Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p = O, δεν είναι κενό Το πολυώνυµο ελαχίστου βαθµού ώστε κ µλ =λ + c λ + + c λ+ c κ κ 0 µ = O, ονοµάζεται ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα (7) Παραδείγµατα : Αν = diag α, α,, α = α I, έχουµε α I = O µ ( λ ) =λ α Αν = 0 4, βρίσκουµε 0 = I και επειδή αi, θα είναι µλ =λ Αν =, έχουµε = 4+ 5I και κατά συνέπεια, µλ =λ 4λ 5 ( 4 Ο αδύναµος πίνακας = ) έχει ελάχιστο πολυώνυµο µ ( λ ) =λ λ
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 5 Ο µηδενοδύναµος πίνακας ( O) ρ ρ = έχει ελάχιστο πολυώνυµο µλ =λ Πρόταση 7 Αν δλ είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα και µλ το ελάχιστο πολυώνυµο του, τότε µ ( λ ) διαιρεί το δ( λ ) Απόδειξη : Επειδή βαθµ ( µ ( λ) ) βαθµ ( δ( λ )), σύµφωνα µε τον αλγόριθµο του Ευκλείδη δλ =µλπλ +υλ όπου βαθµ ( υ( λ )) < βαθµ ( µ ( λ )) Από την ισότητα αυτή δ =µ π +υ υ =O, άτοπο, διότι το ελάχιστο πολυώνυµο του είναι το µ ( λ ) Πόρισµα Το ελάχιστο πολυώνυµο µ ( λ ) του πίνακα διαιρεί κάθε πολυώνυµο p( λ), για το οποίο p = O Πρόταση 7 Το ελάχιστο πολυώνυµο του είναι µοναδικό Απόδειξη : Έστω µλ στην (7) είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του και κ νλ =λ + d λ + + d λ+ d για το πολυώνυµο ένα άλλο πολυώνυµο, ώστε κ κ 0 κ ρλ =µλ νλ = c d λ + + c d λ+ c d κ κ 0 0 ν = O Τότε έχουµε άτοπο, διότι ( ) ρ =µ ν =O, βαθµ ρ λ = κ και µ ( λ ) είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα Πρόταση 7 Κάθε ιδιοτιµή του πίνακα πολυωνύµου µλ του είναι ρίζα του ελαχίστου
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Απόδειξη : Έστω λ ιδιοτιµή του και Τότε και απ αυτήν έχουµε 0 µλ = ( λ λ0) πλ + c, όπου c 0 µ = ( λ I) π + ci=o 0 π ( λ0i) =I c Υπολογίζοντας την ορίζουσα και των δύο µερών, επειδή det λ I = 0, έχουµε 0=, άτοπο Σε άτοπο καταλήξαµε επειδή υποθέσαµε c 0, άρα c= 0 0 Από την πρόταση αυτή συµπεραίνουµε άµεσα: Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του είναι σ σ δ( λ ) = λ λ λ λ λ λ θ τ τ τότε θα είναι µ λ = λ λ λ λ λ λ θ τ θ σ θ, όπου 0 < τ σ i i Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο δ( λ ) του έχει n διακεκριµένες ρίζες (δηλ σ = ), τότε µλ δλ i Πρόταση 74 Ο πίνακας διαγωνοποιείται ακριβώς όταν το ελάχιστο πολυώνυµο µλ του έχει απλές ρίζες, δηλαδή είναι της µορφής µ ( λ ) = λ λ λ λ λ λρ, όπου ρ ν Παράδειγµα: Να διατυπωθεί ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ο πίνακας α β = 0 γ 0 0 να διαγωνοποιείται ( Επειδή δλ = λ λ+ ), για να διαγωνοποιείται ο πίνακας πρέπει το
