f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του στο διάστηµα, αυξάνουν και οι αντίστοιχες τιµές της συνάρτησης Για οποιαδήποτε, µε <, f < f Στην περίπτωση αυτή ισχύει: ( ) ( ) λέµε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα Γενικά έχουµε τον επόµενο ορισµό: Ορισµός f( ) f( ) Ο α β Μία συνάρτηση f λέγεται: γνησίως αύξουσα, σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για κάθε, µε <, ισχύει: f < f Συµβολικά γράφουµε: f ( ) ( ) Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του στο διάστηµα, οι αντίστοιχες τιµές της συνάρτησης ελλατώνονται Για οποιαδήποτε, µε <, f > f Στην περίπτωση αυτή ισχύει: ( ) ( ) λέµε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα Γενικά έχουµε τον επόµενο ορισµό: f( ) f( ) Ο α β Ορισµός Μία συνάρτηση f λέγεται: γνησίως φθίνουσα, σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για κάθε, µε <, ισχύει: f > f ( ) ( ) Συµβολικά γράφουµε: f Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίου ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

ορισµού της, τότε λέµε απλώς ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, τότε λέµε ότι η f είναι γνησίως µονότονη στο Παρατήρηση Είναι δυνατόν µια συνάρτηση f, να είναι γνησίως µονότονη σε δύο υποδιαστήµατα,, του πεδίου ορισµού της µε το ίδιο είδος µονοτονίας και να µην είναι γνησίως µονότονη στην ένωση αυτών Λόγος Μεταβολής Έστω µια συνάρτηση f : A R και, f λ A µε O λόγος ( ) f( ) λέγεται λόγος µεταβολής ή πηλίκο διαφορών της f στα και Αποδεικνύεται η επόµενη Πρόταση ίνεται η συνάρτηση f :A R και Α Θεωρούµε τον λόγο µεταβολής: f( ) f( ) λ µε, και Η f είναι γνησίως αύξουσα στο αν και µόνο αν, λ> 0 για κάθε, Η f είναι γνησίως αύξουσα στο αν και µόνο αν, λ< 0 για κάθε, Πως µελετούµε την µονοτονία µιας συνάρτησης Τη µονοτονία µιας συνάρτησης f µελετούµε µε τους εξής τρόπους: (i) Με τον ορισµό (ii) Με το λόγο µεταβολής Όταν το πεδίο ορισµού Α µιας συνάρτησης f είναι ένωση διαστηµάτων συνήθως µελετούµε την µονοτονία της f πρώτα σε κάθε ένα από αυτά και κατόπιν στην ένωση τους Σχόλιο Στην Γ Λυκείου θα µάθουµε να µελετάµε πιο εύκολα την µονοτονία µιας συνάρτησης f µε την βοήθεια των παραγώγων ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

Λύση εξισώσεων ανισώσεων µε την βοήθεια της µονοτονίας συναρτήσεων Θεώρηµα Αν η συνάρτηση f :A Rείναι γνησίως µονότονη τότε η f c, µε c R έχει το πολύ µία πραγµατική εξίσωση ( ) ρίζα Πορίσµατα Σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα : αν η συνάρτηση f :A R είναι γνησίως f 0 έχει το πολύ µία πραγµατική ρίζα, δηλαδή η µονότονη τότε η εξίσωση ( ) γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τον άξονα το πολύ σε ένα σηµείο Aν η συνάρτηση f :A Rείναι γνησίως αύξουσα και έχει ρίζα την α, τότε,α α,+ παίρνει στο διάστηµα ( ) η f παίρνει αρνητικές τιµές και στο διάστηµα ( ) θετικές τιµές Aν η συνάρτηση f :A Rείναι γνησίως φθίνουσα και έχει ρίζα την α, τότε στο,α α,+ παίρνει διάστηµα ( ) η f παίρνει θετικές τιµές και στο διάστηµα ( ) αρνητικές τιµές Θεώρηµα Αν η συνάρτηση f :A Rείναι γνησίως µονότονη τότε ισχύει η ισοδυναµία: f( ) f( ) για κάθε, A Θεώρηµα Αν η συνάρτηση f :A R είναι: (i) Γνησίως αύξουσα τότε για κάθε, ( ) ( ) (ii) Γνησίως φθίνουσα τότε για κάθε, A ισχύει η ισοδυναµία: f < f < ( ) ( ) A ισχύει η ισοδυναµία: f < f > Τα προηγούµενα είναι χρήσιµα για την λύση εξισώσεων και ανισώσεων όταν δεν λύνονται µε τους κλασικούς τρόπους C f c α ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

II ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ορισµός Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α λέµε ότι παρουσιάζει στο o ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο όταν: f f, για κάθε A Το o ( ) ( ) o A A λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το f( ) λέγεται ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της συνάρτησης f και συµβολίζεται µε minf( ) Ορισµός Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α λέµε ότι παρουσιάζει στο o ολικό µέγιστο ή απλώς µέγιστο όταν: f f, για κάθε A Το o ( ) ( ) o A λέγεται θέση µεγίστου, ενώ το f( ) λέγεται ολικό µέγιστο ή απλώς µέγιστο της συνάρτησης f και συµβολίζεται µε maf( ) o o A Το ( ολικό ) µέγιστο και το ( ολικό ) ελάχιστο µιας συνάρτησης f λέγονται ( ολικά ) ακρότατα της f Πως βρίσκουµε τα ακρότατα µιας συνάρτησης Τα (ολικά ) ακρότατα µίας συνάρτησης f τα βρίσκουµε µε τους παρακάτω τρόπους: Με τη βοήθεια καθολικών ανισοτήτων Από το σύνολο τιµών της συνάρτησης Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Σχόλιο Στην Γ Λυκείου θα µάθουµε να βρίσκουµε εύκολα τα ακρότατα µιας συνάρτησης f µε την βοήθεια των παραγώγων ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 4

III ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ( ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ) Άρτια συνάρτηση Ορισµός Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α, λέγεται άρτια όταν για κάθε A ισχύουν: A και f( ) f( ) Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα αλλά και αντίστροφα αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα τότε είναι άρτια Ο Περιττή συνάρτηση Ορισµός Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α, λέγεται περιττή όταν για κάθε A ισχύουν: A και f( ) f( ) Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή O των αξόνων αλλά και αντίστροφα αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή O των αξόνων τότε O είναι περιττή Σχόλιο Αν µία συνάρτηση f είναι περιττή και το 0 ανήκει στο πεδίο ορισµού της, τότε f 0 0 ( ) Παρατήρηση Μερικές φορές, για την µελέτη µιας συνάρτησης της µορφής: (i) f( ) α + β+ γ, α 0 είναι χρήσιµο να την µετατρέουµε στη µορφή f( ) α( + κ) + λ, µε την µέθοδο της συµπλήρωσης τετραγώνου α+ β γ+ δ διαιρώντας τον αριθµητή µε τον παρανοµαστή (ii) f( ) είναι χρήσιµο να την µετατρέουµε στη µορφή ( ) υ f π+ γ +, δ ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη, τότε η εξίσωση f( ) 0 έχει: Α Έχει ακριβώς µία λύση Β Τουλάχιστον µία λύση Γ Το πολύ µία λύση Η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη και f( ) 0 Η εξίσωση ( ) έχει λύση: Α Β Γ 0 0 Ε Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και f( 8) 4 λύση:, f + 0 0 0 Η ανίσωση ( ) f > 4έχει Α ( ) Β (, ) (, + ) Γ (, ) (, + ) (,) 4 Αν συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται A 7,, B( 5, 4) τότε η f από τα σηµεία ( ) A Είναι γνησίως αύξουσα Β Είναι γνησίως φθίνουσα Γ εν είναι γνησίως µονότονη εν γνωρίζουµε την µονοτονία της 5 Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το Rκαι παρουσιάζει ελάχιστο για 5 τότε η συνάρτηση g( ) f( ) + παρουσιάζει ελάχιστο για Α Β Γ Ε 5 6 Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το Rκαι έχει ελάχιστο το τότε για κάθε R ισχύει: Α f( ) Β f( ) Γ f( ) + 0 f( ) 8 Ε ( ) 7 Αν η συνάρτηση f( ) ( ) ( ) f 8 4 + α+ 4 είναι άρτια, τότε το α είναι ίσο µε α+ + 7 Α 5 Β 4 Γ Ε 8 H συνάρτηση f είναι άρτια, η συνάρτηση g είναι περιττή και ισχύει: g( ) + f( 5) f( 5) g( ) + 6 Το f( 5 ) είναι ίσο µε Α 6 Β 4 Γ Ε 9 Η συνάρτηση f είναι άρτια και για κάθε Rισχύει f( ) + 4 f( ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο A(, ) τότε το f()είναι Α 5 Β 4 Γ Ε ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 6

