενδόσιμες στηρίξεις, τότε η εξίσωση των τριών ροπών πρέπει να τροποποιηθεί κατάλληλα ώστε να ληφθούν υπόψη πιθανές υποχωρήσεις.

Παρατήρηση : Μετά τον υπολογισμό των ροπών κάμψης, μπορούν να υπολογιστούν (εφόσον απαιτείται) κατά τα γνωστά οι τέμνουσες και οι αξονικές δυνάμεις των δομικών στοιχείων. Στη συνέχεια, από την ισορροπία των κόμβων των στηρίξεων μπορούν να υπολογιστούν και οι αντιδράσεις. Παρατήρηση : Σε περίπτωση που μια ακραία στήριξη της συνεχούς δοκού είναι πάκτωση, η εξίσωση των τριών ροπών μπορεί να εφαρμοστεί αντικαθιστώντας την πάκτωση με ένα επιπλέον άνοιγμα τυχαίου μήκους και άπειρης ροπής αδράνειας. Πίνακας. Φορτιστικοί συντελεστές Φόρτιση Φορτιστικοί συντελεστές F l Pab b Pab a ( ) F r ( ) F l b m F r a m F l q 4 r q F 4

. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΚΙΝΗΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ. Σύμβαση προσήμων - Συμβολισμοί Όπως είναι γνωστό, τα πρόσημα των ροπών κάμψης καθορίζονται συμβατικά με βάση την ίνα αναφοράς. Για πρακτικούς λόγους, στο πλαίσιο της μεθόδου μετακινήσεων η σύμβαση αυτή εγκαταλείπεται. Συγκεκριμένα, οι ροπές που ασκούνται σε ένα δομικό στοιχείο που αποκόπτεται από τα δύο άκρα του (επιρράβδιες) λαμβάνονται θετικές όταν είναι αριστερόστροφες και αρνητικές όταν είναι δεξιόστροφες. Το αντίστροφο ισχύει για τις ροπές που ασκούνται στους δύο κόμβους (επικόμβιες). Στο σχήμα. φαίνεται η σύμβαση προσήμων της μεθόδου μετακινήσεων σε αντιδιαστολή με την κλασική σύμβαση που υιοθετήθηκε τόσο για τη μέθοδο δυνάμεων, όσο και για την επίλυση των ισοστατικών φορέων. Παρατήρηση : Η σύμβαση προσήμων της μεθόδου μετακινήσεων χρησιμοποιείται μόνο κατά το στάδιο της επίλυσης και του υπολογισμού των ροπών κάμψης των χαρακτηριστικών σημείων του φορέα. Για τον υπολογισμό των υπόλοιπων φορτίων διατομής και τον σχεδιασμό των διαγραμμάτων απαιτείται η προσαρμογή των προσήμων των ροπών σύμφωνα με την κλασική σύμβαση. Παρατήρηση : Όπως φαίνεται στο σχήμα. στο δεξί άκρο των δομικών στοιχείων οι θετικές φορές των δύο εναλλακτικών συμβάσεων ταυτίζονται, ενώ στο αριστερό είναι αντίθετες. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι η αναφερθείσα στην παρατήρηση προσαρμογή προσήμων συνίσταται στην απλή αλλαγή προσήμου των ροπών κάμψης στο αριστερό άκρο όλων των δομικών στοιχείων. Κλασική σύμβαση προσήμων Σχήμα. Συμβάσεις προσήμων Σύμβαση μεθόδου μετακινήσεων Συνήθως τα φορτία διατομής των χαρακτηριστικών σημείων (κόμβων) ενός φορέα συμβολίζονται με ένα γράμμα και ένα δείκτη που αντιστοιχεί στο όνομα του υπόψη κόμβου. Επιπλέον, όπου απαιτείται προστίθεται και ένας εκθέτης που υποδηλώνει την παρειά στην οποία αναφέρεται το φορτίο διατομής, π.χ. το σύμβολο δ A αναφέρεται στη ροπή του κόμβου Α από δεξιά. Ωστόσο, στο πλαίσιο της μεθόδου μετακινήσεων συνήθως χρησιμοποιούνται δύο δείκτες που αντιστοιχούν 4

στους κόμβους αρχής και πέρατος κάθε δομικού στοιχείου, με τον πρώτο δείκτη να αναφέρεται πάντα στον κόμβο που αναπτύσσεται το συγκεκριμένο φορτίο διατομής. Έτσι, π.χ. σε ένα δομικό στοιχείο ΑΒ η ροπή στο άκρο Α συμβολίζεται με Μ ΑΒ, ενώ στο άκρο Β με Μ ΒΑ.. Ένταση αμφίπακτης και μονόπακτης δοκού Για την εφαρμογή της μεθόδου των μετακινήσεων απαιτείται η γνώση της έντασης (και πιο συγκεκριμένα των ροπών κάμψης) στοιχειωδών αμφίπακτων και μονόπακτων δοκών για διάφορες καταστάσεις φόρτισης. Η επίλυση της αμφίπακτης και μονόπακτης δοκού μπορεί να γίνει είτε με τη μέθοδο των δυνάμεων είτε με ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας. Στην πράξη για τις συνηθέστερες περιπτώσεις φορτίων και καταναγκασμών οι λύσεις δίνονται σε έτοιμους πίνακες, όπως οι.,. και.. Παρατήρηση : Τα πρόσημα των ροπών στους πίνακες δίνονται σύμφωνα με τη σύμβαση της μεθόδου μετακινήσεων. Παρατήρηση : Οι τιμές των ροπών προκύπτουν με την παραδοχή άπειρης δυστμησίας GA s, παραδοχή ρεαλιστική για συνήθεις φορείς. Παρατήρηση : Το γινόμενο ΕΙ είναι η δυσκαμψία της διατομής του δομικού στοιχείου και θεωρείται σταθερή σε όλο το μήκος του. Παρατήρηση 4: Στις δύο πρώτες σειρές του πίνακα. και στην πρώτη σειρά των πινάκων. και. δίνονται οι ροπές κάμψης λόγω καταναγκασμένης στροφής φ ή φ j στα άκρα και j αντίστοιχα ενός δομικού στοιχείου (θετική φορά των στροφών η αριστερόστροφη). Επισημαίνεται ότι στην περίπτωση καταναγκασμένης στροφής της άρθρωσης (ή κύλισης) της μονόπακτης δοκού δεν δημιουργείται ένταση. Παρατήρηση 5: Στην τρίτη σειρά του πίνακα. και στη δεύτερη σειρά των πινάκων. και. δίνονται οι ροπές κάμψης λόγω καταναγκασμένης μετατόπισης w και w j στα άκρα και j αντίστοιχα ενός δομικού στοιχείου και κάθετα στον άξονα αυτού. Η ένταση των δοκών δεν εξαρτάται από τις απόλυτες τιμές των μετατοπίσεων, αλλά από τη διαφορά τους. Για το λόγο αυτό οι ροπές εκφράζονται ως συνάρτηση του μεγέθους ψ j = w j w αριστερόστροφη. που ονομάζεται στροφή χορδής και προσημαίνεται θετικά όταν είναι 5

Πίνακας. Ροπές αμφίπακτης δοκού Φόρτιση 4EI EI j φ j φ EI 4EI j φ j j φ j 6EI 6EI j ψ ιj j ψ ιj b a j Pa j Pb b a a b j m j m j q j q j α EI t Δt h j α tδt EI h 6

Πίνακας. Ροπές μονόπακτης δοκού (άρθρωση αριστερά) Φόρτιση EI j j φ j EI j j ψ ιj j j Pa a j m a j j j q 8 α tδt j j.5 EI h 7

Πίνακας. Ροπές μονόπακτης δοκού (άρθρωση δεξιά) Φόρτιση EI j φ j EI j j ψ ιj Pb b j j m b j j q j j 8 α tδt.5 EI h j j 8

