Μία ιστρία στην ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ Κατά την περσινή σχλική χρνιά, στα πλαίσια της Π.Δ.Σ. πρσπάησα, αντί να λύσ ασκήσεις πυ μπρεί να υπάρχυν σε πλλά ιαφρετικά εξσχλικά βιβλία, να εάν ι μαητές μυ έχυν πραγματικά κατανήσει μερικά βασικά πράγματα πάν στην εξαναγκασμένη ταλάντση, εξετάζντας τ έμα αυτό πιτικά. πέειξα λιπόν στυς μαητές τυς τύπυς τυ πλάτυς στην εξαναγκασμένη ταλάντση καώς και την εφ όπυ η ιαφρά φάσης απμάκρυνσης και ιεγείρυσας ύναμης χρησιμπιώντας απλά μαηματικά, πυ ήη έχυν ιαχεί σε πρηγύμενες τάξεις. Όταν ένα σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντση ενεργύν πάν τυ τρεις υνάμεις: α. Η ύναμη επαναφράς επ =-x, πυ είναι η συνισταμένη τν υνάμεν πυ πρκαλύν την ελεύερη και αμείτη ταλάντση, β. Η ύναμη αντίστασης αντ =-u, γ. Η εξτερική περιική ύναμη ιέγερσης, η πία ασκείται στ σώμα από τ ιεγέρτη με μια συχνότητα πυ λέγεται συχνότητα ιέγερσης f. Εάν η εξτερική περιική ύναμη είναι της μρφής = ax ημ t, τότε η εφαρμγή τυ υ Νόμυ τυ Νεύτνα ίνει: x u a χ u d x dt Σ a επ dx dt ax αντ ημ t a ax x ημ t ax a ημ t Η λύση της παραπάν ιαφρικής εξίσσης είναι η: χ=ημ t- ax όπυ 1 και εφ Βλέπυμε ότι είναι η ιαφρά φάσης μεταξύ της απμάκρυνσης χ και της ιεγείρυσας ύναμης. Παρατηρύμε ότι : Τ πλάτς τη εξαναγκασμένης ταλάντσης εν εξαρτάται από τν χρόν όπς συμβαίνει στην φίνυσα ταλάντση και Τ πλάτς της εξαναγκασμένης ταλάντσης εν είναι μια πσότητα πυ παίρνει αυαίρετες τιμές, αλλά εξαρτάται από τη γνιακή συχνότητα τυ ιεγέρτη.
ax πόειξη τν σχέσεν 1 και εφ χρήση περιστρεφόμενν ιανυσμάτν με τη Στ ιάγραμμα 1 παριστάννται τα περιστρεφόμενα ιανύσματα για την απμάκρυνση χ, τη ύναμη ιέγερσης και την ταχύτητα ταλάντσης μια τυχαία χρνική στιγμή t. Τ ιάνυσμα της ιεγείρυσας ύναμης ax έχει σχειαστεί να έπεται τυ ιανύσματς της απμάκρυνσης κατά rad, ενώ τ ιάνυσμα της ταχύτηταςu ax = έπεται τυ Διάγραμμα 1 ax π ιανύσματς της απμάκρυνσης κατά rad. Στ ιάγραμμα έχυν πρστεεί επίσης τα περιστρεφόμενα ιανύσματα της ύναμης επαναφράς επ,ax =A και της ύναμης αντίστασης αντ,ax =u ax =. Επειή η ύναμης επαναφράς είναι ιαρκώς αντίετη της απμάκρυνσης x, τ ιάνυσμά της έχει σχειαστεί να πρηγείται τυ ιανύσματς της απμάκρυνσης κατά π rad, ενώ η ύναμη αντίστασης είναι ιαρκώς αντίετη από την ταχύτητα, πότε τ περιστρεφόμεν ιάνυσμα της πρηγείται τυ ιανύσματς της ταχύτητας κατά π rad. Η συνισταμένη όλν τν υνάμεν πυ ενεργύν στ σώμα είναι Σ=a=- x. Στ ιάγραμμα 3, έχει πρστεεί τ ιάνυσμα της συνισταμένης όλν τν υνάμεν, τ πί πρφανώς α είναι μόρρπ τυ ιανύσματς της ύναμης επαναφράς και α έχει μέτρ. A A ax Διάγραμμα 3 ax ημ Διάγραμμα ax ax συν
