Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των δύο πειραµατικών παραµέτρων και να υνοψίζονται πειραµατικά αποτελέµατα. Μερικά γραφήµατα την αρχή του εργατηριακού µαθήµατος θα πρέπει να τα κάνετε µε το χέρι που για να βεβαιωθείτε ότι έχετε κατανοήει όλα τις λεπτοµέρειες που εµπλέκονται τη χάραξη ενός αποτελεµατικού επιτηµονικού γραφήµατος. Θα µάθετε επίης πώς θα χρηιµοποιείτε τον υπολογιτή για τη γραφική παράταη των δεδοµένων ας. Όταν θα χρειατεί να χαράξετε γραφικές παρατάεις ε εργατηριακές ακήεις, θα ας ζητηθεί "να χεδιάεις τη µεταβλητή Α υναρτήει της µεταβλητής Β. Κατά υνθήκη, η Α (η εξαρτηµένη µεταβλητή θα πρέπει να χεδιάζεται κατά µήκος του κάθετου άξονα (τεταγµένη-ordnte, και η Β (η ανεξάρτητη µεταβλητή, θα πρέπει να ορίζεται κατά µήκος του οριζόντιου άξονα (τετµηµένη-bscss. Ακολουθεί είναι ένα τυπικό παράδειγµα το οποίο παρίταται γραφικώς η απόταη υναρτήει του χρόνου για ένα αντικείµενο ε ελεύθερη πτώη: Μιλλιµετρέ χαρτί /Grph Pper Τα γραφήµατα, που προορίζονται για να παράχουν αριθµητικές πληροφορίες, θα πρέπει πάντα να χαράονται ε τετράγωνο χαρτί γραφήµατος (µιλλιµετρέ χαρτί, cm cm µε 0 υποδιαιρέεις ανά cm. Χρηιµοποιήτε ένα αιχµηρό µολύβι (όχι τυλό για να χεδιάζετε τις γραφικές παρατάεις, ώτε τα αναπόφευκτα λάθη να µπορούν να διορθωθούν εύκολα. Ttle Κάθε γράφηµα πρέπει να έχει έναν τίτλο που αναφέρει αφώς ποιές µεταβλητές εµφανίζονται το γράφηµα. Γράψτε ακόµη το όνοµά ας και την ηµεροµηνία πάνω το χαρτί του γραφήµατος. As lbels Πάνω ε κάθε άξονα υντεταγµένων ενός γραφήµατος θα πρέπει να αναγράφεται µια λέξη ή ένα ύµβολο που παριτάνει τη µεταβλητή η οποία χαράεται κατά µήκος του άξονα αυτού, και να υµπεριλαµβάνονται (ε παρένθεη και οι αντίτοιχες µονάδες της µεταβλητής. Επιλογή κλίµακας/choce of Scle
Οι κλίµακες τους άξονες επιλέγονται κατά τέτοιο τρόπο ώτε να είναι εύκολο να χεδιάζονται τα δεδοµένα και να διαβάζονται. Στο µιλλιµετρέ χαρτί, κάθε 5η ή κάθε 0η γραµµή θα είναι ελαφρά εντονότερη από τι άλλες γραµµές. Τέτοια κύρια γραµµή θα αντιπροωπεύει ένα δεκαδικά πολλαπλάια του, του, ή του 5. Άλλες επιλογές (όπως, 0.3 κάνουν τη χεδίαη και την ανάγνωη των δεδοµένων πολύ δύκολη. Η ελάχιτη υποδιαίρεη µιας κλίµακας δεν θα πρέπει να είναι µικρότερη από τη µικρότερη υποδιαίρεη του οργάνου µέτρηης. Για παράδειγµα, δεδοµένα που πάρθηκαν µε ένα κοινό µέτρο µήκους (µε ακρίβεια mm δεν θα πρέπει να χεδιατούν ε κλίµακα µε µικρότερη υποδιαίρεη από l mm. Στην επιλογή της κλίµακα θα πρέπει να φροντίζετε ώτε όλη η γραφ. παράταη να χωρέει το µιλλιµετρέ χαρτί που έχετε τη διάθεή ας. Σαν εικόνα, το γράφηµα θα πρέπει να είναι περίπου τετράγωνο, οπότε οι κλίµακες που επιλέγετε πρέπει να οδηγούν αυτό το αποτέλεµα. Προς αυτό το κοπό, µερικές φορές δεν είναι πάντα απαραίτητο να περιλαµβάνουν η αρχή της κλίµακας (δηλ. το 0 πάνω τον άξονα. Σε πολλές περιπτώεις, µόνο το τµήµα της κλίµακας που να καλύπτει τα δεδοµένα µπορεί να εµφανίζεται. Σηµεία εδοµένων /Dt Ponts Ειάγετε τα ηµεία δεδοµένων το γράφηµα τοποθετώντας µια µικρή τελίτα τις υντεταγµένες του ηµείου και τη υνέχεια χαράοντας ένα µικρό κύκλο γύρω από το ηµείο. Εάν πρόκειται να χρηιµοποιήετε περιότερα από ένα ετ δεδοµένων, τότε χρηιµοποιήτε διαφορετικά ύµβολα (π.