. Το σκεπτικό της μεθόδου μετακινήσεων Η μέθοδος μετακινήσεων είναι η δεύτερη χρονολογικά από τις κλασικές μεθόδους υπολογισμού υπερστατικών φορέων, δηλαδή φορέων για την επίλυση των οποίων δεν επαρκούν οι εξισώσεις ισορροπίας. Το σκεπτικό της, όπως και της μεθόδου δυνάμεων, βασίζεται στην Αρχή της Επαλληλίας. Σύμφωνα με τη μέθοδο των δυνάμεων οι υπολογισμοί γίνονται επί ενός παράγωγου συστήματος η ένταση του οποίου μπορεί να προσδιοριστεί εύκολα. Ο παράγωγος αυτός φορέας ονομάζεται Ισοστατικό Κύριο Σύστημα (ΙΚΣ) και προκύπτει από τον πραγματικό φορέα με την κατάλυση συνδέσμων (στηρίξεων ή εσωτερικών δεσμικών ράβδων). Η μέθοδος των μετακινήσεων βασίζεται στο αντίστροφο σκεπτικό: αντί για κατάλυση, γίνεται προσθήκη συνδέσμων (γραμμικών ή στροφικών δεσμικών ράβδων) στον πραγματικό φορέα, έτσι ώστε να παραχθεί ένας φορέας με μηδενικές μετατοπίσεις και στροφές σε όλους τους κόμβους του. Ο παράγωγος αυτός φορέας ονομάζεται Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα (ΓΚΣ) και η επίλυσή του είναι εύκολη, καθώς ουσιαστικά αποτελείται από ανεξάρτητες αμφίπακτες δοκούς η ένταση των οποίων δίνεται σε πίνακες όπως ο πίνακας.. Παρατήρηση : Ενώ για κάθε υπερστατικό φορέα υπάρχουν πολλά εναλλακτικά ΙΚΣ, το ΓΚΣ ορίζεται μονοσήμαντα, πράγμα που διευκολύνει τον προγραμματισμό της μεθόδου μετακινήσεων στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Παρατήρηση : Σε αντίθεση με το ΓΚΣ, στον πραγματικό φορέα οι κόμβοι υφίστανται μετακινήσεις, π.χ. στους επίπεδους φορείς κάθε κόμβος μπορεί να διαθέτει μέχρι τρεις δυνατότητες κίνησης (βαθμούς ελευθερίας): οριζόντια μετατόπιση, κατακόρυφη μετατόπιση και στροφή. Οι μετακινήσεις αυτές αποτελούν τους αγνώστους του προβλήματος και κατά κανόνα συμβολίζονται ενιαία με ξ, ξ, ξ ( =...Μ). Ο αριθμός των αγνώστων μετακινήσεων Μ ονομάζεται βαθμός γεωμετρικής αοριστίας του φορέα. Παρατήρηση : Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο., η ένταση μιας αμφίπακτης δοκού δεν εξαρτάται από τις απόλυτες κάθετες μετατοπίσεις των δύο άκρων της, αλλά από τη σχετική, όπως αυτή εκφράζεται από τη στροφή χορδής. Έτσι, πολλές φορές, αντί για μια άγνωστη μετατόπιση (είτε οριζόντια είτε κατακόρυφη) ενός κόμβου, λαμβάνεται υπόψη μια στροφή χορδής δομικού στοιχείου. Η ένταση του πραγματικού φορέα ταυτίζεται με την ένταση του ΓΚΣ υπό τα ίδια εξωτερικά φορτία, αλλά επιπλέον και υπό τις καταναγκασμένες μετακινήσεις ξ, ξ, ξ ( =...Μ). Σύμφωνα με την Αρχή της Επαλληλίας ένας φορέας υπό την 9

επίδραση πολλαπλών φορτίσεων μπορεί να επιλυθεί ανεξάρτητα για κάθε μία από αυτές και τα τελικά εντασιακά και παραμορφωσιακά μεγέθη (φορτία διατομής, μετακινήσεις κτλ.) να προκύψουν ως άθροισμα των επιμέρους. Έτσι, το ΓΚΣ μπορεί να επιλυθεί ανεξάρτητα για την εξωτερική φόρτιση (κατάσταση ) και για κάθε μια από τις καταναγκασμένες μετακινήσεις κατά την έννοια των προστεθέντων συνδέσμων (καταστάσεις,,, Μ). Φυσικά, οι τελευταίες είναι σε πρώτη φάση άγνωστες. Για το λόγο αυτό, το ΓΚΣ επιλύεται αρχικά για μοναδιαίες καταναγκασμένες μετακινήσεις (στροφές κόμβων, μετατοπίσεις κόμβων ή στροφές χορδής δομικών στοιχείων) στις θέσεις των προστεθέντων συνδέσμων. Η τιμή τυχόντος εντασιακού ή παραμορφωσιακού μεγέθους S για μια κατάσταση ( =...Μ) ισούται προφανώς με την αντίστοιχη τιμή S λόγω του μοναδιαίου φορτίου πολλαπλασιασμένη με ξ. Η τελική τιμή τυχόντος μεγέθους S προκύπτει ως άθροισμα όλων των επιμέρους καταστάσεων, δηλαδή: S = S + ξ S + ξ S + + ξ S + + ξ Μ S Μ (.) Με βάση το παραπάνω σκεπτικό η αντίδραση (δύναμη ή ροπή) Κ στη θέση ενός προστεθέντος συνδέσμου είναι: Κ = Κ + ξ Κ + ξ Κ + + ξ Κ + + ξ Μ Κ Μ (.) Επειδή όμως στον πραγματικό φορέα οι προστεθέντες σύνδεσμοι δεν υπάρχουν και άρα οι αντιδράσεις τους είναι μηδενικές (Κ = ) έπεται ότι: Κ + ξ Κ + ξ Κ + + ξ Κ + + ξ Μ Κ Μ = (.) Για κάθε αντίδραση Κ σε θέση προστεθέντος συνδέσμου, μπορεί να γραφεί μια εξίσωση όπως η.. Έτσι, προκύπτει ένα σύστημα Μ εξισώσεων με Μ άγνωστα μεγέθη τις μετακινήσεις ξ, ξ, ξ ( =...Μ). Μετά την επίλυση του συστήματος και τον υπολογισμό των ξ, ξ, ξ ( =...Μ) μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση. η τελική τιμή οποιουδήποτε εντασιακού ή παραμορφωσιακού μεγέθους. Παρατήρηση 4: Οι αντιδράσεις στις θέσεις των προστεθέντων συνδέσμων Κ λόγω της εξωτερικής φόρτισης ονομάζονται συντελεστές φόρτισης, ενώ οι αντιδράσεις Κ, Κ, Κ Μ λόγω των μοναδιαίων καταστάσεων ονομάζονται συντελεστές στιβαρότητας ή καταχρηστικά δυσκαμψίας (βλ. παράγραφο., παρατήρηση των σημειώσεων Στατικής ΙΙ σχετικά με την ορολογία). Ο πρώτος δείκτης των συντελεστών φόρτισης και στιβαρότητας είναι δείκτης θέσεως, δηλαδή υποδηλώνει το σημείο όπου εμφανίζεται η αντίδραση. Ο δεύτερος δείκτης είναι δείκτης αιτίου, δηλαδή υποδηλώνει την φορτιστική κατάσταση εξαιτίας της οποίας εμφανίζεται η αντίδραση.

Παρατήρηση 5: Οι συντελεστές φόρτισης και στιβαρότητας υπολογίζονται από τις εξισώσεις ισορροπίας των κόμβων. Η αντίδραση δηλαδή Κ j εξισώνεται με τα επικόμβια φορτία κατά την έννοια του βαθμού ελευθερίας, λόγω της μοναδιαίας καταναγκασμένης μετακίνησης κατά την έννοια του βαθμού ελευθερίας j. Εναλλακτικά, μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της Αρχής των Δυνατών Έργων. Η τελευταία, οδηγεί σε σημαντική απλοποίηση των υπολογισμών σε περιπτώσεις όπου στα άγνωστα μεγέθη συμπεριλαμβάνονται και μετατοπίσεις κόμβων ή στροφές χορδών δομικών στοιχείων. Αντίθετα, δεν προσφέρει κανένα επιπλέον πλεονέκτημα όταν οι άγνωστες μετακινήσεις είναι μόνο στροφές κόμβων. Παρατήρηση 6: Οι συντελεστές στιβαρότητας συνθέτουν το μητρώο στιβαρότητας του φορέα. Ουσιαστικά πρόκειται για το μητρώο των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος εξισώσεων.. Το μητρώο στιβαρότητας είναι τετραγωνικό ΜxΜ, αντιστρέψιμο και συμμετρικό, δηλαδή Κ j = Κ j. Επιπλέον, όλοι οι διαγώνιοι όροι του είναι θετικοί και μάλιστα θετικές είναι και όλες οι επιμέρους συνεισφορές από τις οποίες συντίθενται. Παρατήρηση 7: Η εξίσωση. είναι γενική και μπορεί να εφαρμοστεί για όλα τα ζητούμενα εντασιακά μεγέθη. Στην πράξη όμως, είναι πιο εύκολο να εφαρμόζεται μόνο για τις ροπές κάμψης, για τις οποίες ο υπολογισμός των τιμών τους για κάθε επιμέρους κατάσταση είναι ούτως ή άλλως απαραίτητος προκειμένου να υπολογιστούν οι συντελεστές φόρτισης και στιβαρότητας. Αντίθετα, για τον υπολογισμό των αξονικών και τεμνουσών δυνάμεων είναι προτιμότερο να εφαρμόζεται η εναλλακτική διαδικασία που περιγράφηκε στην παράγραφο 4.5 των σημειώσεων Στατικής ΙΙ (αρχή της ομόλογης δοκού, κτλ.)..4 Τεχνικές μείωσης του πλήθους των αγνώστων Ο όγκος των απαιτούμενων υπολογισμών για την εφαρμογή της μεθόδου των μετακινήσεων είναι άμεσα συνδεδεμένος με το πλήθος των άγνωστων μετακινήσεων, δηλαδή με το βαθμό γεωμετρικής αοριστίας του φορέα. Έτσι, όταν η εφαρμογή της μεθόδου γίνεται με το χέρι είναι ζωτικής σημασίας ο περιορισμός κατά το δυνατόν του αριθμού των αγνώστων. Για το σκοπό αυτό εφαρμόζονται διάφορες τεχνικές. Παρατήρηση : Το πλήθος των άγνωστων μεγεθών της μεθόδου μετακινήσεων σε σύγκριση με το αντίστοιχο πλήθος των αγνώστων της μεθόδου δυνάμεων αποτελεί το

