ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ. ΜΠΑΓΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΤΥΠΩΝ ΜΕ ΝΕΕΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ. ιδακτορική διατριβή ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 7

Αφιερώνεται στους γονείς µου ηµήτριο και Ευαγγελία και στον αδελφό µου Τρύφων

Βιογραφικό Σηµείωµα Ο κ. Νικόλαος.. Μπαγκής γεννήθηκε στις 5//974 στην Έδεσσα του Νοµού Πέλλας. Φοίτησε στο 3 Γυµνάσιο και έπειτα στο Γενικό Λύκειο Έδεσσας. Κατά την διάρκεια των σπουδών του στο Γενικό Λύκειο βραβεύθηκε µε έπαινο για τις επιδόσεις του στο Πανελλήνιο διαγωνισµό της Μαθηµατικής Εταιρείας. Εισήχθη, έπειτα από Πανελλήνιες Εξετάσεις στο Γεωλογικό Τµήµα του Α.Π.Θ. Τον επόµενο χρόνο ξανάδωσε εξετάσεις και εισήχθη στο Μαθηµατικό τµήµα του Α.Π.Θ. οπού πήρε την κατεύθυνση των εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και απεφοίτησε µε γενικό βαθµό 6,6. Εκπόνησε διδακτορική διατριβή στο τµήµα Υπολογιστών του Α.Π.Θ. υπό την επίβλεψη του Καθηγητή Κωνσταντίνου Καρανίκα. Κατά την διάρκεια των σπουδών έλαβε µέρος σε Πανελλήνιο διαγωνισµό για τα Μαθηµατικά, µέσω Iteret όπου πήρε την πρώτη θέση. Είναι κάτοχος του διπλωµατών Bsic και Stdrd certificte i Eglish, του οργανισµού Plso. 3

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στον Τµήµα Υπολογιστών του Α.Π.Θ., υπό την επίβλεψη της Τριµελούς Συµβουλευτικής Επιτροπής αποτελούµενης από τους κυρίους Καθηγητές Κ. Καρανίκα, Ι. Αντωνίου και τον Επίκουρο Καθηγητή Ε. Αγγελή, τους οποίους ευχαριστώ θερµά για την πρόθυµη συµµετοχή τους σε αυτήν την επιτροπή. Ευχαριστώ βαθύτατα τον επιβλέποντα Καθηγητή Κωνσταντίνο Καρανίκα, ο οποίος µε την επιστηµονική καθοδήγηση, την υποµονή, το αδιάκοπο ενδιαφέρον και την ηθική υποστήριξη σε όλη τη διάρκεια των σπουδών µου, συνέβαλε τα µέγιστα στην εκπόνηση αυτής της διατριβής. Ευχαριστώ επίσης τον Καθηγητή Α. Μελά και τον κ. Επίκουρο Καθηγητή Θ. Σταυρόπουλο για τις πολύτιµες υποδείξεις τους επάνω στην παρούσα διατριβή. Ευχαριστώ τον Λέκτορα Ν. Ατρέα για την συνεχή εποικοδοµητική συνεργασία και καθοδήγηση καθόλη την περίοδο της σπουδής µου. Ευχαριστώ θερµά τους γονείς µου ηµήτριο και Ευαγγελία και τον αδελφό µου Τρύφων για την ηθική συµπαράσταση τους καθ` όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής αυτής. Τέλος ευχαριστώ όλους τους υποψήφιους διδάκτορες, της ερευνητικής οµάδας του Καθηγητή Κωνσταντίνου Καρανίκα. Θεσσαλονίκη 3/6/7 Νικόλαος Μπαγκής. 4

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. Περίληψη. -3 Κεφάλαιο. 4-3 Εισαγωγικές έννοιες. Κεφάλαιο. 4-7 ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς και Ειδικές αναλυτικές συναρτήσεις. Κεφάλαιο. 8-37 Νέα ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα και µια ειγµατοληπτική εφαρµογή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Κεφάλαιο 3. 38-56 Εφαρµογές των Κεφαλαίων και. Κεφάλαιο 4. 57-65 Σφάλµατα διαταραχής και αποκοπής σε ειγµατοληπτικές Σειρές. Κεφάλαιο 5. 66-74 Η συνάρτηση ζ του Rie ως µέσο για τον υπολογισµό σειρών συναρτήσεων µε τιµές πάνω στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Κεφάλαιο 6. 75-85 Παράδειγµα αριθµητικών προσεγγίσεων σε ολοκληρωτικούς τύπους. Βιβλιογραφία. 86-88 5

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσης διατριβής είναι η εύρεση νέων δειγµατοληπτικών Θεωρηµάτων και νέων υπολογιστικών εφαρµογών αυτών σε µια ποικιλία αναλογικών σηµάτων και υπολογιστικών προβληµάτων. Είναι πολύ γνωστή τον Εικοστό αιώνα η συνεισφορά του κλασσικού ειγµατοληπτικού Θεωρήµατος του Sho, που στηρίζεται στο µετασχηµατισµό Fourier, στην ανάπτυξη της τεχνολογίας, στα µαθηµατικά και τη θεωρία πληροφορίας (βλέπε [K]. To κύριο θεώρηµα του Sho για συναρτήσεις f πεπερασµένου φάσµατος στο [-σ, σ], δίνεται από τον τύπο: si σ ( x T f ( x = f ( T, T = π / σ, σ ( x T = δηλαδή η συνάρτηση f ανακατασκευάζεται από τα δείγµατα αυτής. Στα τέλη του προηγούµενου αιώνα η θεωρία του Sho γενικεύθηκε στα πλαίσια της κυµατιδιακής θεωρίας (wvelet, δίνοντας εκ νέου µια σηµαντική ώθηση τόσο στη θεωρία της δειγµατοληψίας όσο και στις τεχνολογικές εφαρµογές, βλέπε [D]. Η παρούσα διατριβή ασχολείται µε την ύπαρξη νέων δειγµατοληπτικών θεωρηµάτων, που βασίζονται στους κλασσικούς µετασχηµατισµούς όπως του Melli και σε ειδικές συναρτήσεις τύπου G, Zet, κλπ. και εφαρµόζει αυτά σε υπολογιστικά προβλήµατα ολοκληρωτικών τύπων, αριθµητικών σειρών, συναρτήσεων και σταθερών. Ασχολούµαστε επίσης µε την Αναλυτική Θεωρία αριθµών, όπου γενικεύουµε τον θεµελιώδη τύπο του Euler για την περίφηµη Ζήτα συνάρτηση του Rie σε µια µορφή που διευκολύνει κατά πολύ τους υπολογισµούς δειγµατοληπτικών αθροισµάτων πάνω στο σύνολο των πρώτων αριθµών. Υπενθυµίζουµε ότι η συνάρτηση Ζήτα του Rie είναι ζ ( s s =. = Στο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε ορισµένα καινούργια δειγµατοληπτικά Θεωρήµατα. Τα Θεωρήµατα αυτά βασίζονται στον ολοκληρωτικό µετασχηµατισµό του Melli 6

