ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί α υπάρχου ελλείψεις ή αι λάθη αι α χρησιμοποιεί τις σημειώσεις με διή του ευθύη. 200 ------- 2002 ΘΕΜΑ ο Α. Aς υποθέσουμε ότι,2,,k είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, όπου k, μη μηδειοί φυσιοί αριθμοί με k. α. Τι οομάζεται απόλυτη συχότητα, που ατιστοιχεί στη τιμή, =,2,,k; Μοάδες 3 β. Τι οομάζεται σχετιή συχότητα f της τιμής, =,2,,k; Μοάδες 3 γ. Να αποδείξετε ότι: ) 0 f για =,2,,k ) f + f2 + + fk =. Μοάδες 4 Απάτηση: α. Στη τιμή ατιστοιχίζεται η απόλυτη συχότητα, δηλαδή ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. β. Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα (relatve frequency) f της τιμής, δηλαδή: f = =, 2,..., 0 γ. ) Αφού 0 0 f 2 + 2 +... + ) f+ f 2 +... + f = + +... + = = = - ------- 2002 Επααληπτιές ----- - ----- Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr
2003 Γ. Να δώσετε το ορισμό της διαμέσου (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω. Μοάδες 6 Απάτηση: Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός. Σχόλιο: σχολιό σ. 87 - α. Το εύρος είαι μέτρο θέσης. Σχόλιο: σχολιό σ. 92.Το ορθό είαι ότι είαι μέτρο διασποράς β. Η διαύμαση εφράζεται με τις ίδιες μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις. Σχόλιο: σχολιό σ. 95 ε. Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόο για τη γραφιή παράσταση τω ποσοτιώ μεταβλητώ. Σχόλιο: σχολιό σ. 70 2003 Επααληπτιές Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. Μέτρο θέσης εός συόλου δεδομέω είαι : α. το εύρος β. η διάμεσος γ. η διαύμαση δ. η τυπιή απόλιση. Μοάδες 5 Απάτηση: β. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 2
Δ. Να ορίσετε το συτελεστή μεταβολής εός συόλου παρατηρήσεω. Μοάδες 6 Απάτηση: Ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας (coeffcent of varaton),ορίζεται ως: > = α 0 = α < 0 Αποτελεί έα μέτρο με το οποίο μας βοηθά στη σύγριση ομάδω τιμώ, που ) είτε εφράζοται σε διαφορετιές μοάδες μέτρησης ) είτε εφράζοται στη ίδια μοάδα μέτρησης, αλλά έχου σηματιά διαφορετιές μέσες τιμές, είαι ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ο οποίος ορίζεται από το λόγο: Ο συτελεστής μεταβολής εφράζεται επί τοις εατό, είαι συεπώς αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης αι παριστάει έα μέτρο σχετιής διασποράς τω τιμώ αι όχι της απόλυτης διασποράς, Εφράζει, δηλαδή, τη μεταβλητότητα τω δεδομέω απαλλαγμέη από τη επίδραση της μέσης τιμής. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 3
2004 Γ. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθού γράφοτας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε άθε πρόταση. α. Η συχότητα της τιμής μιας μεταβλητής Χ είαι αρητιός αριθμός. β. Στη αοιή αταομή το 95% τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα (, + ), όπου είαι η μέση τιμή τω παρατηρήσεω αι η τυπιή τους απόλιση. γ. Α διαιρέσουμε τη συχότητα μιας μεταβλητής Χ με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα f της τιμής. Μοάδες 6 2004 Επααληπτιές - στ. Το μέτρο διασποράς εύρος ισούται με τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση. Μοάδες 2 Σχόλιο: Aυτό που περιγράφει είαι το εύρος ή ύμαση (range) (σχολιό σ92) 2005 Β. α. Ποιες μεταβλητές λέγοται ποσοτιές; Μοάδες 3 Απάτηση: Ποσοτιές λέγοται οι μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί. β. Πότε μια ποσοτιή μεταβλητή οομάζεται διαριτή αι πότε συεχής; Μοάδες 4 Απάτηση: ) Μια ποσοτιή μεταβλητή οομάζεται διαριτή, ότα παίρει μόο μεμοωμέες τιμές. Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης (με τιμές,2, ), το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού (με τιμές,2,,6) τλ. ) Μια ποσοτιή μεταβλητή οομάζεται συεχής, ότα μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματιώ αριθμώ (α, β). Παραδείγματα συεχώ μεταβλητώ είαι το ύψος αι το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρεια μιας τηλεφωιής συδιάλεξης τλ. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 4