κριτήριο για το ποια από τις δύο μεθόδους είναι προσφορότερη για την επίλυση φορέων με το χέρι. Καταρχάς, ορισμένα ισοστατικά τμήματα ενός φορέα μπορούν να αποκοπούν και να επιλυθούν ανεξάρτητα. Προφανώς, στη θέση της αποκοπής θα πρέπει να προσαχθούν τα αντίστοιχα εντασιακά μεγέθη. Έστω για παράδειγμα το πλαίσιο του σχήματος.α. Δίπλα στο όνομα κάθε κόμβου φαίνονται μέσα σε τετραγωνάκι οι δυνατότητες μετακίνησης που διαθέτει. Οι κόμβοι C και D που δεν δεσμεύονται από καμία στήριξη διαθέτουν από τρεις ελευθερίες κίνησης: οριζόντια μετατόπιση, κατακόρυφη μετατόπιση και στροφή. Ο κόμβος Α στηρίζεται σε άρθρωση, άρα οι δύο μετατοπίσεις του δεσμεύονται. Συνεπώς, διαθέτει μόνο μία ελευθερία κίνησης (στροφή). Ο κόμβος Β είναι πακτωμένος και άρα δεν μπορεί ούτε να μετατοπιστεί, αλλά ούτε και να στραφεί. Συνεπώς, δεν διαθέτει καμία ελευθερία κίνησης. Συνολικά, λοιπόν ο φορέας διαθέτει επτά βαθμούς ελευθερίας. Αυτό σημαίνει ότι ο βαθμός γεωμετρικής αοριστίας, και άρα και το πλήθος των αγνώστων για την εφαρμογή της μεθόδου των μετακινήσεων, είναι Μ = 7. Ωστόσο, το τμήμα CD είναι ένας πρόβολος ο οποίος μπορεί να αποκοπεί και να επιλυθεί ανεξάρτητα από τον υπόλοιπο φορέα. Παράλληλα, στη θέση της αποκοπής θα πρέπει να μεταφερθούν τα αντίστοιχα εντασιακά μεγέθη, κατά προτίμηση με την πραγματική τους φορά και την απόλυτη τιμή του μέτρου τους. Έτσι, προκύπτει ο φορέας του σχήματος.β, ο οποίος διαθέτει πλέον μόνο τέσσερις ελευθερίες κίνησης. α) αρχικός φορέας β) με αποκοπή ισοστατικών τμημάτων γ) με χρήση πινάκων μονόπακτης δοκού δ) με παραδοχή ατένειας Σχήμα. Πλήθος βαθμών ελευθερίας υπερστατικού φορέα

Δεδομένου ότι διατίθενται πίνακες και για άλλους στοιχειώδεις φορείς πέραν της αμφίπακτης δοκού (π.χ. οι πίνακες. και. για τη μονόπακτη δοκό), δεν είναι απαραίτητο να δεσμευτούν όλες οι άγνωστες μετακινήσεις. Για παράδειγμα, στο φορέα του σχήματος. δεν είναι απαραίτητο να δεσμευτεί η στροφή του Α. Κατ αυτόν τον τρόπο μειώνεται ο αριθμός των αγνώστων κατά έναν (σχήμα.γ). Παρατήρηση : Η χρήση πινάκων άλλων στοιχειωδών φορέων βοηθάει μεν στη μείωση του αριθμού των αγνώστων, από την άλλη πλευρά όμως, παρουσιάζει το μειονέκτημα ότι δεν επιτρέπει τον άμεσο προσδιορισμό ορισμένων μετακινήσεων (της στροφής του Α στο συγκεκριμένο παράδειγμα). Για το λόγο αυτό, αλλά και για λόγους διευκόλυνσης του προγραμματισμού, τα προγράμματα ανάλυσης φορέων με γραμμικά πεπερασμένα στοιχεία δεσμεύουν κατά κανόνα όλες τις διαθέσιμες ελευθερίες κίνησης και χρησιμοποιούν μόνο αμφίπακτες δοκούς. Επιπλέον, σε συνήθεις φορείς οι αξονικές παραμορφώσεις, συγκρινόμενες με τις καμπτικές, δεν επηρεάζουν σε μεγάλο βαθμό την ένταση. Έτσι, θεωρείται ανεκτό να γίνεται εξαρχής η παραδοχή άπειρης δυστένειας (βλέπε πίνακα. των σημειώσεων Στατικής ΙΙ) και άρα αμελητέων αξονικών παραμορφώσεων. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τη δραστική μείωση του αριθμού των αγνώστων για την εφαρμογή της μεθόδου μετακινήσεων. Για παράδειγμα στο φορέα του σχήματος., ο κόμβος D είχε αρχικά τη δυνατότητα τόσο οριζόντιας, όσο και κατακόρυφης μετατόπισης. Αν όμως θεωρηθεί ότι ο στύλος ΑD έχει άπειρη δυστένεια και δεδομένου ότι ο κόμβος Α δεν μπορεί να μετακινηθεί κατακόρυφα, έπεται ότι ούτε και ο D μπορεί να μετακινηθεί κατακόρυφα. Για τον ίδιο λόγο, αν θεωρηθεί ότι και το ζύγωμα DΒ έχει άπειρη δυστένεια, αίρεται και η οριζόντια δυνατότητα κίνησης. Συνεπώς, το πλήθος των αγνώστων για την εφαρμογή της μεθόδου μετακινήσεων μειώνεται τελικά σε έναν. Παρατήρηση : Σε συμμετρικούς φορείς είναι δυνατή η περαιτέρω μείωση του πλήθους των αγνώστων μεγεθών της μεθόδου μετακινήσεων χρησιμοποιώντας κατάλληλες τεχνικές. Οι φορείς για τους οποίους γίνεται η παραδοχή της άπειρης δυστένειας ονομάζονται ατενείς. Οι ατενείς φορείς διακρίνονται σε πάγιους, υπερπάγιους και κινητούς. Κινητοί είναι οι φορείς που ακόμα και μετά την εφαρμογή των τεχνικών που περιγράφηκαν παραπάνω για τη μείωση του αριθμού των αγνώστων, εξακολουθούν να έχουν δυνατότητες κίνησης οριζόντιας ή κατακόρυφης μετατόπισης ή ισοδύναμα στροφής χορδής. Αντίθετα, οι πάγιοι και οι υπερπάγιοι φορείς

διαθέτουν μόνο δυνατότητες κίνησης στροφής των κόμβων. Η διαφορά μεταξύ των δύο τελευταίων κατηγοριών ατενών φορέων έγκειται στο πλήθος των δεσμικών ράβδων που απαγορεύουν τις μετατοπίσεις. Αν όλες οι μετατοπίσεις απαγορεύονται από μία μόνο δεσμική ράβδο, τότε ο φορέας καλείται πάγιος. Αν έστω μία μετατόπιση, είτε οριζόντια είτε κατακόρυφη απαγορεύεται από δύο τουλάχιστον δεσμικές ράβδους, τότε ο φορέας καλείται υπερπάγιος. Για παράδειγμα, ο φορέας του σχήματος. είναι πάγιος. Αν όμως υπήρχε στον κόμβο C (είτε στον D) μια κύλιση που θα απαγόρευε την οριζόντια μετατόπισή του, τότε η οριζόντια μετακίνηση του ζυγώματος CDΒ θα απαγορευόταν από δύο δεσμικές ράβδους, την κύλιση στο C και την οριζόντια δεσμική ράβδο της πάκτωσης του Β. Άρα, λοιπόν, ο φορέας θα ήταν υπερπάγιος. Στο πλαίσιο του μαθήματος της Στατικής ΙΙ μελετήθηκαν οι πάγιοι και υπερπάγιοι ατενείς φορείς, ενώ στο πλαίσιο της Στατικής ΙΙΙ θα μελετηθούν οι κινητοί..5 Βαθμός κινητότητας Ο σχηματισμός των ράβδων Όπως προαναφέρθηκε, οι κινητοί ατενείς φορείς διαθέτουν όχι μόνο δυνατότητες στροφής κόμβων, αλλά και ελευθερίες κίνησης μετατόπισης κόμβων (ή ισοδύναμα στροφής χορδής δομικών στοιχείων). Ο αριθμός των ανεξάρτητων ελευθεριών κίνησης μετατοπίσεων κόμβων (ή στροφών χορδής) ενός φορέα ονομάζεται βαθμός κινητότητας. Ο βαθμός κινητότητας μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια του λεγόμενου σχηματισμού των ράβδων. Ο σχηματισμός των ράβδων ενός φορέα προκύπτει με την τοποθέτηση αρθρώσεων σε όλους τους εσωτερικούς κόμβους και σε όλες τις στηρίξεις του. Ο φορέας μετατρέπεται κατ αυτόν τον τρόπο σε ένα δικτύωμα, ο Βαθμός Στατικής Αοριστίας του οποίου Ν καθορίζει αν ο φορέας είναι πάγιος, υπερπάγιος ή κινητός και στην τελευταία περίπτωση ποιος είναι ο βαθμός κινητότητάς του. Συγκεκριμένα: αν Ν > ο σχηματισμός ράβδων είναι υπερστατικό δικτύωμα και ο φορέας Ν φορές υπερπάγιος. αν Ν = ο σχηματισμός ράβδων είναι ισοστατικό δικτύωμα και ο φορέας πάγιος. αν Ν < ο σχηματισμός ράβδων είναι χαλαρό δικτύωμα και ο φορέας κινητός με βαθμό κινητότητας Ν. 4