( Ψ ( f ( t( MΨ ( x+ it dt= π f ( i( x+,! όπου (ΜΨ είναι ο µετασχηµατισµός Melli µιας συνάρτησης Ψ και η f είναι µια ακεραία συνάρτηση. Εποµένως ο ανωτέρω ολοκληρωτικός τύπος εκφράζεται συναρτήσει των δειγµάτων της f. Στο Κεφάλαιο παρουσιάζουµε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε να ικανοποιούνται δυο νέα δειγµατοληπτικά θεωρήµατα σε ακέραιες συναρτήσεις. Στην παράγραφο δίνουµε επίσης µια δειγµατοληπτική έκφραση του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Στο Κεφάλαιο 3 δίνεται ένα πλήθος εφαρµογών των Κεφαλαίων και. Συγκεκριµένα: α Παρουσιάζουµε ακριβείς δειγµατοληπτικούς τύπους για τον υπολογισµό δύσκολων ολοκληρωµάτων και σειρών = β ίνεται ένα τυπολόγιο µε αριθµητικές εφαρµογές των δειγµατοληπτικών θεωρηµάτων των Κεφαλαίων και, για µια ποικιλία συναρτήσεων σειρών και ολοκληρωτικών τύπων. Στο Κεφάλαιο 4 αυτό υπολογίζουµε το σφάλµα διαταραχής (Jitter error σε δειγµατοληπτικές σειρές κυµατιδίων (wvelets, γενικεύοντας και επεκτείνοντας προηγού- µενους υπολογισµούς για συναρτήσεις πεπερασµένου φάσµατος (βλέπε [ΑΒΚ]. Στο Κεφάλαιο 5 επεκτείνουµε το θεµελιώδη τύπο του Euler, που συνδέει τη συνάρτηση Ζήτα µε γινόµενα πρώτων αριθµών: p, s s = > prie p ζ ( s. Αποδεικνύουµε ότι αν η συνάρτηση f είναι απειροδιαφορίσιµη στο δίσκο {z C : z α, α }, ισχύει ο τύπος: ( d log( ζ ( s f ( f = µ p Γ( d d, s p = d όπου Γ είναι η συνάρτηση Γάµµα και µ η συνάρτηση Moebius (βλέπε Κεφάλαιο. Αποδεικνύεται επίσης ότι όταν f ( x = log( x, ο ανωτέρω τύπος µας δίνει τον τύπο του Euler. Στο ίδιο Κεφάλαιο υπολογίζουµε το σφάλµα αποκοπής (tructio error του παραπάνω τύπου και δίνουµε µια εφαρµογή για τον ταχύτερο υπολογισµό της σταθεράς Euler-Totiet. Ο ακριβής υπολογισµός αυτής της σταθεράς είναι ένα παλαιό ανοιχτό πρόβληµα. Μόλις πριν από πέντε χρόνια έγινε ο υπολογισµός αυτής της σταθεράς µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. 7

Τέλος στο Κεφάλαιο 6 της διατριβής δίνουµε παραδείγµατα δειγµατοληπτικών τύπων, που µπορούν να εµπλουτίσουν ένα λογισµικό τύπου Mthetic ή Mtlb µε δυσεπίλυτα ολοκληρώµατα, σειρές και ολοκληρωτικούς τύπους. Για τους υπολογισµούς αυτούς δίνεται ο χρόνος υπολογισµού και συγκρίνεται µε τους υπολογιστικούς χρόνους των κλασσικών µεθόδων. Αποδεικνύεται ότι ο υπολογιστικός χρόνος µειώνεται κατά % έως και 9% σε πολλές περιπτώσεις (βλέπε Πίνακα στο τέλος του κεφαλαίου 6. Στο επόµενο Κεφάλαιο δίνονται διάφοροι ορισµοί, που χρειάζονται για την ανάπτυξη των Προτάσεων και Θεωρηµάτων της διατριβής αυτής. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγικές έννοιες. Κυµατιδιακού τύπου (wvelet-type ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα Έστω f µία πραγµατική συνάρτηση, ορίζουµε τον χώρο L ( R όλων των ολοκληρώσιµων κατά Lebesgue συναρτήσεων: L ( : ( p pr = f f t dt<+, p. Σηµειώνουµε ότι ο L ( R είναι χώρος µε εσωτερικό γινόµενο: =, f, g f ( t g( t dt όπου g είναι η συζυγής συνάρτηση της g. p Ο µετασχηµατισµός Fourier και ο αντίστροφος αυτού ορίζονται από το επόµενο: Θεώρηµα. (Βλέπε [Ch] σελ 3-34 Έστω f L ( R L ( R, ο µετασχηµατισµός Fourier f ^ της f ορίζεται ως εξής: 9

= itγ f ^ ( γ f ( t e dt και είναι συνάρτηση του L ( R. Ο παραπάνω µετασχηµατισµός αντιστρέφεται ως εξής: iγ t f ( t = f ^ ( γ e dγ π και είναι ισοµετρία, δηλαδή για συναρτήσεις f, g L ( R, ισχύει: f, g = f ^, g ^. π Με τον όρο δειγµατοληπτική θεωρία (Splig Theory αναφερόµαστε στην ανακατασκευή µιας συνάρτησης από µια ακολουθία δειγµάτων της. Η θεωρία αυτή συνδέεται άµεσα µε την Ανάλυση Fourier, τη Θεωρία Προσεγγίσεων, την Ανάλυση Σφαλµάτων και τη Θεωρία Ολοµόρφων Συναρτήσεων. Απαρχή της ειγµατο- ληπτικής Θεωρίας θεωρούνται οι εργασίες των Kotel iov (933 και Sho (949, οι οποίοι έδωσαν το υπόβαθρο της θεωρίας επικοινωνιών βάσει του ακόλουθου: Θεώρηµα. ( ειγµατοληπτικό θεώρηµα του Sho Έστω f συνάρτηση της οποίας ο µετασχηµατισµός Fourier είναι µηδέν έξω από το διάστηµα [ σ, σ ], όπου σ >. Η συνάρτηση αυτή µπορεί να ανακατασκευαστεί πλήρως από την ακολουθία των δειγµάτων της { f ( / σ } Z από τη σχέση: si π ( σ x f ( x = f, ( x R, ( Z σ π ( σ x όπου η σύγκλιση είναι απόλυτη και οµοιόµορφη στον R. Ιδιαίτερη ώθηση στη δειγµατοληπτική θεωρία έδωσε η θεωρία κυµατιδίων που βασίζεται στην Ανάλυση Πολλαπλής Ευκρίνειας (ΑΠΕ (Multiresolutio Alysis του L ( R.

Μια ΑΠΕ του L ( R περιλαµβάνει µια διατεταγµένη ακολουθία υποχώρων {V j V j+, j Z } του L ( R και µια συνάρτηση φ L ( R που καλείται ορθοκανονική κλιµακωτή συνάρτηση, έτσι ώστε: (α V = L ( R και j j jv j ={}. (β f V f (. V + για κάθε j Z. j j (γ το σύνολο { φ(., Z } αποτελεί µια ορθοκανονική βάση του V. Επιπλέον, εάν ισχύουν οι επόµενες συνθήκες πάνω στην γεννήτορα συνάρτηση φ: i i η σειρά ϕ( e γ συγκλίνει σηµειακά σε µία συνεχή π-περιοδική συνάρτηση, = ii η παραπάνω σειρά δεν έχει πραγµατικές ρίζες στο [-π, π], τότε έχουµε το ακόλουθο δειγµατοληπτικό ανάπτυγµα: j f V j, f ( x = f S( x j, Z όπου η S(x καλείται δειγµατοληπτική συνάρτηση του υποχώρου V και συνδέεται µε τη γεννήτορα συνάρτηση φ µε τον τύπο: όπου S ^ ( γ = ϕ ^ ( γ, γ R, i ϕ( e γ = S ^ είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της S.

. ιάφορες ειδικές συναρτήσεις Οι αριθµοί Beroulli B ορίζονται από την σχέση: 4 z B = z, z z < π. e! = B =, B = /, B = / 6, B = / 3 B =, = +,,3,.... Αξίζει να σηµειώσουµε ότι οι αριθµοί Beroulli είναι ρητοί. b Η Ζήτα συνάρτηση του Rie ορίζεται στο ηµιεπίπεδο Re(s > από τον τύπο: ζ ( s s =. Μια γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης ζ είναι ότι συνδέεται µε γινόµενα πρώτων αριθµών µέσω της σχέσης (Euler:, s s = > p p ζ ( s, ( όπου το p διατρέχει όλους τους θετικούς πρώτους. Η συνάρτηση ζ επεκτείνεται σε όλο το C, εκτός του s =, όπου έχει απλό πόλο, από τη σχέση: s = ( ζ ( s = s π si π s Γ( s ζ ( s. (3 O παραπάνω τύπος αποδείχθηκε από τον Rie και χρησιµοποιήθηκε στην περίφηµη απόδειξή του για την ασυµπτωτική συµπεριφορά της συνάρτησης που µετρά το πλήθος των πρώτων που είναι µικρότεροι ή ίσοι από κάποιον αριθµό x. (Όπου t x x e t dt Γ ( =

Ορισµένες γνωστές τιµές της συνάρτησης ζήτα που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια είναι οι εξής: ζ ( = / ζ ( = ζ ( = log( π ζ ( =, =,,3,... B (,,,3,... ζ = = ( π ( π ( B ζ ( = B ή καλύτερα ζ ( =, =,,3,... (! (! Για τους αριθµούς ζ (+, =,, 3,..., δεν έχει βρεθεί ακόµη ακριβής τύπος. Επίσης, είναι άγνωστο εάν οι αριθµοί αυτοί είναι άρρητοι ή όχι. Το 979, ο Apery απόδειξε ότι ο ζ(3 ή αλλιώς η σταθερά Apery, όπως ονοµάστηκε προς τιµήν του, είναι άρρητος. c Η συνάρτηση Γάµµα (G fuctio γνωστή και ως συνάρτηση G του Euler είναι η εξής: s x s x e dx Γ ( =. Ορίζεται σε όλο το C εκτός από τα σηµεία, -, -, -3,, όπου έχει απλούς πόλους. Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση / Γ( s είναι αναλυτική. Παραθέτουµε ορισµένες ιδιότητες της G συνάρτησης: Γ ( z+ = zγ( z, z C. Γ ( + =!, N. π 3 Γ( z Γ( z =, < Re( z <. si( π z 3

