ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() = F() + c, c R είναι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G() = F() + c, c R ii. Αν c>, τότε ποιο εμβαδόν εκφράζει το cd ; β α i. Κάθε συνάρτηση της μορφής G() = F() + c, όπου c R, είναι μια παράγουσα της στο Δ, αφού G () = (F() + c) = F () = (), για κάθε. Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Δ. Τότε για κάθε ισχύουν F () = () και G () = (), οπότε G () = F (), για κάθε. Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε G() = F() + c, για κάθε. β ii. Αν c>, τότε το cd εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με α βάση β-α και ύψος c.

Άσκηση i. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [ αβ, ]. Αν G είναι μια παράγουσα της β στο [ αβ, ], τότε να αποδείξετε ότι (t)dt = G( β ) G( α). α ii. Έστω, g συνεχείς συναρτήσεις στο [ αβ, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις C,C, και τις ευθείες = α και = β. g Να ορίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, αν () g() για κάθε αβ [, ]. i. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση F() = (t)dt είναι μια παράγουσα της στο [ αβ, ]. α Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της στο [ αβ, ], θα υπάρχει c R τέτοιο, ώστε G() = F() + c. () Από την (), για = α, έχουμε α G( α ) = F( α ) + c= (t)dt+ c= c, οπότε c = G( α ). α Επομένως, G() = F() + G( α ), οπότε, για = β, έχουμε β G( β ) = F( β ) + G( α ) = (t)dt + G( α) και άρα (t)dt = G( β ) G( α) α. β α β E () g() d ii. = [ ] α

Άσκηση 3 Έστω η συνεχής συνάρτηση :[ αβ, ] R. Ποια σχέση δίνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες =α, =β; β Η σχέση είναι: E( Ω ) = ()d. α 3

Άσκηση 4 i. Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ; ii. Έστω, g συνεχείς συναρτήσεις στο [ αβ, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις C,C και τις ευθείες = α και = β. Να ορίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, αν η g διαφορά () g() δεν έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα [ αβ, ]. i. Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () = (), για κάθε. ii. β E = () g()d. a 4

Άσκηση 5 Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο [ αβ, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από την άξονα και τις ευθείες = α και = β. Να ορίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω. αν () αν () αν η δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ]. C, τον Αν () το εμβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη C και τις β ευθείες =α, =β και τον άξονα ' είναι E( ) ()d Ω =. Αν () το εμβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη C και τις β ευθείες =α, =β και τον άξονα ' είναι E( Ω ) = ( ())d. Αν η δε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ] το εμβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη β E( Ω ) = () d. α C και τις ευθείες =α,=β και τον άξονα ' είναι α α 5

Άσκηση 6 (εκτός εξεταστέας ύλης) i. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. ii. Αν η είναι συνεχής στο διάστημα Δ ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης: g() F() = (t)dt με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. α i. Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ αβ, ]. Αν G είναι μια παράγουσα της β στο [ αβ, ], τότε: (t)dt = G( β ) G( α). α Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση F() = (t)dt είναι μια παράγουσα της στο [ αβ, ]. Επειδή α και η G είναι μια παράγουσα της στο [ αβ, ] θα υπάρχει c R τέτοιο, ώστε G() = F() + c. () Από την (), για = α, έχουμε α G( α ) = F( α ) + c= (t)dt+ c= c, οπότε c = G( α ). Επομένως, G() = F() + G( α ), οπότε, α β β για = β, έχουμε G( β ) = F( β ) + G( α ) = (t)dt + G( α) και άρα (t)dt = G( β ) G( α). α α g() ii. ( (t)dt α ) = (g()) g () 6

Άσκηση 7 (εκτός εξεταστέας ύλης) Θεωρούμε μια συνεχή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και έστω α. Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης F() = (t)dt, ; α F () = (). 7

ΘΕΜΑ Β Άσκηση (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνονται οι συναρτήσεις: και F() 3 3 () = n(t 8)dt = (u)du. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και της F. ii. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση F είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. iii. Να αποδείξετε ότι () για κάθε > iv. Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. i. Θεωρούμε τη συνάρτηση Φ (t) = n(t 8). Είναι: t 8> t > 8 t > t (, ) (, + ) άρα η ϕ έχει πεδίο ορισμού το A = (, ) (, + ) στο οποίο είναι και συνεχής. Οπότε για την έχουμε: (, + ), αφού 3 (, + ). Για την F είναι: Η ορίζεται στο διάστημα (, + ) και επειδή 3 (, + ) είναι: >. Άρα D F = (, + ). ii. Οι συναρτήσεις, F είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο (, + ) με F () = () και F (X) = () = n( 8) για κάθε >. Είναι: F () = n( 8) = n( 8) = n 8 = = 3, αφού >. (Η συνάρτηση ln ειναι-) < < < < < 3 < < 3. F () n( 8) 8 9 Αφού > (η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα). Άρα η F είναι κοίλη για κάθε (,3). 8

