Μεαλλική συμπεριφορά
Χαρακηρισικά μεαλλικής συμπεριφοράς Μεγάλη θερμική και ηλεκρονιακή αγωγιμόηα Μεγάλο μέρο ελασικόηας όγκου (Β=10 11 Pa) Μεαλλική λάμψη
Ι. Μονέλο Drude (Jelliu) Σύμβαση προσήμου: e: σοιχειώδες θεικό φορίο -e: σοιχειώδες αρνηικό φορίο Μεμονωμένο άομο Μέαλλο Zα: αομικός αριθμός Ηλεκρόνια αγωγιμόηας Πυκνόηα: ρ = Μ V 0.4 ρ 20 g/c3 Ιόνα: θεικά «σωμαίδια» Αριθμηική πυκνόηα ου «ηλεκρονιακού αερίου» (η μοναδική παράμερος ) n = N και ρ = Μ N ρ V n = M = Ν A Ζ ρ V Α Ακίνα νοηής σφαίρας που περιέχει ένα ηλεκρόνιο αγωγιμόηας 1 n = V N = 4 3 πr s 3 r s = 3 4πn 1/3 Α: μαζικός αρ.
Π.χ. Li Z=1, A=6.9, ρ=0.54 g/c 3 ------- n=4.7x10 22 ηλεκρόνια/c 3 Cu Z=1, A=63.5, ρ=8.96 g/c 3 ------- n=8.5x10 22 ηλεκρόνια/c 3 r s =1.4 Å 7/12/2015
Παραδοχές Μονέλου Drude (Jelliu) 1) Τα ηλεκρόνια συγκρούοναι με α ιόνα (αλλά όχι μεαξύ ους) με ακαριαίες συγκρούσεις και με απόομη μεαβολή ης αχύηας ους. + + 2) Μεαξύ ων συγκρούσεων αγνοούναι οι αλληλεπιδράσεις ηλεκρονίου ηλεκρονίων (προσέγγιση ανεξάρηου ηλεκρονίου) και ηλεκρονίου ιόνων (προσέγγιση ελεύθερου ηλεκρονίου). + + + + + Σαν αποέλεσμα, απουσία εξωερικού πεδίου α ηλεκρόνια εκελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 7/12/2015
3) Η πιθανόηα σύγκρουσης ηλεκρονίου/ιόνος σε χρόνο dt ισούαι με dt/ όπου ο χρόνος χαλάρωσης/ηρέμησης (relaxation tie) ή ο χρόνος μεαξύ δύο συγκρούσεων (collision tie) 4) Μέσω ων συγκρούσεων α ηλεκρόνια έρχοναι σε θερμική ισορροπία με ο περιβάλλον. Η αχύηα ου ηλεκρονίου είναι ανάλογη ης T πριν η σύγκρουση 1 2 u2 = 3 2 k BT και ακολουθεί ην καανομή αχυήων Maxwell- Boltzann: f MB u = n 2πKT 3/2 u 2 e u2 2k B T
Σαική (dc) αγωγιμόηα μεάλλων V = IR Νόμος Oh: R = ρ l s E = ρj (1) ρ: ειδική ανίσαση ([Ω ] (resistivity) E = V l J: πυκνόηα ρεύμαος ) j = I A Πυκνόηα ρεύμαος: Απουσία πεδίου: Παρουσία πεδίου: Ταχύηα αμέσως μεά η σύγκρουση J = neu < u > = 0 < u > 0 u = u 0 + at (2) u = u 0 eet < u > = < u 0 > eet n: ηλεκρόνια ανά μονάδα όγκου με αχύηα u Χρόνος από η ελευαία σύγκρουση a = F = ee ee < u > = 0 (3)
J: πυκνόηα ρεύμαος (ποσόηα φορίου ανα dt που διαπερνά από σοιχειώδη επιφάνεια A κάθεα ση ροή) dt dl = udt dl Αριθμός ηλεκρονίων: Φορίο σε dt: n Audt dq = e naudt I = dq dt = neua Πυκνόηα ρεύμαος: j = I A = neu
(2) ^ (3) J = + ne2 E = σe σ = ne2 dc αγωγιμόηα : (conductivity) Ω 1 Εκίμηση : Τυπικά = σ ne 2 = ρne 2 = ρ = 10 6 Ω c = 10 8 Ω n~10 23 1 c 3 = 1029 1 3 9.1 10 31 kg = 10 6 Ω 10 29 1 10 14 s 3 1.6 10 19 C 2 kg = 1 Ω 3 C2 = kg 2 J s s2 = Μονάδες kg = V A 1 2 A2 s 2 kg 2 N s kg = 1 V A 2 s2 kg = kg = s s2 s Εκίμηση μέσης ελεύθερης διαδρομής ηλεκρονίων σε θερμοκρασία δωμαίου Θεωρώ ευθύγραμμη ομαλή κίνηση l = u = 10 5 s 10 14 s = 10 9 = 10 A Μέση κινηική ενέργεια ηλεκρονίου Όμως σε χαμηλές Τ l 1 c!! 1 2 u2 1 2 u 2 = 3 2 k BT u 2 = 3 1.38 J 10 23 K 300K 9.1 10 31 u = 10 5 kg s Σην Μ.Β : u 2 u 2
Και άλλο ένα μέγεθος με πολλές εφαρμογές Ευκινησία φορέων: η αχύηα που αποκά ο e- ανά μονάδα ηλεκρικού πεδίου (3) μ = u E = ee E = e (4) Προσοχή: η αγωγιμόηα εμφανίζεαι πάνα ως ο γινόμενο ης αριθμηικής πυκν. ων φορέων x ην ευκινησία ων φορέων
Ποιοική εξήγηση προέλευσης ης αγωγιμόηας συνεχούς πεδίου + - + - + - + Ε=0 φορίο σ dc Ε 0 F = ee U = eea Πρόσθεη ενέργεια σο φορίο
Υπολογισμός Ηλεκρικής Αγωγιμόηας παρουσία: a) Σαικού ομογενούς μαγνηικού πεδίου b) Ομογενούς αλλά χρονο-εξαρημένου ηλεκρικού πεδίου u = p(t) Ορμή ανά ηλεκρόνιο dp t dt p t = J = ne u = ne p(t) p t + dt = 1 dt Πιθανόηα μη σύγκρουσης σε dt p t + dt = p t + f t dt dt p t + dt p t = f t dt dt p t + dt p t dt dp t + f t Αν f t = 0, = ή dt = f t p t p t p t dt p t dt2 p t + f t dt+.. f t dt f t Πρόσθεη ορμή εξαιίας ου εξω. πεδίου Εξίσωση κίνησης ης ορμής ηλεκρονίου παρουσία εξωερικού πεδίου f(t) : frictional daping απόσβεση μέσω ριβής du dt = u u = u 0 e t Η αχύηα ου ηλεκρονίου μειώνεαι εκθεικά με ο χρόνο όαν μηδενισθεί ο ηλεκρικό πεδίο
Μαγνηοανίσαση: η ιδιόηα ου υλικού να αλλάζει ην ηλεκρική ου ανίσαση υπό ην επίδραση εξωερικού μαγνηικού πεδίου Γιγανιαία μαγνηοανίσαση (GMR) (Nobel 2007): Κβανική μαγνήιση σε λεπά υμένια Σιδηρομαγνηικό / μη μαγνηικό / Η GMR μεαρέπει μικρές μεαβολές ης μαγνήισης σε ηλεκρική ανίσαση σε ρεύμα Εφαρμογές: σπινρόνικς (spintronics) 7/12/2015
(α) Απόκριση σε σαικό ομογενές μαγνηικό πεδίο -φαινόμενο Hall και μαγνηοανίσαση j x = I ab F L = +q u B F L = e u B Δημιουργία πεδίου Hall : E y Σην ισορροπία ο Ε y θα ανισαθμίζει ην F L ρεύμα μόνο ση x διεύθυνση Εγκάρσια μαγνηοανίσαση: Συνελεσής Hall: R H = E y j x B < 0 ρ B = E x j x Για θεικά φορία ανισροφή πεδίου R H >0 Μέρηση ου R H, γενικά επιρέπει προσδιορισμό ου είδους ου φορίου
(x) Σην ισορροπία: (y) ne Υπολογισμός R H dp dt = p e E + u B t dp dt = p t e E + p B 0 = p x ee x ω c p y 0 = p y ee y + ω c p x ne p x + ne2 E x + ne ω cp y = 0 ne P y + ne2 E y ne ω c P y = 0 j x + σ 0 E x ω c j y = 0 j y + σ 0 E y + ω c j x = 0 J = neu ω c = eb/ Συχνόηα κυκλόρου σ 0 = ne2 E y : j y = 0 E y = ω c σ 0 j x = B ne j x R H = E y j x B = 1 (4) ne = μ σ μ = σ ne = σ R H
Τυπικές ιμές συνελεσή Hall για διαφορεικά μέαλλα Μέαλλο Ζ 1 R H ne Li 1 0.8 Cu 1 1.5 In 1-0.3 Al 1-0.3 γενικά: αλλά και R H = R H n, B!!! R H > 0!!! 7/12/2015
(β) Απόκριση σε χρονομεαβαλλόμενο ηλεκρικό πεδίο Πόλωση: (CGS) (SI) χ: ηλεκρική επιδεκικόηα P = χ E ε = 1 + 4πχ ε = ε iε P = ε 1 ε 0 E Σχέση ε-α: πολωσιμόηας: Clausius-Mossotti: ε 1 ε + 2 = n2 1 n 2 + 2 = 4π 3 πολωσιμόηα α*, ε*: ηλεκρονιακή (μεαόπιση νέφους ηλεκρονίων ως προς ον πυρήνα) ιονική (μεαόπιση ενός ιόνος ως προς α άλλα ιόνα) διπολική (μόρια με μόνιμη διπολική ροπή) Ανομοιογενή υλικά: πολωσιμόηα διεπιφάνειας (λόγω ης εναπόθεσης φορίων σις διεπιφάνειες) j N j N j = ρn A M Αριθμηική πυκνόηα α j Ηλεκρονιακή Π.χ. διηλεκρική συνάρηση σε μονωές
αc-αγωγιμόηα μεάλλων Χρονομεαβαλλόμενο ηλ. πεδίο: E t = E o ω e iωt (5) Εξίσωση κίνησης: dp (1) με λύση ης μορφής: (6) dt = p ee p t = p 0 ω e iωt Και (1) (5)+(6) iωp 0 ω e iωt = p 0 ω e iωt p ω 1 j = neu = ne iω = ee ω p t ee 0 ω e iωt με λύση ης μορφής: j t = j ω e iωt j ω e iωt nep ω e iωt (4) = j ω = + ne2 / E ω = σ ω E ω 1 iω σ ω = σ 0 με σ 0 = ne2 Για ω 0 : σ ω = σ 0 1 iω (4) σαική dc-αγωγιμόηα Και σ ω = σ 0 1 + iω 1 + ω 2 2 = σ 0 1 + ω 2 2 + i σ 0 ω 1 + ω 2 2 = σ + iσ = σ
Εφαρμογή: διάδοση Ε&Μ ακινοβολίας σε μέαλλα Γενικά η δύναμη δεν είναι ομοιόμορφη σο χώρο E r, t j r, ω = σ ω E r, ω αρκεί λ l e Μέση ελεύθερη διαδρομή e -. φως Όαν ο μέαλλο διαρρέεαι από πυκνόηα ρεύμαος j εξισώσεις Maxwell με πυκνόηα επαγόμενου φορίου ρ=0: Σο υλικό Σο κενό D = 1 4π E = ε 0E D = 4πρ E = 4πρ = 0 D = εe H = 4π c j + 1 c D t CGS B = 0 Και : A B C = B A C A B C E = E 2 E E = 1 c B t B = 4π c j + 1 c E t με E = E ω e iωt E t = iωe 2 E t 2 = ω2 E 1 c B t = 1 c = 1 c 4πσ c B t = 1 c t E t + 1 2 E c t 2 = 1 c 4π c j + 1 E c t = 1 c t 4π c σe + 1 E c t 4πσE iω 1 c c ω2 E = ω2 c 2 1 + 4πiσ ω E = 2 E (7)
2 E ω2 c 2 ε ω E = 0 ε ω = 1 + 4πiσ 0 1 iω ω = 1 + 4πiσ 0 ω 1 iω 1 + iω 1 + iω = 1 + 4πiσ 0(1 + iω ) ω 1 + ω 2 2 = 1 + ε iε = 1 i4πσ 0 ω 1 + ω 2 2 4πσ 0ω ω 1 + ω 2 2 4πσ 0ω ω 1 + ω 2 2 + i 4πσ 0 ω 1 + ω 2 2 ε = 1 4πσ 0ω ω 1 + ω 2 2 ε = 4πσ 0 ω 1 + ω 2 2 ω 1 υψηλές συχνόηες ω 1 ε 1 4πσ 0ω ω ω 2 2 = 1 ω 2 p ω 2 ε = 4πσ 0 ω ω 2 2 ω 1 ε 4πσ 0 (για χαμηλές συχνόηες) ω
2 E ω2 c 2 ε ω E = 0 ε ω = 1 + 4πi σ 0 1 iω ω ε ω = 1 + 4πiσ ω ε ω = 1 + iσ ε 0 ω (CGS) SI ε 0 = 1 4π Για μεγάλες συχνόηες ω 1 ε ω = 1 ω p 2 ω 2 ω 2 p = 4πσ 0 = 4πne2 συχνόηα πλάσμαος Ολική ανάκλαση Για Για ω < ω p ε < 0 ω > ω p ε > 0 ανάκλαση ΗΜ ακινοβολίας η ε εμφανίζει αλάνωση και η ακινοβολία διαπερνά ο μέαλλο
Εκίμηση ω p : SI: ή ω 2 p = σ 0 ε 0 1 ω 2 p = ne2 8 1028 ε 0 = 3 1.6 10 19 2 C 2 8.85 10 12 F 9.1 10 31 kg 10 28 38+12+30 1 s 2 1032 1 s 2 ω p 10 15 Hz C 2 3 F kg = C 2 F 2 kg = C 2 C V 2 kg = C V 2 kg = J 2 kg = N 2 kg = kg s 2 kg Για ω ω p αλανώσεις πλάσμαος για ε ω = 0 συλλογική διαμήκης διέγερση ου ηλεκρονιακού νέφους Ε pl = ħω p πλασμόνια Διέγερση πλάσμαος με υπεριώδη ακινοβολία Επιφανειακό πλασμόνια (χρήση ση μελέη επιφανειών) Πλάσμα: αέριο φορισμένων σωμαιδίων π.χ. ασέρια/ήλιος, λυχνίες αερίου (διέγερση με διέλευση ρεύμαος)
Θερμική αγωγιμόηα μεάλλων- προβλέψεις M. Drude Εμπειρικός κανόνας Wiedeann-Franz: π.χ Cu : T=273 K T=373 K κ V2 κ = 2.2 10 8 σt K 2 σt Αριθμός Lorentz: Drude: dq dt dt = κa dx κ σt = 1 3 u2 C V ne 2 = T = 2.29 10 8 V2 K 2 1 3 3k BT j = κ dt dx 3 2 nk B ne 2 = T V 2 κ σt = σαθερό 3 2 κ = 1 3 luc V k B e 2 = 3 2 1.38 10 23 J/K 1.6 10 19 C = 1.1 10 8 Σε σχεική συμφωνία με ο πείραμα K 2 V2 8 2.2 10 K 2 1 2 u2 = 3 2 k BT μέση κινηική ενέργεια ενός ηλεκρονίου C V = 3 2 nk B για n ηλεκρόνια T j Αλλά σε RT: C V ηλεκρονιακ ή = γτ = 10 4 RT 10 2 R 1 100 C κλασικ ής 2 u ηλεκρονιακ ή 2 = 100 u κλασικ ή
Θερμοηλεκρική ισχύς, Q Επειδή u local ~Τ local e - λόγω αρχικής ροής ων ηλεκρονίων προς η χαμηλή Τ Δημιουργία ηλεκρικού πεδίου ανίθεης φοράς (για σύνομο χρονικό διάσημα) (Seebeck) T j = κ T E = Q T Q Drude = C V 3ne = k B 2e = 0.4 10 4 V K αλλά Q πειραμαικ ό 1 100 Q Drude