ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Ασκήσεις με τα χαρακτηριστικά της κίνησης. Μικρές ασκήσεις ου αναφέρονται στους ορισμούς της εριόδου, της συχνότητας, του λάτους και της ενέργειας της ταλάντωσης. Πρέει να γνωρίζουμε τους ορισμούς αυτών των χαρακτηριστικών. Περίοδος είναι ο χρόνος για μια λήρη ταλάντωση. Συχνότητα είναι ο αριθμός των ταλαντώσεων στη μονάδα του χρόνου δηλ. σε 1 sec. Πλάτος είναι η μεγαλύτερη αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας. Ενέργεια της ταλάντωσης είναι η ααιτούμενη ενέργεια για να τεθεί σε ταλάντωση ένα σώμα. Παράδειγμα: Ένα σημειακό αντικείμενο εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με ερίοδο Τ=4sec και λάτος Α=.1m. Ποια ή οιες αό τις αρακάτω ροτάσεις είναι σωστές; α. Η αόσταση ανάμεσα στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης είναι.m. (Διλάσια του λάτους) β. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς της ταχύτητας είναι 4sec. ( Το μισό της εριόδου) γ. Το σημειακό αντικείμενο εκτελεί δύο ταλαντώσεις κάθε 8sec. (Συχνότητα) δ. Στη διάρκεια μιας εριόδου το αντικείμενο έχει διανύσει διάστημα.4m. (Τετραλάσιο του λάτους). Πληροφορίες αό τις εξισώσεις κίνησης. Θα μας δίνεται μία αό τις εξισώσεις κίνησης και εμείς θα βρίσκουμε διάφορα χαρακτηριστικά της κίνησης και θα κατασκευάζουμε γραφικές αραστάσεις.δίνεται η εξίσωση της μεταβολής με το χρόνο ενός μεγέθους της ταλάντωσης (χ. της αομάκρυνσης).συγκρίνουμε την εξίσωση ου μας δίνουν με τη γενική μορφή της αντίστοιχης εξίσωσης ου ξέρουμε αό τη θεωρία. Έστω ότι γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης με το χρόνο: x= 5 ημ 314 t+ Θα την συγκρίνουμε με την γενική μορφή: Αοτέλεσμα της σύγκρισης είναι: ( φ) (SI) x= A ημ ω t+ (SI) Α=5 m ω=314 rad/sec=1 rad/sec
φ =/ rad Τώρα μορούμε άνετα να ροσδιορίσουμε και άλλα χαρακτηριστικά της κίνησης όως: m umax = ω A= 5 sec 4 m αmax = ω A = 51 sec και να γράψουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις τους: u = 5 συν 314 t+ 4 α = 51 ημ 314 t + (SI) Προσοχή: Μορεί να μας δίνουν με έμμεσο τρόο κάοια χαρακτηριστικά της κίνησης. Η αόσταση ανάμεσα στις ακραίες θέσεις : Είναι διλάσια του λάτους. Η ταχύτητα όταν διέρχεται αό τη θέση ισορροίας: Είναι η μέγιστη κατά μέτρο. Η ειτάχυνση στο άκρο της κίνησης: Είναι η μέγιστη. Η δύναμη για να φέρουμε το σώμα στην ακραία θέση και μετά να το αφήσουμε ελεύθερο: Είναι η μέγιστη. Όταν η ταχύτητα είναι μηδέν το σώμα είναι στην ακραία θέση. Όταν μας δίνουν τις σχέσεις : F = D x, α = ω x ρέει να αντιστοιχούμε τα διάφορα μεγέθη με το ρόσημό τους(χ εάν χ=-.m και D=1N/m τότε F=+ N). 3. Πληροφορίες αό τις γραφικές αραστάσεις. Θα μας δίνεται μία γραφική αράσταση και εμείς θα βρίσκουμε διάφορα χαρακτηριστικά της κίνησης και θα κατασκευάζουμε άλλες γραφικές αραστάσεις και εξισώσεις.στο διλανό σχήμα έχουμε τη μεταβολή της αομάκρυνσης με το χρόνο.παρατηρούμε ότι: Α=.4m T = sec f =.5Hz ω=rad / sec u α MAX ΜΑΧ =ω A =.4 m / sec =ω Α=.4 m / sec t = x =,u< ϕ =rad Τώρα μορούμε να γράψουμε όλες τις εξισώσεις με το χρόνο. o
