Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Μορφές Αντισταθµιστών και Κλασικές Μέθοδοι Σχεδίασης

ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Μορφές Αντισταθµιστών και Κλασικές Μέθοδοι Σχεδίασης Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.9 Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.-9.4 DiStefano [995]: Chapter 6: Section 6.3, Chapter : Sections.4 -.6 Chapter 6: Sections 6. - 6.5 Tewari [5]: Chapters 5: Section 5.

Εισαγωγή Το πρόβληµα της σχεδίασης Σ.Α.Ε διατυπώνεται ως εξής: ίνεται το υπό έλεγχο σύστηµα Σ και η επιθυµητή συµπεριφορά του (έξοδος) y(t) η οποία καθορίζεται µε ένα σύνολο προδιαγραφών. Ζητείται να βρεθεί κατάλληλος αντισταθµιστής ή ελεγκτής Α ώστε το σύνθετο σύστηµα (δηλαδή ο συνδυασµός του αρχικού συστήµατος και του αντισταθµιστή ή ελεγκτή) να έχει ως έξοδο την προδιαγραφείσα έξοδο y(t). Παρόλο που είναι δυνατό να σχεδιαστούν ανοικτά συστήµατα αυτοµάτου ελέγχου το συνηθέστερο είναι η σχεδίαση κλειστών συστηµάτων. Σε αυτή την περίπτωση ο αντισταθµιστής µπορεί να ευρίσκεται στον ευθύ κλάδο (cascade compensator) ή στον κλάδο ανατροφοδότησης (feedback compensator) Υπάρχουν δυο διαφορετικές φιλοσοφίες σχεδίασης Σχεδίαση µε κλασικές µεθόδους (Bode, Nyquist, Nichols, Γ.Τ.Ρ), οι οποίες είναι κατά κύριο λόγο γραφικές και εµπειρικές Σχεδίαση µε σύγχρονες µεθόδους, οι οποίες στηρίζονται στην περιγραφή µε εξισώσεις κατάστασης (µετατόπιση ιδιοτιµών, αποσύζευξη εισόδων-εξόδοων) ιάταξη αντισταθµιστών Αντισταθµιστής στον ευθύ κλάδο: Σχεδίαση ανοικτού Σ.Α.Ε Αντισταθµιστής στον κλάδο ανατροφοδότησης:

Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε Μια από τις βασικότερες προδιαγραφές σχεδίασης που τίθενται είναι η µετατροπή ενός ασταθούς συστήµατος σε ευσταθές. Άλλες προδιαγραφές µπορούν να τεθούν εφόσον έχει εξασφαλιστεί η ευστάθεια του συστήµατος. Τέτοιες προδιαγραφές µπορούν να τεθούν στο πεδίο του χρόνου και αφορούν: Σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση (e µον (t)=διαφορά επιθυµητής εξόδου από πραγµατική έξοδο όταν το t-> ) Μέγιστη υπερύψωση (overshoot) Χρόνος ανύψωσης T r - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να φτάσει από το % στο 9% της τελικής της τιµής Συνήθεις προδιαγραφές στο πεδίο της συχνότητας είναι: Περιθώριο κέρδους G m (Gain Margin), είναι το πλάτος Η(ω) της απόκρισης συχνότητας όταν η φάση Α(ω) είναι ίση µε -8 ο (-π) Περιθώριο φάσης Φ PM (Phase Margin) Το εύρος ζώνης BW Η τιµή συντονισµού Μ p Η συχνότητα συντονισµού ω p Παράδειγµα προδιαγραφών σχεδίασης Σε πολλές περιπτώσεις οι προδιαγραφές σχεδίασης είναι αντικρουόµενες και αυτή είναι η δυσκολία σχεδίασης. Παράδειγµα: Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί αντισταθµιστής ώστε: Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας ω(t) = *t, t, να είναι µικρότερo από. m/sec. Το εύρος ζώνης του συστήµατος (συχνότητα -3 db) να είναι µεγαλύτερο από 3 rad/sec (ΒW 3 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι Φ PM =45 ο ±5 ο Όπως φαίνεται από το διάγραµµα Bode του τρέχοντος συστήµατος το εύρος ζώνης είναι περίπου rad/sec και το περιθώριο φάσης είναι 38 ο είναι. Επίσης δεν ικανοποιείται η προδιαγραφή για το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση δεδοµένου ότι Ω( s E( = = eµον ( t) = lim e( t) = lim se( = + G( F( + G( F( t s 3

Παράδειγµα προδιαγραφών σχεδίασης (II) Bode Diagram actual output 8 6 desired output 5-5 :.54 : -.64 - y(t) 4-5 -9-35 -8 :.54 : -4-5 -.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 t - time in secs -7 - - 3 Ελεγκτές PID Για διευκόλυνση της διαδικασίας σχεδίασης στις περισσότερες περιπτώσεις χρησιµοποιούνται ειδικές δοµές για τους αντισταθµιστές και αυτό που αναζητείται είναι η εύρεση των τιµών των παραµέτρων τους ώστε να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές σχεδίασης Οι ελεγκτές PID (Proportional Integrator Differentiator) έχουν τη µορφή: K I Gc ( = KP + + K s D s και το ζητούµενο είναι η εύρεση των παραµέτρων K P, K I, K D, µε βάση τις προδιαγραφές σχεδίασης. Σηµειώνεται ότι: Σε αρκετές περιπτώσεις οι προδιαγραφές µπορούν να ικανοποιηθούν χωρίς να χρειάζονται όλοι οι όροι του PID ελεγκτή (π.χ. Με χρήση µόνο του αναλογικού όρου, ή του αναλογικού όρου και του όρου διαφόρισης κοκ.) Σε περιπτώσεις που δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές µε χρήση όλων των όρων του PID ελεγκτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί και δεύτερος ελεγκτής σε σειρά µε τον πρώτο 4