0 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R Rµε f( 6) και g( 4) 5 Αν η συνάρτηση f είναι άρτια, η g είναι περιττή και h( ) 6f 4g + g( + ) το h( ) είναι: Α Β 8 Γ 0 8 Ε Η συνάρτηση f( ) α + β+ γ, α, β, γ R είναι περιττή όταν: Α γ< 0, β 0 Β β 0 Γ γ> 0, α β 0 γ 0και α 0 ή β 0 Ε α+ β 0, γ 0 Περιττή είναι η συνάρτηση: 8 Α f( ) + Β f( ) Γ f 4 ( ) + f( ) + 4 Ε f( ) ( ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : R Rείναι συµµετρική ως προς τον 4 f 8 6 f 4 f είναι: άξονα και για κάθε Rισχύει ( ) + ( ) + Το ( ) Α Β 0 Γ Ε 4 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : R Rείναι συµµετρική ως προς την f + 6 4 f αρχή Ο( 0,0 ) των αξόνων και για κάθε R ισχύει ( ) ( ) Το f( ) είναι: Α Β 0 Γ Ε, ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 7

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μονοτονία Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων: 5 f (ii) f( ) 4 (iii) f( ) (i) ( ) Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων: (i) f( ) 4 (ii) f( ) ( + ) 7 (iii) f( ) Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων: + (iv) f( ) (iv) f( ) + 7 5 (i) f( ) (ii) f( ) (iii) f ( ) (iv) f( ) + 4 Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων : + (i) f( ) (ii) f( ) (iii) f( ) + (iv) f( ) 5 Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων: 4 5 (i) f( ) (ii) f( ) (iii) f( ) + 9 (iv) f( ) + 4 6 Να µελετήσετε την µονοτονία των συναρτήσεων: f f f 4 + 5 (i) ( ) (ii) ( ) + + (iii) ( ) Μονοτονία και λύση εξισώσεων ανισώσεων 7 Η συνάρτηση f : R Rείναι γνησίως φθίνουσα µε f( ) 0 (i) Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης g( ) f( 5 ), (ii) Να βρείτε τα πρόσηµα των συναρτήσεων f και g 8 (i) Να αποδείξετε ότι κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση f : A R έχει το πολύ µια πραγµατική ρίζα (ii) Να λύσετε την εξίσωση 45 8 7 0 9 Η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως µονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία A, B,0 (i) Να βρείτε το πρόσηµο της f και ( ) 4 (ii) Να λύσετε την εξίσωση f + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 8

(iii) Να λύσετε την ανίσωση f 0 + 0 Η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως αύξουσα και η γραφική της παράσταση A,0 τέµνει τον άξονα στο σηµείο ( ) (i) Να βρείτε το πρόσηµο της f (ii) Να λύσετε την εξίσωση ( ) f 0 4 (iii) Να λύσετε την ανίσωση f 0 6 (iv) Να λύσετε την εξίσωση f + + 0 f 6 + (v) Να λύσετε την ανίσωση f( ) f( 8 0) + 7 ίνεται η συνάρτηση f( ) ( ) ( 5 ) + + (i) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία (ii) Να βρείτε το f( 0 ) (iii) Να βρείτε το πρόσηµο της f Η συνάρτηση f : R Rείναι γνησίως αύξουσα µε f( ) 0 (i) Να βρείτε το πρόσηµο της f (iv) Να βρείτε το πρόσηµο της συνάρτησης g( ) ( ) f f µ + 5 f 7µ 5 (ii) Να λύσετε τις ανισότητες: f( 5 λ ) > 0 και ( ) ( ) (iii) είξτε ότι: αν α, β R µε α 0 ή β 0 τότε f( αβ) f( α β ) Γενικές < + Να αποδείξετε ότι: (i) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα, τότε η συνάρτηση fείναι γνησίως φθίνουσα στο f > 0 για κάθε (ii) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα και ( ), τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο 4 Να αποδείξετε ότι: αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως αύξουσες ή γνησίως φθίνουσες τότε και η συνάρτηση h( ) f( ) + g( ) είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα αντίστοιχα 5 Να αποδείξετε ότι: αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g γνησίως φθίνουσα, τότε η συνάρτηση h( ) f( ) g( ) είναι γνησίως αύξουσα ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 9