4 Εάν z <, τότε: ( z log ( γ z = ζ ( ( z Γ + = +, όπου γ είναι η σταθερά του Euler και µπορεί να υπολογισθεί από τον τύπο + + +... + = log( + γ + O, N, 3 (για περισσότερα βλέπε [Be] Κεφάλαιο 7. Γ ( x d Η συνάρτηση ψ ορίζεται από τη σχέση: ψ ( x = και ισχύει: Γ ( x ψ ( x + γ = = + x (i B Ψ ( x+ ~ l x+ x ( x. (ii = Το άθροισµα (ii ισχύει µε την έννοια ότι όσο αυξάνεται το, τότε πρέπει να δίνουµε και στο άθροισµα µια ανάλογη αύξηση στο x. e Οι Υπεργεωµετρικές συναρτήσεις F ορίζονται από τη σχέση: F,,..., (...( x ; x b, b,..., b =, = ( b...( b! όπου Γ ( + ( = = ( + ( +... ( +, µε =,,,, είναι το Γ( σύµβολο του Pochher µε ( =, ( =!, (βλέπε και [Be] Κεφ. Ι, II. Στο Κεφάλαιο 3, όπου βρίσκονται οι εφαρµογές, θα χρειαστούµε τη βοήθεια των υπεργεωµετρικών συναρτήσεων µε <. Παραθέτουµε ορισµένα παραδείγµατα αυτών: i x F ; x cosh( / = = x = (/! 4

( i x ; = = Γ ( 3/8 F x 3/ 4 4 / 4 x I x = (/ 4! ( x I ( x x F ; x 3/,3 = = x = = ( (3! = ( (3 x i ( x F ; x J ( x = = = (! Οι συναρτήσεις I και J είναι γνωστές ως Bessel συναρτήσεις. Πιο συγκεκριµένα, η συνάρτηση J ( x y xy x y x είναι η λύση της διαφορικής εξισώσεως: + + ( =, και ονοµάζεται συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξεως. Το ανάπτυγµα της J σε σειρά Tylor στο C µε κέντρο το µηδέν είναι: r + r ( ( x / J ( x =. r! Γ ( + r+ r= Η συνάρτηση I ( x = i J ( ix ονοµάζεται τροποποιηµένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και εάν ο είναι ακέραιος, τότε I ( x = I ( x (βλέπε [AS] ή [S]. f z t erf ( iz erf ( z : = e dt, erfi( z =, (βλέπε [ΑS] σελ. 95-33. π i 3. Ο µετασχηµατισµός Melli Ένας ευρέως διαδεδοµένος µετασχηµατισµός της Ανάλυσης είναι ο µετασχηµατισµός Melli. Εάν f : µατισµό Melli: R C, είναι ολοκληρώσιµη στο [, +, ορίζουµε τον µετασχη- + 5

Έστω M : f ( Mf ( s, s ( ( (, Mf s = f x x dx s C. ( s Af s : f ( x x dx = C <, τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Melli δίνεται από τον τύπο: όπου c ( A f Re. c+ i s f ( x = ( Mf ( s x ds πi, ( ci Παραδείγµατα Μετασχηµατισµών Melli (βλέπε [T] σελ. 9. t Ψ ( t =, ( MΨ ( s =Γ ( + s ζ ( + s t e t Ψ ( t = e, ( MΨ ( s = Γ ( s, όπου Re( s. 3, όπου Re( s > π Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s <. + t si( π s 4 5 Γ( s Γ( - s Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s < Re(α. Γ( s ( + t log( + t π Ψ ( t =, ( MΨ ( s =, όπου < Re(s <. t (- ssi( π s 4. Ο αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri Έστω η f ( x είναι συνάρτηση φορές παραγωγίσιµη µε συνεχείς παραγώγους στο διάστηµα (,Μ και έστω θ πραγµατικός αριθµός, έτσι ώστε < θ <, που εξαρτάται από την ( f ( x στο (, Μ. Ο αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri είναι ο εξής: 6

i M M ( ( f ( = f ( t dt+ ( f ( M + f ( + ( f ( M f ( + R ( f, M = = (! B όπου 48. B R f M f h h, (βλέπε [AS] σελ. 86, ή [Bru] σελ. 4- M ( (, = ( + θ (! = Μια εναλλακτική µορφή του παραπάνω τύπου, για f απόλυτα συνεχή στο [, Μ] είναι: M M f ( t t[ t] / dt= f ( ( f ( M + f ( f ( t dt ii ( = M 5. To Tuberi θεώρηµα του Abel Θεώρηµα: (βλ. και [Bru] σελ. 37 Εάν = l, τότε = li x = x = l. Το αντίστροφο ισχύει εάν li( =. 6. Οι αριθµοί Stirlig πρώτου και δεύτερου είδους Οι αριθµοί Stirlig πρώτου είδους µπορούν να ορισθούν ως οι αριθµοί ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα: S που ( ( (...(,, = x x x + = S x x R N. 7

b Οι αριθµοί Stirlig δευτέρου είδους ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα: S ορίζονται ως οι αριθµοί που ( ( x = S x( x...( x +. = Ένας κλειστός τύπος για τους S είναι ο εξής: ( S. ( = (! = Για περισσότερα πάνω στους αριθµούς Stirlig, βλέπε [AS] σελ. 8-85. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς και σε Ορισµένες Kλάσεις Ειδικών Συναρτήσεων. Γενικά. Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού αναφερόµαστε σε νέους ολοκληρωτικούς µετασχηµατισµούς τύπου: f ( t( MΨ ( x+ it dt, x R, ( oπου η f είναι αναλυτική. Η συνάρτηση Ψ είναι αναπτύξιµη σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (,, και MΨ είναι ο µετασχηµατισµός Melli της Ψ. Παίρνοντας ορισµένες τιµές της συνάρτησης f σε ένα διακριτό σύνολο, µπορούµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα ( από την σειρά ( Ψ ( π f ( i ( x+.! = Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού δίνουµε χωρίς µαθηµατική απόδειξη έναν νέο δειγµατοληπτικό τύπο ο οποίος ισχύει για ένα ευρύ φάσµα αναλυτικών συναρτήσεων στοr. Βλ. και: O Series Itegrls d Cotiued Frctios Hrdy Ruj Jourl, 6, pg 3-9.3-4. 9