Σχεδίαση Σ.Α.Ε µε Ελεγκτές PID Η σχεδίαση µε ελεγκτές PID εξετάζεται σε 4 στάδια: Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών µε χρήση µόνο του αναλογικού όρου G c( = K P Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών µε χρήση µόνο του αναλογικού όρου και του όρου διαφόρισης Gc ( = KP + KDs Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών µε χρήση µόνο του αναλογικού όρου και του όρου ολοκλήρωσης K I Gc ( = KP + s Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών µε χρήση όλων των όρων του ελεγκτή K I G c ( = KP + + KDs s Στη συνέχεια θα εξετάσουµε αναλυτικά τις τέσσερις προηγούµενες περιπτώσεις Σχεδίαση µε αναλογικό ελεγκτή Στη σχεδίαση µε αναλογικό ελεγκτή G c( = K P το µόνο που µπορούµε να ρυθµίσουµε είναι το κέρδος του κλειστού συστήµατος. Αυξάνοντας το K P µειώνουµε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση αλλά µειώνουµε την ευστάθεια του συστήµατος. Η µέθοδος του Γ.Τ.Ρ είναι ένας καλός τρόπος προσδιορισµού της κατάλληλης τιµής του K P ώστε να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές του συστήµατος εφόσον αυτό είναι εφικτό. Στο σχήµα φαίνεται µια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση αναλογικού ελεγκτή. Οι τιµές των στοιχείων R f, R f, R,R χρησιµοποιούνται για τον καθορισµό του K P Για αρνητικές τιµές του Κ P µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως έξοδος η απόκριση του πρώτου Τελεστικού Ενισχυτή U( R f R = ( R R f Ω = K P 5

Bode diagram - Kp = Σχεδίαση µε αναλογικό ελεγκτή (II) 5-5 - :.94 : -.4 : 3.5 : -8. -5-9 -35-8 -5 :.97 : -3-7 - - 3 : 3.48 Phas e (deg): -8 Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι αυξάνοντας K P µειώνουµε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση Από το διάγραµµα Bode βλέπουµε ότι για K P = έχουµε περιθώριο κέρδους Gm = 8. db και περιθώριο φάσης Φ PM = 57 o Για K P =5 (βλέπε διάγραµµα Bode της επόµενης διαφάνειας) έχουµε περιθώριο κέρδους G M = 4.8 db και περιθώριο φάσης Φ PM = o.εποµένως έχουµε µείωση της ευρωστίας του συστήµατος Magn itud e (db) 5-5 - -5-9 -35-8 -5 :.7 :.78 :.7 : -68 Bode diagram - Kp = 5 Σχεδίαση µε αναλογικό ελεγκτή (IIΙ) : 3.48 : -4.8 : 3.49 Phas e (deg): -8-7 - - 3 Παράδειγµα: Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί αναλογικός αντισταθµιστής ώστε: Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας ω(t) = t, t, να είναι µικρότερo από.5 m/sec. Το εύρος ζώνης του συστήµατος (συχνότητα -3 db) να είναι µεγαλύτερο από 3 rad/sec (ΒW 3 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι Φ PM =45 ο ±5 ο 6

Σχεδίαση µε αναλογικό ελεγκτή (IV) 5-5 - :.88 : -.93 Bode diagram - Kp = 4 :.37 :.953 Λύση: Το κλειστό σύστηµα είναι του σχήµατος είναι τάξης j=, άρα για είσοδο ω(t) = Vt =t το σφάλµα είναι: V eµον ( t) = = K P K P -5-9 -35-8 -5-7 :.38 : -6 - - 3 Άρα για e µον ( t) <.5 χρειάζεται K P =4. Για K P =4 το διάγραµµα Bode του συστήµατος µας δίνει περιθώριο φάσης Φ PM = 8 o και εύρος ζώνης.88 rad/sec. Αµφότερα δεν ικανοποιούν τις προδιαγραφές που έχουν τεθεί άρα ο αναλογικός ελεγκτής δεν µπορεί να µας δώσει λύση στο πρόβληµα σχεδίασης που έχει τεθεί Σχεδίαση µε ελεγκτή PD Στη σχεδίαση µε PD ελεγκτή η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή είναι KP G c ( = KP + KDs = KD ( + KD µπορούµε να ρυθµίσουµε το κέρδος του κλειστού συστήµατος αλλά και να προσθέσουµε ένα µηδενικό στη θέση s=-k P /K D. Η εισαγωγή µηδενικού κάνει το σύστηµα περισσότερο ευσταθές. Εντούτοις µε δεδοµένο ότι το µηδενικό δεν εισάγεται στο s= το κλειστό σύστηµα διατηρεί τον τύπο του Η αύξηση της παραµέτρου K D τείνει να µειώσει την υπερύψωση (overshoot) ενώ µε τη ρύθµιση του κέρδους K P µπορούµε να µειώσουµε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση Στο σχήµα φαίνεται µια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PD ελεγκτή. Οι τιµές των στοιχείων R f, R f, R,R χρησιµοποιούνται για τον καθορισµό του K P και οι τιµές των R f, R f, R,C για τον καθορισµό του Κ D. U( R f = s Ω( ) R R f R R f + R R f Cs = KP + KDs 7

Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (ΙΙ) 4 Step Response 3.5 Kp = 3, Kd = Kp = 4, Kd = Kp = 5, Kd = 3.5 Amplitude.5.5.5. 5.5 3 3.5 4 4.5 5 Time (sec) εδοµένης της αναλογικής παραµέτρου K P το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση δίνεται και πάλι από το διπλανό πίνακα. Από το διπλανό διάγραµµα προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή Κ P (µε σταθερό Κ D ) οδηγεί σε αύξηση της ταχύτητας απόκρισης αλλά ταυτόχρονα και της υπερύψωσης. 4 3.5 3 Step Response Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (ΙΙΙ) Kp =, Kd = Kp =, Kd = Kp =, Kd = 3 Από το διπλανό διάγραµµα προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή Κ D (µε σταθερό Κ P ) οδηγεί σε αύξηση της υπερύψωσης και σε ελαφρά µείωση του χρόνου αποκατάστασης.5 Amplitude.5.5 4 6 8 Time (sec) 8

Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (ΙV) 4 Bode diagram - Kp =, Kd= 6 Bode diagram - Kp =, Kd=3 - -4-6 :.38 : -.96 Mag nitud e (db) 4 - -4 : 4.4 : -.443-8 -6 - -45-8 -45-9 -35 :.37 : -83.4-9 -35 : 4.4 : -6-8 - 3-8 - - 3 Από τα παραπάνω διαγράµµατα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή Κ D (µε σταθερό Κ P ) οδηγεί σε µείωση της ευρωστίας του συστήµατος (περιθώριο φάσης) αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης (Κ D = =>BW.4, Φ PM =96.6 o, Κ D =4 =>BW 4.4, Φ PM =74 o ) Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (V) 4 Bode diagram - Kp = 3, Kd= 4 Bode diagram - Kp = 5, Kd= - :.3 : -.88 - :.94 : -.46-4 -4-6 -9-6 -9-35 :.3 Phas e (deg): -3-35 :.94 : -4-8 - -8 - Από τα παραπάνω διαγράµµατα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή Κ P (µε σταθερό Κ D ) οδηγεί σε µείωση της ευρωστίας του συστήµατος (περιθώριο φάσης) αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης και µείωση του σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση (Κ P =3 =>BW.3, Φ PM =57 o, Κ P =5 =>BW.94, Φ PM =39 o ) 9

Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (VΙ) Παράδειγµα: Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί ελεγκτής PD ώστε: Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας ω(t) = t, t, να είναι µικρότερo από.5 m/sec. Το εύρος ζώνης του συστήµατος (συχνότητα -3 db) να είναι µεγαλύτερο από 4 rad/sec (ΒW 4 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM =45 ο ±5 ο Λύση Το κλειστό σύστηµα και µετά την εισαγωγή του µηδενικού είναι τάξης j=, άρα για είσοδο ω(t) = Vt =t το σφάλµα είναι: V e µον ( t) = = K Άρα για χρειάζεται K P 4. P K 5 P e µον ( t) <. 4 Bode diagram - Kp = 4, Kd= Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (VΙΙ) 4 Bode diagram - Kp = 4, Kd= Mag nitud e (db) - -4 :.63 :.797 Mag nitud e (db) - -4 : 3.3 : -3.3-6 -9-6 -9-35 :.63 : -33-35 -8 - -8 - Για K P =4, K D = το διάγραµµα Bode του συστήµατος µας δίνει περιθώριο φάσης Φ PM = 47 o και εύρος ζώνης 3.3 rad/sec. Άρα για να πληρούνται οι προδιαγραφές χρειαζόµαστε αύξηση του εύρους ζώνης. Μπορούµε να το πετύχουµε αυτό αυξάνοντας είτε το Κ P είτε το Κ D.

Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (VΙIΙ) B ode diagram - Kp = 5, Kd=.5 4 3 4 Bode diagram - Kp = 5, Kd=.5 Magn itude (db) - - -3-4 -5 : 3.4 :.955 - -4 : 3.8 : -3-6 -9-6 -9-35 : 3.4 : -36-35 -8 - Frequ ency (rad/sec) -8 - Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (IX) Όπως ήδη αναφέρθηκε ο σχεδιασµός Σ.Α.Ε µε γραφικές µεθόδους βασίζεται σε ευριστικούς κανόνες και χρειάζεται αρκετές δοκιµές µε διάφορες παραµέτρους. Στη συνέχεια δίνουµε µια διαδικασία η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη σχεδίαση PD ελεγκτών:. Υπολογίζουµε το K P ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Κατασκευάζουµε το διάγραµµα Bode για το κλειστό σύστηµα (συνάρτηση G(F() στο οποίο έχει εφαρµοστεί η ενίσχυση K P ώστε(δηλαδή για τη συνάρτηση K P G(F() 3. Από το ανωτέρω διάγραµµα Bode υπολογίζουµε το περιθώριο φάσης Φ PM και τη συχνότητα ω στην οποία έχουµε κέρδος ίσο µε.. Αν θέλουµε να αυξήσουµε το Φ PM κατά > 45 ο και το εύρος ζώνης ταυτόχρονα επιλέγουµε KP K D > ω. Αν θέλουµε να αυξήσουµε το Φ PM κατά < 45 ο χωρίς σηµαντική αύξηση του εύρους ζώνης ταυτόχρονα επιλέγουµε KP K D < ω 3. Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουµε τα ζητούµενα αποτελέσµατα το Κ D δεν µπορεί να είναι πολύ µικρότερο ή πολύ µεγαλύτερο από το K P ω

Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (X) 5-5 - -5-9 -35-8 -5 Bode diagram - Kp = 4 :.4 : -.838 :.4 : -6-7 - - 3 Στο προηγούµενο παράδειγµα είχαµε βρει K P = 4 ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode της K P G(H( βρίσκουµε ω =.4 και την Φ PM =8 ο. Εποµένως χρειαζόµαστε µια αύξηση του Φ PM κατά 7 ο. Άρα πρέπει να επιλέξουµε. KP 4 KD < = =.67 ω.4 Επιλέγοντας K D =.5 έχουµε το ζητούµενο Φ PM =5 ο και ελαφρά αύξηση του εύρους ζώνης (βλέπε επόµενη διαφάνεια) Bode diagram - Kp = 4, Kd =.5 4 Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (XΙ) 4 Bode diagram - Kp = 4, Kd =.5 Mag nitud e (db) - :.73 :.3 Mag nitud e (db) - : 3.45 : -.97-4 -4-6 -9-6 -9-35 :.74 : -3-35 -8 - -8 - Για µεγαλύτερη αύξηση του εύρους ζώνης χρειάζεται να αυξήσουµε το K D το οποίο βέβαια αυξάνει και το περιθώριο φάσης αλλά και την υπερύψωση της χρονικής απόκρισης του συστήµατος (βλέπε επόµενη διαφάνεια).

4 - Bode diagram - Kp = 4, Kd =.65 Σχεδίαση µε ελεγκτή PD (XΙΙ) : 3.4 : -.765 3.5 3.5 Step Response Kp=4, Kd=.5 Kp=4. Kd=.35 Kp=4, Kd=.55-4 -6-9 Amplitude.5-35 : 3.4 : -3.5-8 -.5.5.5 3 3.5 Time (sec) Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ Στη σχεδίαση µε PΙ ελεγκτή η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή είναι KI s + KI KPs + KI KP G c ( = KP + = = KP s s s µπορούµε να ρυθµίσουµε το κέρδος του κλειστού συστήµατος, να προσθέσουµε ένα µηδενικό στη θέση s=-k Ι /K P και ένα πόλο στο s= Η εισαγωγή µηδενικού κάνει το σύστηµα περισσότερο ευσταθές. Mε δεδοµένο ότι εισάγεται ένας πόλος στο s= το κλειστό σύστηµα αυξάνει τον τύπο του κατά βελτιώνοντας σηµαντικά τις επιδόσεις του στα σφάλµατα µόνιµης κατάστασης αλλά µειώνοντας την ευρωστία του. Σε πολλές περιπτώσεις κλειστό σύστηµα καθίσταται ασταθές Στο σχήµα φαίνεται µια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PΙ ελεγκτή. Οι τιµές των στοιχείων R f, R f, R,R χρησιµοποιούνται για τον καθορισµό του K P και οι τιµές των R f, R,R, C για τον καθορισµό του Κ Ι. U( R f = s ( ) R R f R Ω R f K I + = KP + R R C s s 3

Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ (ΙΙ) 6 5 Step Response Kp=4, Ki= Kp=4, Ki=3 Kp=4, Ki=.5 4 Amplitude 3 - Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση ρυθµίζεται από την παράµετρο Κ Ι και δίνεται από τον παραπάνω πίνακα (σηµειώνεται ότι η εισαγωγή πόλου στο s= αυξάνει τον τύπο του συστήµατος). Από το διπλανό διάγραµµα προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή Κ Ι (µε σταθερό Κ P ) οδηγεί σε αύξηση της υπερύψωσης, του χρόνου αποκατάστασης και είναι δυνατό να οδηγεί σε αστάθεια. - 3 4 5 6 7 8 9 Time (sec) Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ (ΙΙΙ) 6 5 4 Step Response Kp=, Ki= Kp=3, Ki= Kp=5, Ki= Από το διπλανό διάγραµµα προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή Κ P (µε σταθερό Κ Ι ) οδηγεί σε αύξηση της υπερύψωσης, αύξηση της ταχύτητας απόκρισης και είναι δυνατό να οδηγήσει σε αστάθεια. 3 Amplitude - 3 4 5 6 7 8 9 Time (sec) 4

Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ (ΙV) Bode diagram - Kp = 5, Ki = 5 Bode diagram - Kp = 3, Ki = 5-5 :.73 : -.58 Magn itud e (db) 5-5 :.8 : -.83 - - -5-35 -5-35 -8-5 :.73 P hase (deg): -77-8 -5 :.8 : -73-7 - - 3-7 - - 3 Από τα παραπάνω διαγράµµατα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή Κ P (µε σταθερό Κ I ) οδηγεί σε µείωση της ευρωστίας του συστήµατος (περιθώριο φάσης) αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης (Κ P =3 =>BW.8, Φ PM =7 o, Κ P =5 =>BW.73, Φ PM =3 o ) Bode diagram - Kp = 3, Ki = Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ (V) 5 Bode diagram - Kp = 3, Ki = 5-5 :. : -.56 Magn itud e (db) 5-5 :.8 : -.83 - - -5-35 -5-35 -8-5 :. : -63-8 -5 :.8 : -73-7 - - -7 3 - - 3 Από τα παραπάνω διαγράµµατα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή Κ I (µε σταθερό Κ P ) οδηγεί σε µείωση της ευρωστίας του συστήµατος (περιθώριο φάσης) αλλά ταυτόχρονα µικρή αύξηση του εύρους ζώνης (Κ I = =>BW., Φ PM =7 o, Κ I = =>BW.8, Φ PM =7 o ) 5

Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ (VΙ) Παράδειγµα: Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί ελεγκτής PI ώστε: Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση επιτάχυνσης ω(t) =.5t, t, να είναι µικρότερo από.5 m/s. Το εύρος ζώνης του συστήµατος (συχνότητα -3 db) να είναι µεγαλύτερο από.6 rad/sec (ΒW= rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι Φ PM >5 ο Λύση Το κλειστό σύστηµα και µετά την εισαγωγή του πόλου στο s= είναι τάξης j=, άρα για είσοδο ω(t) =.5At =.5t το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση είναι: A e µον ( t) = = K I K I Άρα για e 5 µον ( t) <. χρειάζεται K Ι >. Έστω K Ι =. Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ (VΙΙ) Bode diagram - Kp = 5, Ki =. Bode diagram - Kp = 5, Ki =. 5-5 :.7 :.948 5-5 : 3.6 : -3. - - -5-35 -5-35 -8-5 :.7 P hase (deg): -77-8 -5-7 - - 3-7 - - 3 Για K P =5, K Ι =. το διάγραµµα Bode του συστήµατος µας δίνει περιθώριο φάσης Φ PM = 3 o και εύρος ζώνης 3.6 rad/sec. Άρα για να πληρούνται οι προδιαγραφές χρειαζόµαστε αύξηση του περιθωρίου φάσης µε ενδεχόµενη µείωση του εύρους ζώνης. Μπορούµε να το πετύχουµε αυτό µειώνοντας είτε το Κ P. 6

Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ (VΙΙΙ) Bode Diagram Bode diagram - Kp = 4, Ki =. 5-5 - :.4 :.3 5-5 - :.9 : -3. -5-35 -5-35 -8-5 :.4 : -74-8 -5-7 - - 3-7 - - 3 Για K P =4, K Ι =. το διάγραµµα Bode του συστήµατος µας δίνει περιθώριο φάσης Φ PM = 6 o και εύρος ζώνης.9 rad/sec. Εποµένως πληρούνται όλες οι προδιαγραφές σχεδίασης. Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙ (IX) Στη συνέχεια δίνουµε µια ευρυστική διαδικασία η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη σχεδίαση PΙ ελεγκτών:. Υπολογίζουµε το K Ι ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Κατασκευάζουµε το διάγραµµα Bode για το κλειστό σύστηµα (συνάρτηση G(F() στο οποίο έχει εισαχθεί ο πόλος στο µηδέν και έχει εφαρµοστεί ηενίσχυση K Ι (δηλαδή για τη συνάρτηση K I ) G( F( s 3. Από το ανωτέρω διάγραµµα Bode υπολογίζουµε το περιθώριο φάσης Φ PM και τη συχνότητα ω στην οποία έχουµε κέρδος ίσο µε. K. Αν θέλουµε να αυξήσουµε το Φ PM κατά > 4 ο I επιλέγουµε K P > ω. Αν θέλουµε να αυξήσουµε το Φ PM κατά < 4 ο χωρίς σηµαντική ταυτόχρονη αύξηση του εύρους ζώνης επιλέγουµε KI K P < ω 3. Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουµε τα ζητούµενα αποτελέσµατα το Κ P δεν µπορεί να είναι πολύ µικρότερο ή πολύ µεγαλύτερο από το K I ω 7