χ. Ñ, o,, για να διακρίνονται τα ύνολα δεδοµένων. Καµπύλες /Curves Σχεδιάτε µια απλή οµαλή καµπύλη δια µέου των ηµείων δεδοµένων. Η καµπύλη δεν θα περάει απαραίτητα πάνω από όλα τα ηµεία, αλλά θα πρέπει να περάει όο γίνεται πιο κοντά προς όλα τα ηµεία, προέχοντας περίπου τα µιά ηµεία να βρίκονται από τη µια µεριά πλευρά της καµπύλης και άλλα τόα από την άλλη. Αυτή η καµπύλη είναι αν οδηγός το µάτι κατά µήκος των ηµείων δεδοµένων και υποδείξει τη τάη (the trend των τοιχείων δεδοµένων. Αυτή η καµπύλη δείχνει τη µέη τάη των δεδοµένων, και τυχόν προβλεπόµενες τιµές θα πρέπει να διαβάζονται από αυτή την καµπύλη, αντί να γυρνάτε πίω τα αρχικά ηµεία δεδοµένων. Ευθύγραµµα Γραφήµατα / Strght-lne Grphs Σε πολλές από τις ακήεις του εργατηρίου, θα ας ζητηθεί να χαράξετε τη γραφ. παράταη των πειραµατικών αποτελεµάτων ας µε τέτοιο τρόπο ώτε να διαφανεί (ή όχι γραµµική χέη µεταξύ των ποοτήτων του γραφήµατος. Σε αυτές τις περιπτώεις, θα ας ζητηθεί να προαρµόετε µια ευθεία γραµµή τα ηµεία των δεδοµένων ας και να προδιορίετε από το γράφηµα την κλίη και το ηµείο τοµής µε τον -άξονα. Στο παραπάνω παράδειγµα, αναµένεται ότι η απόταη του αντικειµένου που πέφτει ελεύθερα µεταβάλλεται µε το χρόνο, ύµφωνα µε τη χέη: d gt. Είναι δύκολο να δει κανείς αν τα δεδοµένα που απεικονίζονται το παραπάνω γράφηµα υµφωνούν µε αυτή την πρόβλεψη. Ωτόο, αν χαραχθεί η γραφ. παράταη d vs. t, θα πρέπει να προκύψει ευθεία γραµµή µε κλίη g/ και µε διατοµή 0. Προαρµογή δεδοµένων ε ευθεία γραµµή /Strght Lne Fttng Τοποθετήτε ένα διαφανή χάρακα πάνω τα ηµεία δεδοµένων ας και ρυθµίτε έτι ώτε η άκρη του χάρακα να είναι όο το δυνατόν πληιέτερα ε όλα τα ηµεία δεδοµένων. Η καλύτερη προαρµογή θα φέρει περίπου τα µιά των ηµείων κάτω από την άκρη του χάρακα
και τα άλλα µιά από πάνω, οµοιόµορφα κατανεµηµένα κατά µήκος της γραµµής. Τραβήξετε µια γραµµή κατά µήκος της άκρης του χάρακα που εκτείνεται κατά το ένα άκρο µέχρι το πληιέτερο άξονα υντεταγµένων και το άλλο άκρο λίγο πιο πέρα από το τελευταίο ηµείο δεδοµένων. Ο βαθµός τον οποίο τα δεδοµένα είναι υνεπή µε την εξίωη αυτή, φαίνεται από το πόο κοντά είναι τα ηµεία δεδοµένων προς τη προαρµοµένη γραµµή. Η χάραξη αυτής της ευθείας γραµµής την ουία εκτελεί µια εξοµάλυνη των πειραµατικών δεδοµένων, και έτι µπορεί να δίδει πιο αξιόπιτη εικόνα των αποτελεµάτων του πειράµατος απ' ότι αν λαµβάνατε ξεχωριτά καθένα ζεύγος δεδοµένων. Οι µετρήεις που λαµβάνονται από το διάγραµµα θα πρέπει να γίνονται πάνω την προαρµοµένη γραµµή και όχι για τα ηµεία δεδοµένων τους. Μην «εξαναγκάετε» την προαρµοµένη γραµµή να περάει µέα από την αρχή των υντεταγµένων, ακόµη και αν η υποτιθέµενη µαθηµατική υνάρτηη περνά από το ( 0,0, όπως το παραπάνω παράδειγµα της υνάρτηης d ( g / t. Κλίη και διατοµή / Slope nd Intercept Η κλίη µιας ευθείας γραµµής υπολογίζεται διαιρώντας το µήκος από το µήκος του τριγώνου, όπως φαίνεται το χήµα. Το τρίγωνο που επιλέγεται πρέπει να είναι όο το δυνατόν µεγαλύτερο. ιαβάζετε τα µήκη