Όμοια: F () > > 3 Άρα η F είναι κυρτή για κάθε > 3. Επομένως, το σημείο M(3, F(3)) = (3, ) είναι το μοναδικό σημείο καμπής της C F. iii. Είναι: F () = () για κάθε (, + ). Άρα, οι ρίζες και το πρόσημο της ταυτίζονται με τις ρίζες και το πρόσημο της F δηλαδή: () < < < 3 από ii) και () > > 3 από ii). Επομένως η παρουσιάζει στο = 3 ολικό ελάχιστο, οπότε: () (3) () για κάθε (, + ). iv. Είναι: F () = () για κάθε (, + ) (από iii.) και η ισότητα ισχύει μόνο για = 3. Επομένως, η F είναι γνησίως αύξουσα. 9

Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση : R R με: () = 3 + 3 + i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της αν. iv. Να υπολογίσετε το όριο: lim + (t)dt. i. Για κάθε R η είναι παραγωγίσιμη με 3 3 4 3 4 + (6 + 3)( + ) ( + 3) 6 + 3 + 6 + 3 4 6 () = = = + ( + ) ( + ) = 4 3 3 + + = > ( + ) 4 Αφού + 3 + 3> για κάθε R. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε είναι και -, επομένως αντιστρέφεται. ii. Έπειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο R το σύνολο τιμών της θα είναι ( lim ( ), lim ( ) ) + Είναι: 3 3 + 3 lim () = lim = lim = lim = + 3 3 + 3 lim () = lim = lim = lim = +. + + + + + Άρα ( R ) = (lim (), lim ()) = (, + ). + iii. Η συνάρτηση είναι συνεχής, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων, στο R άρα δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση αν έχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη.

Είναι: lim () + 3 + 3 = lim = 3 3 + 3 lim = lim = 3 3 + 3 + 3 lim [ () ] = lim = + 3 3 + 3 lim lim = = + + = lim = lim =. Άρα η ευθεία y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο iv. Έχουμε: t + 3t t + t + t (t)dt = dt = dt = t + t + 3 3 t(t + ) + t t t = dt t dt tdt dt = + = + = t + t + t + (t + ) = t + dt = + ln(t + ) = + ln( + ) ln = t + + ln( + ) Άρα + ln( + ) = = = (t)dt lim (t)dt lim lim + + + + + + lim + lim lim = + = + ( ) ln( ) ln( ) (ln( )) + + + ( + ) = + lim + = + lim = + =. + + +

Άσκηση 3 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R με () = ln (t)dt +. i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη. ii. () Να αποδείξετε ότι η g() = είναι σταθερή και να βρείτε την. () iii. Να υπολογίσετε τα όρια: lim + 5 και () lim 5 i. Έχουμε: () = ln (t)dt + (). Θέτουμε t = u,οπότε dt = du και για t = u = για t = u = Οπότε η () γράφεται: () = ln (u)du + (). Η (u) είναι συνεχής άρα η (u)du είναι παραγωγίσιμη οπότε και παραγωγίσιμη με () = (ln (u)du + ) = ln() (3) ii. Θα δείξουμε ότι g () =. Για κάθε R έχουμε: () () ()( ) g () = = = ( ) (3) () () ln () ()ln = = οπότε ( ) g( ) = c άρα ( ) = c. ( ) = c () = c αλλά () = (από ()), άρα c= οπότε () =.

iii. Είναι: () lim = lim = lim + =, αφού 5 + 5 + 5 < <. 5 () lim = lim = lim = +. 5 5 5 3