Ακρότατα 6 Να βρείτε την µέγιστη τιµή της συνάρτησης (i) f( ) 9 ( ) (ii) f( ) 5 (iii) ( ) 7 Να βρείτε την µέγιστη τιµή της συνάρτησης (i) f( ) 6 (ii) f( ) + 4 (iii) f( ) 8 Να βρείτε την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων: f + + 5 (i) f( ) ( 4) + 5 (ii) f( ) + 6 (iii) f( ) 9 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : + (i) f :[, ] R µε f( ) + 5 (iii) f( ) + f + (ii) ( ) 0 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων και τις τιµές του για τις οποίες παρουσιάζουν ακρότατα: (i) f( ) + (ii) f( ) 8 (iii) ( ) Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης f( ) ίνεται η συνάρτηση f( ) α+ f 6+ 5 5 4+ (i) Να βρείτε τον α Rώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σηµείο Μ(,5 ) (ii) Για την τιµή του α που βρήκατε να µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα Να βρείτε το σύνολο τιµών και τα ακρότατα των συναρτήσεων: + + (i) f( ) (ii) f ( ) + + + 4 Από όλους τους αριθµούς µε άθροισµα 8, να βρείτε αυτούς που έχουν µέγιστο γινόµενο 5 Να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια µε περίµετρο 6m, το τετράγωνο έχει το µεγαλύτερο εµβαδό 6 (i) Να αποδείξετε την ταυτότητα: (+ ) ( ) 4 4 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 0

(ii) Αν οι πραγµατικοί αριθµοί και έχουν σταθερό άθροισµα c, να αποδείξετε ότι c το γινόµενο Γ γίνεται µέγιστο όταν (iii) Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή της συνάρτησης f( ), 0 7 (i) Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) 4 ( ) + + (ii) Aν οι θετικοί αριθµοί και έχουν σταθερό γινόµενο γίνεται ελάχιστο όταν c (iii) Να βρείτε την µικρότερη τιµή της συνάρτησης f( ) Άρτια Περιττή c, το άθροισµα A + 4 +, > 0 8 Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g, φ αντίστοιχα Να µελετήσετε τις συναρτήσεις αυτές ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα Επίσης να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές (i) C f (ii) C (iii) g C φ 5 9 Να συµπληρώσετε τις παρακάτω γραµµές ώστε να παριστάνουν γραφικές παραστάσεις Α Άρτιας συνάρτησης και Β Περιττής συνάρτησης (i) (ii) (iii) Ο 4 Ο 0 Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: (i) f( ) (ii) f( ) 5 (iii) f( ) 5 Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: 6 (i) f( ) + (ii) f( ) 5 + (iii) f( ) + + + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ

Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: 5 4 (i) f( ) + (ii) f( ) 5 + (iii) f( ) Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: (i) ( ) ( ) + 5 f (ii) f( ) ( ) + (iii) f( ) + + 4 Αν η συνάρτηση f :R Rείναι περιττή και παίρνει ελάχιστη τιµή, να δείξετε ότι η f παίρνει και µέγιστη τιµή 5 ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R R Να αποδείξετε τις παρακάτω προτάσεις: (i) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι άρτιες τότε και η συνάρτηση h( ) f( ) + g( ) είναι άρτια (ii) Αν η συνάρτηση f άρτια και η συνάρτηση g είναι περιττή, τότε η συνάρτηση φ f g είναι περιττή ( ) ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