. ειγµατοληψία σε Ολοκληρωτικούς Μετασχηµατισµούς Το Κυρίως Θεώρηµα. Έστω x> και έστω ότι οι f, Ψ είναι αναλυτικές στο C και ικανοποιούν την συνθήκη: Re( z f ( z( MΨ ( x+ iz C( + z λ e δ ( για κάθε z µε I( z όπου c, λ, δ > σταθερές, µε την επιπλέον συνθήκη: z = x+ + /, όπου Ν φυσικός αρκετά µεγάλος. Τότε το ολοκλήρωµα f ( t( MΨ ( x+ it dt συγκλίνει απόλυτα, η σειρά κατά Abel και: π r = ( Ψ ( f ( i ( x+ συγκλίνει! ( Ψ ( f ( t( MΨ ( x+ it dt= li f ( i ( x+ r (! = Επιπλέον αν ( Ψ ( C f ( i ( x+! + η σειρά στην ( συγκλίνει. Για να αποδείξουµε το κυρίως θεώρηµα θα µας χρειαστεί το παρακάτω Θεώρηµα. Έστω ότι η Ψ αναπτύσσεται σε δυναµοσειρά γύρω από το µε ακτίνα σύγκλισης r > και έστω x R τέτοιο ώστε ( u x u Ψ du<+. Τότε ο µετασχηµατισµός Melli της Ψ επεκτείνεται αναλυτικά σε µια µερόµορφη συνάρτηση στο ηµιεπίπεδο Re( z < x µε απλούς πόλους στα σηµεία z= (για Z µε >x, Απόδειξη. Έστω < < r. Τότε αν z Z : ( z ( u u Ψ ( z+ Ψ du = u du = ( z+ ( u du =! =! = = Ψ ( z+ Ψ (! z+

όπου η σειρά συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα αφού < < r (γεγονός που δικαιολογεί και την εναλλαγή αθροίσµατος και ολοκληρώµατος. Άρα η z h ( z = Ψ( u u du είναι µερόµορφη στο C µε πόλους µόνο στα σηµεία z = και απλό πόλο σε κάθε z= ίσο µε υπόλοιπο z li =. + z ( Ψ (! (καθώς Επίσης η h z = Ψ u u du ( ( z ορίζεται και συγκλίνει απόλυτα ορίζοντας µια αναλυτική συνάρτηση όταν Re( z < x καθώς: ( u u z Ψ du = Και για την τυπική παράγωγο Ψ z ( u u log( Re( z Re( z x x u u du u u du Ψ( Ψ ( <+ x u du Cz Ψ ( u u du<+, (αφού Re( z Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του Θεωρήµατος. < x. --Έστω ότι η Ψ είναι όπως στο θεώρηµα και x R είναι τέτοιο ώστε x Ψ ( u u du<+. Έστω η f είναι ολόµορφη στο άνω ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z. Θεωρούµε τότε την συνάρτηση: g( z = f ( z MΨ ( x+ iz, Τότε από το Θεώρηµα η g είναι µερόµορφη στο ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z (η συνέχεια του MΨ ( x+ iz έπεται από το Θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης µε απλούς πόλους στα z= i( + x, όπου Z,, + x> και ( Ψ ( Res( g, i( x+ = f ( i( x+ i! Έστω γ R το άνω ηµικύκλιο µε διάµετρο [ R, R] όπου R= R = x+ + /, φυσικός. Τότε άρα g( z dz πi = γ R i( x+ στο εσωτ του γ R ( Ψ ( f ( i( x+ i!

R R π ( iθ iθ iθ f ( t MΨ ( x+ it dt+ f R e MΨ ( x+ ir e ir e dθ = ( ( = π f ( i( x+! Ψ > x Άρα αν το ολοκλήρωµα f ( t MΨ ( x+ it dt υπάρχει και επιπλέον ισχύει η συνθήκη: iθ ( iθ li R f R e MΨ ( x+ ir e dθ = π ( 3 τότε συγκλίνει και η σειρά και ισχύει ο εξής τύπος: H συνθήκη ( Ψ ( f ( t MΨ ( x+ it dt= π f ( i( x+ (4! = > x > x δεν χρειάζεται στο άθροισµα αν x>. `Έχοντας υπόψη τα παραπάνω και το Θεώρηµα µπορούµε να προχωρήσουµε. Απόδειξη του Κυρίως Θεωρήµατος. Για την ( η ( συνεπάγεται την απόλυτη σύγκλιση του ολοκληρώµατος f ( t( MΨ ( x+ it e it dt, για κάθε >. Η δε ( ισχύει καθώς αν < δ θα έχουµε: για R όταν θ π. iθ iθ R f ( R e MΨ ( x+ ir e e C( + R e e iθ ir e λ+ δ R cosθ R si( θ C + R e, λ+ R ( Άρα για κάθε > ισχύει: ( it Ψ ( ( x+ f ( t( MΨ ( x+ it e dt= π f ( i ( x+ e, =! + παίρνοντας τώρα και εφαρµόζοντας το Θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης στο ολοκλήρωµα έχουµε την σχέση (.

Άρα η σχέση ( ισχύει αν Ψ αναλυτική σε µια περιοχή του, Ψ ( u u x du<+, f αναλυτική στο I( z > και συνεχής στο I( z και επιπλέον ισχύει η ( ή (3 για R= R = x+ + /. Ειδικότερα για τις εφαρµογές αρκεί να δοθούν ικανές συνθήκες για την f ώστε να ισχύει η (3 ή ( για συγκεκριµένη Ψ. --Έστω τώρα t ( ( t e t! Ψ = = οπότε M ( z ( z = MΨ ( t θα χρειαστούµε τα εξής τύπους: π i Γ( z Γ ( z =, Γ ( z+ = zγ ( z si( π z και Ψ =Γ. Για να εκτιµήσουµε το ii τον τύπο του Stirlig / ( z z Γ z = π e z h( z για Re( z όπου < c h( z c για Re( z. Με βάση αυτά έχουµε τα εξής: Λήµµα. Αν R και σ > φυσικός µε λ= σ + τότε για κάθε z µε I( z και z αρκετά µεγάλο έχουµε: I( z / e π Γ( iz z exp rg( z Re( z z, όταν rg( z [, π ] (όπου f ( z g( z σηµαίνει ότι υπάρχου σταθερές c, c > µε f ( z c c για το g( z αντίστοιχο σύνολο. Απόδειξη. 3