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 4 από ελάχιστο πολυώνυµο αυτού να είναι µ ( λ ) = ( λ )( λ+ ) =λ Συνεπώς, θα πρέπει α αγ = 0 0 = I α= 0 0 0 Πρόταση 75 Οι όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο Απόδειξη : Έστω αυτών Επειδή = PP και µ ( λ ), µ ( λ ) τα ελάχιστα πολυώνυµα µ = µ =, P P O σύµφωνα µε την Πρόταση 7, το µ ( λ ) διαιρεί το µ ( λ ) Όµοια, από την ισότητα = P P έχουµε : µ = P µ P = O και συµπεραίνουµε ότι µ ( λ ) διαιρεί το µ ( λ ) Συνεπώς µ ( λ ) =µ ( λ ) Το αντίστροφο της Πρότασης 75 δεν ισχύει, όπως βλέπουµε στο παράδειγµα που ακολουθεί 0 0 0 Παράδειγµα Για τους πίνακες = 0 0 και = 0, βρίσκουµε 0 0 0 0 µ ( λ ) =µ ( λ ) = λ λ, αλλά τα χαρακτηριστικά τους πολυώνυµα ( δ ( λ ) = λ λ ) και δ λ = λ λ δεν είναι ίσα Άρα, οι πίνακες και δεν είναι δυνατόν να είναι όµοιοι T Πρόταση 76 Οι πίνακες και έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο Απόδειξη : Έστω T Τότε από τις ισότητες µλ και µ ( λ) είναι τα ελάχιστα πολυώνυµα των και
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 5 από T T µ = µ ( ) = T O και [ ] T µ ( ) = µ = O συµπεραίνουµε αντίστοιχα µλ µλ και µ ( λ ) µ ( λ), δηλαδή µ ( λ ) =µ ( λ) Πρόταση 77 Το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα των ελαχίστων πολυωνύµων των και Απόδειξη : Για το πολυώνυµο µ E( λ ) = EK O E = O Π { } είναι το EK Π µ ( λ ), µ ( λ ), έχουµε µ ( λ ) =µ ( λ)p( λ ) και µ ( λ ) =µ ( λ)q( λ ) E και συνεπώς µ E Α = Ο, µ E( Β) = Ο Αν υπάρχει πολυώνυµο k k, τέτοιο ώστε E λ ( βαθµ k( λ ) < βαθµ µ ( λ ) και E = Ο, από την ισότητα E { } E ) k = diag k, k( ), θα είναι k = k =Ο και σύµφωνα µε την Πρόταση 7 µ ( λ ) και µ ( λ) διαιρούν το k( λ ) Άτοπο, διότι τότε µ ( λ ) δεν θα ήταν το EK Π των µ ( λ) E και µ ( λ ) Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση 7 ιαβάστε το παράδειγµα 60, σελ 6 Άσκηση 7 Αν Γ,, Cayley-Hamilton για τους πίνακες είναι τετραγωνικοί πίνακες, διατυπώστε το θεώρηµα O M = O, Γ N = O
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 6 από Λύση : Έστω δ ( λ ), δ λ είναι τα χαρακτηριστικά πολυώνυµα των πινάκων και Οι σύνθετοι πίνακες M και N έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο δ λ =δ λ δ λ, διότι ( λi M) = ( λi N) = ( λi ) ( λi ) det det det det και συνεπώς δ M =δ N =O Άσκηση 7 Για τον πίνακα = Λύση : Επειδή 005, να υπολογίσετε τη δύναµη δ λ = det λi =λ 4, από το θεώρηµα Cayley- Hamilton έχουµε 4 Τότε, 005 = I 00 00 = = 4 Η δύναµη του πίνακα µπορεί να υπολογισθεί και µε διαγωνοποίηση του πίνακα, όταν είναι