Άσκηση 4 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: κάθε R. () = + (t )dt για i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη. ii. Να βρείτε τη συνάρτηση. iii. Να βρείτε το όριο: lim (). iv. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της. i. Έστω Επίσης: g() = (t )dt. Θέτουμε t = u t = + u, οπότε είναι dt = du. για t = είναι u = για t = είναι u = Έχουμε: g() = (u)du Επομένως, η σχέση της υπόθεσης γίνεται: () = + (u)du () Η είναι συνεχής άρα η () = (u)du είναι παραγωγίσιμη ως αρχική της. Επίσης η () = παραγωγίσιμη, οπότε η παραγωγίσιμη, ως άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων. ii. Από τη σχέση () του i) με παραγώγιση και των δύο μελών έχουμε: = + = = () () () () () () ( ()) = () () = + c () = + c () Αλλά η () για = γίνεται: () = (3) Η () για = δίνει: (3) () = c c =. Άρα: () =. iii. Είναι: + lim () = lim ( ) = lim = lim =, αφού = = +. lim lim 4

iv. Από iii) έχουμε: lim () =, επομένως η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο. Επίσης: () = = = +. lim lim lim ( ) + + + C δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +. Και τέλος επειδή η είναι συνεχής στο Επομένως η R, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων, η C δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. 5

Άσκηση 5 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνάρτηση με () = ln(6 t )dt. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την παράγωγό της. iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A(4,(4)). iv. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης i. Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι: ϕ (t) = ln(6 t ). 6 t t ( 4, 4) άρα η φ ορίζεται στο διάστημα A = ( 4, 4), οπότε πρέπει: ( 4, 4) και 4< < 4 < < 6 ( 4, 4) Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το D = (, 6). ii. Η συνάρτηση ϕ (t) = ln(6 t ) είναι συνεχής στο ( 4, 4) και η K() = παραγωγίσιμη στο διάστημα (,6) άρα και η είναι παραγωγίσιμη στο (,6) ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων με () = ( ln(6 t )dt) = ln[6 ( ) ] ( ) = ln( + 4 + ). (4) = ln(6 t )dt = iii. Έχουμε: και (4) = ln( 6 + 6 + ) = ln οπότε η εξίσωση της C στο A(4,(4)) είναι: ε: y (4) = (4)( 4) ή ε: y = ln( 4) ή ε : y = ln() 4ln 6

iv. Για κάθε (,6) έχουμε: + + = + + = = () (ln( 4 )) + 4 ( 4) = = + + 4 4 ( 4 ) + 4 +. Είναι: () ( 4) ( 4) 4 4 αφού 4 < στο (,6). Άρα η είναι κοίλη στο διάστημα [4,6). Όμοια () 4. Άρα η είναι κυρτή στο διάστημα (, 4]. H αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 4 και επίσης ορίζεται εφαπτομένη της A(4,(4)), οπότε το A(4,(4)) = (4,) είναι σημείο καμπής. C στο 7

Άσκηση 6 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνεχής και άρτια συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: 5 () 3 () = 3 (t)dt 4 i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ii. Να βρείτε τη συνάρτηση. iii. Να βρείτε τον τύπο της. * R. iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I = ()d. i. Για έχουμε: () = (t)dt 8 4 () η οποία είναι παραγωγίσιμη διότι: Η είναι συνεχής οπότε η (t)dt είναι παραγωγίσιμη και επειδή παραγωγίσιμη και (t)dt 4 4 παραγωγίσιμη. Επίσης 8 παραγωγίσιμο οπότε () = (t)dt 8 * παραγωγίσιμη στο R. ii. Από τη σχέση () για παραγωγίζοντας έχουμε: 3 () + 3 () = 3 () () = 4 4 3 iii. Από ii) έχουμε: 3 = για κάθε () 4. Αν >, τότε: 4 () = + C (3) Για = η () δίνει: 6 () = 768 () = 8 Για = η (3) δίνει: () = 6 + C οπότε: 6 + C = 8 C = 3. Άρα 4 () = + 3 για κάθε >. Αν <, τότε: 4 () = + C (4) Για = έχουμε: ( ) = 6 + C και επειδή άρτια 8

( ) = () 6 + C = 8 C = 3 Άρα 4 () = + 3 για κάθε < Αν =, τότε επειδή συνεχής έχουμε: Άρα 4 () = + 3 για κάθε R. 4 () = lim () = lim( + 3) = 3 iv. Είναι: 4 I ()d ( 3)d = = + = 5 = [ + 3] = 5 5 = + 3 [ ( ) + 3 ( )] = = 64 + 64 (64 64) =. 9

Άσκηση 7 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνάρτηση: () = 3 + t ηµ ( + t)dt, με R (). i. Να βρείτε την (). ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο M(, ()). iii. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. i. Θέτουμε: + t = u dt = du. Για t = έχουμε: u = Για t = έχουμε: u =. Οπότε η () γράφεται: () () = 3 + (u ) ηµ udu () = 3 uηµ udu + ηµ udu Άρα για κάθε R έχουμε: (3) () = 6 ηµ + ηµ udu + ηµ () = 6 + ηµ udu ii. Η () για = δίνει: () = Επίσης η (3) για = δίνει: () =. Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της y () = ()( ) ή y = ( ) ή y=. C στο M(, ()) έχει εξίσωση: iii. Για κάθε R έχουμε: () = (6 + ηµ udu) = 6 + ηµ >, αφού ηµ για κάθε R. Άρα η είναι κυρτή στο R

