Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και ι μέθδι εύρεσης παραγώγων Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν έχετε λκληρώσει αυτήν την ενότητα θα πρέπει να μπρείτε: Να δίνετε τν ρισμό της παραγώγυ μιας συνάρτησης f σε σημεί τυ πεδίυ ρισμύ της Να βρίσκετε με τη βήθεια τυ ρισμύ την παράγωγ μερικών βασικών συναρτήσεων Να απδεικνύετε τυς βασικύς κανόνες παραγώγισης Να βρίσκετε την παράγωγ δσμένης συνάρτησης χρησιμπιώντας τυς κανόνες παραγώγισης και τις παραγώγυς των βασικών συναρτήσεων Να βρίσκετε τ ρυθμό μεταβλής τυ μεγέθυς y για κάπια δεδμένη τιμή τυ μεγέθυς όταν δίνεται η σχέση: y= f πυ συνδέει τα δυ μεγέθη 48
Παγκόσμι χωριό γνώσης ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στ τυ πεδίυ ρισμύ της; Τι νμάζεται παράγωγς της f στ ; Απάντηση: Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στ τυ πεδίυ ρισμύ της, αν υπάρχει τ όρι: f ( + f( 0 και είναι πραγματικός αριθμός Τ όρι αυτό συμβλίζεται με f ( και τ νμάζυμε παράγωγ της f στ Τ όρι: f ( + f( 0 αν υπάρχει, είναι ίσ με τ όρι: f ( f ( Αν τα παραπάνω όρια είναι πραγματικί αριθμί, τότε και τα δυ είναι ίσα με f 2 Τ όρι: ( + f f 0 μπρεί να υπάρχει αλλά να μην είναι πραγματικός αριθμός Σ αυτή την περίπτωση η f δεν είναι παραγωγίσιμη στ 3 Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε κάπι, τυ πεδίυ ρισμύ της, τότε σίγυρα δεν είναι παραγωγίσιμη στ 4 Μια συνάρτηση μπρεί να είναι συνεχής σε κάπι τυ πεδίυ ρισμύ της αλλά όχι παραγωγίσιμη στ 49
Παγκόσμι χωριό γνώσης Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση: f =, Τότε: = = = f 0 f 0 0 0 Άρα η f είναι συνεχής στ 0 Θεωρύμε τ λόγ: f( 0+ f( 0 f = = Για > 0, είναι: f( 0+ f ( 0 = = f ( 0+ f( 0 = 0 Για < 0, είναι: f( 0+ f ( 0 = = f( 0+ f( 0 = 0 Επμένως δεν υπάρχει τ: f 0 f 0 0 Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στ 0 ( + 5 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε κάπι τυ πεδίυ ρισμύ της είναι σίγυρα συνεχής στ Τι εκφράζει η παράγωγς της f στ ; Απάντηση: Αν δυ μεγέθη,y συνδένται με τν τύπ y f ( συνάρτηση f:α, τότε η παράγωγς f =, όπυ f μια εκφράζει τ ρυθμό μεταβλής τυ y ως πρς για τη συγκεκριμένη τιμή = 50
Παγκόσμι χωριό γνώσης Αν St ( είναι τ διάστημα πυ έχει διανύσει ένα κινητό σε χρόν t και S( t +Δ t τ διάστημα πυ έχει διανύσει σε χρόν t +Δ t τότε λόγς: ( +Δ St t St υ= Δt λέγεται μέση ταχύτητα τυ κινητύ στ διάστημα [ t,t 0 t] Όταν τ Δ t είναι πάρα πλύ μικρό ( t 0 St ( +Δt St + Δ Δ τότε τ όρι: Δ t 0 Δt λέγεται στιγμιαία ταχύτητα τυ κινητύ τη χρνική στιγμή συμβλίζεται με υ ( t Δηλαδή είναι: υ ( t = S ( t Η ταχύτητα ενός κινητύ τη χρνική στιγμή μεταβλής τυ διαστήματς την ίδια χρνική στιγμή t και t λέγεται ρυθμός 2 Ανάλγα ρίζεται η μέση επιτάχυνση: υ ( t +Δt υ( t α= Δt όπυ υ ( t και υ ( t +Δ t η ταχύτητα τυ κινητύ τις χρνικές στιγμές t και t +Δ t αντίστιχα Όπως και η στιγμιαία επιτάχυνση: α ( t =υ ( t Δηλαδή η στιγμιαία επιτάχυνση τη χρνική στιγμή t είναι ρυθμός μεταβλής της ταχύτητας την ίδια χρνική στιγμή 3 Μερικά (ακόμη παραδείγματα Αν q( t είναι η συνάρτηση πυ δίνει τ φρτί πυ περνά από μια διατμή ενός αγωγύ συναρτήσει τυ χρόνυ η ένταση τυ ρεύματς Ι ( t τη χρνική στιγμή t είναι ρυθμός μεταβλής τυ φρτίυ εκείνη τη χρνική στιγμή Ι t = q t 5