- γ. Η διαύμαση είαι μέτρο θέσης. Μοάδες 2 Σχόλιο: Είαι μέτρο διασποράς (σχολιό σ.93) 2005 Επααληπτιές (επίσης 2008, 202 αι 205) Α3. Πώς ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, α > 0 αι πώς, α < 0 ; Μοάδες 4 Απάτηση: Ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ορίζεται ως: = α > 0 < = α 0 - Β. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα, το οποίο ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. α. Οι ποιοτιές μεταβλητές διαρίοται σε διαριτές αι συεχείς. Μοάδες 2 γ. Στη περίπτωση τω ποσοτιώ μεταβλητώ, ετός από τις συχότητες f αι v, χρησιμοποιούται αι οι λεγόμεες αθροιστιές συχότητες F, N. Μοάδες 2 (σχολιό σ.66) δ. Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς μιας μεταβλητής είαι η μέση τιμή αι η διάμεσος αυτής. Μοάδες 2 Σχόλιο: Είαι μέτρα θέσης αι όχι διασποράς Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 5
2006 δ. Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση μόο ποσοτιώ δεδομέω. Μοάδες 2 Σχόλιο: Σχολιό σ.70 2006 Επααληπτιές γ. Ο συτελεστής μεταβλητότητας () είαι αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω. Μοάδες 2 δ. Η διάμεσος δ είαι μέτρο διασποράς. Μοάδες 2 2007 β. Να δώσετε το ορισμό της διαμέσου (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω, ότα ο είαι άρτιος αριθμός. Μοάδες 3 Απάτηση Διάμεσος (δ) εός δείγματος αρτίω παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά είαι ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω. (σχολιό σ.87) - Γ. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε άθε πρόταση τη λέξη, α η πρόταση είαι σωστή, ή, α η πρόταση είαι λαθασμέη. α. Στη περίπτωση τω ποσοτιώ μεταβλητώ, οι αθροιστιές σχετιές συχότητες F εφράζου το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. Μοάδες 2 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 6
2007 Επααληπτιές Γ. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα, το οποίο ατιστοιχεί στη άθε πρόταση. α. Έστω ότι έχουμε έα δείγμα μεγέθους αι ότι f, =,2,,, είαι οι ατίστοιχες σχετιές συχότητες τω τιμώ μιας μεταβλητής. Α α είαι το ατίστοιχο τόξο εός υλιού τμήματος στο υλιό διάγραμμα συχοτήτω, τότε: α = 360, για =,2,,. Μοάδες 2 f 2008 (επίσης 2005 αι 202 αι 205) Α3. Πώς ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, α > 0 αι πώς, α < 0 ; Μοάδες 4 Απάτηση: Συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ορίζεται ως: = α > 0 < = α 0 β. Η διάμεσος δ εός δείγματος παρατηρήσεω t, t2,, t είαι πάτοτε μία από τις παρατηρήσεις αυτές. Μοάδες 2 Σχόλιο: Είαι σωστό μόο α το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι περιττός αριθμός. σχολιό βιβλίο σ. 87 ε. Στο ιστόγραμμα συχοτήτω ομαδοποιημέω δεδομέω, το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Μοάδες 2 Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ. 74 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 7
2008 Επααληπτιές B. α. Να δώσετε το ορισμό της διαύμασης τω παρατηρήσεω t, t2,, t μιας μεταβλητής X. Μοάδες 3 Aπάτηση Η διαύμαση ή διασπορά (varance) ορίζεται ως ο μέσος όρος τω τετραγώω τω απολίσεω τω παρατηρήσεω t, t 2,... t μια μεταβλητής Χ από τη μέση τιμή τους.δηλαδή ορίζεται από τη σχέση: 2 = t = ( ) 2. Ο τύπος αυτός αποδειύεται ότι μπορεί α πάρει τη ισοδύαμη μορφή: = 2 2 t = 2 t = 2 η οποία διευολύει σηματιά τους υπολογισμούς υρίως ότα η μέση τιμή δε είαι αέραιος αριθμός. Οτα έχουμε πίαα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, η διαύμαση ορίζεται από τη σχέση: 2 = = ( ) 2 ή τη ισοδύαμη μορφή: = 2 2 = = 2 όπου, 2,..., οι τιμές της μεταβλητής (ή τα έτρα τω λάσεω) με ατίστοιχες συχότητες, 2,..., - α. Γειά δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής του δείγματος δε ξεπερά το 0%. Μοάδες 2 Σχόλιο: Σχολιό: σ.97 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 8
ε. Το διάγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής. Μοάδες 2 Σχόλιο: Σχολιό: σ.69 2009 B. Α,2,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής X που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους ( ), α ορίσετε τη σχετιή συχότητα f της τιμής, =,2,,. Μοάδες 5 Απάτηση: f = - δ. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής. Μοάδες 2 Σχόλιο: Σχολιό σ.87.για τις ποιοτιές έχουμε το διάγραμμα συχοτήτω. ε. Η μέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω είαι έα μέτρο θέσης. Μοάδες 2 2009 Επααληπτιές - γ. Η διάμεσος εός δείγματος παρατηρήσεω είαι η τιμή για τη οποία το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι μιρότερες από αυτή αι το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή. Μοάδες 2 Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ. 88 δ. Α η αμπύλη συχοτήτω για έα χαρατηριστιό είαι αοιή ή περίπου αοιή με τυπιή απόλιση αι εύρος R, τότε ισχύει 6R Μοάδες 2 Σχόλιο: Το ορθό είαι R σχολιό σ. 95 τελευταίες δύο γραμμές Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 9
