ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι επαναληπτική Εξετάζονται µερικές από τις βασικές έννοιες που θα χρειαστούµε στη ΘΕ Οι Ασκήσεις 9, αναφέρονται στα Κεφάλαιο (Πίνακες, Ορίζουσες, Γραµµικά Συστήµατα) Κεφάλαιο ( ιανυσµατικοί Χώροι) του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Γραµµική Άλγεβρα» των Μ Χατζηνικολάου και Γρ Καµβύσα Η ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας είναι η Νοεµβρίου 005 Βοηθητικό υλικό: Για την εργασία µπορείτε να συµβουλευθείτε το εξής συµπληρωµατικό υλικό που υπάρχει στη http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Επανάληψη βασικών εννοιών από το Λύκειο: Εισαγωγικές Έννοιες της ΘΕ, Εισαγωγικές Ασκήσεις και οι λύσεις τους, Σύνολα Αριθµών, Κεφ Εισαγωγικές Έννοιες Για τα Κεφάλαια και του βιβλίου του ΕΑΠ: από το Ε Υ: Κεφ Γραµµικά Συστήµατα, Κεφ Πίνακες και Γραµµικά Συστήµατα, Κεφ4 Ορίζουσες, Κεφ5 Οι χώροιr^, Κεφ6 ιανυσµατικοί χώροι και Κεφ7 Βάση και ιάσταση από το ΣΕY: Πίνακες, Οι Χώροι R^, ιανυσµατικοί Χώροι

( µον) a (4 µον) Θεωρούµε τις συναρτήσεις f : R R, f( x) = x+ x g: R R, g( x) = x + Εξετάστε ποιες από αυτές είναι - ή/και επί Για κάθε µια συνάρτηση να βρεθεί η εικόνα της Αν µια συνάρτηση είναι αντιστρέψιµη, να βρεθεί η αντίστροφή της 4 Εξετάστε αν για τη σύνθεση ισχύει f g = g f x + b ( µον) Να γραφεί η παράσταση ως άθροισµα µερικών ( x+ )( x+ ) κλασµάτων, δηλαδή να βρεθούν οι πραγµατικοί Α, Β, τέτοιοι ώστε x + A B = + ( x+ )( x+ ) x+ x+ c ( µον) Θεωρούµε το πολυώνυµο f( x) = x + x + ax+, όπου a R Αν µια ρίζα του f ( x ) είναι ρ =, να βρεθεί ο a καθώς και οι υπόλοιπες ρίζες του πολυωνύµου d ( µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z = + i Να βρεθεί το µέτρο, το όρισµα και ο αντίστροφος του z Να υπολογιστεί η δύναµη z 005 Υπόδειξη: βλ Εφαρµογή 44 στο Εισαγωγικές Έννοιες της ΘΕ 5 Να λυθεί η εξίσωση w = + i Λύση a Η f είναι - και επί Πράγµατι, για το - έχουµε f ( x ) = f( x ) x + = x + x = x, και για το επί παρατηρούµε ότι y δοθέντος του y R έχουµε f = y Η g δεν είναι - αφού, για παράδειγµα, g() = g() Σηµείωση Ένας πιο συστηµατικός τρόπος αντιµετώπισης του ερωτήµατος αν η g είναι - είναι να εξετάσουµε αν υπάρχει y R έτσι ώστε η εξίσωση x = y έχει δυο διακεκριµένες ρίζες ως προς x Έχουµε x + x = y yx x+ y = 0 Το τριώνυµο έχει δυο διακεκριµένες λύσεις αν x + και µόνο αν y 0 και η διακρίνουσα = 8y είναι θετική, δηλαδή y,0 0, Συνεπώς η g δεν είναι - 8 8 Το ότι η g δεν είναι επί θα φανεί στο επόµενο υποερώτηµα a Από το a έπεται ότι η εικόνα της f είναι το R Ένα y R ανήκει στην εικόνα της g αν και µόνο αν υπάρχει x R τέτοιο ώστε x y =, δηλαδή yx x + y = 0 Το τριώνυµο (ως προς x) έχει τουλάχιστον µια x +