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνονται οι συναρτήσεις () = 3ln 3 και i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g g() = (t)dt. ii. Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii. Να αποδείξετε ότι: 3 9 g(). 4 4 iv. Να μελετήσετε τη συνάρτηση K() = g(3 ) ως προς τη μονοτονία, αν > i. Το πεδίο ορισμού της είναι: D = (, + ) στο οποίο είναι και συνεχής. Επειδή (, + ) το πεδίο ορισμού της g είναι: D = (, + ). g ii. Η συνάρτηση είναι συνεχής, άρα η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη, με g () = (t)dt = () = 3ln + 3. ( ) Έχουμε: g () > 3ln + 3 > 3(ln ) > ln < <, αφού (, + ). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,], όμοια g γνησίως φθίνουσα στο [, + ) οπότε η g παρουσιάζει στο = ολικό μέγιστο. iii. Έχουμε: g() g() (), αφού η g παρουσιάζει στο = ολικό μέγιστο αλλά g() = (3ln 3)d = 3 lnd 3 d = = 3 lnd 3 =

3 3 = 3 ln 3 ( ln) d + = 3 3 3 = 3 ln ln d + = 3 3 3 3 = ln + = 3 9 =. () 4 4 Από (),() έχουμε: 3 9 g(). 4 iv. Η συνάρτηση είναι συνεχής και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη οπότε και η συνάρτηση Κ είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο ( ) = = = = 3 K () (t)dt (t)dt (3 )(3 ) 3 3 = 6(3 ) = 6 [9 ln3 9 ] = 54 (ln3 ). Είναι: 3 K () = 54 (ln3 ) = ln3 =, αφού (, + ), ln3 = ln = =. 3 3 Επίσης: 3 K () > 54 (ln3 ) > ln3 < lnγν.αύξ. > ln3 < ln 3 < < <, άρα Κ γνησίως αύξουσα στο 3 (, ] 3. Όμοια Κ γνησίως φθίνουσα στο [, ) 3 +.

Άσκηση (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : (, + ) R για την οποία ισχύει: () (t)dt = + + (). i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη για κάθε >. ii. Να βρείτε τον τύπο της. iii. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. iv. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A(, ()) και να αποδείξετε ότι: + ln 3 i. Εχουμε: () = + + (t)dt () Η είναι συνεχής στο (, + ), οπότε η (t)dt είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) άρα και (t)dt παραγωγίσιμη στο (, + ). Επομένως παραγωγίσιμη στο (, + ). ii. Η () γράφεται: () (t)dt = + + και παραγωγίζοντας έχουμε () + () = + + () () = + () = + () = ( + ln) Άρα () = + ln+ c () Η () για = δίνει: () = ενώ η () για = δίνει: () = + c. Επομένως: + c= c=. Άρα () = + ln, >. iii. Για κάθε > έχουμε: () ( ln) = + = + > και () = + = <, για κάθε >. Άρα η είναι κοίλη στο (, + ). 3

iv. Είναι: () = + ln = () = + = 3 Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Α είναι: y = 3( ) ή y = 3 και επειδή η () = + ln κοίλη (από iii.) έχουμε: + ln 3. Η ισότητα ισχύει για =. 4

Άσκηση 3 Εκφώνηση Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () = + ln, >. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε >. iii. Αν ισχύει λ για κάθε > και λ> τότε να αποδείξετε ότι λ=. iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. i. Για κάθε > έχουμε: () = ln + = + = ( ) Είναι: () < <,άρα γνησίως φθίνουσα στο (,]. () > >,άρα γνησίως αύξουσα στο [, + ). Η για = παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Δηλαδή ( ) ( ) με τιμή () = + = 4. ii. Θέλουμε να δείξουμε ότι για κάθε >. Ισχύει: ln ln ln ( ln ln) ln > ln + ln + ln + 4 () 4 που ισχύει από i). (Η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα) 5

iii. Για κάθε > ισχύει: l ln lnl (ln ln) ( )lnl ln lnl+ lnl () Έστω η συνάρτηση g() = ln lnl+ ln l, > και λ>, τότε: g () = ln + lnl= ln lnl Από () έχουμε: g(), για κάθε >. Αλλά g() =. Άρα g() g() για κάθε >. Η g είναι παραγωγίσιμη και στο = εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της παρουσιάζει ακρότατο οπότε από το θεώρημα Frmat έχουμε: g () = ln lnl= l=. iv. Είναι: () = + ln, > Παρατηρούμε ότι: ln και >, οπότε: () > στο [, ], άρα E = ln d [ ln] lnd + = + = = ln + () lnd = 4 + [ ln] d = = 4 + ln ( ) = 4 + 4 + = 3 + 4 +. 6

Άσκηση 4 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = + i, R, και η συνάρτηση με τύπο () = z Im(z) ορισμένη στο R. i. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο. ii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. iii. Να αποδείξετε ότι () z + () =. i. Έστω z =α+βi, α, β R, τότε α= και β=, R. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία =. ii. Είναι: z = + 4 και Im(z) =. Άρα () = + 4. Η είναι συνεχής στο R άρα δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Επίσης: + 4 4 = + = = + ( + ) lim () lim ( 4 ) lim + + + 4 + + lim =, αφού + 4 + + lim ( 4 ) + + + = +. Άρα y= οριζόντια ασύμπτωτη της C στο +. + 4+ () + 4 lim = lim = lim = 4 και [ ] ( ) lim () ( 4) = lim + 4 + 4 = + 4 4 + + = = ( + ) + ( ) lim ( 4 ) lim 4 + lim =. + 4+ Άρα y = 4 πλάγια ασύμπτωτη της C στο. 7

8 4 () = + 4 = = + 4 + 4 iii. Είναι: ( ) οπότε: 4 + = + + + = + 4 () z () 4 4 4. 8

Άσκηση 5 Δίνεται η συνάρτηση : (, + ) R με () = ln. i. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E( λ ) του χωρίου που περικλείεται από τη και τις ευθείες = και =λ>. C του άξονα ii. Να βρείτε το lim E( l ). + l iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της M(, ( )). iv. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την παραπάνω εφαπτομένη, την C και τον άξονα. i. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν l l l E( l ) = ()d = ln d = () lnd ( l ) = λ> τότε: ( ) l l = [ ln] d l+ =llnl ( l ) l+ = =llnl l+ l+ =llnl l+ (Αφού < <λ το ln > ) Αν <λ<, τότε ( ) E( l ) = ( ())d = ln d = ( l) () lnd = λ λ λ [ ] l = l ln + (ln) d = l = l +lln l+ ( l ) =llnl l+. lnl ii.έχουμε: lim E( l ) = lim ( llnl l+ ) = lim llnl + = lim + = + + + + l l l l l (ln l) = lim + = lim l lim ( ) + + + l l + = l + =. l l l 9

iii. Η εξίσωση της εφαπτομένης της y () = ()( ) Αλλά ( ) = ln = και ( ) C στο σημείο Άρα η εξίσωση είναι: y ( ) =. Aφού ( ) =. = ή y M(, ( )) είναι: = iv. Για κάθε > έχουμε: () = <, άρα κοίλη, οπότε η γραφική παράσταση της εφαπτομένης στο Μ βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της. Επομένως: E = d ( ln ) d = 4 ( ) = lnd + = () lnd + = = [ ln] + d ln ln + = + + + = = + + + = ( ) τ.μ. 3

Άσκηση 6 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνάρτηση : (, ) i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη. u (t) + R για την οποία ισχύει: ( ). () = 3 3 dt du + 3 3 ii. Να αποδείξετε ότι η είναι κοίλη. g() = () + 3 3 είναι σταθερή. ln3 iii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με ( ) () iv. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο M(, ()). i. Έστω: (t) ϕ (t) = 3 και u (t) h(u) = 3 dt Η φ είναι συνεχής, άρα η h είναι παραγωγίσιμη οπότε και συνεχής οπότε παραγωγίσιμη. Επομένως παραγωγίσιμη. g() = h(u)du ii.για κάθε (, + ) έχουμε: για κάθε > για κάθε >. Άρα κοίλη. (t) () = 3 3 dt + 3 (t). αφού () = 3 h(u)dt + 3 3 άρα () () = 3h() + 3 = 3 3 dt + 3 οπότε () = 3 3 < iii. Για κάθε > έχουμε: 3 () g () = () () + 3 ln3 () = ln3 = + = () () () 3 3 αφού () () = 3 3. iv. Είναι: () = 3 και () = 3. Άρα η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση y 3 = 3( ) ή y = 3 3 3

Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση 3 () = + +. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. iii. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I = ()d i. Η έχει πεδίο ορισμού το R, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με κάθε R. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο R. () = + 3 + > για ii. Από i) έχουμε ότι γνησίως αύξουσα στο R, άρα είναι - οπότε αντιστρέφεται. iii. Η είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα το σύνολο τιμών της είναι: (R) = (lim (), lim ()). + Είναι: = + + = = lim () lim ( 3 ) και lim () lim ( 3 ) + + = + + = +. Άρα ( R ) = (, + ). Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι: D = ( R ) = (, + ). iv. Είναι: I ()d =. Θέτουμε = (y), οπότε είναι: d = (y)dy. Επίσης: () = και () =. Άρα τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι και. Επομένως: I = ()d = ( (y)) (y)dy = y (y)dy = [y(y)] (y) (y)dy = 4 y 3 y y y = () (y)dy = () ( y y )dy [ y] + + = + + = 4 9 + + + + = + + = + 3=. 4 4 4 4 [ ( )] 3

ΘΕΜΑ Δ Άσκηση (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις : R R με ισχύει: () = 3 3 και g: R R για τις οποίες () 3 g( + t)dt για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: i. g(t)dt =. ii. Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε g(t)dt =. iii. Η συνάρτηση ( ) ( ) F = g t dt είναι παραγωγίσιμη με F () = g(t)dt + g(). iv. Η εξίσωση g() + g(t)dt = έχει μία τουλάχιστον λύση στο (, ). i. Έστω h() = g( + t)dt. Θέτουμε u = + t έτσι du = dt. Αν t =, τότε: u =. Αν t =,τότε: u = +.Άρα + h() = g(u)du + +. Οπότε έχουμε: () 3 g(u)du 3 3 3 g(u)du Θεωρούμε τη συνάρτηση: + K() 3 3 3 g(u)du K() =, τότε: K() για κάθε R. Η Κ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Frmat δηλαδή είναι παραγωγίσιμη και έχει ακρότατο στο = άρα K () = (). Όμως ( α ) = + = K () 6 3 + g(u)du 3 α g(u)du + g(u)du 33

( ) + 6 3 g(u)du 3 g() + g( + ) () Οπότε από (),() έχουμε: 6 3 g(u)du = g(u)du = Δηλαδή το ζητούμενο. ii. Θεωρούμε τη συνάρτηση: ϕ () = g(t)dt. Η συνάρτηση g είναι συνεχής άρα η g(t)dt είναι παραγωγίσιμη οπότε και συνεχής. Επομένως η συνάρτηση ϕ είναι συνεχής στο [,]. Επίσης: ϕ() ϕ () = ( ) g(t)dt = ( )( ) = <. Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε:. ϕ ( ) = g(t)dt = g(t)dt = iii. Είναι: g συνεχής άρα g(t)dt παραγωγίσιμη ως αρχική της g. F () = g(t)dt = g(t)dt + g() Άρα F παραγωγίσιμη με ( ). iv. Είναι: συνεχής ως παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο [, ]. F παραγωγίσιμη στο (, ) (από iii) με F() = F( ), αφού: F() = F () = g(t)dt + g(). F( ) = g(t)dt = Άρα από το θεώρημα του Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) (, ) τέτοιο ώστε: ξ F ( ξ ) = g(t)dt +ξg( ξ) =. 34

Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () = + ln +, >. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της. ii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4), τέτοιο ώστε ( ξ ) = 3 ξ. iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες = και =. i. Η είναι παραγωγίσιμη για κάθε > με () ln = + + = + = και επειδή () > > και () < < η είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο (,] και για = παρουσιάζει ακρότατο το () = + ln + = 3. ii. Είναι: + ln + lim () = lim ( + ln + ) = lim + + + = + + ln (ln) αφού lim (ln) = lim = lim = lim ( ) =. + + + + Άρα = κατακόρυφη ασύμπτωτη της C. () ln ln Επίσης ισχύει: lim = lim + + lim + = + + = + + αφού αφού + ln + ( ln) lim = lim = lim = () + + + lim ln = +. + και lim () = lim ln + + + = + + Άρα η C δεν έχει ασύμπτωτες στο +. 35

iii. Έστω g() = () 3 η οποία είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο [,4] και για την οποία ισχύει: g() g(4) < αφού g() = () 3 = + ln + = > 3 3 g(4) = (4) 3 = + ln4 + 3 <. 4 Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε g( ξ ) = ( ξ ) = 3 ξ. iv. Είναι: ln και >. Άρα () = + ln + > για κάθε [, ]. Επομένως έχουμε: = + + = + + = E ln d d lnd ( ) [ ] = ln + () lnd + = [ ] = (ln ln) + ln d + = = + ln ( ) + = + τ.μ 36

