ΗΜΥ 429 9. Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Εφαρμογές 1
Ζεύγη σημάτων Συνάρτηση δέλτα: ΔΜΦ δ[ n] u[ n] u[ n 0.5] (συχνότητα 0-0.5) Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 2
Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. Ορθογώνιος παλμός και συνάρτηση sinc : sinc(α)=sin(απ)/(πα) sin( πkm / N) MagX[ k] =, 0 k N sin( πk / N) / 2 Αναδίπλωση: για αφαίρεση του φαινομένου: sin(πk/n) πk/n. Στο δίαστημα 0-0.5 δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ των δύο συναρτήσεων. Για διακριτά σήματα το ζεύγος αυτό είναι προσέγγιση λόγω της αναδίπλωσης. Sinc: σημαντική συνάρτηση στη ΨΕΣ. Πολλαπλασιασμός στο πεδίοχρόνουμεορθογώνιο παλμό συνέλιξη στο πεδίο συχνότητας με sinc. 3
Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 4
Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 5
Φαινόμενο Gibbs Χρησιμοποίηση μόνο μερικών συχνοτήτων για ανακατασκευή σήματος στο πεδίο χρόνου υπέρβαση (overshoot) & κωδωνισμός (ringing) στα άκρα. Φαινόμενο Gibbs. Η πρόσθεση περισσότερων ημιτονοειδών μειώνει το πλάτος της υπέρβασης, αλλά το μέγεθος μένει στο ίδιο επίπεδο. Για διακριτά σήματα η πρόσθεση όλων των ημιτονοειδών αφαιρεί το φαινόμενο. Το φαινόμενο προκαλεί προβλήματα στη ΨΕΣ π.χ. Χαμηλοπερατό φίλτρο «κόβει» τις ψηλές συχνότητες, ως αποτέλεσμα παρατηρείται υπέρβαση και κωδωνισμός στα άκρα του σήματος στο πεδίο χρόνου. 6
Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 7
Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 8
Αρμονικές συχνότητες: Περιοδικά σήματα με συχνότητα (θεμελιώδης συχνότητα) παρουσιάζουν αρμονικές συχνότητες πολλαπλάσια της, δηλ., 2, 3, κλπ. Το πλάτος τους συνήθως μειώνεται όταν αυξάνεται η συχνότητα. Ψηφιακή αναδίπλωση αρμονικών συχνοτήτων Σήμα chirp (τερέτισμα): σήμα του οποίου η συχνότητα αυξάνεται με το χρόνο. Περνώντας σήμα chirp από ένα σύστημα antichirp (αντιτερέτισμα) παίρνουμε συνάρτηση δέλτα. Σε τι μας χρησιμεύει; Ραντάρ! 9
Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier (ΓΜΦ) Πολύ πιο αποτελεσματικός από άλλες μεθόδους μείωση χρόνου υπολογισμού κατά μεγάλο ποσοστό! Μέθοδος λειτουργίας: (1) Ανακατάταξη Ν μιγαδικών δειγμάτων ενός σήματος (2) Υπολογισμός των Ν φασμάτων συχνότητας του κάθε δείγματος (3) Σύνθεση των Ν φασμάτων σε ένα φάσμα συχνότητας (1) Ανακατάταξη μέσω συζευγμένης ανάλυσης (interlaced decomposition): log 2 N στάδια Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 10
Ανακατάταξη αντιστοιχεί σε αντιστροφή bit (bit reversal): Κανονικά δείγματα Αντεστραμμένα δείγματα 0 0000 0 0000 1 0001 8 1000 2 0010 4 0100 3 0011 12 1100 4 0100 2 0010 5 0101 10 1010 6 0110 6 0110 7 0111 14 1110 11