πραγµατική ρίζα αν και µόνο αν = 4 y( y) 0 y Συνεπώς η 8 8 εικόνα της g είναι το διάστηµα, 8 8 a Η g δεν είναι αντιστρέψιµη αφού δεν είναι - Η f ( x ) είναι αντιστρέψιµη γιατί είναι - και επί Έχουµε f( x) f( x) = x+ x= και συνεπώς η αντίστροφη της f ( x ) είναι η x συνάρτηση f : R R, f ( x) = a4 Παρατηρούµε ότι f( g(0)) = f(0) = και g( f(0)) = f( g(0)) Άρα + f g g f b Έχουµε x+ A B x+ A( x+ ) B( x+ ) = + = + ( x+ )( x+ ) x+ x+ ( x+ )( x+ ) ( x+ )( x+ ) ( x+ )( x+ ) x+ = A( x+ ) + B( x+ ) x+ = ( A+ B) x+ A+ B = A+ B A=, B= = A + B x + Άρα = + ( x+ )( x+ ) x+ x+ ( ) ( ) ( ) c Έχουµε f( ) = 0 + + a + = 0 a= Συνεπώς f( x) = x + x x+ Το x ( ) = x+ διαιρεί το f ( x ) Πραγµατοποιώντας τη διαίρεση βρίσκουµε x + x x+ = ( x+ )( x x+ ) Οι ρίζες του τριωνύµου x x + είναι οι µιγαδικοί αριθµοί ± 4 ±i = Εποµένως οι ρίζες του + i i f ( x ) είναι οι,, z = + = Το πρωτεύον όρισµα θ του z προσδιορίζεται από d Έχουµε ( ) τις σχέσεις cos θ =, si θ =, 0 θ < π Άρα θ = π 6 Έχουµε z z = = i z 4 4

d Από το d έπεται ότι η τριγωνοµετρική µορφή του z είναι π π z = cos + isi, οπότε από το Θεώρηµα De Moivre έχουµε 6 6 005 005 005π 005π z = cos + isi = 6 6 005 cos 4 si 4 005 cos si ( + i) 004 π π π + + i π + 6 6 = π π + i = 6 6 π π d Είδαµε πριν ότι + i = (cos + i si ) Από το Θεώρηµα 45 του 6 6 Εισαγωγικές Έννοιες της ΘΕ έπεται άµεσα ότι οι ζητούµενες λύσεις είναι οι π π + kπ + kπ 5 z cos 6 si 6 k = + i, k = 0,,,, 4 5 5 Αντικαθιστώντας διαδοχικά k = 0,,,, 4 βλέπουµε ότι οι λύσεις είναι 5 π π 5 π π z0 = cos + isi, z = cos + isi 0 0 0 0 5 5π 5π 5 7π 7π z = cos + isi, z = cos + isi 0 0 0 0 5 49π 49π z4 = cos + isi 0 0 (0 µον) x a (5 µον) Έστω A = 0, B = 0 0, C =, όπου x R 4 Από τις παρακάτω παραστάσεις να υπολογισθούν όσες έχουν t νόηµα ΑΒ, ΒΑ, AA, CB, BC, B, A+ B x Εξετάστε αν υπάρχει πίνακας A = τέτοιος ώστε 0 6 6 A = A 0 0 b (5 µον) Έστω Α ένας πραγµατικός πίνακας τέτοιος ώστε A + A + I = 0 Αποδείξτε ότι οι A και A+ I είναι αντιστρέψιµοι και ότι A A+ I = A ( ) 4