4. Προσδιορισμός της αρχικής φάσης. x =.4ημ t+ u =.4συν t + α =.4ημ t + Η αρχική φάση ροσδιορίζεται αό τις αρχικές (για t=)συνθήκες της αομάκρυνσης και της ταχύτητας ενός κινητού ου εκτελεί α.α.τ. Οι συνθήκες αυτές θα δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης.πότε δεν θα έχουμε αρχική φάση; Όταν για t=, το κινητό ερνά αό τη θέση ισορροίας (x=o) με θετική ταχύτητα(u>).πότε θα έχουμε αρχική φάση; Σε όλες τις άλλες εριτώσεις. Η τιμή της αρχικής φάσης βρίσκεται λύνοντας μια τριγωνομετρική εξίσωση. Ας δούμε μερικά αραδείγματα. [Α] Γιαt= x =, u>. Αό τη γενική εξίσωση της αομάκρυνσης έχουμε: ( φ ) x A t ημφ = ημφ = ημ φ = κ, φ = κ + 1) } t= x= = ημ ω + A = A ημφ { ( όμως φ <. Άρα φ =,.Ποια αό της δύο θα είναι αοδεκτή θα μας το εί η ταχύτητα. Πράγματι για t= έχουμε: t= u = ωα συν ( ω t+ φ) u = ωα συνφ Εάν θέσουμε φ = αίρνουμε u> ενώ με φ = αίρνουμε u<.δεκτή είναι ροφανώς η φ =.Η εξίσωση τελικά γίνεται : χ=α ημωt [Β] Για t = x= A. Όμοια, αό τη γενική εξίσωση της αομάκρυνσης έχουμε: t= x= A x= A ημ ( ω t+ φ) A= A ημφ ημφ = 1 φ = Άρα η εξίσωση γίνεται : x = A ημ ω t+ = A συν ( ω t ) 5. Προσδιορισμός του χρόνου. Όταν μας ζητούν να ροσδιορίσουμε σε οια χρονική στιγμή το κινητό διέρχεται αό μια ορισμένη θέση. Αφού έχουμε βρεί την αρχική φάση, αντικαθιστούμε την τιμή της θέσης στην εξίσωση της αομάκρυνσης με το χρόνο και λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση ου ροκύτει. Ας δούμε ένα αράδειγμα. [Α].Για ένα κινητό ου εκτελεί α.α.τ, η εξίσωση της αομάκρυνσης με το χρόνο δίνεται αό τη σχέση:
x = A ημ t Να βρείτε τη χρονική στιγμή στην οοία το κινητό ερνά αό τη θέση χ=α / με κατεύθυνση ρος τη θέση ισορροίας για ρώτη φορά. Πρώτος τρόος λύσης: Στην εξίσωση της αομάκρυνσης θέτουμε χ = Α / και υολογίζουμε το χρόνο. A 1 = A ημ t = ημ t ημ = ημ t 6 ή t = k + t = k + Εειδή για ρώτη φορά θα εράσει αό αυτή τη θέση ρέει να βρούμε το μικρότερο χρόνο. Γι αυτό διαλέγουμε κ =. Μετά αό ράξεις στις δύο αραάνω εξισώσεις αίρνουμε: t 1 = 1sec και t = 5sec. Πάλι όμως ρέει να ειλέξουμε μεταξύ των δύο. Εειδή μας ζητά η ταχύτητα να βλέει ρος τη θέση ισορροίας θα έχουμε u<.πηγαίνουμε στην εξίσωση της ταχύτητας και θέτουμε όου t τις αντίστοιχες τιμές 1sec και 5sec.