δυνατή Για τον πίνακα στην άσκηση διαπιστώσατε ότι Τότε = P diag, P 004 ( ) 005 004 004 = = P diag, P = P P = PP = 00 00 00 00 diag 4, 4 4 4 Άσκηση 74 Αν πολυώνυµο µ λ J α 0 α β J = diag 0 α,, 0 0, βρείτε το ελάχιστο α β 0 0 α Λύση : Οι υποπίνακες έχουν ελάχιστα πολυώνυµα αντίστοιχα µ ( λ ) = λ α, µ ( λ ) = ( λ α) και µ ( λ ) = ( λ β) Π {,, } µ J λ = EK Σύµφωνα µε την Πρόταση 77, είναι µ λ µ λ µ λ = λ α λ β
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 7 από Άσκηση 75 Να βρεθούν οι πίνακες που επαληθεύουν την εξίσωση Λύση : Ο πίνακας = ( λ )( λ ) I O + = επαληθεύει το πολυώνυµο p λ =λ λ+ και σύµφωνα µε το Πόρισµα, θα διαιρείται από το ελάχιστο πολυώνυµο µλ του Έτσι έχουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις : αν µλ=λ = I αν µλ=λ = I, και αν p µλ= λ, τότε ο πίνακας διαγωνοποιείται (Πρόταση 74) και θα είναι = PDP, όπου D = diag (,, ) ή D = diag(,, ) και P οποιοσδήποτε αντιστρέψιµος πίνακας Γενικά για πίνακες, όταν τον διαγώνιο πίνακα ν ν p µ λ = λ, ο πίνακας θα είναι όµοιος µε D= diag I, I, όπου σ +τ=ν σ τ α 0 α 0 Άσκηση 76 Αν = 0 α, = 0 0 α 0 0 α 0 0 α και = diag ( α, α, α) Γ, βρείτε δλ, µλ και δείξατε ότι οι πίνακες δεν είναι όµοιοι µεταξύ τους Λύση : Προφανώς Γ δ ( λ ) =δ ( λ ) =δ ( λ ) = λ α Επιπλέον βρίσκουµε µ λ = λ α, µ ( λ ) = ( λ α ) και µ Γ ( λ ) =λ α Κανένα ζευγάρι πινάκων δεν µπορεί να είναι όµοιοι πίνακες, διότι σύµφωνα µε την Πρόταση 75, έπρεπε να είχαν τα ίδια ελάχιστα πολυώνυµα
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 8 από Άσκηση 77 Nα βρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο των πινάκων 5 β 0 = 4 0, = 0 β 0 0 0 0 β Λύση : Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του είναι 5 δ ( λ ) = λ I = λ ( λ ) = ( λ ) ( λ ) 4 λ+ Επειδή για τον πίνακα είναι ( I)( I) O, το ελάχιστο πολυώνυµο µ λ δ λ Για τον πίνακα, το σύστηµα που προκύπτει από την εξίσωση = c + c I 0 είναι ασυµβίβαστο καθόσον β β = 0 β β 0 0 β και για τα στοιχεία στη θέση () θα είναι = 0, για κάθε c,c 0 Συνεπώς το ελαχίστου βαθµού πολυώνυµο που επαληθεύει ο πίνακας είναι µ λ = λ β Άσκηση 78 Αν 4 = 0 0 0, αποδείξατε ότι 5 Λύση : Έχουµε Επειδή για το πολυώνυµο δ λ = λi =λ λ=λ λ+ λ 59 5 + = O 59 5 α( λ ) =λ λ +λ είναι α ( 0) =α =α( ) = 0, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο δ ( λ ) διαιρεί το α( λ ) Συνεπώς, από το θεώρηµα Cayley-Hamilton 59 5 α = + = O