Άσκηση 3 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ln () = +l + 3, > και λ R. i. Αν η εφαπτομένη της C στο A(, ()) είναι παράλληλη προς την ευθεία () ε με εξίσωση ε : y = 3 να υπολογίσετε το λ. ii. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C στο +. iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ασύμπτωτη της C στο + και τις ευθείες με εξισώσεις: = και =. i. Για κάθε > έχουμε: ln ln ( ln ) ln () () = +l + 3 = +l= +l= ln ln = +l () = +l. Ο συντελεστής της εφαπτομένης της C στο A(, ()) είναι: () = +λ= +λ και επειδή είναι παράλληλη προς την ευθεία ε ισχύει: +λ= 3 λ=. Άρα ln ln () = + + 3, > και () = +. ln ln + ii. Για κάθε > είναι: () = + =. Έστω g() = ln +, >. Είναι: g () = = > g () = =. 37

> > g () > > > > >. Άρα g γνησίως αύξουσα στο[, + ) Όμοια g γνησίως φθίνουσα στο (,]. Δηλαδή η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Επομένως: g() g() g() 3 >, άρα () > για κάθε >, οπότε η δεν έχει ακρότατα και είναι γνησίως αύξουσα. iii. Είναι: lim + + ln + + 3 () = lim = + ln 3 lim + + = + + =, αφού + ln + ( ln) lim = lim = lim = lim =. ( ) + + + + ln lim () = lim + + 3 = + [ ] + ln ( ln) lim + 3 = lim + 3 = + () + = lim + 3 = 3. Άρα η ασύμπτωτη της στο + είναι η ευθεία y= + 3. + iv. ln E = () 3d = + + 3 3 d = ln * ln d = d = = n = n n=. *( < < ln > άρα ln θετικός) 38

Άσκηση 4 Δίνονται οι συναρτήσεις,g με () = + και g() = 3ln, όπου (, + ). i. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης h με h() = () g(). ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g και τις ευθείες με εξισώσεις: = και = λ, όπου λ>. iii. Να βρείτε το όριο lim E( l ). l + iv. Να βρείτε το όριο lim E( l ). + l i. Είναι: h() = () g() = + 3ln 3ln = για κάθε >. 3 Άρα h () = <, οπότε h είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ). Ακόμα h() =. Επομένως: Για κάθε > είναι h() < h() h() < και για κάθε < < είναι h() > h() h() >. ii. Για να προσδιορίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν πρέπει να γνωρίζουμε αν λ> ή λ<. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν λ> τότε: λ λ E( λ ) = () g() d = h() d l l E( l ) = h()d = 3ln d = l [ ] l = ln + 3 () lnd + ( l ) = l l = (lnl ln) + 3[ln] 3 d + l = = lnl+ 3llnl 3( l ) + l = lnl+ 3llnl 3l+ 3 + l = 39

= (3l )lnl l+. Αν <λ< τότε:, E( λ ) = h() d = h()d = h()d λ E( l ) = (3l )lnl+ l. λ Αν λ= τότε προφανώς E() =. Επομένως E( l ) = (3l )lnl+ l. λ iii. Είναι: lim E( l ) = lim [(3l )lnl+ l ] = lim (3llnl lnl l+ ) = l + l + l + lnl = lim [ l(3lnl + )] = ( + )( + + ) = +. l + l l Αφού lim lnl = + και l + ln l (ln l) lim = lim = lim =. l ( l) l l + l + l + iv. Είναι: lim E( l ) = lim ( 3l ) lnl+ l = + + [( ) ( ) ] l l + = +. 4

Άσκηση 5 (εκτός εξεταστέας ύλης) * Δίνεται η συνάρτηση : R R, η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (, + ). Αν F() = (t)dt + (t)dt, τότε: i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g() = (t)dt. ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της F() = (t)dt + (t)dt. iii. Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία. iv. Να αποδείξετε ότι 5 F() (t)dt για κάθε (, ). i. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της D = (,) (, + ) και ο αριθμός ανήκει στο διάστημα (, + ). Άρα η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το D g = (, + ). ii. Είναι: F() = g() + g( ) Η συνάρτηση h() = g( ) ορίζεται σε εκείνα τα για τα οποία ισχύει > <. Άρα D h = (, ). Επομένως το πεδίο ορισμού της F αποτελείται από εκείνα τα για τα οποία ισχύει και D δηλαδή > και <. h D g Άρα D F = (, ). iii. Για κάθε (,) έχουμε: ( ) F () = (t)dt + (t)dt = ( (t)dt ) ( (t)dt ) = + = = () + ( )( ) = () ( ). 4