Λύση a Έχουµε 5 4 Απλοποιήστε την παράσταση A + A + A + I (βλ Λυµένη Άσκηση 6, Κεφ Πίνακες και Γραµµικά Συστήµατα) x + x AB = =, 0 0 0 0 0 6 t x 0 + x x AA = =, 0 x x 4 + 6 8 BC = = 0 0 = 4 Οι υπόλοιπες παραστάσεις δεν έχουν νόηµα Για παράδειγµα, το πλήθος των στηλών του Β δεν είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του Α και εποµένως δεν ορίζεται το γινόµενο BA Το άθροισµα Α+Β δεν ορίζεται γιατί οι πίνακες Α, Β είναι διαφορετικού µεγέθους a Έχουµε διαδοχικά 6 6 x 6 6 x A = A = 0 0 0 0 0 0 6+ x x+ = 6+ x= x+ x= 6 0 4 0 4 b Έστω ότι οι AI, είναι πίνακες Χρησιµοποιώντας ορίζουσες έχουµε A A I 0 A ( A I) I + + = + = det A det( A I) det( I) ( ) + = = det A 0 det A 0 det( A+ I) 0 det( A+ I) 0 Συνεπώς οι πίνακες AA, + I είναι αντιστρέψιµοι Σηµείωση Θα µπορούσαµε να φτάσουµε στο ίδιο συµπέρασµα χωρίς τη χρήση οριζουσών Πράγµατι από τη σχέση A + A + I = 0 έπονται οι σχέσεις A ( A+ I) = I,( A+ I) A = I και κατά συνέπεια ο A+ I είναι ( ) ( ) αντιστρέψιµος µε ( A+ I) = A Όµοια αποδεικνύεται ότι ο Α είναι αντιστρέψιµος Αντικαθιστώντας χουµε ( ) ( ) A A I A A A A A A + = = + = A Επειδή ο Α είναι αντιστρέψιµος έχουµε A + A = A A A + A = A A ( ) ( ) I + A = A A + A + I = 0 και η τελευταία ισότητα ισχύει b Από τον αλγόριθµο διαίρεσης πολυωνύµων βρίσκουµε 5 4 x + x + x + = ( x + x + )( x + ) x + και εποµένως 5

5 4 A + A + A + I = ( A + A + I)( A + I) A + I = A + I = 0 (0 µον) Ένα αεροσκάφος ίπταται έτσι ώστε οι συντεταγµένες ( x, y, z ) του σηµείου όπου βρίσκεται µετά από λεπτά πτήσης ικανοποιούν τις σχέσεις x+ = x + y z y = y + z z + + = z =,,, όπου x0 = ay, 0 = bz, 0 = c Να βρεθούν οι συντεταγµένες του αεροσκάφους µετά από 5 ώρες πτήσης Υπόδειξη: Έχουµε x+ x y = A y, + z + z όπου A = 0 Παρατηρήστε 0 0 ότι x+ x0 + y+ = A y0 Άρα αρκεί να υπολογίσουµε τη δύναµη z + z 0 A 00 Λύση Αποδείξτε µε επαγωγή ότι Απάντηση: (,, ) x+ x Η σχέση y+ = A y z + z A ( ) = 0 0 0 ( a 600 b 99 c, b 00 c, ) = + + + c x00 y00 z 00 ( ) ισχύει για κάθε µη αρνητικό ακέραιο x x y = A y, Αντικαθιστώντας στην αρχική σχέση και επαναλαµβάνοντας z z τη διαδικασία αυτή παίρνουµε x+ x x x y+ = A y = AA y = A y = z z z z + x x x a AA y A y A y A b z z z 0 c 0 + + = = = 0 = Συνεπώς έχουµε 6

x+ a + ηλαδή y+ = A b z + c Τώρα αποδεικνύουµε επαγωγικά ότι A ( ) = 0, 0 0 Για = η σχέση προφανώς αληθεύει Έστω ότι A ( ) = 0 0 0 για κάποιο Τότε ( ) = = 0 0 = 0 0 0 0 + A A A ( ) ( ) + + + ( ) + ( + ) 0 + = 0 + 0 0 0 0 Τελικά οι ζητούµενες συντεταγµένες δίνονται από τη σχέση ( ) x00 a 00 99 a a+ 600b+ 99 c 00 y00 = A b = 0 00 b = b+ 00c z 00 c 0 0 c c 4 ( µον) a (6 µον) Έστω A = 0 Να υπολογιστεί η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Α (βλ Παράδειγµα στην παράγραφο 4 του βιβλίου του ΕΑΠ) Να λυθεί το σύστηµα: x+ y+ z+ w= x y+ z+ w= x+ y w= Υπόδειξη: είτε το Παράδειγµα, Παρ 4 στο βιβλίο του ΕΑΠ b (6 µον) Εξετάστε για ποιες τιµές της παραµέτρου a R το παρακάτω σύστηµα είναι συµβιβαστό Υπολογίστε τις λύσεις όταν αυτές υπάρχουν 7

