ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα 0 5 A = 0 4 0 και εξηγήστε γιατί είναι αντιστρέψιμος. Κατόπιν βρείτε τον αντίστροφο του A. 0 0 β) [μονάδες: 0.5]. Έστω ένας πραγματικός τετραγωνικός πίνακας B τέτοιος ώστε: ( B ) 0 = 4I. Υπολογίστε την ορίζουσα του B. 0 5 5 5 α) det A = 0 = + = 0 + 8 = 4 0 0 4 0 και ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος επειδή det A 0. Για να βρούμε τον Έχουμε: A θα εφαρμόσουμε τη διαδικασία απαλοιφής Gauss-Jordan. 0 5 0 0 = 0 0 0 4 0 0 0 [ A I ] εναλλαγή 0 0 0 ( ) 0 5 0 0 4 0 0 0 (+) 0 0 0 0 5 0 0 0 4 9 0 ( ) 0 0 0 (+) 0 5 0 0 0 0 (+) 5 ( ) (+) 0 0 6 0 0 0 9 5 5 ( /) 0 0 ( ) 0 0 6 0 0 0 9/ 5/ 5/ = I A 0 0 Επομένως: A 6 0 = 9/ 5/ 5/
0 0 0 0 0 β) ( ) ( ) ( ) B = 4I detb = 4 deti = 4 det B = 4 =± detb =± det B det B Θέμα. (μονάδες.0) y+ 4z w= 4 Έστω το σύστημα: x + y 7z = με αγνώστους x, yzw,,. x 6y + 6z + w = α) [μονάδες: 0.5]. Χωρίς να κάνετε πράξεις, αποφανθείτε αν το σύστημα έχει μοναδική λύση ή όχι. β) [μονάδες: 0.5]. Γράψτε το σύστημα στη μορφή Ax = b γ) [μονάδες:.]. Εφαρμόστε απαλοιφή Gauss για να λύσετε το σύστημα, διακρίνοντας τις βασικές μεταβλητές και τις ελεύθερες μεταβλητές πριν κάνετε ανάδρομη αντικατάσταση. Ποια είναι η λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος Ax = 0 ; δ) [μονάδες: 0.]. Ποια είναι η τάξη του A; α) Το σύστημα δεν μπορεί να έχει μοναδική λύση γιατί έχει λιγότερες εξισώσεις από αγνώστους. β) x y+ 4z w= 4 0 4 4 y x+ y 7z = 7 0 z = x 6y+ 6z+ w= 6 6 w A x b γ) Απαλοιφή Gauss: 0 4 4 Ab = 7 0 6 6 7 0 0 4 4 6 6 εναλλαγή (+) 7 0 0 4 4 0 8 8 (+) 7 0 0 4 4 = U d 0 0 0 0 0 7 0 x Ax b Ux d 0 4 y = = 4 0 0 0 0 z = 0 w Βασικές μεταβλητές: x, y (αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς) Ελεύθερες μεταβλητές:, zw (αντιστοιχούν στις στήλες του U που δεν έχουν οδηγούς)
Ανάδρομη αντικατάσταση: η 4 εξίσωση: 0x + 0y+ 0z+ 0w= 0 που ισχύει ( xyzw,,, ) η εξίσωση: y+ 4z w= 4 y = 4 4z+ w η εξίσωση: x + y 7z = x+ (4 4 z+ w) 7z = x = + 5z w Άρα, το Ax = b έχει άπειρες λύσεις της μορφής: Οι λύσεις αυτές γράφονται ισοδύναμα και ως: 5 4 4 x = z w 0 + + 0 0 0 γενική λύση του Ax= 0 + 5z w 4 4z+ w x = z w με zw, με zw, Από αυτή τη μορφή προκύπτει ότι το αντίστοιχο ομογενές σύστημα Ax = 0 5 4 άπειρες λύσεις της μορφής: x = z w + 0 με zw, 0 δ) ra= ( ) [πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ] ra ( ) = έχει Θέμα. (μονάδες.0) 8 5 Η τάξη ενός πίνακα A είναι ra= ( ) 5. Απαντήστε στα παρακάτω αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας: α) [μονάδες: 0.5]. Πόσες μηδενικές γραμμές θα έχει ο κλιμακωτός πίνακας U που προκύπτει από τον A κάνοντας απαλοιφές μεταξύ γραμμών; β) [μονάδες: 0.5]. Πόσες βασικές και πόσες ελεύθερες μεταβλητές θα έχετε σε ένα συγκεκριμένο σύστημα Ax = b ; γ) [μονάδες: 0.5]. Πόσες λύσεις έχει ένα συγκεκριμένο σύστημα Ax = b, με b 0 ; δ) [μονάδες: 0.5]. Να λυθεί το ομογενές σύστημα Ax = 0 ε) [μονάδες: 0.5]. Ποια είναι η διάσταση του μηδενοχώρου και ποια η διάσταση του χώρου στηλών του A; στ) [μονάδες: 0.5]. Είναι οι στήλες του A γραμμικώς εξαρτημένα ή γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα; k p ζ) [μονάδες: 0.5]. Αν ο A είναι ο πίνακας μιας γραμμικής απεικόνισης f :, τότε ποια είναι τα k και p ; η) [μονάδες: 0.5]. Η απεικόνιση του προηγούμενου ερωτήματος είναι «-» ή/και «επί»;