Οπότε: F () = () = ( ) = = 5 αφού γνησίως αύξουσα άρα και -. Επίσης: F () < () ( ) < () < ( ) < < < 5, αφού γνησίως αύξουσα. F () > () ( ) > () > ( ) > (5, ). Άρα F γνησίως φθίνουσα στο (,5] και F γνησίως αύξουσα στο [5,] iv. H F στο = 5, παρουσιάζει ολικό ελάχιστο άρα για κάθε (, ) ισχύει: 5 5 5 F() F(5) F() (t)dt + (t)dt F() (t)dt. 4

Άσκηση 6 Δίνεται η συνάρτηση με () 3ln( ), = + >. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 3 () + =. iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες = και =. i. Για κάθε (, + ) είναι: () = (3 ln + ) = 3 ( ) = 3 3 = ( + ( ) ) = ( + ( ) ) = 3 3( ) = ( ) = Έχουμε: 3( ) () > > < αφού >. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο (,] 3( ) () < < > Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε. Άρα η για = παρουσιάζει ακρότατο με τιμή () = 3ln + = που είναι η μέγιστη ii. Το σύνολο τιμών θα είναι: ((, + )) = ( lim (), ()] ( lim (), ()] + + lim () = lim[3ln( ) + ] = 3 lim ln( ) + = αφού + + + lim ( ) = + lim () = lim [3ln( ) + ] = αφού + + 43

+ + () lim ( ) lim lim lim + + + + = = = =. ( ) () = Άρα ((, + )) = (, ]. iii. Είναι: 3 () + = () = 3 Έστω g() = () + τότε g () = (), οπότε η g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την 3 g((,]) = (, + ] και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,] έχει μοναδική ρίζα σε 3 αυτό. Άρα και η () + = έχει μοναδική ρίζα στο (,]. 3 g([, + )) = (, + ] και επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) έχει μοναδική 3 ρίζα. Άρα και η () + = έχει μοναδική ρίζα στο [, + ). 3 Άρα η εξίσωση 3 () + = έχει δύο λύσεις, μία στο (,] και μία στο [, + ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το iii) μπορεί να λυθεί και με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών. iv. Είναι: () = () = 3ln + = 3ln 3ln + = 3ln > και επειδή γνησίως φθίνουσα ([, ]) = [3ln +, ] δηλαδή () > στο [,]. Επίσης () 3ln 3ln 3ln 3( ) 3ln 5 3 = + + = + + = +. 3 Άρα E = ()d = 3 lnd (5 3)d 3 () lnd [5 ] + = + = 3 3 = 3[ln] 3 (ln) d + 4 5 + = 3 3 = 3 (ln ) 3 d + 6 5 + = 6ln 3( ) + = 5 = 6ln τ.μ. 44

Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση : (, + ) R, με 4 () = + 3ln +. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 4 3 l = ln l έχει μοναδική λύση για κάθε λ>. iv. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 4 I (t)dt =. i. Για κάθε > έχουμε: () = 8 + >. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), οπότε δεν έχει ακρότατα. 3 3 ii. Είναι: 4 lim () = lim ( + 3ln + ) = + =. + + 4 lim () = lim ( + 3ln + ) = + + + = +. + + Επίσης η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), από i), άρα το σύνολο τιμών της είναι: ((, + )) = (, + ). iii. Για κάθε λ> έχουμε: 3 l 4 4 4 l = ln l = 3(ln ln l) l = 3lnl 4 l + 3lnl+ = ( l ) =. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό λ>, τέτοιο ώστε ( λ ) =. Αυτό ισχύει αφού το σύνολο τιμών της είναι το R (ΑΠΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ) και η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). 45

iv.η συνάρτηση επειδή είναι γνησίως αύξουσα είναι και - άρα αντιστρέφεται. Θέτουμε t = () dt = ()d. Για t = είναι = () =λ. Για t = 4 είναι Επομένως: : 4= () () = () =. 3 (t)dt = ( ()) ()d = ()d = 8 + d = 4 3 λ λ λ λ 5 4 5 5 8 8 8 3 (8 + 3)d = 8 + 3 3 3 3 5 = + λ + λ = λ λ+. 5 5 5 5 λ Ημερομηνία τροποποίησης: /9/5 46