Αφού Γ( λ iz = ( + σ iz...( iz Γ( iz και από τον τύπο του Stirlig έχουµε: ( καθώς Re( λ iz = λ+ I( z λ+ y / ( y Γ( λiz e λiz exp ( ix iarg( λiz, ( z= x+ iy και για z αρκετά y λ iz µεγάλο, z c < < c + σ iz > z ότι το Arg είναι ο κλάδος στο [ π /, π / ]. παίρνουµε το ζητούµενο, δεδοµένου x Πράγµατι αν φ = Arg( λ iz = rct και rct x θ =, τότε: λ+ y y x / y x /( λ+ y λ x λ φ, θ (, π / και t( φ θ = = x x λ y+ z z + y λ+ y π άρα το x θ φ είναι φραγµένο για z µεγάλο στο I( z. Άλλα θ = rg( z όπου rg z [, π ] για I( z. Το ποσό µεγάλο πρέπει να είναι το z εξαρτάται από το λ αλλά στην ασυµπτωτική σχέση το λ δεν εµφανίζεται (µόνο στις σταθερές του ~ εµφανίζεται. Πόρισµα. Αν α, β R, τότε υπάρχει M = M ( α, β > τέτοιο ώστε: για κάθε z µε I( z και z > M. Γ( iz Γ( β iz z β Λήµµα. Έστω R και R= + + / µε φυσικό, R αρκετά µεγάλο. Τότε για κάθε θ [, π ] ισχύει: si / ( e R i e θ exp θ π rg( cos(. Γ + ir R π z R θ R 4

Απόδειξη. iθ π Έχουµε Γ ( + ir e = iθ iθ si( π ( + ir e Γ( ir e, αλλά τα R= + + / οπότε έχουµε i R cos π + i θ e π θ, Ν φυσικός µεγάλος, (βλ. και [C] σελ. 47. si( ( Re Άρα από το Λήµµα έχουµε το ζητούµενο. Πόρισµα. Αν, t R και t αρκετά µεγάλο τότε: / π t Γ ( ± it t exp. Με βάση τα παραπάνω έχουµε το εξής: Θεώρηµα. Έστω f αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο I( z > και συνεχής στο I( z και τέτοια ώστε: I z z f ( z C( + z ρ e e στο I( z όπου b π /. Τότε για x > : b Re( z, ( f ( t Γ ( x+ it dt= li f ( i( x+ r! π r = Απόδειξη. Έπεται άµεσα από το Κυρίως Θεώρηµα και το Λήµµα. Πρόταση. Έστω f αναλυτική στο άνω ηµιεπίπεδο I(z > και συνεχής στο I( z και τέτοια ώστε υπάρχουν C, και b< π ώστε: b Re( z f ( z C( + z e, για κάθε z µε I( z. (α 5

Τότε η σειρά ( f ( i( + / είναι Abel αθροίσιµη και ισχύει = f ( t dt= li ( f ( i( / r + (β cosh( πt r = C Ειδικότερα αν f ( i( + /, =,,, για κάποιο C > τότε η σειρά + συγκλίνει και f ( t dt= ( f ( i( + / (γ cosh( πt = Απόδειξη. Έστω α > Θεωρούµε την συνάρτηση: iz g( z = e f ( z cosh( π z H g είναι µερόµοφη στο I(z > και έχει απλούς πόλους στα z = i (+/ µε: ( + / ( Res( g; i( + / = e f ( i( + /. Άρα αν > φυσικός, R = και γ R πi είναι το άνω ηµικύκλιο διαµέτρου [-R, R] θα έχουµε: ( ( + / g( z dz e f ( i( / π i = + (δ πi Αφού για R = φυσικός έχουµε γ R = cosh( e i R cos π R θ ce π θ, (βλ. και [C] σελ. 47 άσκηση 4 όταν c > σταθερά έχουµε από την ( για < π b π iθ ire iθ e iθ f ( Re ir e dθ iθ cosh( π R e π ( + R R e dθ π ( bπ R cosθ R siθ ( + R Re e dθ + καθώς R (R = φυσικός. Από την ( έχουµε Άρα παίρνουµε R f ( t dt< και cosh( πt = στην (δ και έχουµε: e f ( i( + / <+. = it e ( + / f ( t dt= ( f ( i( + / e (ε cosh( πt = 6

+ Για κάθε α >. Θέτοντας τώρα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης στην (ε προκύπτει η σχέση (γ. Πρόταση. Αν η f είναι όπως στην Θεώρηµα τότε η σειρά αθροίσιµη και ισχύει ( = li ( ( sih( πt r = ( f ( i είναι Abel = t f t dt f i r (ζ C Αν επιπλέον f ( i, =,, τότε η σειρά συγκλίνει και το άθροισµα της ισούται µε το ολοκλήρωµα στην (ζ. Απόδειξη. Παρόµοια µε αυτή της Πρότασης Πρόταση 3. Έστω f αναλυτική στο µοναδιαίο δίσκο D και συνεχής στο D µε f ( =, τότε Απόδειξη. i f ( t dt= ( f ( e π ( + π / + t = Η σειρά συγκλίνει απόλυτα αφού f ( z C z, για z / και ( i π f e w C άρα i w από το Πρόταση για την f ( e π ορισµένη στο ηµιεπίπεδο I( w παίρνουµε: πu ( / e = t π + iπ u ( f ( e = / f ( e = cosh( f ( t = = πu i i dt f ( t dt t+ t πt π + t 7

. ειγµατοληψία σε Ειδικές Αναλυτικές συναρτήσεις. Στην παράγραφο αυτή θα αναπτύξουµε σε σειρές µια ορισµένη κλάση αναλυτικών συναρτήσεων βάση των δειγµάτων αυτής σε ένα διακριτό σύνολο. Η ανάπτυξη στηρίζεται στην επόµενη Παρατήρηση. Έστω f είναι αναλυτική στο R, συµβολίζουµε ( f = ( f (. = Αν < ( f <, τότε = ( x f ( x = ( f,! = όπου Γ ( x+ ( x = = x( x+ ( x+... ( x+ Γ( x είναι το σύµβολο Pochher. ίνουµε την µέθοδο του πως καταλήξαµε στην παρακάτω Παρατήρηση: Για τη συνάρτηση f ισχύει: f ( x f ( ( = x. =! Χρησιµοποιώντας τους αριθµούς Stirlig δευτέρου είδους Ένας κλειστός τύπος για τα ( f ( f ( x = S x( x...( x =! + =. S είναι: S (βλ. Κεφ., έχουµε: 8