α) Επειδή ra= ( ) [πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ], ο U θα έχει 5 μημηδενικές γραμμές και άρα, 8-5 = μηδενικές γραμμές. β) Έχουμε: [πλήθος βασικών μεταβλητών] = ra ( ) = 5 και [πλήθος ελεύθερων μεταβλητών] = n r( A) = 5 5 = 0 Άρα, 5 βασικές μεταβλητές και καμία ελεύθερη μεταβλητή γ) Επειδή ra ( ) = nτο σύστημα Ax = b δεν έχει ελεύθερες μεταβλητές και άρα δεν μπορεί να έχει άπειρες λύσεις. Επιπλέον ra ( ) < m και επομένως, το σύστημα μπορεί είτε να μην έχει καμία λύση, είτε να έχει μοναδική λύση [για συγκεκριμένο πίνακα A, αυτό εξαρτάται από το αν το b R ( A) ]. δ) Επειδή ra ( ) = n, το ομογενές σύστημα Ax = 0 x = (0,0,0,0,0) έχει μοναδική λύση τη ε) Για το μηδενόχωρο έχουμε: dim N ( A) = n r( A) = 5 5 = 0 ( ος τρόπος: από το ερώτημα δ προκύπτει ότι N ( A ) = {(0,0,0,0,0)} και άρα dim N ( A ) = 0 ) Για το χώρο στηλών έχουμε: dim R ( A) = ra ( ) = 5 στ) Επειδή ra ( ) = n, οι στήλες του A είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα k p k ζ) Αν A ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης f :, τότε για κάθε x θα πρέπει να ορίζεται το γινόμενο Ax p p k και να είναι ( Ax). Δηλαδή A. Άρα p = 8 και k = 5. η) Ξέρουμε ότι {η f είναι «-»} ra ( ) = n. Άρα, επειδή ra ( ) = 5= nη f είναι «-». Επίσης, ξέρουμε ότι {η f είναι «επί»} ra ( ) = m. Εδώ έχουμε ra ( ) = 5 8= mκαι άρα η f δεν είναι «επί». 4
Θέμα 4. (μονάδες.0) Έστω οι πραγματικοί διανυσματικοί υπόχωροι V = {( x, y, z) \ x y+ z = 0} { (,, ) \ 0 W = x y z x+ y = } του. και α) [μονάδες: 0.]. Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι χώροι V και W; β) [μονάδες:.]. Βρείτε μια βάση του V W και τη διάσταση του. Τι παριστάνει ο V W γεωμετρικά; γ) [μονάδες: 0.5]. Βρείτε μια βάση του υποχώρου του που είναι συμπληρωματικός του V W. α) Και οι δυο χώροι περιέχουν άδες ( x, yz, ) πραγματικών αριθμών που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής α x + βy+ γz = 0. Άρα, καθένας από τους χώρους V και W παριστάνει ένα επίπεδο που περνά από το 0 = (0,0,0). β) V W = {( x, y, z) \ x y+ z = 0 & x+ y = 0} δηλαδή ο V W αποτελείται από τις λύσεις του συστήματος: x x y+ z = 0 0 0 } y = x+ y = 0 z 0 A 0 δηλαδή, V W N ( A), όπου A = 0 Έχουμε: A = 0 = U (+) 0 5 Όμως, Ax = 0 Ux = 0 Βασικές μεταβλητές: x, y Ελεύθερη μεταβλητή: z Ανάδρομη αντικατάσταση: η εξίσωση: 5y+ z = 0 y = z 5 η εξίσωση: x y+ z = 0 x z+ z = 0 x = z 5 5 x Άρα, ο V W έχει διανύσματα της μορφής: z 5 x = z, δηλαδή της μορφής: 5 z 5