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 9 από Άσκηση 79 Έστω ο πίνακας = 0 4 0 0 Ι Να απλοποιήσετε την παράσταση ( I) ( I) ( + I) 9 ΙΙ Να αποδείξετε 005 + 004 = + I Λύση : Ι Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Επειδή το πολυώνυµο δ ( λ ), είναι α( λ ) =δ συµπεραίνουµε δ λ = λ λ+ 0 α λ = λ λ λ+ είναι 9 διαιρείται ακριβώς µε το λ π λ και από το θεώρηµα Cayley-Hamilton 0 9 I I + I =δ π = O ΙΙ Επαληθεύουµε ότι µλ=λ ( λ+ ) =λ του, άρα = I Συνεπώς 005 004 00 00 + = + = +I είναι το ελάχιστο πολυώνυµο Άσκηση 70 Έστω ο πίνακας Ι Να απλοποιήσετε την παράσταση ΙΙ Είναι ο 0 = 0 0 0 όµοιος µε διαγώνιο πίνακα; ΙΙΙ Να εκφρασθούν οι πίνακες 4 6 7I και Λύση : Ι Έχουµε I + + ως πολυώνυµα του δ λ = λ = λ λ 4 =λ λ 4λ+8 και 4 λ λ 6λ + λ+ 7=δ λ λ+ λ+ Εφαρµόζοντας το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε 4 6 7I I + + = ΙΙ Έχουµε δ λ = det λi = λ λ+ είναι, τα δε ελάχιστα πολυώνυµα θα
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 0 από µλ=λ ( λ+ ) ή Επειδή = 4I µ ( λ ) = ( λ )( λ+ ) πίνακας διαγωνοποιείται µ λ = λ λ+ και σύµφωνα µε την Πρόταση 74, ο Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε, διαπιστώνοντας ότι ο πίνακας έχει τρία γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα, καθόσον για τη διπλή ιδιοτιµή είναι ΙΙΙ Επειδή δ 0 = 8 0 ( I) d = rank = = και λ= 8=λ λ λ = det, συµπεραίνουµε ότι ο πίνακας Hamilton) αντιστρέφεται Πολλαπλασιάζοντας την ισότητα (θεώρηµα Cayley- επί συµπεραίνουµε 4+ 8I = O ( 4 ) = I 8 Αν πολλαπλασιάσουµε την ίδια ισότητα επί, τότε = = + = 8 8 6 ( 4 ) ( 4 ) ( 8 ) I I I I Άσκηση 7 Έστω το πολυώνυµο p( λ ) και µ ( λ ) είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα Αποδείξατε ότι ο πίνακας = p είναι αντιστρέψιµος ακριβώς όταν πολυώνυµα Λύση : Έστω µ ( λ ) και p( λ ) είναι πρώτα προς άλληλα µλ και p λ είναι πρώτα προς άλληλα πολυώνυµα, τότε δεν έχουν κοινές ρίζες και υπάρχουν πολυώνυµα Τότε ( λ) q,q q p q µλ λ+ λ λ= λ ώστε q p q I p q I det p µ + = = 0
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Αντίστροφα, έστω σ = { λ, λ,, λν}, τότε σ ( p ) = { p ( λ ),,p( λν )} Επειδή ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος, έχουµε ( ) ( ν ) ( i) det p = p λ p λ p λ 0 p λ 0 για κάθε i =,,, ν Συνεπώς τα πολυώνυµα µλ και p( λ ) δεν έχουν κοινές ρίζες, δηλαδή είναι πρώτα προς άλληλα πολυώνυµα Άσκηση 7 Έστω ο πίνακας 5 = 4 4 Ι Να βρεθεί ο ελάχιστος k για τον οποίο ο πίνακας ΙΙ ιδιοτιµές του θετικές Εξετάστε αν διαγωνοποιείται ΙΙΙ Αποδείξατε ότι ( ) = I, 8 Λύση : Ι Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του + k I έχει όλες τις = I και = 7( + I) 08 είναι δ ( λ ) = λ = ( λ+ )( λ 6) I Τότε, οι