HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μέρος Α Ωμικά Κυκλώματα (Διαλέξεις 6 Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ ezekel@ucy.ac.cy Gree Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη Εισαγωγή στην ημιτονοειδή ανάλυση στην σταθερή κατάσταση Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων (αντιστάσεις, πήγες Τάση, ρεύμα, ισχύς και ο νόμος του Ohm Τοπολογίες (κλάδοι, κόμβοι, βρόχοι κτλ. Οι νόμοι του Krchhoff (τάση και ρεύμα Αντιστάσεις σε σειρά και παράλληλα Διαίρεση τάσης και ρεύματος Πραγματικές πηγές και μετασχηματισμό πηγών Κομβική ανάλυση Ανάλυση πλεγμάτων Επαλληλία και τα θεωρήματα Thee και orto Μέρος Β Μεταβατική Ανάλυση (Τraset Aalyss (Διαλέξεις 7 9 Μέρος Γ Ημιτονοειδής ανάλυση στην σταθερή κατάσταση (Susodal aalyss the steadystate Πηνία και πυκνωτές ( & C Κυκλώματα πρώτης τάξης ( & C Κυκλώματα δεύτερης τάξης (C Φυσική απόκριση Βηματική απόκριση Tο ημιτονοειδές σήμα Εναλλασσόμενο ρεύμα Φάσορες Σύνθετη αντίσταση και σύνθετη αγωγιμότητα Συντονισμός Ηλεκτρική ισχύς κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος 3 4
Συνεχές ρεύμα εναλλασσόμενο ρεύμα Drect curret (DC alteratg curret (AC A Πηγή τάσης DC Σταθερή τάση Και οι δύο πηγές είναι σημαντικές (για διάφορους λόγους, ανάλογα με την εφαρμογή Πηγή τάσης ΑC Προσδιορίζουμε το πλάτος και τη συχνότητα της τάσης. 5 Copyrght Wedell Dalt http://www.youtube.com/watch?ejjrfse8 6 Το ημιτονοειδές σήμα γωνιακή συχνότητα π ω πf T Γενικά, δεν έχει σημασία αν χρησιμοποιείτε το ημίτονο ή συνημίτονο για την πηγή και οι δύο συναρτήσεις είναι αρμονικές. Η μόνη διαφορά είναι η φάση. ( ωt 9 s( ωt ( t ( ω t φ pk μετατόπιση φάσης (phase shft pk Τάση κορυφής pk pk Τάση από κορυφή σε κορυφή t pk s ( ωt φ ( ωt φ s( ωt sφ ( ωt φ s( ωt φ ( ωt sφ 7 φ T περίοδος pk ( ωt pk rms 8
Όταν παίρνουμε το παράγωγο ενός ημιτονοειδούς σήματος, το αποτέλεσμα είναι επίσης ένα ημιτονοειδές σήμα. Σε κυκλώματα, αυτό είναι σημαντικό επειδή έχουμε πηνία και πυκνωτές. Η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι πολύ σημαντική στον τομέα της ηλεκτρολογίας για πολλούς λόγους.. Ηλεκτρική ισχύ C ( t d ( t ( ω t φ ( t C ω s( ωt φ Γεννήτρια AC. Περιστροφή του αγωγού μέσω του μαγνητικού πεδίου είναι ένα παράδειγμα απλής αρμονικής κίνησης. Αυτό οδηγεί σε μια ημιτονοειδή τάση. ( t d ( t ( ω t φ ( t ω s( ωt φ Παράδειγμα: Τριφασική γεννήτρια 9. Τηλεπικοινωνίες και επεξεργασία σημάτων Οι περιοδικές κυματομορφές μπορούν να εκφραστούν με τη σειρά Fourer Για παράδειγμα, ένα τετραγωνικό κύμα μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα των ημιτονοειδών κυμάτων τα οποία είναι περιττά πολλαπλάσιά της θεμελιώδους συχνότητας Παράδειγμα Κύκλωμα (σειρά S (t Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι η πλήρης λύση είναι t ( t φ e ( ωt φ ω S ( t ( ωt Ο διακόπτης κλείνει όταν t d m t ( ω φ μεταβατικό μέρος (traset compoet σταθερή κατάσταση (steady state