Υπενθυμίζεται ότι ο Βαθμός Στατικής Αοριστίας των δικτυωμάτων Ν προκύπτει από τον παρακάτω τύπο: Ν = ρ + α κ (.4) όπου ρ ο αριθμός των ράβδων, α ο αριθμός των αντιδράσεων και κ ο αριθμός των κόμβων. Το άθροισμα ρ + α αντιπροσωπεύει τον αριθμό των άγνωστων εντασιακών μεγεθών και το γινόμενο κ τον αριθμό των διαθέσιμων εξισώσεων ισορροπίας. Στο σχήμα. δίνονται ορισμένα παραδείγματα ατενών φορέων με τους αντίστοιχους σχηματισμούς ράβδων. Παρατήρηση : Όταν σε έναν ατενή φορέα υπάρχουν ράβδοι πεπερασμένης δυστένειας (σχήμα.ζ) ή ελαστικές στηρίξεις (σχήμα.γ), αυτές δεν πρέπει να συμπεριλαμβάνονται στο σχηματισμό των ράβδων, καθώς ναι μεν προσδίδουν στο φορέα στιβαρότητα και αντιστέκονται στις μετατοπίσεις των κόμβων, δεν τις απαγορεύουν όμως τελείως. Μετά την αναγνώριση του είδους ενός φορέα (πάγιος, υπερπάγιος ή κινητός) θα πρέπει να καθοριστεί το Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα. Στην περίπτωση των πάγιων και υπερπάγιων φορέων αυτό προκύπτει με τη δέσμευση της στροφής όλων των κόμβων (τοποθετώντας στροφικές δεσμικές ράβδους). Στους κινητούς φορείς όμως θα πρέπει να δεσμευτούν και μετατοπίσεις κόμβων (ή στροφές χορδής δομικών στοιχείων). Αυτό επιτυγχάνεται με την προσθήκη επιπλέον δρομικών (για τις μετατοπίσεις κόμβων) ή στροφικών (για τις στροφές χορδής) δεσμικών ράβδων. Το πλήθος των επιπλέον αυτών δεσμικών ράβδων είναι ίσο με το βαθμό κινητότητας του φορέα. Στον πίνακα.4 δίνονται οι συμβολισμοί όλων των ειδών δεσμικών ράβδων που χρησιμοποιούνται, ενώ στο σχήμα.4 δίνονται μερικά παραδείγματα καθορισμού εναλλακτικών Γεωμετρικών Κυρίων Συστημάτων των κινητών ατενών φορέων του σχήματος.. Πίνακας.4 Συμβολισμοί δεσμικών ράβδων Μετακίνηση που δεσμεύεται Στροφή κόμβου Οριζόντια μετατόπιση κόμβου Κατακόρυφη μετατόπιση κόμβου Στροφή χορδής οριζόντιου δομικού στοιχείου Στροφή χορδής κατακόρυφου δομικού στοιχείου Σύμβολο 5

Φορέας Σχηματισμός ράβδων Χαρακτηρισμός α) Πάγιος φορέας β) Υπερπάγιος φορέας γ) Κινητός φορέας (βαθμός κινητότητας: ) δ) Κινητός φορέας (βαθμός κινητότητας: ) ε) Κινητός φορέας (βαθμός κινητότητας: ) στ) Πάγιος φορέας ζ) Κινητός φορέας (βαθμός κινητότητας: ) η) Πάγιος φορέας Σχήμα. Παραδείγματα πάγιων, υπερπάγιων και κινητών ατενών φορέων 6

Φορέας Εναλλακτικά ΓΚΣ α) β) γ) δ) Σχήμα.4 Εναλλακτικά Γεωμετρικά Κύρια Συστήματα κινητών ατενών φορέων 7

Παρατήρηση : Είναι προφανές ότι οι ατενείς φορείς μπορεί να διαθέτουν δυνατότητες μετατόπισης κόμβων ή στροφής χορδών περισσότερες σε πλήθος από το βαθμό κινητότητας. Για παράδειγμα στο μία φορά κινητό πλαίσιο του σχήματος.4β, υφίστανται οριζόντια μετατόπιση τόσο ο κόμβος C, όσο και ο D (ή ισοδύναμα υφίστανται στροφή χορδής τόσο το δομικό στοιχείο ΑC, όσο και το ΒD). Ωστόσο, λόγο της ατένειας του φορέα οι εν λόγω μετατοπίσεις είναι εξαρτημένες (ίσες στην προκειμένη περίπτωση). Γενικότερα, η ατένεια δημιουργεί αλληλεξαρτήσεις μεταξύ των μετατοπίσεων των κόμβων (και των στροφών χορδής των δομικών στοιχείων) του φορέα, με αποτέλεσμα να μην είναι απαραίτητη η δέσμευση και ο υπολογισμός όλων. Σε κάθε περίπτωση, το πλήθος των μετατοπίσεων ή στροφών χορδής που πρέπει να δεσμεύονται ταυτίζεται με το πλήθος των ανεξάρτητων μετατοπίσεων ή στροφών χορδής, δηλαδή με το βαθμό κινητότητας του φορέα. Παρατήρηση : Η επιλογή των μετατοπίσεων κόμβων ή των στροφών χορδής που θα δεσμευτούν εναπόκειται στην κρίση του μελετητή. Ιδιαίτερη προσοχή θα πρέπει να δίνεται σε φορείς με βαθμό κινητότητας μεγαλύτερο ή ίσο του, καθώς υπάρχει κίνδυνος να δεσμευτούν λανθασμένα δύο ή περισσότερες εξαρτημένες μεταξύ τους μετατοπίσεις ή στροφές χορδής. Για παράδειγμα στο φορέα του σχήματος.4γ θα ήταν λάθος να δεσμευτεί ταυτόχρονα η οριζόντια μετατόπιση του κόμβου C και η στροφή χορδής του δομικού στοιχείου ΑC, καθώς είναι εξαρτημένες μεταξύ τους (η στροφή χορδής του ΑC είναι ίση με την οριζόντια μετατόπιση του C δια το ύψος του πρώτου ορόφου του πλαισίου). Στην περίπτωση αυτή η οριζόντια μετατόπιση του δευτέρου ορόφου θα παρέμενε αδέσμευτη στο Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα. Παρατήρηση 4: Είναι προφανές ότι για το φορέα του σχήματος.4γ, πέραν των εικονιζόμενων, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν κι άλλα εναλλακτικά Γεωμετρικά Κύρια Συστήματα, με προσθήκη οποιουδήποτε συνδυασμού δεσμικών ράβδων θα δέσμευε δύο ανεξάρτητες μεταξύ τους μετατοπίσεις ή στροφές χορδής..6 Προσδιορισμός μετατοπίσεων και στροφών χορδής στο ΓΚΣ Όπως είναι γνωστό, κατά την εφαρμογή της μεθόδου μετακινήσεων το Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα του υπό μελέτη φορέα θα πρέπει να επιλυθεί για μοναδιαίες καταναγκασμένες μετακινήσεις ξ =. Στην περίπτωση των πάγιων και υπερπάγιων φορέων οι άγνωστες μετακινήσεις ξ αντιστοιχούν πάντα σε στροφές κόμβων και η ένταση λόγω ξ = περιορίζεται μόνο στα δομικά στοιχεία που συμβάλλουν στον κόμβο που υπόκειται σε μοναδιαία στροφή. Αντίθετα, στους 8