Θα πρέπει τ ιανυσματικό άρισμα τν ιανυσμάτν πυ εκφράζυν υνάμεις να έχει μέτρ.άρα, αναλύντας την ax σε ύ κάετες μεταξύ τυς συνιστώσες ax συν και ax ημ έχυμε: Άξνας ταχύτητας: ax ημ= 3 Άξνας απμάκρυνσης: A ax συν= ax συν=a = Με ιαίρεση κατά μέλη τν 3μ και έχυμε: ax ax ημ συν εφ Επίσης υψώνντας τις 3 και και πρσέτντας κατά μέλη παίρνυμε: ax ημ συν ax ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ Τ πλάτς της απμάκρυνσης γίνεται μέγιστ για μια συχνότητα f 1 λίγ μικρότερη από την ιισυχνότητα f. Εώ αρκετά παιιά έχυν μάει να ρίζυν τ φαινόμεν τυ συντνισμύ ς την κατάσταση κατά την πία η συχνότητα ταλάντσης γίνεται ίση με την συχνότητα τυ ιεγέρτη, ηλαή έχυν μάει να ρίζυν τ φαινόμεν τυ συντνισμύ με βάση τη συχνότητα τυ ιεγέρτη και όχι μέσ της μεγιστπίησης τυ πλάτυς. Η παραπάν αντίληψη είναι πρφανώς λάς, αφύ αυτή η μεγιστπίηση τυ πλάτυς συμβαίνει σε μία συχνότητα ιεγέρτη λίγ μικρότερη από την ιισυχνότητα f o. Όταν μάλιστα σχείασα και την παραπάν γραφική παράσταση, ξεκίνησε ύελλα αντιράσεν. Πρσπάησα λιπόν να πείσ τυς μαητές γι αυτό πυ ισχυριζόμυν. Συμφνήσαμε λιπόν ότι για να γίνει τ πλάτς μέγιστ, α πρέπει παρανμαστής στην σχέση 3 να γίνει ελάχιστς.
Θέτυμε λιπόν: Η παραπάν είναι ιτετράγνη ς πρς και α για να έχει πραγματικές ρίζες α πρέπει Δ, πότε in Με αντικατάσταση στην 3 βρίσκυμε την μέγιστη τιμή ax τυ πλάτυς: ax ax A 6 ντικαιστώντας στην 5 = in έχυμε ιακρίνυσα Δ=, και η εξίσση έχει μία ιπλή ρίζα-β/α. Οπότε: 7 Τώρα η συζήτηση με τυς μαητές γίνεται πλύ πι εύκλη. πό την εξίσση 7 πρκύπτυν λιπόν τα εξής συμπεράσματα: Όταν λιπόν έχυμε συντνισμό, η συχνότητα τυ ιεγέρτη είναι μικρότερη από την. Για πλύ μικρές σταερές απόσβεσης, o αφαιρετές στην υπόρριζη πσότητα της εξίσσης 7 γίνεται πλύ μικρός σχεόν μηενικός, πότε. Έτσι, μπρύμε να πύμε αυτό πυ αναφέρει και τ σχλικό βιβλί, ότι συντνισμός συμβαίνει όταν η συχνότητα τυ ιεγέρτη γίνεται ίση με την ιισυχνότητα f o. 5
Γίνεται, φανερό ότι για μεγαλύτερη τιμή σταερά απόσβεσης, συντνισμός συμβαίνει σε μία συχνότητα ιεγέρτη μικρότερη από την ιισυχνότητα πό τις εξισώσεις 1 και 6 πρκύπτυν λιπόν τα εξής συμπεράσματα: Για εμένη συχνότητα ιεγέρτη, με αύξηση της σταεράς απόσβεσης, μειώνεται τ πλάτς της ταλάντσης. Για εμένη συχνότητα ιεγέρτη, με αύξηση της σταεράς απόσβεσης, μειώνεται η μέγιστη τιμή ax τυ πλάτυς. π Τέλς, από την εξίσση βλέπυμε όταν = η εφ εν ρίζεται, πότε = rad, ηλαή η ιεγείρυσα ύναμη είναι συμφασική από την ταχύτητα. Δηλαή, στην περίπτση αυτή, η ιεγείρυσα ύναμη είναι αντίετη της ύναμης αντίστασης =- αντ. υτό εννύμε, όταν λέμε όταν = μεταφέρεται ενέργεια στν ταλανττή κατά βέλτιστ τρόπ. Πέτρς Καραπέτρς Λυκειακές Τάξεις Γυμνασίυ Μεσβυνίν