Παγκόσμι χωριό γνώσης Ο ρυθμός μεταβλής τυ έργυ W( t μιας δύναμης μας δίνει την ισχύ Ρ ( t της δύναμης Δηλαδή: Ρ ( t = W ( t Στην ικνμία, τ κόστς k και τ κέρδς Ρ εκφράζνται συναρτήσει της πσότητας τυ παραγμένυ πρϊόντς Τα πηλίκα: k( + k( Ρ ( + Ρ(, εκφράζυν τ μέσ κόστς και τ μέσ κέρδς αντίστιχα, ενώ αν ι k συναρτήσεις k( και Ρ είναι παραγωγίσιμες στ τα ( και Ρ εκφράζυν τ ριακό κόστς και ριακό κέρδς ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται συνάρτηση f:α Τι λέγεται (πρώτη παράγωγς της f; Απάντηση: Αν Β είναι τ υπσύνλ τυ Α ( Β Α για τ πί ισχύει ότι, για κάθε Β η f είναι παραγωγίσιμη, τότε ρίζεται μια νέα συνάρτηση, με την πία κάθε Β αντιστιχίζεται στ: f( + f( f ( = 0 Η συνάρτηση αυτή λέγεται πρώτη παράγωγς της f ή απλά παράγωγς της f και συμβλίζεται με f Σύμφωνα με τα πρηγύμενα, αν S( t είναι η συνάρτηση τυ διαστήματς πυ διανύει ένα κινητό σε σχέση με τ χρόν, τότε σε κάθε υ t δίνεται από τη σχέση: χρνική στιγμή t, η ταχύτητα υ ( t = S ( t 2 Αν η συνάρτηση f : Β είναι παραγωγίσιμη σε ένα σύνλ Γ, τότε ρίζεται η: ( f : Γ πυ συμβλίζεται με f και λέγεται δεύτερη παράγωγς της f Σύμφωνα με τα πρηγύμενα, αν α ( t είναι η επιτάχυνση ενός κινητύ, τότε: 52
Παγκόσμι χωριό γνώσης ( t ( t S ( t α =υ = Ανάλγα ρίζνται η τρίτη f, παράγωγς της f (ως παράγωγς της f, η τέταρτη παράγωγς κκ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Να απδείξετε ότι η παράγωγς της σταθερής συνάρτησης: f = c, είναι f ( = 0 Απάντηση: Είναι f ( + = c για κάθε, Άρα για 0, έχυμε: f( + f( c c = = 0 Επμένως ισχύει: f ( + f ( f ( = = 0, 0 για κάθε Παρατήρηση Απδεικνύεται ότι για τη συνάρτηση f:δ, όπυ Δ διάστημα ( Δ, αν είναι: f ( = 0 για κάθε Δ τότε η f είναι σταθερή στ Δ Δηλαδή: f( = c, για κάθε Δ Να απδείξετε ότι η παράγωγς της ταυττικής συνάρτησης: f =, έχει f ( = Απόδειξη: Για κάθε και 0, είναι: f( + f( + = = f ( + f ( f ( = = 0 53
Παγκόσμι χωριό γνώσης 2 Να απδείξετε ότι αν f ( =,, τότε είναι: f ( = 2 για κάθε Απόδειξη: Για κάθε και 0, έχυμε: ( + ( + 2 2 2 + 2+ 2 2 ( + f f 2 = = = = 2 + f ( + f( = ( 2 + = 2 0 0 Επμένως: f ( = 2, για κάθε Απδεικνύεται ότι: ν f =,, ν, τότε: α Αν Παράδειγμα: f ( =ν ν ( = 5 5 4 β Αν κ, κ< 0 και 0, ισχύει: κ ( κ =κ Παράδειγμα: 2 2 3 2 2 ( = = 2 = 2 = 3 για κάθε 0 γ Αν α και > 0, τότε: α ( α =α Παράδειγμα: 2 3 3 3 3 ( = = = = 3 3 3 3 2, > 0 2 Παράγωγι βασικών συναρτήσεων ημ = συν για κάθε α 54
Παγκόσμι χωριό γνώσης β γ δ ( συν = ημ για κάθε = για κ θε e e ά n = για κ ά θε > 0 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ και c, να δείξετε ότι: ( cf ( = cf ( για κάθε Δ Απόδειξη: Θεωρύμε τη συνάρτηση F:Δ με τύπ: F( = c f( τότε: F( + F( = c f( + c f( Άρα για κάθε Δ και 0 έχυμε: ( + ( + F F c f c f = = 0 0 ( + f f = c = cf 0 αφύ η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε Δ ( cf = cf για κάθε Δ Αν ι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, να απδείξετε ότι: f + g = f + g για κάθε Δ ( Απόδειξη: Θεωρύμε τη συνάρτηση F:Δ με τύπ: F = f + g Τότε για κάθε Α και 0 έχυμε: F( + + g( + f ( + g( F + F = = 55
Παγκόσμι χωριό γνώσης ( + + ( + ( + ( + f f g g f f g g = = + F( + F( f( + f( g( + g( = + = f + g 0 0 0 Επμένως: F = f + g = f + g για κάθε Δ Από τα παραπάνω συμπεραίνυμε ότι αν ι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες σε διάστημα Δ, τότε: ( κ f( +λ g( =κ f ( +λ g ( για κάθε Δ και κ, λ 2 Αν ι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες σε διάστημα Δ, τότε απδεικνύεται ότι: ( f g f ( g( f( g ( α = + για κάθε Δ β f ( f ( g( f ( g ( 2 g( = g ( για κάθε Δ με g( 0 Άμεση συνέπεια τυ β, είναι: για κάθε Δ με g( 0 ( g( g ( g 2 2 g( = = g ( g, αφύ ( = 0 56