Στη σταθερή κατάσταση, έχουμε ( t ( ωt φ ω φ ta ω Σε ένα γραμμικό σύστημα στη σταθερή κατάσταση και με ημιτονοειδής διέγερση, όλα τα σήματα θα είναι ημιτονοειδείς και θα έχουν την ίδια συχνότητα με τη διέγερση, με την μόνη διαφορά να είναι ότι η φάση και το πλάτος να είναι διαφορετικά από τη διέγερση. Είναι σημαντικό να αναφερθούν τα ακόλουθα χαρακτηριστικά για τη λύση σταθερής κατάστασης: Γραμμικό κύκλωμα. Και η λύση σταθερής κατάστασης είναι ημιτονοειδής συνάρτηση. Η συχνότητα του σήματος απόκρισης (output sgal είναι ίδια με τη συχνότητα του σήματος πηγής. 3. Το μέγιστο πλάτος (εύρος της σταθερής κατάστασης (steady state respose γενικά διαφέρει του εύρους της πηγής. σήμα εισόδου σήμα εξόδου 4. Η γωνία φάσης του σήματος εξόδου (output sgal, γενικά, διαφέρει από τη γωνία φάσης της πηγής. 3 Η φάση του σήματος εξόδου μετατοπίζεται σε σχέση με εκείνη του σήματος εισόδου. Το πλάτος του σήματος εξόδου είναι διαφορετικό από εκείνο της εισόδου. 4 Όπως γνωρίζουμε, γραμμικά κυκλώματα ικανοποιούν την αρχή της επαλληλίας. Αυτό είναι χρήσιμο για την ανάλυση της απόκρισης ενός κυκλώματος σε δύο διαφορετικά σήματα. Γραμμικό κύκλωμα Ανάλυση με τη χρήση των μιγαδικών αριθμών Εάν ενδιαφερόμαστε μόνο με τη λύση της σταθερής κατάστασης, θεωρούμε ότι μπορούμε να εκφράσουμε όλα τα χρονικά μεταβαλλόμενα σήματα με την χρήση μιγαδικών αριθμών (phasors. Αυτό σημαίνει ότι αντί των διαφορικών εξισώσεων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αλγεβρικές εξισώσεις. Γραμμικό κύκλωμα x e dx jωe jωx d x ( jω e ω x d jω Η διαφοροποίηση είναι ισοδύναμη με πολλαπλασιασμό με το jω. Γραμμικό κύκλωμα d ( jω 5 6
( t S e e ( ωt ( e ( e S (t Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν σε πολική μορφή j t Ο μιγαδικός αριθμός e ω έχει μέτρο και γωνία ωt Άρα είναι διάνυσμα που περιστρέφεται αριστερόστροφα με γωνιακή συχνότητα ω ( t e e e ( ωt φ j( ωt φ ( e jφ ( e e ( e φάσορα τάσης d d e e e d ( e e ( jω e e j ω t ωt j sωt Συνεπώς, μια σύνθετη τάση exp( (ή σύνθετο ρεύμα exp( θα περιστρέφεται αριστερόστροφα στο μιγαδικό επίπεδο. Συνήθως, υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε τη συχνότητα, και έτσι αγνοούμε την περιστροφή του διανύσματος. φάσορα ρεύματος 7 Επίσης, ο όρος exp( είναι κοινός σε όλους τους μεταβλητές στη σταθερή κατάσταση, και έτσι δεν το χρησιμοποιούμε στις πράξεις. 8 S (t S ( t ( t d σύνθετη αντίσταση mpedace j αντίσταση resstace Y Y σύνθετη αγωγιμότητα admttace Y G G jb αγωγιμότητα coductace e ( e e ( e. e ( jω e. e ( jω e αντίδραση reactace Μονάδες: ohm (Ω B ενδοτικότητα susceptace Μονάδες: seme (S ( j ω 9 Υπενθύμιση. Οι έννοιες αυτές εφαρμόζονται μόνο για τη σταθερή κατάσταση και ημιτονοειδές σήματα
S (t jω Διανυσματικό διάγραμμα (διάγραμμα φάσορα m e j jω jω ω jω ω ( jω ta ω jω m jω Επίπεδο της σύνθετης αντίστασης jω ( t e m ω ( e ωt ta ω e Ο φάσορας του ρεύματος έχει εξάρτηση με την συχνότητα Σύνθετη αντίσταση των παθητικών στοιχείων ω m ω / ω e arg ta ω ω Το πηνίο S S (t ( t e e ( ωt ( e ( e d S ( t d e e d e d ( e e ( jω e 3 ( e e ( jω e. e ( jω e e jω 4
Η σύνθετη αντίσταση του πηνίου είναι jω 9 m jω ω 9 9 e Ο πυκνωτής S (t C d ( t C S m Με την αντικατάσταση της σύνθετης τάσης και ρεύμα έχουμε: jωc oltage leads curret e jωc 5 6 Η σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή είναι jωc jωc j ωc 9 m e 9 9 ω C Η αντίσταση S (t S ( t m e Curret leads oltage Η τάση και το ρεύμα έχουν την ίδια φάση m Y / / G e 7 8
C d d C jω jωc ω ω S/C ω ω ω O/C ω Ανάλυση των κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος Σημαντικό: Η ανάλυση εναλλασσώμενων κυκλωμάτων χρησιμοποιώντας φάσορες (phasors είναι παρόμοια με την ανάλυση σταθερών κυκλωμάτων (DC και έτσι όλα τα θεωρήματα και τεχνικές που μάθαμε μέχρι τώρα όπως (θεώρημα Thee, orto, επαλληλία και ανάλυση πλέγματος μπορούν να εφαρμοστούν όμως χρησιμοποιώντας τους φάσορες τάσης και ρεύματος (phasor oltages ad phasor currets και τις σύνθετες αντιστάσεις αντί τις αντιστάσεις. DC AC O/C S/C 9 3 Ohm s law DC G AC Y m Άθροισμα όλων των φάσορων 3 4 KC 4 K 5 3 6 3 x e x x x ( ωt φ [ exp( ] for KC for K 3 4 3 e 3
Άθροισμα όλων των τάσεων (ή ρευμάτων Ο νόμος ρεύματος του Krchhoff για κυκλώματα AC x e e e exp e ( ωt φ [ exp( ] ( ( exp( t exp ( xe jψ Άθροισμα όλων των φάσορων e e ( exp( ( x exp( ψ t exp ( ψ t 4 5 3 6 Άθροισμα όλων των φάσορων Το άθροισμα όλων των φάσορων ρεύματος σε οποιοδήποτε κόμβο σε ένα κύκλωμα είναι ίσο με το μηδέν. 33 34 Ο νόμος τάσης του Krchhoff για κυκλώματα AC Παραδείγματα Στοιχεία σε σειρά και παράλληλα 3 Άθροισμα όλων των φάσορων TOTA 4 3 4 Το άθροισμα όλων των φάσορων τάσης σε οποιοδήποτε βρόχο σε ένα κύκλωμα είναι ίσο με το μηδέν. Y Y Y Y TOTA Y 35 36
Παραδείγματα Διαίρεση τάσης και διαίρεση ρεύματος Παράδειγμα Κομβική ανάλυση S S S Χ 3 Y Y Y S 3 37 38 Παράδειγμα Ανάλυση πλεγμάτων 3 S Ι Ι S ( ( 3 39