Σχεδίαση µε ελεγκτή PI (X) 5 5-5 - -5 - -8-5 -7-35 Bode Diagram :.3 : -.465 :.3 : -6-36 - - 3 Στο προηγούµενο παράδειγµα είχαµε βρει K I =. ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode της K I G( F( s βρίσκουµε ω =.3 και Φ PM =-46 ο. Εποµένως χρειαζόµαστε µια αύξηση του Φ PM κατά 5 ο. Άρα πρέπει να επιλέξουµε. KI KP > = ω..3 =.6 Επιλέγοντας K P =3 έχουµε το ζητούµενο Φ PM =6 ο. (δυστυχώς δεν ικανοποιείται η προδιαγραφή του του εύρους ζώνης, άρα χρειάζεται µεγαλύτερο Κ P - βλέπε επόµενη διαφάνεια) Σχεδίαση µε ελεγκτή PI (XI) 5 Bode diagram - Kp = 3, Ki =. Bode diagram - Kp = 3.5, Ki =. 5-5 :.8 : -.775 5-5 :.4 :.556 :.7 : -.95 - - -5-35 -5-35 -8-5 :.7 : -74-8 -5 :.4 : -74-7 - - 3-7 - - 3 8

Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙD Στη σχεδίαση µε PΙD ελεγκτή η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή είναι G ( = K c P KI + s + K µπορούµε να ρυθµίσουµε το κέρδος του κλειστού συστήµατος, να προσθέσουµε δύο µηδενικά στις θέσεις: z, KP ± = και ένα πόλο στο s= D K + + = Ds KPs K s s Η εισαγωγή µηδενικών κάνει το σύστηµα περισσότερο ευσταθές. Η εισαγωγή πόλου στο s= αυξάνει τον τύπο του κλειστού συστήµατος κατά βελτιώνοντας τις επιδόσεις του στα σφάλµατα µόνιµης κατάστασης αλλά µειώνει την ευρωστία του. I ( K ) 4K K ( K ) P KD D I K = K P D ± P 4K K D D K I Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙD(ΙΙ) Στο σχήµα φαίνεται µια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PΙ ελεγκτή. Οι τιµές των στοιχείων R f, R f, R,R χρησιµοποιούνται για τον καθορισµό του K P και οι τιµές των R f, R,R, C για τον καθορισµό του Κ Ι. U( R = f Ω( R R f R R f + R R f R f Cs + R R C f s Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση ρυθµίζεται από την παράµετρο Κ Ι και δίνεται από τον διπλανό πίνακα (σηµειώνεται ότι η εισαγωγή πόλου στο s= αυξάνει τον τύπο του συστήµατος). 9

Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙD (III) Στη συνέχεια δίνουµε µια ευρυστική διαδικασία η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη σχεδίαση PΙD ελεγκτών:. Υπολογίζουµε το K Ι ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Κατασκευάζουµε το διάγραµµα Bode για το κλειστό σύστηµα (συνάρτηση G(F() στο οποίο έχει εισαχθεί ο πόλος στο µηδέν και έχει εφαρµοστεί ηενίσχυση K Ι (δηλαδή για τη συνάρτηση K I ) G( F( s 3. Από το ανωτέρω διάγραµµα Bode υπολογίζουµε το περιθώριο φάσης Φ PM και τη συχνότητα ω στην οποία έχουµε κέρδος ίσο µε.. Αν θέλουµε να αυξήσουµε το Φ PM κατά > 9 ο και ταυτόχρονη αύξηση του εύρους ζώνης επιλέγουµε KI K D > KP < KD KI ω. Αν θέλουµε να αυξήσουµε το Φ PM κατά < 9 ο επιλέγουµε KI K D < ω KP < KD KI 3. Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουµε τα ζητούµενα αποτελέσµατα το Κ D δεν µπορεί να είναι πολύ µικρότερο ή πολύ µεγαλύτερο από το K I ω 6 Nicolas Tsapatsoulis Σχεδίαση µε ελεγκτή PΙD(ΙV) Παράδειγµα: Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί ελεγκτής PID ώστε: Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση επιτάχυνσης ω(t) =.5t, t, να είναι µικρότερo από. m/s. Το εύρος ζώνης του συστήµατος (συχνότητα -3 db) να είναι µεγαλύτερο από 4 rad/sec (ΒW= rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι Φ PM >45 ο Λύση Το κλειστό σύστηµα και µετά την εισαγωγή του πόλου στο s= είναι τάξης j=, άρα για είσοδο ω(t) =.5At =.5t το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση είναι: A e µον ( t) = = K Άρα για χρειάζεται K Ι >5. Έστω K Ι =5. I K e ( t) <. I µον

Σχεδίαση µε ελεγκτή PID (V) 5 5-5 - -5 - -8-5 -7-35 Bode diagram - Kp =, kd=, Ki =5. :.88 :.53 :.88 : -4-36 - - 3 Βρήκαµε K I = 5. ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode της K I G( F( s βρίσκουµε ω =.88 και Φ PM =-6 ο. Εποµένως χρειαζόµαστε µια αύξηση του Φ PM κατά 6 ο. Άρα πρέπει να επιλέξουµε. KI 5. KD > = =.7 ω.88 Έστω ότι επιλέγουµε K D =3 τότε, KP < KD KI = 7.8 Επιλέγοντας Κp =7 έχουµε το ζητούµενο Φ PM =47 ο και ταυτόχρονη ικανοποίηση της προδιαγραφής του εύρους ζώνης, ΒW > 4 (βλέπε επόµενη διαφάνεια) Σχεδίαση µε ελεγκτή PID (VI) 5 Bode diagram - Kp = 7, kd=3, Ki =5. 5 Bode diagram - Kp = 7, kd=3, Ki =5. 5 : 4.57 :.49 Mag nitud e (db) 5 : 5.9 : -3.6-5 - -5 - -5 : 4.59 : -33 Phase (de g) -5-8 - - -8 - -