(βλ. Κεφάλαιο, 6. S = (! = ( Χρησιµοποιούµε την ( και έχουµε: f ( x = ( f (!! = = = f (! ( = = = = f (!!! ( = = = = = ( = = ( ( ( ( x ( f (!!. ( x x( x...( x + ( x Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας µε!, έχουµε τον ζητούµενο τύπο. Συνδυάζοντας το Θεώρηµα της Παραγράφου και την Παρατήρηση αυτής της Παραγράφου έχουµε τις ακόλουθες Προτάσεις: Πόρισµα από Παρατήρηση. Έστω οι f, g είναι ακέραιες συναρτήσεις τότε: l ( ( f ( f ( g( = g( + l!! l!, = = l= όπου το ( f έχει οριστεί στο Θεώρηµα αυτής της παραγράφου. Απόδειξη. Ισχύει ( f f ( x = ( x.! = 9

Αναπτύσσουµε το σύµβολο του Pochher στην µορφή των Γάµα συναρτήσεων: άρα συνεπώς ( f Γ( x+ f ( x =! Γ( x = ( f f ( x Γ( x = Γ( x+! = ( f f ( ix Γ ( ix = Γ ( ix+.! = Πολλαπλασιάζοντας και τα δυο µέλη µε g(-xi, παίρνουµε: s ( f g( xi f ( xi Γ ( xi = Γ ( xi+ s g( xi. (α s! s= Ολοκληρώνοντας τη σχέση (α σε όλη την πραγµατική ευθεία και χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα της Παραγράφου παίρνουµε το αποτέλεσµα. Πόρισµα από Παρατήρηση. Έστω f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από µηδέν µε ακτίνα σύγκλισης σε όλο το R, τότε εάν, b R, < b, ισχύει: b f ( t dt= ( f b + + ( ( S. =! = + Απόδειξη. Έστω, b R, < b τότε: b f ( t dt= b ( f ( x dx!. (β = Για τους S που είναι οι αριθµοί Stirlig πρώτου είδους, (βλ. Κεφάλαιο ισχύει: ( ( x = ( x( x...( x + = ( S x = ( (γ 3

Παίρνοντας υπόψη τις (β,(γ εύκολα έχουµε την απόδειξη. Σηµειώσεις στο Κεφάλαιο : i Ένα πλεονέκτηµα των Πορισµάτων, της Παραγράφου είναι ότι µας δίνουν µια επαλήθευση της Παρατήρησης. ii Οι αριθµητικές εφαρµογές αυτού του Κεφαλαίου βρίσκονται στο Κεφάλαια 3 και 6. 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Νέα ειγµατοληπτικά Θεωρήµατα και µια ειγµατοληπτική εφαρµογή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri. Γενικά Στην παράγραφο του Κεφαλαίου αυτού παρουσιάσουµε δυο νέους δειγµατοληπτικούς τύπους χρησιµοποιώντας θεωρήµατα της µιγαδικής ανάλυσης. Στη παράγραφο δίνουµε µια άλλη µορφή του αθροιστικού τύπου των Euler- Mcluri και αποδεικνύουµε νέες δειγµατοληπτικές προτάσεις. Τα αποτελέσµατα αυτά έχουν εκδοθεί στο περιοδικό Jourl of Splig Theory i Sigl d Ige Processig.Vol 5, No., (6, pp 89-87. 3

. Νέα δειγµατοληπτικά θεωρήµατα Θεώρηµα Έστω f είναι µία ακεραία συνάρτηση µε f ( i Τότε ισχύει για x R Z <+. sih( π x f ( x = ( π x + ix + f ( i, ( = αν και µόνο αν η f ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: (α Υπάρχει C > µε f ( z Re( z Ce π για κάθε z C π x (β li e x f ( x =. x ± x R Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η (. Τότε θα έχουµε για κάθε z C µε z i ( Re( z > ότι Z και + iz z ( (Απόδειξη: γράφεται ισοδύναµα: 4 ( z z I( z + z και το τριώνυµο 4 4 (I + = ( Re < ως προς έχει διακρίνουσα z ( z z z ( z Άρα: Z + iz + ( f ( i < z f ( i Z 33

Από όπου προκύπτει τα (α. Το (β έπεται από το θεώρηµα κυριαρχούµενης σύγκλισης αφού li = x ± + ix x R για κάθε Z και x, ix < R + Z. Αντιστρόφως έστω ότι ισχύουν τα (α, (β Θεωρούµε την µερόµορφη συνάρτηση: π z g( z = f ( z sih( π z Η g έχει πόλους στα z= i, Z µε: Res( g; i = ( if ( i. Έστω: ɶ ( ( + g z = f ( i Z + iz H gɶ είναι µερόµορφη µε πόλους στα i, Z και Res( gɶ ; i = Res( g; i αφού Z f ( i <+. Άρα η h( z = g( z ɶ g( z είναι ακέραια και αφού όπως πριν li gɶ ( x =, λόγω του (β έχουµε: x ± x R li h( x =. ( x ± x R Επίσης έστω > φυσικός και z C µε z = + /. Τότε + iz 4 z, για κάθε Z ( (Απόδειξη: Αφού + iz z = + / για κάθε έχουµε: 4 z + iz αν z ενώ αν > z τότε: + iz z / άρα: 4 + iz < Άρα: z αφού >. h( z g( z + gɶ ( z C z, (3 για κάποιο C > και κάθε z C µε z = + /, όπου φυσικός µε >. (Αρκεί να χρησιµοποιήσουµε την (α και την παρατήρηση ότι αν z = + / τότε Re( z π z ce π για κάποια σταθερά c >. sih( Πράγµατι αν z = x + i y 34