200 Α. Έστω t,t2,...,t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους, που έχου μέση τιμή Σχηματίζουμε τις διαφορές t, t 2,..., t Να αποδείξετε ότι ο αριθμητιός μέσος τω διαφορώ αυτώ είαι ίσος με μηδέ. Μοάδες 7 ( ) ( ) ( ) Απάτηση: t + t2 +... + t t+ t2 +... + t = = = 0 Α2. Α,2,, είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής X εός δείγματος μεγέθους αι w,w2,...,w είαι οι ατίστοιχοι συτελεστές στάθμισης (βαρύτητας), α ορίσετε το σταθμιό μέσο της μεταβλητής Χ. Μοάδες 4 O σταθμιός μέσος βρίσεται από το τύπο: Απάτηση: w + w +... + w = = w 2 2 = w+ w2 +... + w w = - ε) Η διάμεσος είαι έα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις αραίες παρατηρήσεις. 200 Επααληπτιές γ) Σε μια ομαδοποιημέη αταομή με λάσεις ίσου πλάτους οι διαδοχιές ετριές τιμές τω λάσεω διαφέρου μεταξύ τους όσο αι το πλάτος άθε λάσης. δ) Σε μια ομαδοποιημέη αταομή με λάσεις ίσου πλάτους το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 0
20 Α3. Τι εφράζει η σχετιή συχότητα f μιας παρατήρησης εός δείγματος. Μοάδες 4 Απάτηση: Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα (relatve frequency) f της τιμής, δηλαδή f = Εφράζει τι λάσμα τω παρατηρήσεω έχει τιμή. α) Η διαύμαση εφράζεται στις ίδιες μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις. Μοάδες 2 (σ. 95 σχολιού) Ιδιο με θέμα 205 β) Σε μία αοιή αταομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6. Μοάδες 2 Σχόλιο: σ.95 v) σχολιό.το σωστό είαι 6 τυπιές απολίσεις δηλαδή R 6. δ) Πάτοτε έα μεγαλύτερο δείγμα δίει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από έα μιρότερο δείγμα. Μοάδες 2 Σχόλιο: σ.60 σχολιό.δε παίζει ρόλο μόο το μέγεθος του δείγματος αλλά αι πόσο ατιπροσωπευτιό του πληθυσμού είαι. ε) Έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής είαι ομοιογεές, α ο συτελεστής μεταβλητότητας δε ξεπερά το 0%. Μοάδες 2 Σχόλιο: σ.97 σχολιό Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr
20 επααληπτιές - γ) Η αθροιστιή συχότητα Ν μίας αταομής εφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.66 δ) Στη αοιή αταομή το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα (, + ), όπου η μέση τιμή αι η τυπιή απόλιση. Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.95.το ορθό είαι 68% ε) Η διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω, οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται πάτα ως η μεσαία παρατήρηση. Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.87.ισχύει μόο για περιττό πλήθος παρατηρήσεις. 202 (ίδιο με 205) Α3. Πώς ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, α > 0 αι πώς, α < 0 ; Μοάδες 4 Απάτηση: Συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ορίζεται ως: = α > 0 = α < 0 α) Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόο για τη γραφιή παράσταση ποσοτιώ δεδομέω (μοάδες 2). Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.70 δ) Το εύρος, η διαύμαση αι η τυπιή απόλιση τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι μέτρα διασποράς (μοάδες 2). Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.9-95 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 2
202 (Επααληπτιές) Α2. Α t, t2,..., tv είαι οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X εός δείγματος μεγέθους, τότε α ορίσετε τη μέση τιμή τω παρατηρήσεω. Μοάδες 4 Απάτηση: Μμέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω. Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t,t2,...,tv, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με αι δίεται από τη σχέση: t + t +... + t t 2 = = = = t = όπου το σύμβολο t παριστάει μια συτομογραφία του αθροίσματος t+t2+...+tv αι διαβάζεται = άθροισμα τω t από = έως. Συχά, ότα δε υπάρχει πρόβλημα σύγχυσης, συμβολίζεται αι ως t ή αόμα πιο απλά με t Σε μια αταομή συχοτήτω, α, 2,..., είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχότητες v,v2,...,v ατίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη σχέση: + +... + 2 2 = = = = + 2 +... + = = Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: = = f = = α) Α f είαι η σχετιή συχότητα της τιμής μιας μεταβλητής Χ, τότε ισχύει: 0 f Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.65. Tέθηε η ίδια αι το 205 β) Α είαι η τιμή μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, τότε η αθροιστιή σχετιή συχότητα F εφράζει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες της τιμής Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.65. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 3