και προβάλλοντας τα πάνω τους αντίτοιχους άξονες. Ο υπολογιµός της κλίης αναγράφεται κάτω από το αντίτοιχο γράφηµα. Αν ζητηθεί να προδιοριτεί η διατοµή τον -άξονα, ηµάδεψε το ηµείο της διατοµής, εκεί όπου η γραµµή ας τέµνει τον κατακόρυφο άξονα (υποθέτοντας ότι η κλίµακα τον - άξονα αρχίζει από το 0. Σφάλματα κλίης και διατομής/uncertnt n Slope + Intercept Η αβεβαιότητα την κλίη και τη διατοµή µπορεί να εκτιµηθεί τραβώντας δύο ευθείες γραµµές µε τη µέγιτη και την ελάχιτη κλίη κατά τη κρίη ας, οι οποίες εξακολουθούν να περνούν µέα από τα περιότερα από τα ηµεία δεδοµένων. Οι αντίτοιχες διαφορές τις κλίεις και τις διατοµές µπορούν να χρηιµοποιηθούν ως µια εκτίµηη του φάλµατος γι αυτά τα µεγέθη. (Ζυγιµένη Μέθοδος ελαχίτων τετραγώνων / (Weghted Lest Squres Fttng Έτω, δύο φυικές µεταβλητές, οι οποίες υποθέτουµε ότι υνδέονται µε µια γραµµική χέη: + b. Το γράφηµα vs. θα πρέπει να είναι µια ευθεία γραµµή, η οποία να έχει κλίη b και να τέµνει τον -άξονα το ηµείο διατοµής. 3
Ας υποθέουµε ότι έχοµε Ν µετρήεις των και µε τιµές (,, (,,..., ( Ν, Ν και ότι οι µετρήεις του έχουν αµελητέα φάλµα, ενώ οι µετρήεις του υνοδεύονται από τα αντίτοιχα φάλµατα,,...,. Η γραφική παράταη αυτού του υνόλου των µετρήεων απεικονίζεται το παρακάνω χήµα. Θέλουµε να βρούµε µια ευθεία της µορφής + b, η οποία να περνά όο πιο αντιπροωπευτικά γίνεται µέα από τα ηµεία των δεδοµένων µας. Στη θεωρία των προεγγίεων (ppromton theor, η διεργαία αυτή λέγεται γραµµική προαρµογή των ελαχίτων τετραγώνων (lner lest squre fttng. Σύµφωνα µε την µέθοδο αυτή, οι καλύτερες τιµές για τις παραµέτρους και b είναι εκείνες που ελαχιτοποιούν το άθροιµα των τετραγώνων (Ch-squred: χ ( + b ( Οι διαφορές r - f(, όπου f + b, καλούνται υπόλοιπα (resduls και παριτάνουν την απόκλιη της µετρούµενης τιµής από την τιµή της υνάρτηης f( το ηµείο. Νε την µέθοδο των ελαχίτων τετραγώνων µπορούν να υπολογιτούν οι ταθερές και b για τις οποίες ελαχιτοποιείται το άθροιµα των τετραγώνων των αποκλίεων (, ζυγιµένες από την αντίτοιχη αβεβαιότητα τους. Στο εργατήριο αυτό, θα χρηιµοποιήετε λογιµικό ανάλυης δεδοµένων, όπως το Ecel, το οποίο µπορεί υπολογίζει αυτόµατα τις βέλτιτες τιµές των και b, και τα αντίτοιχα φάλµατα, και b. Αν τα ηµεία δεδοµένων υνοδεύονται από φάλµατα διαφορετικά µεταξύ τους, τότε εκείνα τα ηµεία µε τα µεγάλα φάλµατα θα πρέπει να έχουν µικρότερη βαρύτητα το παραπάνω άθροιµα (. Εποµένως, η ζυγιµένη εκδοχή της µεθόδου των ελαχίτων τετραγώνων ταιριάζει ' αυτές τις περιπτώεις. Οι τιµές των και b, όπως και τα αντίτοιχα φάλµατα, και b, δίδονται από τις ακόλουθες χέεις (cf. P.R. Bevngton nd D.K. Robnson, "Dt Reducton nd Error Anlss for the Phscl Scences" (99, McGrw-Hll, 4
5, b, και, b, όπου (. Αν όµως όλα τα ηµεία των δεδοµένων έχουν το ίδιο φάλµα, τότε ενδείκνυται να χρηιµοποιείται η µη ζυγιµένη προαρµογή των ελαχίτων τετραγώνων. Τώρα η ελαχιτοποίηη του αθροίµατος των τετραγώνων των υπολοίπων ( + ( ( b r S ( θα µας δώει τις βέλτιτες τιµές των και b (βλέπε υπολογιµούς το εργατηριακό βιβλίο, χέεις (7 και (7b. Η προαρµογή θεωρείται πολύ καλή, αν χ ή ιοδύναµα S 0.