x y+ z = x y z = a 5x y+ z = 4 Λύση a Εφαρµόζοντας στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών έχουµε R R R R R R 0 0 0 0 0 R R R R 0 0 0 0 0 0 0 0 R R+ R R R 4 0 0 0 0 0 0 0 4 6 0 0 0 4 Ο τελευταίος πίνακας είναι σε κλιµακωτή µορφή Για να τον φέρουµε σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή πρέπει να µηδενίσουµε τα υπόλοιπα στοιχεία κάθε στήλης που περιέχουν ηγετικό Εφαρµόζοντας τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς R R R, R R R, R R R, βρίσκουµε τον ανηγµένο κλιµακωτό πίνακα 7 0 0 4 0 0 0 0 0 4 α Ο επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος είναι ο πίνακας Α του προηγούµενου υποερωτήµατος Από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή αυτού έχουµε το ισοδύναµο σύστηµα 7 x+ w= 4 y + = z+ w= 4 από το οποίο προκύπτουν άµεσα οι λύσεις 8

7 ( xyzw,,, ) = + w,, ww,, w R 4 4 b Εφαρµόζοντας στον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς R R R, R R 5 R, R R R, βρίσκουµε τον πίνακα 0 4 a 0 0 0 a Περίπτωση Έστω a Τότε από την τελευταία γραµµή συµπεραίνουµε ότι το σύστηµα είναι αδύνατο Περίπτωση Έστω a = Τότε ο ανωτέρω πίνακας είναι ο 0 4 0 0 0 0 και εύκολα βλέπουµε ότι οι λύσεις είναι ( xyz,, ) = ( + z, + zz, ), z R 5 (0 µον) a x a x i a (4 µον) Υπολογίστε τις ορίζουσες det + i i, det b y b y c z c z + a b c d a b c d b (6 µον) Αποδείξτε ότι det + = + a + b + c + d a b + c d a b c + d Υπόδειξη: Προσθέστε στην πρώτη στήλη όλες τις άλλες και βγάλτε κοινό παράγοντα Στη συνέχεια, µετατρέψτε τον πίνακα σε τριγωνικό Λύση a Έχουµε det i = ( i)( i) ( + i) = 6 i + i i a x a x Αν στην τρίτη στήλη του πίνακα b y b y προσθέσουµε τη δεύτερη στήλη, c z c z a x a τότε προκύπτει ο b y b Άρα c z c a x a x a x a a x a det b y b y = det b y b = det b y b = 0, c z c z c z c c z c 9

a x a γιατί ο πίνακας b y b έχει δυο ίσες στήλες c z c b Προσθέτοντας στην πρώτη στήλη όλες τις υπόλοιπες στήλες προκύπτει ο πίνακας + a+ b+ c+ d b c d + a+ b+ c+ d + b c d Άρα + a+ b+ c+ d b + c d a b c d b c d + + + + + + a b c d + a+ b+ c+ d b c d det + b c d + a+ b+ c+ d + b c d = det = b + c d + a+ b+ c+ d b + c d b c d a b c d b c d + + + + + + b c d + b c d ( + a+ b+ c+ d) det b + c d b c d + Στον τελευταίο πίνακα αφαιρούµε την πρώτη γραµµή από κάθε άλλη γραµµή, οπότε b c d προκύπτει ο 0 0 0 Αυτός είναι τριγωνικός και η ορίζουσά του είναι 0 0 0 0 0 0 Τελικά, + a b c d b c d det + b c d + b c d = ( + a+ b+ c+ d)det = b + c d b + c d b c d b c d + + b c d 0 0 0 ( + a+ b+ c+ d) det = + a+ b+ c+ d 0 0 0 0 0 0 0 6 (0 µον) Έστω A = 7, όπου a R Εφαρµόζοντας τον Αλγόριθµο 4 a Υπολογισµού Αντίστροφου Πίνακα (βλ Πίνακες σελίδα 4, ή Παράδειγµα 6 στην παράγραφο 4 του βιβλίου του ΕΑΠ) να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες ο Α είναι αντιστρέψιµος και για τις τιµές αυτές να υπολογιστεί ο A Λύση 0