sih( π z = sih ( π x + si ( π y x x / 6 x e π ( e π π + si π y ( e e π αν x / ενώ αν x < / τότε + / y /, άρα π > si y / 4. Άρα έχουµε h(z = z + b όπου, b C. Αλλά η ( τώρα δίνει α = b = άρα h( z z C από όπου προκύπτει η (. Θεώρηµα. Έστω f είναι µία ακεραία συνάρτηση µε f ( i( + / <+. Τότε ισχύει για x R Z cosh( π x f ( x = ( f ( i( + /, ( π + + ix Z αν και µόνο αν η f ικανοποιεί τις ιδιότητες: (α Υπάρχει C > µε f ( z Re( z Ce π για κάθε z C π x (β li e f ( x =. x ± x R Απόδειξη. Οµοίως µε το θεώρηµα. 35

. O Αθροιστικός τύπος των Euler-Mcluri. Παρακάτω δίνουµε µια ειδική µορφή του αθροιστικού τύπου των Euler-Mcluri (βλέπε Κεφ., παρ. 4. Στον τύπο Euler-Mcluri, αντικαθιστούµε τους αριθµούς ( ( Beroulli Β, τις παραγώγους f ( M, f ( και το σφάλµα R ( f, M µε ένα ολοκλήρωµα. ίνουµε επίσης και ορισµένους νέους δειγµατοληπτικούς τύπους. Θεώρηµα. Εάν f είναι απόλυτα συνεχής και άρτια στο R και f L ( R τότε M = M f ( = f ( t dt+ ( f ( M + f ( + π γ ( γ cot f c ^ ( γ si( Mγ dγ, γ όπου M =,,3. Πρόταση. Έστω ότι η συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (-,,. Επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε υπάρχει σταθερά c η οποία εξαρτάται από την f και ισχύει: όπου: f = f dx+ c+ O x, = ( s f ( c= f ( + f ( γ + ζ ( s s s! s. Πρόταση. 36

Έστω f είναι ακεραία συνάρτηση και η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε: όπου x x f ( f + f f ( x = π i πi = = (! (!, B είναι οι αριθµοί Beroulli. ( B Πρόταση 3. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι άρτια µε f(= και αναλυτική στο δίσκο D(; r, r> και x R µε x < r. Τότε: 4π π it it e f ( xe dt= f it exp( e = x πi. Για να προχωρήσουµε στις αποδείξεις των προτάσεων θα χρειαστούµε ορισµένα Λήµµατα. Λήµµα. Έστω f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν στο (-α, α, για. Εάν επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο : τότε έχουµε: A ζ ( s, s! ( s = f ( <+ s= f = f ( + f (l + f ( γ +Α+ O. = Απόδειξη. Αναπτύσσουµε την f σε σειρά Tylor γύρω από το µηδέν και έχουµε ( s ( s f ( s f ( f = = s! s! = = s= s= = s s ( s f ( f ( f ( H ζ ( s s! = + +, 37

Όπου Όµως: s ζ ( s =. = µ s s s = + µ = + µ ζ ( s = ζ ( s + < ζ ( s + t dt= ζ ( s + t dt ζ s+ ( (. = s s + Έτσι έχουµε ζ ( s ζ ( s = O, s >. s Από τα παραπάνω παίρνουµε την απόδειξη. Λήµµα. Έστω ότι η συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Tylor στο (,,. Εάν επίσης η σειρά Tylor της f συγκλίνει απόλυτα στο τότε και ισχύει: ( s f ( B= <+ s!( s s= f dx = f ( + f ( + f (l + B+ O,, =,,... x Απόδειξη. Έστω Έχουµε: = = f ( x x. / f ( z s f dx= f ( z d dz z sz dz x = z = z / / s= s ( s / s= / = z + z dz+ z dz s z = + + l + s s= s / 38

όπου s = + + l + + O s= s = f ( + f ( + f (l + B+ O, s ( s f ( =, s=,,,... s! Απόδειξη της Πρότασης. (Εύκολη από τα Λήµµατα,. Απόδειξη της πρότασης. Από το Λήµµα, έχουµε: Αλλά = ( x x f ( f + f f ( = ζ ( x. = (! (π ( ζ ( = B (βλέπε [AS] σελ 84-87 ή Κεφ,. (! Παίρνοντας υπόψη τις παραπάνω σχέσεις η απόδειξη ολοκληρώνεται εύκολα. Απόδειξη της Πρότασης 3. Έστω η συνάρτηση: f ( x / z g( z = z e H g είναι µερόµορφη στο z µε πόλους στα z= πi, Z ( και: x Res( g, πi = f. π i 39

Έστω R= π ( + / όπου φυσικός. Τότε από το Θεώρηµα του Cuchy (τύπος ολοκληρωτικών υπολοίπων παίρνουµε: x dz x dz f + f = z π i z e π i z e f z z= z= R x = π πi < i< R R < π f x, αφού η f είναι άρτια. π i Αφού f άρτια µε f(= υπάρχει c > µε: f ( w x f ( x / z C αν R> x / r και επίσης η σειρά R c w για κάθε r w άρα: x f = πi συγκλίνει απόλυτα. z Παρατηρώντας ότι e c > για κάποια σταθερά c και κάθε z µε z = π ( + / = R ( c ανεξάρτητη του παίρνουµε R στην παραπάνω σχέση και έχουµε το ζητούµενο. Απόδειξη του Θεωρήµατος. Για κάθε f απόλυτα συνεχή στο [, Μ] ισχύει: M M f ( t( t[ t] / dt= f ( ( f ( M + f ( f ( t dt = ξ Άρα αν g( t = ( t[ t] / X [, M ]( t τότε (για M M itξ itξ d e g ^ ( ξ = ( t[ t] / e dt = ( t[ t] / dt dt iξ M M ξ ( imξ itξ = e + e e dt iξ = imξ imξ e imξ e = + ( e iξ iξ e iξ imξ e = (cot( ξ / / ξ ξ M 4