κινητούς φορείς οι άγνωστες μετακινήσεις ξ μπορεί να αντιστοιχούν και σε μετατοπίσεις κόμβων ή στροφές χορδής δομικών στοιχείων. Σε αντίθεση όμως με τις στροφές κόμβων, μια επιβεβλημένη μετατόπιση κόμβου ή στροφή χορδής δομικού στοιχείου μπορεί να προκαλέσει ένταση σε περισσότερα ή σε όλα τα δομικά στοιχεία του φορέα. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην παραδοχή της ατένειας και στην αλληλεξάρτηση που αυτή προκαλεί μεταξύ των μετατοπίσεων και των στροφών χορδής των δομικών στοιχείων. Δηλαδή, η επιβολή μιας μοναδιαίας μετατόπισης σε έναν κόμβο (ή μιας μοναδιαίας στροφής χορδής σε ένα δομικό στοιχείο) «συμπαρασύρει» όλους τους κόμβους και τα δομικά στοιχεία του φορέα που μπορούν να μετακινηθούν. Όλα τα δομικά στοιχεία που υφίστανται στροφές χορδής αναπτύσσουν ένταση η οποία επηρεάζει τις τιμές των συντελεστών στιβαρότητας και υπολογίζεται κατά τα γνωστά (βλέπε πίνακες. έως.). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για την επίλυση ενός κινητού ατενούς φορέα με τη μέθοδο των μετακινήσεων θα πρέπει να προσδιοριστούν οι στροφές χορδής όλων των δομικών στοιχείων λόγω ξ = (για όλα τα ξ που αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις κόμβων και στροφές χορδής δομικών στοιχείων). Παρατήρηση : Ο προσδιορισμός των παραπάνω στροφών χορδής είναι απαραίτητος όχι μόνο για τον υπολογισμό της έντασης του Γεωμετρικού Κυρίου Συστήματος, αλλά, όπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο, και για τον υπολογισμό των συντελεστών στιβαρότητας και φόρτισης με την εφαρμογή της Αρχής των Δυνατών Έργων. Ο προσδιορισμός των στροφών χορδής των δομικών στοιχείων λόγω ξ = γίνεται με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς που βασίζονται στη ρεαλιστική για συνήθεις φορείς παραδοχή των απειροστών μετακινήσεων. Η σημασία της παραδοχής των απειροστών μετακινήσεων μπορεί να γίνει κατανοητή με τη βοήθεια του σχήματος.5. Έστω ένα δομικό στοιχείο ΑΒ με μήκος που περιστρέφεται γύρω από το σημείο Α κατά γωνία φ. Είναι προφανές ότι λόγω της περιστροφής (στροφής χορδής) ο κόμβος Β κινείται πάνω στο τόξο κύκλου ΒΒ. Ωστόσο, αν θεωρήσουμε ότι η γωνία φ είναι πάρα πολύ μικρή (απειροστή) το τόξο ΒΒ ταυτίζεται ουσιαστικά με την εφαπτομένη του ΒΒ. Τότε, όπως προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΒ η κατακόρυφη μετατόπιση v Β του κόμβου Β δίνεται από τη σχέση: v Β = tanφ (.5) Για πολύ μικρές τιμές της γωνίας φ ισχύει (η γωνία φ σε rad): tanφ φ (.6) 9

Συνεπώς, η σχέση.5 γίνεται: v Β = φ (.7) Από τη σχέση.7 μπορεί να υπολογιστεί πολύ εύκολα η μετατόπιση ενός κόμβου λόγω μιας στροφής χορδής ή το αντίστροφο. Σχήμα.5 Μετατόπιση κόμβου λόγω στροφής χορδής Η διαδικασία προσδιορισμού των στροφών χορδής των δομικών στοιχείων λόγω ξ = συνίσταται ουσιαστικά στη διαδοχική εφαρμογή της σχέσης.7, ξεκινώντας από τον κόμβο ή το δομικό στοιχείο στο οποίο επιβάλλεται η μοναδιαία μετακίνηση ξ =. Έστω για παράδειγμα ο κινητός ατενής φορέας του σχήματος.6α. Από το σχηματισμό ράβδων (σχήμα.6β) προκύπτει ότι ο βαθμός κινητότητάς του είναι, συνεπώς για τη διαμόρφωση του Γεωμετρικού Κυρίου Συστήματος απαιτείται η δέσμευση, πέραν των στροφών κόμβων, και μίας μετατόπισης κόμβου ή μιας στροφής χορδής δομικού στοιχείου. Έστω ότι επιλέγεται η δέσμευση της στροφής χορδής του δομικού στοιχείου AD, οπότε προκύπτει το Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα του σχήματος.6γ. Αν επιβληθεί μια καταναγκασμένη μοναδιαία στροφή χορδής ψ AD = το Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα θα πάρει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα.6δ. Οι μετατοπίσεις των κόμβων και οι στροφές χορδής των δομικών στοιχείων προκύπτουν με τους εξής συλλογισμούς: Οι κόμβοι Α, Β και C παραμένουν αμετάθετοι αφού είναι πακτωμένοι. Λόγω της επιβληθείσας στροφής χορδής ψ AD =, ο κόμβος D μετατοπίζεται οριζόντια κατά u D = 4 = 4 (σχέση.7), ενώ λόγω της ατένειας του στοιχείου AD δεν μετατοπίζεται κατακόρυφα. Λόγω της ατένειας του ζυγώματος, οι οριζόντιες μετατοπίσεις των κόμβων Ε και F ταυτίζονται με αυτή του D, δηλαδή u D = u Ε = u F = 4. Συνεπώς, οι

στροφές χορδής των στοιχείων ΒΕ και CF είναι ψ ΒΕ = 4/5 =.8 και ψ CF = 4/4 =. α) Κινητός ατενής φορέας β) Σχηματισμός ράβδων γ) Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα δ) Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω ψ AD = Σχήμα.6 Προσδιορισμός μετακινήσεων κόμβων και στροφών χορδής

Λόγω της ατένειας του στοιχείου ΒΕ, ο κόμβος Ε, όπως και ο D, δεν μετατοπίζεται κατακόρυφα. Συνεπώς, η στροφή χορδής του στοιχείου DΕ είναι μηδενική. Η κατακόρυφη μετατόπιση του κόμβου F προκύπτει από τη στροφή χορδής ψ CF και είναι v F = ψ CF =. Συνεπώς, η στροφή χορδής του στοιχείου ΕF είναι ψ ΕF = -/4 = -.75. Το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο γεγονός ότι η στροφή χορδής είναι δεξιόστροφη. Παρατήρηση : Η επιλογή της δέσμευσης της στροφής χορδής του δομικού στοιχείου AD δεν περιορίζει τη γενικότητα της ανάλυσης που προηγήθηκε. Σε περίπτωση δέσμευσης οποιασδήποτε άλλης μετακίνησης η παραπάνω διαδικασία θα εφαρμοζόταν εντελώς ανάλογα. Παρατήρηση : Για λόγους απλότητας και ευκρίνειας, στο σχήμα.6δ δεν έχουν σχεδιαστεί οι προστεθείσες δεσμικές ράβδοι του Γεωμετρικού Κυρίου Συστήματος, καθώς και οι καμπυλώσεις των δομικών στοιχείων λόγω των στροφών χορδής. Παρατήρηση 4: Στην περίπτωση κεκλιμένων δομικών στοιχείων, όπως το CF, η στροφή χορδής τους ισούται με το πηλίκο της διαφοράς των οριζόντιων μετατοπίσεων των δύο κόμβων τους προς την κατακόρυφη προβολή του μήκους τους (εδώ 4/4), ή ισοδύναμα με το πηλίκο της διαφοράς των κατακόρυφων μετατοπίσεων των δύο κόμβων τους προς την οριζόντια προβολή του μήκους τους (εδώ /)..7 Η Αρχή των Δυνατών Έργων Μια από τις θεμελιώδεις αρχές στις οποίες βασίζεται η Στατική είναι η Αρχή των Δυνατών Έργων (ΑΔΕ) σύμφωνα με την οποία το δυνατό έργο που παράγεται από ένα σύνολο ισορροπούντων εντασιακών μεγεθών (εξωτερικών φορτίων, αντιδράσεων, φορτίων διατομής) κατά μία δυνατή μετακίνηση ενός φορέα είναι μηδενικό. Αντιστρόφως, αν το έργο που παράγεται από ένα σύνολο εντασιακών μεγεθών κατά μία δυνατή μετακίνηση ενός φορέα είναι μηδενικό, τότε τα μεγέθη αυτά βρίσκονται σε ισορροπία. Η Αρχή των Δυνατών Έργων μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως εξής: W v v v W W όπου W v το σύνολο των δυνατών έργων, W δυνατών έργων (φορτίων διατομής) και W έργων (εξωτερικών φορτίων, αντιδράσεων). εσ v εξ εξ v εσ (.8) το σύνολο των εσωτερικών το σύνολο των εξωτερικών δυνατών