Μορφές Αντισταθµιστών Οι αντισταθµιστές είναι συνήθως παθητικά δίκτυα (RC) τα οποία χρησιµοποιούνται για να προσδώσουν στο υπό έλεγχο σύστηµα κάποια επιθυµητά χαρακτηριστικά όπως: Αύξηση περιθωρίου φάσης Αύξηση εύρους ζώνης. Μείωση σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση Μεγαλύτερη ταχύτητα απόκρισης Στη σύγχρονη µορφή τους κατασκευάζονται και αυτά µε χρήση Τελεστικών Ενισχυτών όποτε η χρήση τους έχει περιοριστεί δεδοµένου ότι οι ελεγκτές PID παρουσιάζουν µεγαλύτερη ευελιξία όσον αφορά το σχεδιασµό συστηµάτων. ιακρίνουµε τρεις κατηγορίες αντισταθµιστών: ίκτυα προήγησης φάσης ίκτυα καθυστέρησης φάσης ίκτυα προήγησης-καθυστέρησης Ανάλογα µε τις προδιαγραφές της σχεδίασης µπορεί να επιλεγεί η κατάλληλη κατηγορία Σχεδίαση Σ.Α.Ε µε Αντισταθµιστές Τα δίκτυα προήγησης και τα δίκτυα καθυστέρησης εισάγουν στο σύστηµα ένα πόλο και ένα µηδενικό και ρυθµίζουν το κέρδος. Ανάλογα µε τις προδιαγραφές σχεδίασης καθορίζονται οι θέσεις του πόλου και του µηδενικού Στα δίκτυα προήγησης φάσης ο πόλος βρίσκεται πάντοτε αριστερότερα του µηδενικού µε αποτέλεσµα η έξοδος να προηγείται χρονικά της εισόδου. Στα δίκτυα καθυστέρησης φάσης ο πόλος βρίσκεται πάντοτε δεξιότερα του µηδενικού µε αποτέλεσµα η έξοδος να καθυστερεί χρονικά σε σχέση µε την είσοδο. Τα δίκτυα προήγησης-καθυστέρησης εισάγουν στο σύστηµα δύο πόλους και δύο µηδενικά και ρυθµίζουν το κέρδος. Στη πραγµατικότητα αποτελούνται από ένα δίκτυο καθυστέρησης και ένα δίκτυο προήγησης φάσης σε διαδοχή. Η σχεδίαση µε δίκτυα προήγησης, καθυστέρησης και προήγησηςκαθυστέρησης γίνεται µε ευρυστικό τρόπο και είναι µια διαδικασία δοκιµήςλάθους Τα διαγράµµατα Bode είναι ο βασικός άξονας της επαναληπικής διαδικασίας σχεδίασης.

Αντισταθµιστής προήγησης φάσης Η συνάρτηση µεταφοράς ενός αντισταθµιστή προήγησης φάσης δίνεται από την επόµενη σχέση: s + a Gc ( = KC, a < b s + b όπου Κ c είναι η ενίσχυση που εφαρµόζεται στο υπό έλεγχο σύστηµα και a, -b είναι οι θέσεις του µηδενικού και του πόλου που εισάγονται στο σύστηµα. Οι παράµετροι Κ c, a, b, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης ανάλογα µε τις προδιαγραφές σχεδίασης. Στο επόµενο σχήµα φαίνεται µια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν αντισταθµιστή προήγησης φάσης. s + U( R f C = RC Ω( R C s + R f C R C < R C f Magn itude (db) 5-5 - -5-6 3 Αντισταθµιστής προήγησης φάσης (II) Bode Diagram - - 3 b/a=8 b/a=6 b/a=4 b/a= Όπως φαίνεται από τα διάγραµµα Bode του διπλανού σχήµατος ο αντισταθµιστής προήγησης φάσης συµπεριφέρεται ως υψιπερατό φίλτρο: Ανάλογα µε το λόγο b/a εισάγεται στο υπό έλεγχο σύστηµα φάση φ η οποία κυµαίνεται από <φ<9 αλλά ταυτόχρονα µειώνεται το κέρδος στις χαµηλές συχνότητες (µικρότερες από τη συχνότητα ω a =a). Η µέγιστη φάση φ max εισάγεται στη συχνότητα: ω φmax ab Η µέγιστη φάση φ max συνδέεται µε το λόγο b/a µέσω της σχέσης b c = a + sinφ = sinφ max max = 3

Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης φάσης Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση καθορίζεται από τη σταθερά K c και αυξάνεται όσο ο λόγος c=b/a αυξάνεται. εδοµένου ότι αύξηση του λόγου c=b/a αυξάνει το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης γίνεται φανερό ότι το κόστος για αυτή την αύξηση είναι η αύξηση του σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Ρύθµιση του K c µας επιτρέπει να αντισταθµίσουµε τη µείωση εξαιτίας του λόγου c=b/a (ο οποίος επειδή ισχύει a<b είναι πάντοτε µεγαλύτερος από ) Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης φάσης (ΙΙ) Στη συνέχεια δίνουµε µια ευρυστική διαδικασία η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη σχεδίαση Σ.Α.Ε µε δίκτυα προήγησης φάσης: a. Υπολογίζουµε το K p = Kc ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση b. Κατασκευάζουµε το διάγραµµα Bode για το κλειστό σύστηµα (συνάρτηση G(F() στο οποίο έχει εφαρµοστεί η ενίσχυση K p, δηλαδή για τη συνάρτηση Κ p G(F() 3. Από το ανωτέρω διάγραµµα Bode υπολογίζουµε το περιθώριο φάσης Φ PM και την αύξηση φ που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης. 4. Κατασκευάζουµε το διάγραµµα Bode για το κλειστό σύστηµα log ( φ) K p G( F( 5. Από το ανωτέρω διάγραµµα Bode υπολογίζουµε την αύξηση Φ PM που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης, καθώς και τη συχνότητα ω στην οποία έχουµε κέρδος ίσο µε. 6. Αν Φ PM >6 ο το πρόβληµα δεν έχει λύση µε αντισταθµιστή προήγηση φάσης, αλλιώς επιλέγουµε b + sin( Φ PM ) ω c = = a = b = ca Kc K pc a sin( Φ PM ) c = 7. Αν δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές που έχουν τεθεί για το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης αυξάνουµε το λόγο b c = και επαναλαµβάνουµε το βήµα 6. a 4

Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης φάσης (ΙΙΙ) Παράδειγµα: Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί αντισταθµιστής προήγησης φάσης ώστε: Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας (ταχύτητας) ω(t) = t, t, να είναι µικρότερo από.5 m/s. Το εύρος ζώνης του συστήµατος (συχνότητα -3 db) να είναι µεγαλύτερο από 6 rad/sec (ΒW=6 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι Φ PM >4 ο Λύση Το κλειστό σύστηµα και µετά την εισαγωγή αντισταθµιστή παραµένει τύπου j=, άρα για είσοδο ω(t) = Vt = t το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση είναι: V V eµον ( t) = = = a K Άρα για χρειάζεται K p >4. Έστω K p =4. K p K p e µον ( t) <.5 C b Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης φάσης (ΙV) 5-5 Bode diagram of KpG(F(, Kp=4. :.43 : -.8 Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode της K P G(F( βρίσκουµε Φ PM =7 ο. Εποµένως χρειαζόµαστε µια αύξηση του Φ PM κατά 3 ο ( φ=3 ο ) Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode της log ( φ)k P G(F( βρίσκουµε (βλέπε επόµενη διαφάνεια) - Φ o PM = 59 ω = 5. rad / sec -5-9 -35-8 :.43 Phas e (deg): -63-5 -7 - - 3 Αφού Φ PM =59 ο <6 ο µπορούµε να σχεδιάσουµε το Σ.Α.Ε µε δίκτυο προήγησης φάσης. Επιλέγουµε b + sin( Φ PM ) c = = = 3 a sin( Φ PM ) ω 5. a = = c 3 = K = K c = 5 c p.4 b = ca = 8.4 5

Bode diagram of log(df)kpg(f(, Kp=4. Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης φάσης (V) 5 Bode Diagram 5-5 - : 5. :.65-5 - : 4.3 :.95 : 5.54 : -.99-5 -9-5 -9-35 -8-5 : 5. : -99-7 - - 3-35 : 4.3-8 Phas e (deg): -3-5 -7-3 Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode του αντισταθµισµένου συστήµατος (διάγραµµα δεξιά) βρίσκουµε Φ PM =48 ο και BW=5.54 rad/sec. Εποµένως για να πληρούνται οι προδιαγραφές χρειαζόµαστε αύξηση του εύρους ζώνης. Αύξηση του εύρους ζώνης µπορεί να επιτευχθεί µε αύξηση του λόγου b/a. Μειώνοντας το a σε. έχουµε c 6.44 και Κ c =67.4. Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης φάσης (VI) 5-5 - -5-45 -9 Bode diagram of regulated plant, Kc=6.44, a=., b=8.4 : 5.9 :.666 : 6.46 : -3.5 Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode του αντισταθµισµένου συστήµατος (a=., b=8.4, K c =67.4) βρίσκουµε Φ PM =43 ο και BW=6.46 rad/sec. Εποµένως πληρούνται αµφότερες οι προδιαγραφές για το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης. -35-8 -5 : 5.9 : -37-7 - 3 6

Αντισταθµιστής καθυστέρησης φάσης Η συνάρτηση µεταφοράς ενός αντισταθµιστή προήγησης φάσης δίνεται από την επόµενη σχέση: s + a Gc ( = Kc, a > b s + b όπου Κ c είναι η ενίσχυση που εφαρµόζεται στο υπό έλεγχο σύστηµα και a, -b είναι οι θέσεις του µηδενικού και του πόλου που εισάγονται στο σύστηµα. Οι παράµετροι Κ c, a, b, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης ανάλογα µε τις προδιαγραφές σχεδίασης. Στο επόµενο σχήµα φαίνεται µια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν αντισταθµιστή προήγησης φάσης. s + U( R f C = RC Ω( R C s + R f C R C > R C f Mag nitude (db) 5 5-5 -3-6 Αντισταθµιστής καθυστέρησης φάσης (II) Bode Diagram - - 3 a/b= a/b=4 a/b=6 a/b=8 Όπως φαίνεται από τα διάγραµµα Bode του διπλανού σχήµατος ο αντισταθµιστής καθυστέρησης φάσης συµπεριφέρεται ως βαθυπερατό φίλτρο: Ανάλογα µε το λόγο a/b εισάγεται στο υπό έλεγχο σύστηµα καθυστέρηση φάσης φ η οποία κυµαίνεται από -9 ο <φ<. Ταυτόχρονα αυξάνεται το κέρδος στις χαµηλές συχνότητες (µικρότερες από τη συχνότητα ω a =a). Η µεγαλύτερη καθυστέρηση φάσης φ min εισάγεται στη συχνότητα: ω φmin = ab Η φάση φ min συνδέεται µε το λόγο b/a µέσω της σχέσης b c = a + sinφ = sinφ min min 7

Σχεδίαση µε αντισταθµιστή καθυστέρησης φάσης Αντισταθµιστές καθυστέρησης φάσης χρησιµοποιούνται κυρίως για τη µείωση του σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Γενικά αντιστάθµιση µε καθυστέρηση φάσης οδηγεί σε: Μείωση του σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση Μείωση του εύρους ζώνης Μείωση της ταχύτητας απόκρισης Με δεδοµένο σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση αυξάνεται η σχετική ευστάθεια (ευρωστία του συστήµατος) Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση καθορίζεται από τη σταθερά K c και µειώνεται όσο ο λόγος c=b/a µειώνεται. Αντισταθµιστής καθυστέρησης - προήγησης Η συνάρτηση µεταφοράς ενός αντισταθµιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης δίνεται από την επόµενη σχέση: s + a s + bt Gc( = Kc, a > b T >> s + b s + at όπου Κ c είναι η ενίσχυση που εφαρµόζεται στο υπό έλεγχο σύστηµα και a, -bτ είναι οι θέσεις των µηδενικών και b, -aτ είναι οι θέσεις των πόλων που εισάγονται στο σύστηµα. Οι παράµετροι Κ c, a, b, Τ, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης ανάλογα µε τις προδιαγραφές σχεδίασης. Στο επόµενο σχήµα φαίνεται µια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν αντισταθµιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης. U( CC = Ω( C C R C f f < R C f s + RC s + R f C f f f < R C s + RC s + R f C f < R C f 8