203 Α3. Να δώσετε το ορισμό της διαμέσου (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω. Μοάδες 4 Απάτηση: Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός. (σχολιό σ.87) - γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής. (μοάδες 2) Σχόλιο.σ.87 σχολιό.το ορθό είαι ποιοτιής μεταβλητής δ) Η διάμεσος είαι έα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις αραίες παρατηρήσεις. (μοάδες 2) Σχόλιο.σ.87 σχολιό.το ορθό είαι ότι δε επηρεάζεται. 203 Επααληπτιές Α2. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή ύμαση. (Μοάδες 4) Απάτηση: Eύρος ή ύμαση (range) (R), που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-μιρότερη παρατήρηση Σχόλιο.σ.92 σχολιό γ) Σε μια ποσοτιή μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω. (μοάδες 2) Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ. 69 δ) Έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής Χ χαρατηρίζεται ομοιογεές, ότα ο συτελεστής μεταβολής ξεπερά το 0% (μοάδες 2) Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ. 97 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 4
204 Α3. Πότε μια ποσοτιή μεταβλητή λέγεται διαριτή αι πότε συεχής; Μοάδες 4 Απάτηση: Διαριτή λέγεται η ποσοτιή μεταβλητή που παίρει μόο «μεμοωμέες» τιμές. Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης (με τιμές,2, ), το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού (με τιμές,2,,6) τλ. Συεχής λέγεται μια ποσοτιή μεταβλητή ότα μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματιώ αριθμώ (α, β) Τέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος αι το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρεια μιας τηλεφωιής συδιάλεξης τλ. γ) Σε μια αοιή ή περίπου αοιή αταομή το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσοται στο διάστημα (, + ), όπου η μέση τιμή αι η τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ.95 σχολιού.το ορθό είαι 68% δ) Α είαι τιμή μιας ποσοτιής μεταβλητής X, τότε η αθροιστιή συχότητα N εφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες της τιμής. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ.66 σχολιό Eφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής ε) Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες v ή τις σχετιές συχότητες f τω τιμώ της μεταβλητής. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ.70 σχολιό Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 5
204 Επααληπτιές Α3. Τι οομάζεται (απόλυτη) συχότητα v της τιμής μιας μεταβλητής X ;Μοάδες 4 Απάτηση: Eίαι ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. Σχόλιο: σ. 65 σχολιό - α) Σε μια αοιή ή περίπου αοιή αταομή το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα ( 2, + 2), όπου η μέση τιμή αι η τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ. 95 σχολιό.σε αυτό το διάστημα βρίσεται το 95% περίπου τω παρατηρήσεω. β) Σε ομαδοποιημέα δεδομέα το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι πάτοτε ίσο με έα. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ. 74 σχολιό.το σωστό είαι ότι το εμβαδό είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Ισο με έα είαι το εμβαδό που ορίζεται από το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 6
205 Απάτηση: w + w +... + w = = w 2 2 = w+ w2 +... + w w = Σχόλιο: σχολιό σ. 87 205 γ) Η διαύμαση τω παρατηρήσεω μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εφράζεται με τις ίδιες μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις. (σ. 95 σχολιού) δ) Α για τους συτελεστές μεταβολής τω δειγμάτω αι ισχύει B> A, τότε λέμε ότι το δείγμα Β εμφαίζει μεγαλύτερη ομοιογέεια από το δείγμα Α. σ.96-97 σχολιό (όσο πιο μιρός είαι ο συτελεστής μεταβολής τόσο πιο ομοιογεές είαι το δείγμα) Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 7
205 Επααληπτιές (το ίδιο 202) Απάτηση: Συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας = α > 0 < = α 0 205 - (Ξαατέθηε το 202 επααληπτιές) γ) Για τη σχετιή συχότητα f της τιμής μιας μεταβλητής X, ισχύει ότι 0 Σχόλιο: Δες σ.65 σχολιού.εξήγηση: Eίαι 0 0 0 f f = αι δεδομέου ότι δ) Η τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω μιας ποσοτιής μεταβλητής X είαι μέτρο θέσης. Σχόλιο : Είαι μέτρο διασποράς (σ.9 αι σ. 95 σχολιού) f Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 8