ιδιοτιµές του + k I είναι σ + ki = { + k, 6+ k } και για να είναι οι ιδιοτιµές όλες θετικές θα πρέπει k> µ λ = λ+ λ 6 =λ λ 8 Επειδή ΙΙ Το ελάχιστο πολυώνυµο έχει απλές ρίζες, ο πίνακας διαγωνοποιείται (Πρόταση 74) µ ( λ) Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε, διότι στη διπλή ιδιοτιµή λ=6, αντιστοιχούν δύο ιδιοδιανύσµατα πίνακας ΙΙΙ Επειδή έχει συνολικά τρία ιδιοδιανύσµατα ( d( 6) rank( 6I) ) = = = και ο δ 0 = 08 0, ο αντιστρέφεται και πολλαπλασιάζοντας επί την ισότητα έχουµε = ( ) 8 µ = 8 I= O = I = I 8 08 I Τότε ( )
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Σηµειώστε ότι από το θεώρηµα Cayley-Hamilton οι πίνακες και εκφράζονται ως ου βαθµού πολυώνυµα του Επειδή όµως ( ) βαθµ µ λ = <, προκύπτουν µε τον ίδιο τρόπο οι απλούστερες εκφράσεις των και Τέλος, πολλαπλασιάζοντας την ισότητα = + 8I επί, έχουµε 8 8I 8 7 I = + = + + = + Άσκηση 7 Για τον πίνακα, αποδείξατε την ισοδυναµία των προτάσεων = I O II δ λ =λ III tr = tr = tr = 0 Λύση : I II Επειδή = O µοναδική ιδιοτιµή του είναι λ= 0 δ ( λ ) =λ IΙ IΙI δ ( λ ) =λ σ = { 0, } σ = { 0, } σ = { 0} IΙΙ I Έστω,, λ ( = ) i i,, υπόθεση έχουµε: tr = tr = tr = 0 λ λ λ είναι ιδιοτιµές του Οι αριθµοί λ i i=,, και είναι ιδιοτιµές των πινάκων και αντίστοιχα και από την λ +λ +λ = 0 λ +λ +λ = 0 λ +λ +λ = 0 λ λ λ λ λ λ = 0 λ λ λ Το οµογενές σύστηµα (*) έχει µη µηδενική λύση και συνεπώς λ λ λ det λ λ λ =λλλ( λ λ)( λ λ)( λ λ ) = 0 λ λ λ Αν λ = 0, από τις εξισώσεις του συστήµατος έχουµε λ +λ = 0 λ =λ = 0 λ +λ = 0 (*)
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Αν λ =λ, τότε λ +λ = 0 λ =λ = 0 0 λ +λ = Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε όταν λ = 0 ή λ = 0 ή λ =λ ή λ =λ Συνεπώς, = O δ ( λ ) =λ και από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ν ν Άσκηση 74 Για κάθε πολυώνυµο c συνοδεύων πίνακάς του 0 0 0 0 0 C = 0 0 0 c0 c c ν έχει ελάχιστο πολυώνυµο µλ δλ= det ( λ I C) δ λ =λ + λ + + c λ+c, ο ν 0 Λύση : Αν ε = [ 0 0], ε = [ 0 0],, ε ν = [ 0 0 ] εύκολα διαπιστώνουµε τις ισότητες ε = ε C, ε = ε C = ε C,, ε ε C ν (*) Το ελάχιστο πολυώνυµο του πολυώνυµο, διότι αν υποθέσουµε αν 0, από την εξίσωση C ν = ταυτίζεται µε το χαρακτηριστικό του ν µ λ =α +αλ+α λ + +α λ 0 ν 0 ν, όπου I C C C ν α +α +α + +α =O και τις (*) έχουµε ε α I+α C+α C + +α C ν = 0 α ε +α ε + +α ε = 0 0 ν 0 ν ν Επειδή ε, ε,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα, από την τελευταία ε ν α 0 =α = =α ν = 0 µ λ = 0, άτοπο ισότητα συµπεραίνουµε Συνεπώς βαθµ ός µ ( λ ) = ν µ ( λ) δ( λ)