Αντισταθµιστής καθυστέρησης προήγησης (II) Magn itude (db) 5-5 - -5 - -5 9 45-45 -9 3 4 5 6 7 8 9 Αντισταθµιστές καθυστέρησης προήγησης χρησιµοποιούνται όταν χρειάζεται να σχεδιαστούν συστήµατα µε ζωνοφρακτική συµπεριφορά (βλέπε σχήµα). Συνήθως συνδυάζουν τα πλεονεκτήµατα των αντισταθµιστών προήγησης φάσης µε αυτά των αντισταθµιστών καθυστέρησης φάσης, ενώ επηρεάζονται σχετικά λίγο από τα µειονεκτήµατα τους. Η σχεδίαση µε αντισταθµιστές καθυστέρησης προήγησης είναι µια δύσκολη και ευρυστική διαδικασία. Αντισταθµιστής προήγησης - καθυστέρησης Η συνάρτηση µεταφοράς ενός αντισταθµιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης δίνεται από την επόµενη σχέση: s + a s + bt Gc( = Kc, b > a T >> s + b s + at όπου Κ c είναι η ενίσχυση που εφαρµόζεται στο υπό έλεγχο σύστηµα και a, -bτ είναι οι θέσεις των µηδενικών και b, -aτ είναι οι θέσεις των πόλων που εισάγονται στο σύστηµα. Οι παράµετροι Κ c, a, b, Τ, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης ανάλογα µε τις προδιαγραφές σχεδίασης. Στο επόµενο σχήµα φαίνεται µια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν αντισταθµιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης. U( CC = Ω( C C f f < R C R f s + RC s + R f C C f f f < R C s + RC s + R f C f < R C f 9

8 6 4 8 6 4 9 45-45 -9 Αντισταθµιστή προήγησηςκαθυστέρησης (ΙΙ) Bode diagram of lead-lag compensator - - 3 4 5 Αντισταθµιστές προήγησης καθυστέρησης χρησιµοποιούνται όταν χρειάζεται να σχεδιαστούν συστήµατα µε ζωνοπερατή συµπεριφορά (βλέπε σχήµα). Η σχεδίαση µε αντισταθµιστές προήγησης καθυστέρησης είναι αντίστοιχη µε τη διαδικασία σχεδίασης µε δίκτυα προήγησης φάσης. Εξαιτίας της παρουσίας του καθυστερητή φάσης η δυσκολία στην επιλογή του λόγου b/a στον αντισταθµιστή προήγησης φάσης περιορίζεται. Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης - καθυστέρησης Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση καθορίζεται αποκλειστικά από τη σταθερά K c, δεδοµένου ότι ισχύει: a bt = b at δηλαδή η µείωση εξαιτίας του κέρδους του κλειστού συστήµατος εξαιτίας του λόγου c=b/a (ο οποίος επειδή ισχύει a<b είναι πάντοτε µεγαλύτερος από )αντισταθµίζεται εξαιτίας του λόγου d=aτ/(bt) 3

Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης - καθυστέρησης (ΙΙ) Στη συνέχεια δίνουµε µια ευρυστική διαδικασία η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη σχεδίαση Σ.Α.Ε µε δίκτυα προήγησης φάσης:. Υπολογίζουµε το Κ c ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Κατασκευάζουµε το διάγραµµα Bode για το κλειστό σύστηµα (συνάρτηση G(F() στο οποίο έχει εφαρµοστεί η ενίσχυση ΚK c, p δηλαδή για τη συνάρτηση Κ c G(F() 3. Από το ανωτέρω διάγραµµα Bode υπολογίζουµε το περιθώριο φάσης Φ PM και την αύξηση φ που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης. 4. Κατασκευάζουµε το διάγραµµα Bode για το κλειστό σύστηµα log ( φ) K p G( F( 5. Από το ανωτέρω διάγραµµα Bode υπολογίζουµε το την αύξηση Φ PM που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης, καθώς και τη συχνότητα ω στην οποία έχουµε κέρδος ίσο µε. 6. Αν Φ PM >7 ο το πρόβληµα δεν έχει λύση µε αντισταθµιστή προήγηση καθυστέρησης φάσης, αλλιώς επιλέγουµε b + sin( Φ ) ω PM c = = a = a sin( Φ PM ) c b = ca T > 5 7. Αν δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές που έχουν τεθεί για το περιθώριο φάσης και το εύρος ζώνης αυξάνουµε το λόγο b c = και επαναλαµβάνουµε το βήµα 6. a Παραδείγµατα Παράδειγµα Ι: Για το σύστηµα του σχήµατος να σχεδιαστεί αντισταθµιστής προήγησης - καθυστέρησης φάσης ώστε: Το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον (t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση ράµπας (ταχύτητας) ω(t) = t, t, να είναι µικρότερo από. m/s. Το εύρος ζώνης του συστήµατος (συχνότητα -3 db) να είναι µεγαλύτερο από 6 rad/sec (ΒW=6 rad/sec) Το περιθώριο φάσης να είναι Φ PM >4 ο Λύση Το κλειστό σύστηµα και µετά την εισαγωγή αντισταθµιστή παραµένει τύπου j=, άρα για είσοδο ω(t) = Vt = t το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση είναι: V eµον ( t) = = Άρα για e ( t) <. χρειάζεται K C >5. Έστω K C =5. K C K µον C 3

Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης - καθυστέρησης Magn itud e (db) 5-5 - Bode diagram of KcG(F( :.74 : -.545 Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode της K c G(F( βρίσκουµε Φ PM = ο. Εποµένως χρειαζόµαστε µια αύξηση του Φ PM κατά 9 ο ( φ=9 ο ) Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode της log ( φ)k c G(F( βρίσκουµε (βλέπε επόµενη διαφάνεια) -5-9 Φ o PM = 65 ω = 5.78rad / sec -35-8 -5-7 - - 3 :.75 P hase (deg): -69 Αφού Φ PM =65 <75 ο µπορούµε να σχεδιάσουµε το Σ.Α.Ε µε δίκτυο προήγησης αντιστάθµισης φάσης. Επιλέγουµε b + sin( Φ PM ) c = = a sin( Φ PM ) ω 5. a = = c 3 T = 5 =.8 b = ca = 6 Σχεδίαση µε αντισταθµιστή προήγησης καθυστέρησης (II) Bode diagram of log(df)kcg(f( 5 Bode diagram of regulated plant, Kc=5., a=.8, b=6, T= 5-5 : 5.78 :.446-5: 5.53 : -.83 - -5 - : 6.93 : -3.3 - -5-5 -9-3 -45-9 -35-8 -5 : 5.77 : -5-7 - - 3-35 -8 : 5.5-5 : -4-7 -35-36 - 3 4 5 Κατασκευάζοντας το διάγραµµα Bode του αντισταθµισµένου συστήµατος (διάγραµµα δεξιά) βρίσκουµε Φ PM =4 ο και BW=6.93 rad/sec. Εποµένως πληρούνται αµφότερες οι προδιαγραφές για το εύρος ζώνης και το περιθώριο φάσης. 3