Παρατήρηση : Με τον όρο δυνατή μετακίνηση νοείται μια εικονική / υποθετική απειροστή μετακίνηση του φορέα που όμως είναι συμβατή με τους συνδέσμους του. Στην πράξη, για την επίλυση κινητών ατενών φορέων με τη μέθοδο μετακινήσεων, οι μόνες δυνατές μετακινήσεις που απαιτείται να επιβληθούν είναι οι καταναγκασμένες μετακινήσεις ξ = που ούτως ή άλλως χρησιμεύουν στον υπολογισμό της έντασης του Γεωμετρικού Κυρίου Συστήματος. Η Αρχή των Δυνατών Έργων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό μιας αντίδρασης ενός φορέα, εφόσον είναι γνωστά τα φορτία διατομής του (εννοείται και τα εξωτερικά φορτία). Πράγματι, αν επιβληθεί μια δυνατή μετακίνηση κατά την έννοια της δεσμικής ράβδου στην οποία αντιστοιχεί η άγνωστη αντίδραση και καταγραφούν όλα τα δυνατά έργα των εσωτερικών και εξωτερικών εντασιακών μεγεθών, τότε από την εξίσωση.8 μπορεί να υπολογιστεί η ζητούμενη τιμή. Ωστόσο, ο υπολογισμός των εσωτερικών δυνατών έργων απαιτεί πολύπλοκες ολοκληρώσεις, πράγμα που καθιστά την εφαρμογή της εξίσωσης.8 απρόσφορη. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να ξεπεραστεί εισάγοντας αρθρώσεις σε όλους τους κόμβους του φορέα. Ταυτόχρονα, για τη διατήρηση της ισορροπίας, προσάγονται στις θέσεις των αρθρώσεων οι εσωτερικές διπλές ροπές κάμψης (επιρράβδιες και επικόμβιες). Έτσι, με την επιβολή της δυνατής μετακίνησης, τα δομικά στοιχεία του φορέα μετακινούνται χωρίς να παραμορφώνονται και κατά συνέπεια τα εσωτερικά δυνατά έργα μηδενίζονται. Θα πρέπει όμως να συνυπολογιστούν τα δυνατά έργα των επιρράβδιων συνιστωσών των ροπών που ασκούνται πλέον σαν εξωτερικά φορτία. Δεδομένου ότι οι συντελεστές στιβαρότητας και φόρτισης είναι ουσιαστικά αντιδράσεις που αναπτύσσονται στο Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα έπεται ότι μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της Αρχής των Δυνατών Έργων. Βέβαια, στην περίπτωση συντελεστών φόρτισης και στιβαρότητας που αντιστοιχούν σε στροφές κόμβων η παραπάνω διαδικασία δεν προσφέρει κανένα πλεονέκτημα έναντι του υπολογισμού με βάση τις εξισώσεις ισορροπίας. Αντίθετα, όταν οι συντελεστές φόρτισης και στιβαρότητας αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις κόμβων ή στροφές χορδής δομικών στοιχείων η κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας απαιτεί τη γνώση όχι μόνο των ροπών κάμψης των δομικών στοιχείων, αλλά και των αξονικών και τεμνουσών δυνάμεων. Έτσι, στην περίπτωση αυτή η χρήση της Αρχής των Δυνατών Έργων είναι προσφορότερη, καθώς περιορίζει σημαντικά των όγκο των απαιτούμενων υπολογισμών.

.8 Παράδειγμα επίλυσης κινητού ατενούς φορέα με τη μέθοδο μετακινήσεων Παρακάτω γίνεται βήμα προς βήμα παρουσίαση της διαδικασίας εφαρμογής της μεθόδου μετακινήσεων σε κινητούς ατενείς φορείς με τη βοήθεια του παραδείγματος του σχήματος.7α. Βήμα : Αποκοπή ισοστατικών τμημάτων Όπως και στην περίπτωση των πάγιων και υπερπάγιων φορέων αποκόπτονται και επιλύονται ξεχωριστά ισοστατικά τμήματα του φορέα. Tα εντασιακά μεγέθη στη θέση της αποκοπής που προκύπτουν από την επίλυση κάθε ισοστατικού τμήματος μεταφέρονται στον υπόλοιπο φορέα με την πραγματική φορά και την απόλυτη τιμή του μέτρου τους, δρώντας πλέον σαν εξωτερικά φορτία. Στο φορέα του συγκεκριμένου παραδείγματος δεν υπάρχουν ισοστατικά τμήματα προς αποκοπή, συνεπώς το βήμα αυτό παραλείπεται. Βήμα : Εύρεση βαθμού κινητότητας και γεωμετρικής αοριστίας Ο βαθμός στατικής αοριστίας του σχηματισμού ράβδων του φορέα (σχήμα.7β) είναι Ν = -, άρα ο βαθμός κινητότητας είναι. Έτσι, θα πρέπει να δεσμευτεί μία μετατόπιση κόμβου ή στροφή χορδής δομικού στοιχείου. Δεδομένου ότι διατίθενται πίνακες μονόπακτης δοκού, δεν απαιτείται η δέσμευση των στροφών των κόμβων C και D. Δηλαδή, ο βαθμός γεωμετρικής αοριστίας του φορέα είναι Μ =. Βήμα : Προσθήκη συνδέσμων διαμόρφωση ΓΚΣ Προστίθεται μια στροφική δεσμική ράβδος που δεσμεύει τη στροφή χορδής του δομικού στοιχείου AC και έτσι προκύπτει το Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα του σχήματος.7γ. Προφανώς, η συγκεκριμένη επιλογή Γεωμετρικού Κυρίου Συστήματος δεν είναι η μόνη επιτρεπτή, αφού θα μπορούσε να δεσμευτεί εναλλακτικά είτε η στροφή χορδής του στοιχείου BD είτε η οριζόντια μετατόπιση ενός εκ των κόμβων C και D. Στο σχήμα.7γ σημειώνεται και ο μοναδικός βαθμός ελευθερίας ξ με τη συμβατικά θετική του φορά, δηλαδή την αριστερόστροφή. Βήμα 4: Προσδιορισμός στροφών χορδής λόγω ξ = Απαιτείται ο προσδιορισμός των στροφών χορδής όλων των δομικών στοιχείων λόγω ξ =, για όλα τα ξ που αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις κόμβων ή στροφές χορδής δομικών στοιχείων. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, απαιτείται ο 4

προσδιορισμός όλων των στροφών χορδής λόγω μοναδιαίας στροφής χορδής του στοιχείου AC. Εφαρμόζεται το παρακάτω σκεπτικό (σχήμα.7δ): Λόγω ψ AC =, ο κόμβος C μετακινείται αριστερά κατά AC ψ AC = 4, ενώ λόγω ατένειας του στοιχείου AC δεν μετακινείται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Λόγω ατένειας του ζυγώματος, ο κόμβος D παρουσιάζει την ίδια οριζόντια μετατόπιση με τον C, ενώ λόγω ατένειας του στοιχείου ΒD δεν μετακινείται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Η διαφορά κατακόρυφων μετατοπίσεων των κόμβων C και D είναι μηδενική, συνεπώς η στροφή χορδής του στοιχείου CD είναι μηδενική (ψ CD = ). Η στροφή χορδής του στοιχείου ΒD είναι ψ ΒD = 4/4 =. α) Δεδομένα φορέα β) Σχηματισμός ράβδων γ) Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα δ) Παραμορφωμένη κατάσταση λόγω ψ AC = Σχήμα.7 Κινητός ατενής φορέας Βήμα 5: Επίλυση του ΓΚΣ για την εξωτερική φόρτιση (κατάσταση ) Το δομικό στοιχείο AC είναι μια μονόπακτη δοκός με άρθρωση δεξιά και φέρει ένα οριζόντιο φορτίο kn στο μέσο του Ε. Συνεπώς, από τον πίνακα. προκύπτει: 5

5kNm 4, CA.kNm AC Το δομικό στοιχείο ΒD είναι μια αφόρτιστη μονόπακτη δοκός με άρθρωση αριστερά. Συνεπώς: BD DB.kNm Τέλος, το δομικό στοιχείο CD είναι αμφιαρθρωτό και παρά το γεγονός ότι φέρει ένα συνεχές φορτίο kn/m, οι ροπές στα δύο άκρα του είναι μηδενικές. Έτσι έχουμε: CD DC.kNm Παρατήρηση : Οι ροπές συμβολίζονται με τους δύο δείκτες που υποδηλώνουν τους κόμβους έναρξης και πέρατος και έναν εκθέτη που υποδηλώνει την κατάσταση φόρτισης. Παρατήρηση : Οι ροπές που υπολογίστηκαν από τους πίνακες είναι επιρράβδιες, δηλαδή ασκούνται στα δομικά στοιχεία. Ίσες ροπές ασκούνται στους αντίστοιχους κόμβους του φορέα (επικόμβιες ροπές). Παρατήρηση : Ο υπολογισμός των υπολοίπων φορτίων διατομής δεν είναι απαραίτητος, καθώς όπως φαίνεται παρακάτω δεν χρειάζονται για τον υπολογισμό των συντελεστών φόρτισης και στιβαρότητας. Επίσης, σε αυτή τη φάση δεν χρειάζεται η σχεδίαση των διαγραμμάτων ροπών του ΓΚΣ. Βήμα 6: Επίλυση του ΓΚΣ για μοναδιαίες καταναγκασμένες μετακινήσεις στις θέσεις των προστεθέντων συνδέσμων (καταστάσεις,,, ) Ο εξεταζόμενος φορέας είναι μια φορά γεωμετρικά αόριστος, συνεπώς υπάρχει μόνο μία φορτιστική κατάσταση, αυτή που προκύπτει από μοναδιαία καταναγκασμένη στροφή χορδής του στοιχείου AC (ψ AC = ). Από την ανάλυση που προηγήθηκε (βήμα 4) προκύπτει ότι ψ ΒD = 4/4 = και ψ CD =. Το δομικό στοιχείο CD ούτως ή άλλως δεν εμφανίζει ροπές στα άκρα, αφού είναι αμφιαρθρωτό, δηλαδή: CD DC.kNm/rad Για τα μονόπακτα δομικά στοιχεία AC και ΒD από τους πίνακες. και. αντίστοιχα για ψ j = έχουμε: AC EI 75kNm/rad, CA.kNm/rad 4 AC 6