0 0 0 Σχηµατίζουµε τον 6 πίνακα ( AI, ) = 7 0 0 Με στοιχειώδεις 4 a 0 0 µετασχηµατισµούς γραµµών R R 4 R, R R R κλπ παίρνουµε τον πίνακα 0 0 0 B = 0 0 0 0 a + Περίπτωση Έστω a = Τότε το αριστερό µισό του πίνακα αυτού είναι ο 0 K = 0 που είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Επειδή ο Κ είναι 0 0 0 διάφορος του Ι, συµπεραίνουµε από τον αλγόριθµο υπολογισµού αντίστροφου πίνακα (βλ Πίνακες σελίδα 4) ότι ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος Περίπτωση Έστω a Τότε συνεχίζουµε µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών για να φέρουµε το αριστερό µισό του B σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Μετά από R, R R R + a + R κλπ βρίσκουµε τον πίνακα a 7 0 0 a a a a 4 a 0 0 Επειδή το αριστερό µισό του πίνακα a a a 0 0 a a a αυτού είναι ο Ι, συµπεραίνουµε ότι το δεξιό µισό είναι ο αντίστροφος του Α, δηλαδή a 7 a a a a 4 a A = a a a a a a Σηµείωση: Στις λύσεις των ασκήσεων 7-9, ακολουθείται η µέθοδος του δεύτερου αλγορίθµου στη σελίδα 0 του βιβλίου 7 ( µον) ίδονται τα υποσύνολα του R : V = {(x+ y+ z, x z, y z), x, y, z } U = {( x, y, z) : y = z και x =, z x, y, z } W = {( x, y, z) : x = z, x, y, z } είξτε ότι είναι υπόχωροι του R και βρείτε µία βάση για τον καθένα

Εξετάσετε αν ο χώρος R είναι ευθύ άθροισµα των U και W Λύση Επειδή (x+ y+ z, x z, y z) = x(,,0) + y(,0,) + z(,, ) έχουµε ότι το σύνολο V είναι το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των (,,0), (,0,), (,, ) Αρα είναι διανυσµατικός υπόχωρος του R Για µία βάση του αρκεί να θεωρήσουµε τον πίνακα µε στήλες τις συντεταγµένες των παραπάνω γεννητόρων και να βρούµε µία κλιµακωτή µορφή του 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Επειδη οι στηλες της κλιµακωτής µορφής είναι γραµµικά ανεξάρτητες έπεται ότι και οι στηλες του αρχικού πίνακα είναι γραµµικά ανεξάρτητες δηλαδή µία βάση του V είναι τα διανύσµατα (,,0), (,0,), (,, ) και η διασταση του είναι ίση προς Αρα V = R U = {( x, y, z) : y = z και x =, z x, y, z } ={ ( zzz,, ) : z } δηλαδή το σύνολο U είναι το σύνολο όλων των πολλαπλασίων του διανύσµατος α=(,,) και συνεπώς είναι ο υπόχωρος του R που γεννάται από αυτό το διάνυσµα που αφού είναι µη µηδενικό το σύνολο {α} αποτελεί και βάση του U Η διασταση του U ισούται προς Επειδή W= {( xyz,, ) : x= z, xyz,, } = {( zyz,, ) : x= z, yz, } και (, z y,) z = z(,0,) + y(0,,0) έχουµε ότι το σύνολο W είναι το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των διανυσµάτων (,0,), (0,,0) στον χώρο R Αρα το σύνολο W είναι υπόχωρος του R και επειδή τα διανύσµατα (,0,), (0,,0) που τον γεννούν είναι γραµµικά ανεξάρτητα αποτελούν βάση του και η διάστασή του είναι ίση µε Για να εξετάσουµε αν ο χώρος R είναι ευθύ άθροισµα των U και W αρκεί να εξετάσουµε αν το (,,) µοναδικό διάνυσµα της βάσης του U µαζί µε τα διανύσµατα (,0,), (0,,0) (που αποτελούν βάση του W) είναι βάση του R Αυτό όντως συµβαίνει καθώς το (,,) δεν ανήκει στον W (πράγµατι καθώς ) οπότε δεν γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των (,0,), (0,,0) Αρα ο χώρος R είναι ευθύ άθροισµα των U και W