Επομένως, μια βάση του V /5 x = z /5, με z W είναι το μονοσύνολο /5 /5. Επειδή η βάση έχει διάνυσμα, συμπεραίνουμε ότι dim( V W ) = Ο V W παριστάνει την ευθεία του που ορίζεται από τα σημεία (0,0,0) και (/5, /5, ). Δηλαδή, τα επίπεδα V και W τέμνονται σε αυτήν την ευθεία. γ) Επειδή V W N ( A), συμπεραίνουμε ότι ο συμπληρωματικός στον V W είναι ο χώρος γραμμών του A, δηλαδή ο R ( A T ). Μια βάση του R ( A T ) είναι οι μημηδενικές γραμμές του U, δηλαδή {μια βάση του R ( A T )}= 0, 5 Θέμα 5. (μονάδες.5) Έστω η γραμμική απεικόνιση f : με f ( xy, ) = ( x y,x y, x+ y). α) [μονάδες: 0.5]. Βρείτε τον πίνακα Α της f ως προς τις κανονικές βάσεις των, β) [μονάδες:.0]. Βρείτε τη διάσταση της εικόνας και τη διάσταση του πυρήνα της f, καθώς και βάσεις τους. α) Η κανονική βάση του Η κανονική βάση του E με e = (,0) & e = (0,). e, e E =, e με e = (,0,0) είναι η = { e, e} είναι η { } e = (0,0,). Ο πίνακας της f ως προς τις κανονικές βάσεις των, e = (0,,0), έχει ως στήλες τις συνιστώσες των f ( e), f( e) ως προς τη βάση E. Έχουμε: f ( e ) f ((,0)) ( 0, 0, 0) (,, ) e e = = + = = + + ( ) e f ( e ) f (0,) (0, 0, 0 ) (,,) ( ) e = = + = = + ( ) e + e ( ) & Άρα, ο πίνακας της f ως προς τις κανονικές βάσεις των 6, είναι ο
A = β) Έχουμε: A = ( ) 0 0 (+) (+) (+) 0 = U 0 0 dim(im f ) = ra ( ) =[πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ] = dim(ker f ) = n r( A) = = 0 {μια βάση του Im f } = {μια βάση του R ( A) } = {οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς} = { η & η στήλη του A} Άρα: {μια βάση του Im f } =, { } f =, έχουμε 0 0 Επειδή dim(ker ) 0 ker f = και άρα ο ker f δεν έχει βάση Θέμα 6. (μονάδες.5) 0 4 α) [μονάδες: 0.5] Έστω ο πίνακας A με A =. Να βρεθούν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο X A( λ ) και οι ιδιοτιμές του Α. β) [μονάδες:.0] Δείξτε ότι ο Α διαγωνιοποιείται και βρείτε ένα πίνακα P που τον διαγωνιοποιεί, καθώς και τον αντίστοιχο διαγώνιο D. 4 ( ) = det( ) = = ( ) 4= 4 λ α) XA λ A λi λ λ λ λ λ ± ( ) 4( 4) ± 5 X A( λ) = 0 λ λ 4= 0 λ = λ = ± 5 λ = 4 λ = λ = Επομένως, οι ιδιοτιμές του A είναι οι: λ = 4 & λ = β) Ο A διαγωνιοποιείται γιατί είναι και έχει διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές. 7
Για την ιδιοτιμή λ = 4, έχουμε: 4 4 ( /4) A λi= A 4I = 4 4 = U (+) 0 0 Άρα: ( A λ 4 4 0 I) x = 0 Ux = 0 x = 0 0 y 0 Βασική μεταβλητή: x Ελεύθερη μεταβλητή: y η εξίσωση: 4x 4 y = 0 x = y Άρα, ο ιδιόχωρος V 4 ( A ) έχει διανύσματα της μορφής: x = y y δηλ. x = y, y και άρα: 4 B = {μια βάση του 4 ( ) ------------------------------------------------------------ Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε: V A } { } A λ 4 I= A+ I = 4 = U 4 (+) 0 0 Άρα: ( A λ 4 0 I) x = 0 Ux = 0 x = 0 0 y 0 Βασική μεταβλητή: x Ελεύθερη μεταβλητή: y η εξίσωση: x 4 y = 0 x = 4 y Άρα, ο ιδιόχωρος V ( A) έχει διανύσματα της μορφής: x = 4 y y δηλ. x = y 4, y και άρα: B = {μια βάση του V ( A) -------------------------------------------------------------------- { } Έστω το σύνολο B B 4 4 B, = = = } { 4 } = Ένας πίνακας που διαγωνιοποιεί τον A είναι ο P = 4 (ο πίνακας με στήλες τα διανύσματα του B) και αντίστοιχος διαγώνιος που είναι όμοιος με τον A μέσω της σχέσης A = PDP είναι ο D = 4 0 0 (ο πίνακας με τις ιδιοτιμές στη διαγώνιο τοποθετημένες με την ίδια σειρά που είναι τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα στον P ) 8