(2) Φάσμα συχνότητας καθενός από τα Ν δείγματα: φάσμα ενός σημείου = ίδιο το σημείο! (3) Σύνθεση: συνδυασμός των Ν φασμάτων σε ένα φάσμα με αντίστροφο τρόπο με την ανάλυση. Η μέθοδος αντιστροφής bit δεν είναι εφαρμοστή εδώ σύνθεση άνα στάδιο. Πρόσθεση 0 στα μονά δείγματα ενός σήματος και στα ζυγά του άλλου. Δηλ. μετατοπισμός ενός σήματος δεξιά κατά 1 δείγμα πολλαπλασιασμός του φάσματος με ημιτονοειδές. 12
«Πεταλούδα»: Βασικό υπολογιστικό στοιχείο του ΓΜΦ μετατρέπει δύο μιγαδικά δείγματα σε άλλα δύο. Ιδιότητα: λόγω δυϊσμού ο πιο εύκολος τρόπος για Αντίστροφο ΜΦ είναι ΜΦ στα δείγματα συχνότητας και αναπροσαρμογή τους. Figures από Scientist s and engineer s guide to DSP. 13
Εφαρμογές (1) Συνέλιξη μέσω ΔΜΦ: (Συνέλιξη στο πεδίο χρόνου) = (Πολλαπλασιασμός στο πεδίο συχνότητας) Βήματα: Μετασχηματισμός Fourier Πολλαπλασιασμός του φάσματος των δύο σημάτων Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier Γιατί συνέλιξη μέσω Fourier; (1) Συνέλιξη είναι μαθηματικά δύσκολη (κυρίως η αντίστροφη συνέλιξη) (2) Μείωση ταχύτητας υπολογισμού Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier 14
Πολλαπλασιασμός στο πεδίο συχνότητας, Πολική μορφή: X [ ] H[ ] = Y[ ] : MagY [ ] = MagX[ ] MagH[ ] PhaseY [ ] = PhaseX[ ] + PhaseH[ ] Ορθογώνια μορφή: ReY[ ] = Re X[ ]Re H[ ] Im X[ ]Im H[ ] ImY[ ] = Im X[ ]Re H[ ] + Re X[ ]Im H[ ] 15
Αντίστροφη συνέλιξη διαίρεση, Πολική μορφή: H [ ] = Y[ ] X[ ] : MagH [ ] = MagY[ ]/ MagX[ ] PhaseH[ ] = PhaseY[ ] PhaseX[ ] Ορθογώνια μορφή: Re H[ ] = ReY[ ]Re X[ Re X[ ] 2 ] + + ImY[ ]Im 2 Im X[ ] X[ ] Im H[ ] = ImY[ ]Re X[ ] 2 Re X[ ] + ReY[ ]Im 2 Im X[ ] X[ ] 16
Συνέλιξη δύο σημάτων με Ν και Μ δείγματα αντίστοιχα, με Ν>Μ (Ν+Μ-1) δείγματα. Όμως: μόνο Ν δείγματα μετά από ΔΜΦ! Φαινόμενο κυκλικής συνέλιξης: τα (Μ-1) δείγματα που περισσεύουν περνούν στο επόμενο παράθυρο και επηρεάζουν τα άλλα δείγματα, λόγω της περιοδικότητας του σήματος. Λύση: γέμισμα του σήματος με μηδενικά Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 17
(2) Φάσμα συχνότητας (Frequency Spectrum): εκτίμηση του συχνοτικού περιεχομένου, της φάσεως και του μεγέθους των ημιτονικών συναρτήσεων που αποτελούν ένα σήμα. Τέτοιες πληροφορίες είναι, τις πλείστες φορές, πιο χρήσιμες από το σήμα στο πεδίο χρόνου. Παράδειγμα: εξερεύνηση ήχων στους ωκεανόυς. - Τοποθέτηση μικρόφωνου μέσα στο νερό - μεγέθυνση ήχου - φιλτράρισμα με αναλογικό χαμηλοπερατό φίλτρο 80Hz - δειγματοληψία με 160Hz αρκετών χιλιάδων δειγμάτων. Μετά; 18
(α) «Κοιτάζουμε» τα δεδομένα στο πεδίο χρόνου (β) «Κοιτάζουμε» τα δεδομένα στο πεδίο συχνότητας πριν την εφαρμογή ΔΜΦ πολλαπλασιάζουμε με παράθυρο Hamming (ο λόγοςσελίγο...) 19
ΔΜΦ 20
Μείωση τυχαίου θορύβου: (1)Μέσος όρος μεγέθους φάσματος πολλών κομματιών (παράθυρα) του σήματος. Μείωση (αριθμου ππαραθυρω) (2)ΔΜΦ με πολλά δείγματα και εφαρμογή ψηφιακού χαμηλοπερατού φίλτρου για ομαλοποίηση του φάσματος. Μείωση θορύβου, αλλά ταυτόχρονη μείωση ευκρίνειας. 21
Tι μπορεί να παρατηρήσουμε σε ένα φάσμα συχνότητας; 1. Τυχαίος θόρυβος α. «λευκός θόρυβος» 10-70Hz b. 1/ θόρυβος < 10Hz 2. Θόρυβος από ηλεκτρικά καλώδια (60Hz), ραδιοσταθμούς & τηλεοπτικούς σταθμούς (MGHz), κλπ. 3. 13Hz και αρμονικές συχνότητες - από, π.χ. προπέλα υποβρυχίου! Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 22
Ευκρίνεια συχνότητας: εξαρτάται από Αριθμό δειγμάτων του ΔΜΦ μεγαλύτερος αριθμός μεγαλύτερη ευκρίνεια. Φάσμα συχνότητας από ΔΜΦ σήματος με Ν δείγματα αποτελείται από (Ν/2+1) δείγματα ισοκατανεμημένα μεταξύ 0-0.5 s. Για διαχωρισμό δύο πολύ κοντινών κορυφών το διάστημα μεταξύ των δειγμάτων πρέπει να είναι μικρότερο της απόστασης μεταξύ των κορυφών. Αριθμό δειγμάτων του σήματος - μεγαλύτερος αριθμός μεγαλύτερη ευκρίνεια. Ο αριθμός δειγμάτων του σήματος δεν είναι απαραίτητο να ισούται με τον αριθμό δειγμάτων του ΔΜΦ. Για αύξηση ευκρίνειας: γέμισμα με μηδενικά, δηλ. προσθέτουμε 0 στο τέλος του σήματος αύξηση αριθμού δειγμάτων χωρίς επηρεασμό συχνότητας. 23
Τι συμβαίνει αν η συχνότητα ενός σήματος δε συμπίπτει με τη συχνότητα των ημιτονοειδών σημάτων που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση; Λύση: πολλαπλασιασμός με παράθυρο! Γιατί; (1) Μείωση αριθμού δειγμάτων (2) Επιλογή (δειγματοληψία) Νδειγμάτων ηπαρουσίατων«ουρών» εξαρτάται από την τοποθεσία των δειγμάτων. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 24
(3) Συχνοτική απόκριση συστήματος (requency response): οι πληροφορίες που περιγράφουν πλήρως ένα σύστημα, δηλ. πώς το σύστημα αλλάζει το πλάτος και τη φάση ημιτονοειδών σημάτων εισόδου. ΣυχνοτικήαπόκρισηενόςσυστήματοςείναιοΜΦ τηςκρουστικήςτουαπόκρισης. Μερικές φορές είναι πιο χρήσιμη η συχνοτική απόκριση παίρνουμε περισσότερες πληροφορίες για τη λειτουργία ενός συστήματος. Ευκρίνεια απόκρισης αυξάνεται μέσω γεμίσματος της κρουστικής απόκρισης πριν από το ΔΜΦ. Άπειρη ευκρίνεια αν χρησιμοποιησούμε άπειρα μηδενικά δείγματα! Θεωρητικά πιθανόν αφού ένα σήμα μπορεί να περιέχει οποιαδήποτε συχνότητα μεταξύ 0-0.5. 25
Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 26
Επόμενη διάλεξη: 10. Μετασχηματισμός z Παραθύρωση 27