4 8 ( µον) Έστω W και W οι υπόχωροι του R που παράγονται από τα διανύσµατα α = (,, -, - ), α = (,,, ), α = (-, 0,, -) και β = (, 5, - 6, - 5), β = (,,- 7, ) Βρείτε τις διαστάσεις και βάσεις των W,W, W + W και W W Υπόδειξη Βλ Λυµένη Άσκηση από το Κεφ7 Βάση και ιάσταση Λύση Επειδή ο χώρος W + W παράγεται από το σύνολο των διανυσµάτων α, α, α, β, β, σχηµατίζουµε τον πίνακα Π µε πρώτες στήλες τα α, α, α και τελευταίες τα β, β και στην συνέχεια κάνοντας πράξεις στις γραµµές του πίνακα Π καταλήγουµε σε ισοδύναµο πίνακα σε κλιµακωτή µορφή: 0 5 0 5 4 Π= 6 7 0 4 0 4 8 5 0 7 0 5 4 0 0 0 7 0 5 4 0 0 0 0 0 5 4 0 7 0 7 0 0 0 0 0 0 4 6 0 0 4 6 0 0 6 5 0 0 6 5

0 0 0 0 0 0 4 6 0 0 0 0 6 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =Π 0 0 0 0 0 0 Στον τελευταίο πίνακα είναι φανερό ότι: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ_ Το σύνολο που απαρτίζεται από τις στήλες η, η, η είναι ένα από τα µεγαλύτερα γραµµικά ανεξάρτητα σύνολα στηλών και 5 η ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ_ Το σύνολο που απαρτίζεται από τις στήλες η, η και η είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ_ Το σύνολο που απαρτίζεται από τις στήλες 4 η και 5 η είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ_4 Η 4η στήλη γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των τριών πρώτων στηλών (= φορές η η φορές η ) Λόγω του ότι Π ' = PΠ όπου P αντιστρέψιµος πίνακας (επειδή οι πράξεις στις γραµµές ενός πίνακα ισοδυναµούν µε πολλαπλασιασµό από τα αριστερά µε κατάλληλο αντιστρέψιµο πίνακα) και επειδή κάθε στήλη του Π ' ισούται µε το γινόµενο του P επι την αντίστοιχη στήλη του Π από τα παραπάνω συνάγονται τα εξής: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ_ Τα διανύσµατα α, α, α, β είναι γραµµικά ανεξάρτητα και παράγουν (γεννούν) τον χώρο W + W άρα µια βάση του W + W είναι η { α, α, α, β } και συνεπώς dim (W + W )= 4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ_ Τα διανύσµατα α, α, α είναι γραµµικά ανεξάρτητα και παράγουν (γεννούν) τον χώρο W, άρα µια βάση του W είναι η { α, α, α } και συνεπώς η διάσταση του W ισούται προς (dim W =) 4

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ_ Τα διανύσµατα β, β είναι γραµµικά ανεξάρτητα άρα µια βάση του W είναι η { β, β } και συνεπώς dim W = ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ_4 Το διάνυσµα β που ανήκει στον W είναι γραµµικός συνδυασµός των α, α, α, (β = α -α -α ) άρα ανήκει και στον χώρο W συνεπώς και στην τοµή τους δηλαδή στον χώρο W W Επιπλέον από την σχέση για την διάσταση του αθροίσµατος υποχώρων έχουµε ότι dim( W W χωρου W W ) = dim W + dim W - dim(w + W )=+-4=, άρα µία βαση του είναι το µονοσύνολο {β }αφού το β είναι µη µηδενικό διάνυσµα (Σε περίπτωση που δεν ισχύει κάτι ανάλογο µε την ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ_4 και το ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ_4, για να βρούµε την διάσταση της τοµής των υποχώρων θα είχαµε να λύσουµε ένα οµογενές σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε πίνακα συντελεστών ουσιαστικά τον παραπάνω πίνακα Π) 5