Τότε θα έχουμε: u( t = 1sec) = umax συν 1 > u( t = 5sec) = umax συν 5 < Προφανώς δεκτή είναι η τιμή t=5sec. Δεύτερος τρόος λύσης: Όως φαίνεται και αό το διλανό σχήμα, όταν ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση η ροβολή του εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Αό τη θέση χ = Α/ η ροβολή ερνά δύο φορές : διαδρομή Ο Ρ σε χρόνο t 1 διαδρομή Ο Ρ Π Ρ σε χρόνο t. Την ίδια ώρα στην κυκλική κίνηση το κινητό ηγαίνει αό : διαδρομή Κ Λ σε χρόνο t 1 διαδρομή Κ Λ Π Μ σε χρόνο t. Εειδή ΟΡ=Α/ η γωνία ΟΛΡ=3. Άρα η είκεντρη γωνία ΚΟΜ=3 +6 +6 =15. Με τη βοήθεια της σχέσης: 5 Δ φ = ω Δt = Δt Δ t = 6. Συνθήκη για αλή αρμονική ταλάντωση. 5sec Σ αυτή τη κατηγορία ασκήσεων μας ζητούν να αοδείξουμε ότι ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Αυτό θα συμβαίνει εάν αοδείξουμε ότι η συνιστάμενη δύναμη είναι ανάλογη της αομάκρυνσης και αντίθετη αό αυτήν. Σ F = D x Για την αόδειξη ακολουθούμε τα αρακάτω βήματα :
1. Τοοθετούμε τις δυνάμεις άνω στο σώμα στη θέση ισορροίας.. Εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροίας ΣF= στον άξονα της κίνησης και σημειώνουμε τη σχέση ου ροκύτει. 3. Σε μία τυχαία θέση, αφού τοοθετήσουμε τις δυνάμεις στον άξονα της κίνησης, υολογίζουμε τη συνιστάμενη δύναμη μέχρι να καταλήξουμε στη μορφή: Σ F = D x m 4. Αντικαθιστούμε τη σταθερά D στη σχέση: T = και υολογίζουμε D τη ερίοδο της ταλάντωσης. 7. Εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Ένα βασικό εργαλείο για τη λύση των ασκήσεων είναι και η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στην αλή αρμονική ταλάντωση. Συνήθως εφαρμόζεται όταν η άσκηση μας δίνει ζευγάρια (x,u) ή (q,i) ενώ αουσιάζει ο χρόνος. Προσοχή!!! Στην ακραία θέση τα ζευγάρια είναι (x=a,u=) (q=q max,i=) ενώ στη θέση ισορροίας (x=,u=u max ) (q=,i=i max ). Τότε ανάμεσα στα ζευγάρια γράφουμε: 1 1 Ε ολ = Ε = = u ή στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις ( x, u ) ( x, u ) D A m 1 1 ολ m ax 1 1 Q max Ε ολ ( q1, i1) = Ε ολ ( q, i ) = L I m ax = C Διαλέγουμε την ισότητα ου εριέχει τον άγνωστό μας και λύνουμε. 8. Κρούση και ταλάντωση. Διακρίνουμε τρία στάδια στη λύση της άσκησης: 1. Πριν τη κρούση: Συνήθως εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε ή το Θ.Μ.Κ.Ε ή τις εξισώσεις κίνησης της Α Λυκείου με σκοό να βρούμε τις ταχύτητες των σωμάτων λίγο ριν την εαφή τους.. Κατά τη κρούση: Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ο ανάμεσα στις καταστάσεις λίγο ριν και λίγο μετά τη κρούση με σκοό να βρούμε τις τελικές ταχύτητες των σωμάτων. 3. Μετά τη κρούσ η: Όμοια εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε ή Θ.Μ.Κ.Ε ή τις εξισώσεις κίνησης με σκοό να βρούμε ένα νέο λάτος ή μια νέα ταχύτητα ή ένα νέο ύψος. Οι κρούσεις ου θα συναντήσουμε μορεί να είναι : ελαστικές λαστικές ( τα σώματα μετά τη κρούση συμεριφέρονται σαν ένα συσσωμάτωμα και έχουν αοκτήσει την ίδια (κοινή) ταχύτητα. Σύμφωνα με την Α.Δ.Ο ισχύει: