Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ.409-46 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΤΩΝ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΕΛΚΥΣΤΗΡΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Πέτρος Χριστοδούλου - Άρτεμις Ευαγγελίδου Πανεπιστήμιο Μακεδονίας chrisod@uom.gr aremis@uom.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιούμε συναρτήσεις χρονικής τάσης για την ανάλυση και πρόβλεψη της εξέλιξης του συνολικού αριθμού των γεωργικών ελκυστήρων της Ελλάδας. Για τον σκοπό αυτό ακολουθείται μια διαδικασία σε τέσσερα στάδια, δηλαδή : (i) αναγνώριση, (ii) εκτίμηση, (iii) διαγνωστικός έλεγχος και (iv) αξιολόγηση των προβλέψεων. Από την διαδικασία προκύπτει ότι ως πλέον κατάλληλη για την περίπτωση συνάρτηση είναι η Γενική Τροποποιημένη Εκθετική, στην οποία περιλαμβάνεται και η Λογιστική ως ειδική περίπτωση. Στη συνέχεια το υπόδειγμα επεκτείνεται κατά τρεις τρόπους : α) με την προσθήκη μιας σταθεράς, β) γίνεται διόρθωση για αυτοσυσχέτιση α τάξεως και γ) προστίθεται μια ημιτονοειδής συνάρτηση. Τέλος γίνεται αξιολόγηση της προβλεπτικής ικανότητας τόσο του αρχικού υποδείγματος όσο και των επεκτάσεών του.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάλυση και πρόβλεψη της εξέλιξης του συνολικού αριθμού των γεωργικών ελκυστήρων της Ελλάδας, που είναι ένας σημαντικός δείκτης της αγροτικής ανάπτυξης. Από τις υπάρχουσες στατιστικές / οικονομετρικές μεθόδους πρόβλεψης, επιλέχθηκε η χρήση συναρτήσεων χρονικής τάσης και ειδικότερα σιγμοειδών. Ανάλογες εργασίες έχουν γίνει από πολλούς ερευνητές για διάφορες χώρες, εκ των οποίων η πιο γνωστή είναι του Mar-Molinero (980) για την Ισπανία. Οι σιγμοειδείς έχουν επίσης χρησιμοποιηθεί για προβλέψεις σε πολλούς άλλους κλάδους της οικονομίας. Η εργασία αποτελείται από τα εξής στάδια: αναγνώριση, εκτίμηση, διαγνωστικός έλεγχος, επανεκτίμηση και αξιολόγηση των προβλέψεων. Προκύπτει ότι καταλληλότερη συνάρτηση για την περίπτωση της Ελλάδας είναι η Γενική Τροποποιημένη Εκθετική [Gregg e al. (964)], της οποίας ειδική περίπτωση είναι και η Λογιστική. Η προσαρμοστική ικανότητα των υποδειγμάτων βελτιώνεται με την προσθήκη σταθερού όρου, διόρθωση για αυτοσυσχέτιση α τάξεως και προσθήκη μιας περιοδικής (ημιτονοειδούς) συνάρτησης. Ανάλογη είναι και η βελτίωση της προβλεπτικής ικανότητας. Τα διαθέσιμα στοιχεία προέρχονται από τη - 409 -
βάση δεδομένων World Developmen Indicaors of World Bank και αφορούν την περίοδο 96-200. Σχήμα. Σημειώνεται ότι όλα τα διαγράμματα και οι υπολογισμοί έγιναν με την βοήθεια του προγράμματος E-Views 3,0. Σχήμα. Συνολικός αριθμός γεωργικών ελκυστήρων στην Ελλάδα (χιλιάδες). 2. ΕΙΔΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Οι γνωστότερες συναρτήσεις χρονικής τάσης που χρησιμοποιούνται στην πράξη είναι: Α) Τα πολυώνυμα: = α + β + γ 2 +... y Β) Οι εκθετικές: = exp( α + β + γ 2 +...) y Γ) Οι σιγμοειδείς: Η γνωστότερη και συχνότερα χρησιμοποιούμενη σιγμοειδής είναι / η Γενική Τροποποιημένη Εκθετική (GME), y = α /( + φ exp( γ ( δ ))) φ όπου α άνω ασύμπτωτος, φ εκθέτης, γ κλίση και δ σημείο καμπής. Ειδικές περιπτώσεις: ) φ = Λογιστική, y = α /( + exp( γ ( δ ))) 2) φ = 0 Gomperz, = α exp( exp( γ ( δ ))) y 3) φ = - Τροποποιημένη Εκθετική, = α( exp( γ ( δ ))) Επεκτάσεις: Προσθήκη σταθερού όρου: Γενικά σταθερός όρος μπορεί να προστεθεί σε όσες συναρτήσεις δεν τον περιέχουν ήδη, αρκεί να είναι στατιστικά σημαντικός. Η τροποποιημένη εκθετική π.