4 9 ( µον) Έστω S={u, u, u, u 4 }µία βάση του R Θεωρούµε το σύνολο T={v, v, v, v 4 } µε v = u + u + u +u 4, v = u + u +u 4, v = u + u +u 4, v 4 = u + u +α u 4, όπου α πραγµατική παράµετρος a Να βρεθούν όλες οι τιµές του α για τις οποίες το σύνολο T είναι βάση του 4 R b Για τις τιµές αυτές του α να βρεθεί ο πίνακας αλλαγής βάσης από την S στην Τ και να γραφεί το διάνυσµα v = u - u - u + u 4 στην βάση Τ Υπόδειξη Βλ Παραδείγµατα της Παραγράφου 9 του βιβλίου του ΕΑΠ Λύση 4 Για να είναι το σύνολο T βάση του R αρκεί τα διανύσµατα v, v, v, v 4, να είναι 4 γραµµικώς ανεξάρτητα (καθώς η διάσταση του χώρου R είναι τέσσερα και το σύνολο T αποτελείται από 4 στοιχεία) Επιπλέον αν τα διανύσµατα v, v, v, v 4, αποτελούν βάση τότε οι συντελεστές λ, λ, λ, λ 4 ώστε να ισχύει η σχέση v = λ v + λ v + λ v + λ 4 v 4 ικανοποιούν την σχέση [v] S = λ [v ] S + λ [v ] S + λ [v ] S + λ 4 [v 4 ] S όπου [v] S ο πίνακας στήλη συντεταγµένων του διανύσµατος v ως προς την βάση S Άρα µπορούµε να εργαστούµε µε τα διανύσµατα (στήλες) συντεταγµένων ως προς την βάση S και να απαντήσουµε και στα σύο ερωτήµατα θεωρώντας τον επαυξηµένο πίνακα Α µε στήλες τα διανύσµατα συντεταγµένων των v, v, v, v 4 και v ως προς την βάση S Προχωρούµε στην κλιµακωτή του µορφή: 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 a 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 a 4 Και στο σηµείο αυτό είµαστε σε θέση να συµπεράνουµε ότι: 4 Για να αποτελούν τα διανύσµατα v, v, v, v 4, βάση του R, πρέπει και αρκεί α 6

Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας αλλαγής βάσης από την S στην Τ είναι o πίνακας 0 0 που απαρτίζεται από τις 4 πρώτες στήλες του Α δηλαδή ο B = και οι 0 a συντελεστές λ, λ, λ, λ 4 βρίσκονται προχωρώντας στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Α: 0 4/( a) 0 0 0 0 0 4/( a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/( a) 0 0 0 4/( a) 0 0 4/( a) 0 0 0 4/( a) 0 0 0 0 0 0 4/( a) 0 0 0 4 0 0 0 ( a)/( a) 0 0 0 0 0 0 4/( a) Αρα λ =-4, λ =(-α)/(-α), λ =, λ 4 =4/(-α) a 4 και v = 4v + v + v + v a a 4 Ενας άλλος τρόπος για να γράψουµε το διάνυσµα v στην βάση Τ είναι να βρούµε τον πίνακα αλλαγής βάσης από την Τ στην S που είναι ο αντίστροφος του Β: 0 a a 0 a a a B = 0 0 0 a a a και να τον πολλαπλασιάσουµε µε τον πίνακα στήλη συντεταγµένων του που v ως προς την βάση S: 7

0 4 a a a 0 a a a a = 0 0 4 0 a a a a a 4 Έτσι βρίσκουµε ότι v = 4v + v + v + v a a 4 8