BD EI 75kNm/rad, DB.kNm/rad 4 BD Παρατήρηση 4: Οι ροπές συμβολίζονται με τους δύο δείκτες που υποδηλώνουν τους κόμβους έναρξης και πέρατος και έναν εκθέτη ( =...Μ) που υποδηλώνει την κατάσταση φόρτισης. Παρατήρηση 5: Επειδή η μοναδιαία καταναγκασμένη στροφή χορδής είναι αδιάστατη, η μονάδα μέτρησης των ροπών είναι knm/rad. Βήμα 7: Υπολογισμός των συντελεστών φόρτισης και στιβαρότητας Ο συντελεστής φόρτισης Κ είναι η αντίδραση που αναπτύσσεται στην πρόσθετη δεσμική ράβδο λόγω της φόρτισης του Γεωμετρικού Κυρίου Συστήματος με τα εξωτερικά φορτία. Θα μπορούσε καταρχάς να υπολογιστεί με τη βοήθεια των εξισώσεων ισορροπίας, αλλά κάτι τέτοιο θα ήταν υπολογιστικά ασύμφορο καθώς θα απαιτούσε τη γνώση επιπλέον και των αξονικών και τεμνουσών δυνάμεων. Έτσι, είναι προτιμότερη η εφαρμογή της Αρχής των Δυνατών Έργων. Για το σκοπό αυτό ακολουθείται η εξής διαδικασία (σχήμα.8): Αρχικά, εισάγονται αρθρώσεις σε όλους τους κόμβους του φορέα. Για την αποκατάσταση της ισορροπίας προσάγονται στις θέσεις των αρθρώσεων οι διπλές (επιρράβδιες και επικόμβιες) ροπές κάμψης του Γεωμετρικού Κυρίου Συστήματος λόγω των εξωτερικών φορτίων που υπολογίστηκαν στο βήμα 5. Στη συνέχεια επιβάλλεται στο Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα μια μοναδιαία δυνατή μετακίνηση κατά την έννοια της αντίδρασης που ζητείται, δηλαδή του συντελεστή φόρτισης Κ. Η μετακίνηση αυτή ταυτίζεται προφανώς με τη μετακίνηση ξ =. Καταγράφονται τα δυνατά έργα όλων των εξωτερικών εντασιακών μεγεθών και το άθροισμά τους τίθεται ίσο με. Έτσι, προκύπτει: Κ + AC ψ AC = Κ + 5 = Κ = 5 knm Σχήμα.8 Υπολογισμός Κ 7

Παρατήρηση 6: Λόγω της εισαγωγής των αρθρώσεων, τα δομικά στοιχεία του φορέα υφίστανται τη δυνατή μετακίνηση ξ = χωρίς να παραμορφώνονται, συνεπώς τα δυνατά έργα των εσωτερικών εντασιακών μεγεθών μηδενίζονται. Παρατήρηση 7: Τα επικόμβια σκέλη των ροπών κάμψης που προσάγονται στις εισαχθείσες αρθρώσεις δεν παράγουν έργο, καθώς κατά τη δυνατή μετακίνηση ξ = οι κόμβοι δεν υφίστανται στροφή. Παρατήρηση 8: Το δυνατό έργο των επιρράβδιων ροπών κάμψης που ασκούνται σε ένα δομικό στοιχείο είναι ίσο με το γινόμενο των ροπών επί τη στροφή χορδής του δομικού στοιχείου. Παρατήρηση 9: Υπενθυμίζεται ότι το έργο μιας μοναχικής δύναμης ισούται με το γινόμενο του μέτρου της επί τη μετακίνηση του σημείου εφαρμογής της κατά τη διεύθυνσή της. Όταν δύναμη και μετακίνηση έχουν την ίδια φορά το έργο προσημαίνεται θετικά και σε αντίθετη περίπτωση αρνητικά. Η μετακίνηση του σημείου εφαρμογής κάθε δύναμης προκύπτει με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς, όπως περιγράφηκε στην παράγραφο.6 και στο βήμα 4 της παρούσας παραγράφου. Παρατήρηση : Το έργο ενός συνεχούς φορτίου είναι ίσο με το έργο της συνισταμένης του, δηλαδή με το γινόμενο της συνισταμένης επί τη μετακίνηση του σημείου εφαρμογής της. Παρατήρηση : Γενικεύοντας, η Αρχή των Δυνατών Έργων για των υπολογισμό ενός συντελεστή φόρτισης Κ θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξής: όπου kl lk Κ + ( kl lk ) ψ kl + P W = (.9), οι επιρράβδιες ροπές ενός δομικού στοιχείου kl λόγω των εξωτερικών φορτίων (κατάσταση ), ψ kl η στροφή χορδής του δομικού στοιχείου kl λόγω ξ = και W P το έργο των εξωτερικών φορτίων λόγω ξ =. Με εντελώς ανάλογο σκεπτικό προκύπτει και η τιμή του συντελεστή στιβαρότητας Κ (σχήμα.9): Κ + AC ψ AC + Κ = 5 knm/rad BD ψ BD = Κ 75 75 = Παρατήρηση : Γενικεύοντας, η Αρχή των Δυνατών Έργων για των υπολογισμό ενός συντελεστή στιβαρότητας Κ j θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξής: j j Κ j + ( kl lk ) ψ kl = (.) 8

όπου, οι επιρράβδιες ροπές ενός δομικού στοιχείου kl λόγω ξ j = j kl j lk (κατάσταση j) και ψ kl η στροφή χορδής του δομικού στοιχείου kl λόγω ξ =. Σχήμα.9 Υπολογισμός Κ Βήμα 8: Κατάστρωση και επίλυση του συστήματος των εξισώσεων Καταγράφονται οι Μ εξισώσεις (βλ. εξίσωση.) που προκύπτουν από τη συνθήκη μηδενισμού των αντιδράσεων στις θέσεις των προστεθέντων συνδέσμων. Από την επίλυση του ΜxΜ συστήματος των εξισώσεων προκύπτουν οι άγνωστες τιμές των μετακινήσεων ξ, ξ, ξ ( =...Μ). Προφανώς, σε μία φορά γεωμετρικά αόριστους φορείς καταγράφεται μόνο μία εξίσωση, από την επίλυση της οποίας προκύπτει άμεσα η τιμή της μοναδικής άγνωστης μετακίνησης. Για το φορέα του παραδείγματος έχουμε: Κ + ξ Κ = ξ = Κ / Κ =.667 x -4 rad. Παρατήρηση : Όταν Μ> εφαρμόζεται κάποια από τις γνωστές από τα μαθηματικά μεθόδους επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Ειδικά όταν Μ =, μπορούν να εφαρμόζονται απευθείας οι παρακάτω σχέσεις: KK K K ξ = D KK KK ξ = D (.) (.) D = K K K (.) Βήμα 9: Υπολογισμός ροπών κάμψης Οι ροπές κάμψης του φορέα προκύπτουν από τη σχέση.: 9

AC 5 (.667 x -4 ) ( 75) 7.5kNm CA CD DC DB.kNm BD (.667 x -4 ) ( 75).5kNm Βήμα : Προσαρμογή προσήμων των ροπών κάμψης Οι τελικές ροπές κάμψης του φορέα προκύπτουν με αλλαγή προσήμου στα αριστερά άκρα των δομικών στοιχείων: τελ AC 7.5kNm τελ CA τελ CD τελ DC τελ DB.kNm τελ BD.5kNm Παρατήρηση 4: Η προσαρμογή των προσήμων των ροπών κάμψης πρέπει να γίνεται πάντοτε πριν από τον υπολογισμό των υπολοίπων φορτίων διατομής και το σχεδιασμό των διαγραμμάτων. Βήμα : Υπολογισμός τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων Q AC Q CA Q CD Q DC Q DB Οι τέμνουσες δυνάμεις του φορέα προκύπτουν από την αρχή της ομόλογης δοκού: ( 7.5) 6.875kN 4 ( 7.5).5kN 4 5 5kN 5 5 5kN 5 Q BD.5.5kN 4 Οι αξονικές δυνάμεις προκύπτουν εύκολα από την ισορροπία των κόμβων C και D: N CA N AC Q CD 5kN N CD N DC Q CA.5kN N DB N BD Q DC 5kN Παρατήρηση 5: Από την ισορροπία των κόμβων Α και Β μπορούν να υπολογιστούν, εφόσον απαιτούνται, και οι αντιδράσεις του υπερστατικού φορέα.