χ. περιέχει σταθερό όρο. Στις σιγμοειδείς το αποτέλεσμα της προσθήκης είναι η κατακόρυφη μετατόπιση των ασύμπτωτων κατά μια σταθερά κ. Κατ αυτόν τον τρόπο προκύπτουν : (i) Η Τροποποιημένη Λογιστική y = α /( + exp( γ ( δ ))) + κ, [Oliver (98)] που ισούται με το υπόδειγμα Bass ως συνάρτηση του χρόνου: y = ( α β exp ( γ ) )/( + δ exp( γ ) ) [Meade and Islam (995)]. (ii) Η Τροποποιημένη Gomperz [Spiegel (988)]. y - 40 -
(iii) Η Γενική Τροποποιημένη Εκθετική με σταθερό όρο. Ύπαρξη αυτοσυσχέτισης α τάξεως. [Mar-Molinero (980)]. ε, όπου ( ( ) 2 Όταν y = f () + ε και = ρε + u u = iid N 0, σ n, y = ρ y + f f + u. το υπόδειγμα γίνεται : ( ) ( ) ρ Ύπαρξη οικονομικών / εμπορικών κύκλων. [Shearer (994)]. Στο υπόδειγμα προσθέτονται μία ή δύο ημιτονοειδείς συναρτήσεις οπότε: β + β 2 + y = f () + α + + u l l sin α 2 sin 2π 2π 2 όπου α πλάτος, β συγχρονισμός και l μήκος του κύκλου. 3. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Για την αναγνώριση του καταλληλότερου υποδείγματος χρονικής τάσης χρησιμοποιούνται συνήθως απλές γραφικές μέθοδοι, όπως η εξέταση για γραμμικότητα των διαγραμμάτων διασποράς των δεδομένων, των [log(y), ], των [log(y), log()], των διαφορών τους (πρώτων, δεύτερων κτλ.) και διαφόρων άλλων [Spiegel (988)]. Ακριβέστερη και πρωτοποριακή για την εποχή της θεωρείται η μέθοδος των Gregg e al. (964) η οποία παρουσιάζεται στη συνέχεια και περιλαμβάνει μεθόδους αναγνώρισης σιγμοειδών συναρτήσεων. Αν (ΜΑ) = κινητός μέσος στο χρόνο = ( y p +... + y + y + y+ +... + y+ p )/( 2 p + ) και (S) = κλίση στο χρόνο. = ( p y p... y + y +... + p y p ) ( p( p + )( 2 p + ) / 3) + + εξετάζεται η γραμμικότητα και η κλίση των διαγραμμάτων διασποράς των : (i) S, (ii) S/MA, (iii) Log(S), (iv) Log (S/MA), (v) Log(S/MA 2 ) και (vi) Log(S)-(φ- )/φlog(μα) που αντιστοιχούν στα πολυώνυμα, εκθετικές, τροποποιημένη εκθετική, Gomperz, Λογιστική και Γενική Τροποποιημένη Εκθετική. Εκτίμηση της (φ-)/φ λαμβάνεται από την παλινδρόμηση: log( S ) = α + β + ( φ ) / φ log( MA) + Στην παρούσα περίπτωση η εκτιμημένη τιμή της (φ-)/φ είναι 2,7333. Από την εξέταση των διαγραμμάτων του Σχήματος 2 προκύπτει ότι καταλληλότερες για την παρούσα περίπτωση είναι η GME και η Λογιστική. Η Gomperz έρχεται τρίτη με αρκετή διαφορά. Επιλογή μεταξύ της Λογιστικής και της Gomperz μπορεί να γίνει και με μεθόδους που περιγράφει ο Franses (994), οι οποίες καταλήγουν στο ίδιο συμπέρασμα. u - 4 -
Σχήμα 2. Διαγράμματα Διασποράς: i) log(s/ma), T και ii) log(s/ma 2 ), T 4. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Για την εκτίμηση των παραμέτρων των υποδειγμάτων χρησιμοποιείται η μηγραμμική μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Για την εφαρμογή της απαιτούνται αρχικές τιμές των παραμέτρων οι οποίες ευρίσκονται είτε εμπειρικά είτε με την μέθοδο των τριών σημείων. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον Πίνακα. Παρατηρούμε ότι όλες οι παράμετροι είναι στατιστικά σημαντικές. Αντί των τιμών του R 2 που είναι πάντοτε σχεδόν ίσοι με την μονάδα, πολλοί συγγραφείς παρουσιάζουν μόνο τα SSR. Από την εξέταση των αποτελεσμάτων αυτών προκύπτει ότι η Gomperz πρέπει να απορριφθεί. Η GME έχει την καλύτερη προσαρμογή λόγω και των 4 παραμέτρων της, πλην όμως η τιμή της φ =,68 >. Αυτό έχει επιπτώσεις στις προβλέψεις. Κατά την άποψή μας αυτό οφείλεται στη απουσία παρατηρήσεων προ του 96. Ένας τρόπος λύσης είναι η αφαίρεση μίας σταθεράς από τα δεδομένα οπότε καταλήγουμε σε Λογιστική. Πίνακας : Αποτελέσματα εκτίμησης Υποδειγμάτων α γ δ R 2 SSR D-W Gomperz 305,37 0,073 6,2 0,994532.395,74 0,5 Λογιστική 265,38 0,35 9,0 0,998759 36,74 0,49 Λογιστική + κ 247,4 0,5 9,4 c=,99 0,999225 97,95 0,76 Bass 259,39 0,5 8,80 c =-225,43 0,999225 97,95 0,76 Λογιστική + AR() 263,46 0,37 8,8 r=0,764 0,999435 35,58 2,02 Λογιστική + κ + AR() 239,84 0,58 9,7 c=7,86 r =0,592 0,999536,44 2,07 Λογιστική + ημιτ. 267,76 0,33 9,6 0,999578 07,64,32 α =3,263 β =0 l =3,39 GME 255,32 0,76 20,2 φ=,68 0,999320 73,62 0,85 GME + AR() 255, 0,79 20,3 φ=,75 r =0,563 0,999527 3,53,97 GME + ημιτ. 254,3 α =,965 0,80 β = - 2,97 20,2 l =2,6 5. ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ φ=,72 0,99969 97,32,39 Από την εξέταση των καταλοίπων και την ανάλυση τους, Σχήματα 3 και 4, γίνεται φανερή η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης α τάξεως. Επίσης υπάρχουν ενδείξεις ύπαρξης οικονομικού κύκλου. Επομένως απαιτείται επανεκτίμηση των υποδειγμάτων. - 42 -
Σχήμα 3. Κατάλοιπα της GME Σχήμα 4. Ανάλυση καταλοίπων Η εκτίμηση του οικονομικού/εμπορικού κύκλου γίνεται στην παρούσα με δύο τρόπους : α) Με εκτίμηση των συντελεστών του υποδείγματος GME + ημιτ. ή Λογιστική + ημιτ., οπότε εκτιμώνται και οι τιμές των παραμέτρων της περιοδικής συνάρτησης. Σχήμα 5. β) Με τα δεδομένα που προκύπτουν μετά την εφαρμογή του φίλτρου Hodrick- Presco εκτιμάται η GME. Τα κατάλοιπα από αυτή την εκτίμηση δείχνουν την περιοδική κίνηση. Σχήμα 6. Τα αποτελέσματα και των δύο μεθόδων δεν διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους. Στα σχήματα επίσης διακρίνονται δυο κύκλοι (963-979) και (980 996), του ιδίου περιπου μήκους, αλλά πολύ μικρού πλάτους. Σχήμα 5. Εκτίμηση των Οικονομικών κύκλων - 43 -
Σχήμα 6. Εκτίμηση των Οικονομικών κύκλων (φίλτρο Η-Ρ) Η επανεκτίμηση των υποδειγμάτων Λογιστική και GME γίνεται στις εξής περιπτώσεις: Με προσθήκη σταθερού όρου (μόνο Λογιστική), με διόρθωση για αυτοσυσχέτιση α τάξεως, με προσθήκη περιοδικής (ημιτονοειδούς) συνάρτησης και με συνδυασμό των τριών προηγούμενων περιπτώσεων. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται επίσης στον Πίνακα. 6. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥΣ Οι προβλέψεις παρουσιάζονται στα Σχήματα 7 και 8. Αξιολόγησή τους γίνεται με ανάλυση της προσαρμογής των υποδειγμάτων στα 6 τελευταία έτη (εντός δείγματος) με τα συνήθη μέτρα (RMSE, MAPE, κτλ.). Βλέπε Πίνακα 2 και Σχήματα 9 και 0. Σχήμα 7. Προβλέψεις GME ± 2 Τυπικά Σφάλματα Σχήμα 8. Προβλέψεις Gomperz, Λογιστικής και GME - 44 -