Βήμα : Υπολογισμός λοιπών απαιτούμενων ροπών κάμψης Ως γνωστόν, όταν υπάρχουν δομικά στοιχεία που φέρουν συνεχές ομοιόμορφο φορτίο θα πρέπει να υπολογιστούν επιπλέον οι ροπές κάμψης στα μέσα των στοιχείων αυτών, καθώς και οι μέγιστες ροπές κάμψης. Έτσι, αν ονομαστεί το μέσο του δομικού στοιχείου CD έχουμε: τελ τελ CD τελ DC q 8 CD 5 8.5kNm Η μέγιστη ροπή εμφανίζεται σε απόσταση x max από το C: x max = Q CD q 5.5m Συνεπώς, η μέγιστη ροπή ταυτίζεται με τη ροπή στο μέσο. Tέλος, η ροπή κάμψης στο σημείο επιβολής του μοναχικού φορτίου (μέσο του ΑC) προκύπτει από τον τύπο: τελ Ε τελ AC τελ CA P 4 AC - 7.5 4 6.5kNm 4 Βήμα : Σχεδιασμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής Με βάση τις τιμές που υπολογίστηκαν στα προηγούμενα βήματα σχεδιάζονται κατά τα γνωστά τα διαγράμματα των φορτίων διατομής του φορέα (σχήμα.). Σχήμα. Διαγράμματα φορτίων διατομής υπερστατικού φορέα

.9 Ειδικές περιπτώσεις.9. Ράβδοι πεπερασμένης δυστένειας Οι ράβδοι πεπερασμένης δυστένειας που ενδεχομένως υπάρχουν στο Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα ενός κατά τα άλλα ατενούς φορέα μπορούν να υποστούν ένταση και παραμόρφωση τόσο λόγω εξωτερικών καταναγκασμών (βλέπε παράγραφο.9.), όσο και λόγω των μοναδιαίων καταναγκασμένων μετακινήσεων ξ =. Αυτό σημαίνει ότι τόσο στη φορτιστική κατάσταση, όσο και στις καταστάσεις ( =...Μ) θα πρέπει να υπολογιστεί καταρχάς η αξονική τους δύναμη από την παρακάτω σχέση: Δ r r N r E ra r ή r E ra r r r Δ N (.4) όπου N, N η αξονική δύναμη μιας ράβδου r λόγω των καταστάσεων και, r r Δ, Δ η μεταβολή μήκους της ράβδου λόγω των καταστάσεων και και r r r r, E, A το μήκος, το μέτρο ελαστικότητας του υλικού και το εμβαδόν της διατομής r της ράβδου αντίστοιχα. Η μεταβολή μήκους των ράβδων υπολογίζεται με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς με βάση τις μετατοπίσεις των κόμβων της. Ειδική περίπτωση που θα εξεταστεί στην παράγραφο.9. αποτελεί η ομοιόμορφη μεταβολή θερμοκρασίας ράβδου (χωρίς μετατόπιση των κόμβων της). Επιπλέον, κατά την εφαρμογή της Αρχής των Δυνατών Έργων θα πρέπει να συνυπολογιστεί και το έργο των αξονικών δυνάμεων των ράβδων. Έτσι, οι εξισώσεις.9 και. παίρνουν την παρακάτω μορφή: Κ + Κ j + ( kl lk ) ψ kl N Δ r r + P j j j ( kl lk ) ψ kl r r W = (.5) N Δ = (.6) Παρατήρηση : Η αρνητική προσήμανση του δυνατού έργου των αξονικών δυνάμεων οφείλεται στο γεγονός ότι ομόσημες αξονικές δυνάμεις και μεταβολές μήκους έχουν αντίθετη φορά. Αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό με τη βοήθεια του σχήματος.. Η ράβδος ΒC αποσπάται από τον υπόλοιπο φορέα με μία κλειστή διαχωριστική τομή. Στις θέσεις της αποκοπής προσάγονται οι αξονικές δυνάμεις με τη συμβατικά θετική τους φορά. Αν επιβληθεί για παράδειγμα μια μοναδιαία στροφή χορδής του στοιχείου AC ο κόμβος C θα μετακινηθεί προς τα αριστερά κατά. Η μετακίνηση αυτή μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες, κάθετα και παράλληλα στον άξονα της ράβδου. Η κάθετη συνιστώσα δεν επηρεάζει την ένταση της ράβδου, ενώ η παράλληλη ισούται με τη μεταβολή του μήκους της Δ r. Είναι προφανές ότι η

Δ r είναι θετική αφού οδηγεί σε επιμήκυνση της ράβδου. Η φορά της όμως είναι αντίθετη με το επικόμβιο σκέλος της (θετικής) αξονικής δύναμης που ασκείται στον κόμβο C, συνεπώς το δυνατό έργο που παράγεται είναι αρνητικό. Επισημαίνεται ότι τα επιρράβδια σκέλη των αξονικών δυνάμεων, καθώς και το επικόμβιο σκέλος που ασκείται στον κόμβο Β, δεν παράγουν έργο, αφού τα σημεία εφαρμογής τους παραμένουν αμετατόπιστα. Σχήμα. Αξονική δύναμη και μεταβολή μήκους ράβδου.9. Ελαστικές στηρίξεις Πολλές φορές το υπόβαθρο (έδαφος) στο οποίο στηρίζονται οι δομικοί φορείς δεν είναι ακλόνητο, αλλά ενδόσιμο, δηλαδή υπό την επίδραση των φορτίων παρουσιάζει υποχωρήσεις. Έτσι, οι κόμβοι που είναι σε επαφή με το υπόβαθρο μπορεί να παρουσιάζουν μετακινήσεις (μετατοπίσεις ή/και στροφές). Η κατάσταση αυτή προσομοιώνεται με την εισαγωγή στους εν λόγω κόμβους κατάλληλων γραμμικών ή στροφικών ελατηρίων. Κάθε ελατήριο χαρακτηρίζεται από μια σταθερά (C F για τα γραμμικά, C Μ για τα στροφικά) η οποία ισούται με την αντίδραση του ελατηρίου (δύναμη για τα γραμμικά, ροπή για τα στροφικά) λόγω μοναδιαίας μετακίνησης (μετατόπισης για τα γραμμικά, στροφής για τα στροφικά) του κόμβου στον οποίο είναι τοποθετημένο το ελατήριο. Προφανώς, οι μονάδες μέτρησης της σταθεράς είναι kn/m και knm/rad για τα γραμμικά και στροφικά ελατήρια αντίστοιχα. Τα ελατήρια επηρεάζουν τη στιβαρότητα του φορέα, καθώς αντιστέκονται στις μετακινήσεις των κόμβων του. Πρακτικά, το γεγονός αυτό υπεισέρχεται κατά τη διαδικασία επίλυσης φορέων με τη μέθοδο μετακινήσεων, στο στάδιο του

υπολογισμού των διαγώνιων όρων του μητρώου στιβαρότητας K. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση.6 γίνεται: όπου Κ + F C ( kl lk ) ψ kl r C u, F C C C φ C N Δ (F u ) ( φ ) = (.7) r C C οι δυνάμεις και οι ροπές τυχόν γραμμικών ή στροφικών ελατηρίων αντίστοιχα που αντιστέκονται στη μετακίνηση ξ και οι αντίστοιχες μετακινήσεις των ελατηρίων (μετατοπίσεις ή στροφές) λόγω ξ =. C C u C, Παρατήρηση : Το δυνατό έργο των ελατηρίων είναι πάντα αρνητικό, καθώς οι δυνάμεις (ή ροπές) τους έχουν πάντα αντίθετη φορά από τις μετακινήσεις τους. Παρατήρηση : Τα ελατήρια δεν υπεισέρχονται στον υπολογισμό των υπόλοιπων συντελεστών στιβαρότητας και των συντελεστών φόρτισης, καθώς στις περιπτώσεις αυτές η δύναμη (ή ροπή) και η μετακίνηση κάθε ελατηρίου προέρχονται από διαφορετική φορτιστική κατάσταση και πάντα τουλάχιστον μία εκ των δύο είναι μηδενική. φ C.9. Η ένταση από τους καταναγκασμούς Στο πλαίσιο της μεθόδου μετακινήσεων, οι καταναγκασμοί μπορούν να διακριθούν σε δύο βασικές κατηγορίες. Στην πρώτη υπάγονται όσοι καταναγκασμοί προκαλούν ένταση μόνο στα δομικά στοιχεία στα οποία επιβάλλονται (εννοείται στη φορτιστική κατάσταση ). Για παράδειγμα σ αυτή την κατηγορία ανήκει η διαφορά θερμοκρασίας Δt μεταξύ των δύο ακραίων ινών ενός δομικού στοιχείου και η επιβολή καταναγκασμένων στροφών κόμβων, οι οποίες αντιμετωπίζονται κατά τα γνωστά με τη βοήθεια των πινάκων. έως.. Μια ειδική περίπτωση της πρώτης κατηγορίας καταναγκασμών είναι η ομοιόμορφη μεταβολή θερμοκρασίας t μιας ράβδου πεπερασμένης δυστένειας. Λόγω της μεταβολής t η ράβδος τείνει να υποστεί μια μεταβολή μήκους από την παρακάτω σχέση: r Δ r που δίνεται Δ = α t t (.8) όπου α t ο συντελεστής θερμικής διαστολής του υλικού της ράβδου. Ωστόσο, λόγω της παγιότητας όλων των κόμβων του Γεωμετρικού Κυρίου Συστήματος, η μεταβολή μήκους δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Έτσι, αναπτύσσεται μια αξονική δύναμη που προκαλεί μεταβολή μήκους ίση με r r Δ (ουσιαστικά «εξουδετερώνει» την Δ ). Η r 4