Πίνακας 2 : Αξιολόγηση Προβλέψεων (6 τελευταίες παρατηρήσεις) Gomperz Logisic GME Bass GME + ημίτ. RMSE 5,46 2,026,89,63,65 MAE 4,69,73,6 0,33,28 MAPE,90 0,7 0,65 0,54 0,52 Theil In. Co. 0,0 0,004 0,004 0,003 0,003 Bias prop. 0,739 0,433 0,056 0,058 0,05 Var. prop. 0,37 0,06 0,490 0,288 0,275 Cov. prop. 0,23 0,55 0,454 0,706 0,674 Σχήμα 9. Πραγματικές τιμές Υ και προβλέψεις Gomperz, Λογιστικής και GME Σχήμα 0. Πραγματικές τιμές Υ και προβλέψεις Bass και GME + ημιτ. Σημειώνεται ότι οι κλίμακες στα Σχήματα 7, 8, 9 και 0 διαφέρουν από την κλίμακα του Σχήματος. - 45 -
7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα αποτελέσματα της έρευνας δείχνουν ότι ο συνολικός αριθμός των γεωργικών ελκυστήρων της Ελλάδας πλησιάζει το σημείο κορεσμού, υπό την προϋπόθεση ότι δεν θα σημειωθούν σοβαρές διαρθρωτικές μεταβολές στο σύστημα. Οι λόγοι και οι αιτίες που προκαλούν τις εξελίξεις θα πρέπει να αναζητηθούν στην οικονομική και αγροτική πολιτική των κυβερνήσεων και της Ε.Ε. Όσον αφορά τις χρησιμοποιούμενες μεθόδους και τεχνικές παρατηρούμε ότι εδώ επιλέχθηκαν μερικές από τις πλέον γνωστές συναρτήσεις καθώς και διάφορες επεκτάσεις τους. Εναλλακτικά θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν στην παρούσα και πολλά άλλα υποδείγματα [Meade & Islam (998)] και διάφορες άλλες στατιστικές / οικονομετρικές μέθοδοι. ABSTRACT In his paper we use mahemaical rend curves in order o analyze and forecas he sock of agriculural racors in Greece. For his purpose we follow a four sage process i.e. idenificaion, esimaion, diagnosic checking and forecasing. I proves ha he General Modified Exponenial is suiable for his case. Furher he model is exended in hree ways i.e. we add a consan, we correc for firs order auocorrelaion and we esimae a cycle using a periodic funcion. The effecs of hese in fiing and forecasing accuracy are sudied and evaluaed. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Franses, P.H., (994). A Mehod o Selec Beween Gomperz and Logisic Trend Curves. Technological Forecasing and Social Change, 46, 45-49. Gregg J.V., Hossell C.H. & Richardson J.T. (964). Mahemaical Trend Curves: an Aid o Forecasing I.C.I. Monograph No. Oliver and Boyd, Edinburgh. Lilien D.M. e al. (998). EViews (Economeric Views) Version 3.0, Quaniaive MicroSofware. Los Angeles. Mar-Molinero, C. (980). Tracors in Spain: a Logisic Analysis. Journal of Operaional Research Sociey, 3, 4-52. McGowan, I. (986). Noe: The Use of Growh Curves in Forecasing Marke Developmen. Journal of Forecasing, 5, 69-7. Meade N. (984). The Use of Growh Curves in Forecasing Marke Developmen a Review and Appraisal. Journal of Forecasing, 3, 429 45. Meade N., & Islam T. (995). Forecasing wih growh curves: An empirical comparison. Inernaional. Journal of Forecasing,, 99-25. Meade N., & Islam T. (998): Technological forecasing Model selecion, Model sabiliy and combining models. Managemen Science, 44, No 8, 5-30. Oliver F.R. (98). Tracors in Spain: a furher logisic analysis. Journal of Operaional Research Sociey, 32, 499-502. Shearer P. (994). Business Forecasing and Planning. Prenice Hall In. (U.K.) Spiegel M.R. (988). Theory and Problems of Saisics, 2nd ed. Schaum s Ouline Series. World Developmen Indicaors of World Bank: hp://devdaa.worldbank.org Young P. (993). Technological Growh Curves - A Compeiion of Forecasing Models. Technological Forecasing and Social Change, 44, 375-389. - 46 -