Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Περιεχόμενα Η έννοια της ακρίβειας δικτύου και οι δείκτες αξιολόγησής της Αναλυτική μορφή του πίνακα συμ-μεταβλητ. των συνορθωμένων συντεταγμένων o επίδραση μετρήσεων πεδίου o επίδραση ψευδο-παρατηρήσεων για το ΣΑ Παραδείγματα Παράρτημα χρήσιμων σχέσεων
Τι είναι η ακρίβεια δικτύου ; Σχετίζεται με τη μελέτη της επίδρασης: - των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων πεδίου, - των τυχαίων σφαλμάτων των ψευδο-παρατηρήσεων που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό του ΣΑ, στα τελικά αποτελέσματα της συνόρθωσης.
Ακρίβεια δικτύου Ψευδο-παρατηρήσεις (π.χ. γνωστές συντεταγμένες σε σταθμούς αναφοράς) Μετρήσεις πεδίου Τυχαία σφάλματα Επιλογή τύπου δεσμεύσεων Συνόρθωση δικτύου Ανάλυση ακρίβειας Αποτελέσματα ˆx ŷ ˆ x? ˆ y?
Τι επηρεάζει την ακρίβεια του δικτύου; o Η ακρίβεια των μετρήσεων. o Η ακρίβεια των ψευδο-παρατηρήσεων. (π.χ. αβεβαιότητα γνωστών συντ/νων σε σταθμούς αναφοράς) o Η γεωμετρία του δικτύου. o Αριθμός/είδος/κατανομή μετρήσεων. Πίνακας σχεδιασμού δικτύου (Α) o Τρόπος ορισμού του ΣΑ. (είδος δεσμεύσεων: ελάχιστες, εσωτερικές, πλεονάζουσες, απόλυτες ή με βάρη, επιλογή σταθμών αναφοράς)
Αξιολόγηση ακρίβειας Γενικά, η ακρίβεια μιας λύσης συνόρθωσης δικτύου μπορεί να προσδιορισθεί με: Δείκτες απόλυτης ακρίβειας - Τυπικές αποκλίσεις των συνορθωμένων συντεταγμένων. - Απόλυτες ελλείψεις σφάλματος. - Άλλοι δείκτες σημειακής ακρίβειας. - Τυπικές αποκλίσεις γεωμετρικών μεγεθών στο συνορθωμένο δίκτυο. Δείκτες σχετικής ακρίβειας - Σχετικές ελλείψεις σφάλματος. - Σχετική γραμμική ακρίβεια. sˆ sˆ - Σχετική υψομετρική ακρίβεια. Ĥ L (ppm) (mm/km)
Αξιολόγηση ακρίβειας Επίσης, η ακρίβεια μιας λύσης συνόρθωσης δικτύου αξιολογείται με βάση: Δείκτες τοπικής ακρίβειας E Δείκτες μέσης ακρίβειας E Α D Α D Β Β Α Α B B κ.λπ. Σ i N Σ i N 2 Σ (σ 2 x + σ i yi ) 1/2 N (*) περισσότερες λεπτομέρειες δίνονται σε επόμενες διαφάνειες (μέρος ΙΙ)
Ανάλυση ακρίβειας δικτύου Βασική πηγή πληροφορίας για την ανάλυση ακρίβειας ενός δικτύου είναι ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων των κορυφών του. T ˆ T ( NH WH) δx uh Wc ˆ T 1 T ( ) ( ) δx N H WH u H Wc ˆ ˆ o x x δx ; δ
Να θυμάστε ότι... Η ακρίβεια των συντεταγμένων σε ένα συνορθωμένο δίκτυο εξαρτάται από τον τρόπο υλοποίησης του ΣΑ. y ˆx y ˆ x x x Λύσεις συνόρθωσης του ίδιου δικτύου με διαφορετικές δεσμεύσεις για τον ορισμό του ΣΑ, θα οδηγούν σε διαφορετική ακρίβεια για τις συντεταγμένες των κορυφών του!
Ανάλυση ακρίβειας δικτύου Με βάση τον πίνακα μπορούν στη συνέχεια να ˆx υπολογιστούν και άλλοι χρήσιμοι πίνακες συμ-μεταβλητ. - Ακρίβεια συνορθωμένων παρατηρήσεων δικτύου yˆ A A T ανώμαλος πίνακας - Πίνακας συμ-μεταβλητ. συνορθωμένων σφαλμάτων vˆ 2 1 T σ P A A o y v ανώμαλος πίνακας
Ανάλυση ακρίβειας δικτύου Με βάση τον πίνακα μπορούν Σε περίπτωση στη συνέχεια που υπάρχουν να ˆx υπολογιστούν και άλλοι χρήσιμοι πρόσθετες πίνακες παράμετροι συμ-μεταβλ. στη συνόρθωση του δικτύου, - Ακρίβεια συνορθωμένων παρατηρήσεων οι συγκεκριμένοι δικτύου τύποι είναι κάπως διαφορετικοί! yˆ vˆ A A - Πίνακας συμ-μεταβλητ. συνορθ T 2 1 T σ P A A o y v Βλέπε παράρτημα στο τέλος της παρουσίασης.
Να θυμάστε ότι... Η ακρίβεια της συνορθωμένης γεωμετρικής μορφής ενός δικτύου δεν εξαρτάται από τον τρόπο ορισμού του ΣΑ όταν ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΕΛΑΧ. ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ. y yˆ yˆ y vˆ vˆ ελάχιστες δεσμεύσεις x άλλες ελάχιστες δεσμεύσεις x
Να θυμάστε ότι... Η ακρίβεια της συνορθωμένης γεωμετρικής μορφής ενός δικτύου εξαρτάται από τον τρόπο ορισμού του ΣΑ όταν ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΠΛΕΟΝΑΖ. ΔΕΣΜΕΥΣΕΙΣ. y yˆ yˆ y vˆ vˆ ελάχιστες δεσμεύσεις x πλεονάζουσες δεσμεύσεις x
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων Γενική μορφή: (1) (2) (1) ˆx Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων συντεταγμένων εξαιτίας των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων πεδίου (data noise effect). (2) ˆx Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων συντεταγμένων εξαιτίας των τυχαίων σφαλμάτων των ψευδοπαρατηρήσεων που συμμετέχουν στον ορισμό του ΣΑ (datum noise effect).
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων Γενική μορφή: (1) (2) ˆ T 1 T ( ) ( ) δx N H WH u H Wc (1) ˆx (2) ˆx
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων Γενική μορφή: (1) (2) ˆ T 1 T ( ) ( ) δx N H WH u H Wc (1) ˆx (2) ˆx (*) υφίσταται ακόμα και αν c = 0!
Εποπτική αντίληψη του datum noise effect Ακρίβεια τριγωνομετρικού σημείου ( αβεβαιότητα στον ορισμό του ΣΑ )
Γενικές σχέσεις για τον πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων Επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων 2 T T o ˆ ( N H WH ) N ( N H WH ) (1) σ 1 1 x Επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων από τον ορισμό του ΣΑ T T T c ˆ ( N H WH ) H W ( ) WH ( N H WH ) (2) 1 1 x πίνακας συμ-μεταβλ. των ψευδοπαρατηρήσεων
Μερικές χρήσιμες παρατηρήσεις..
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων Επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων 2 T T o σ ( NH WH) N( NH WH) (1) 1 1 o Είναι ανώμαλος πίνακας! o Είναι ο μόνος πίνακας συμ-μεταβλ. που υπολογίζεται από αρκετά λογισμικά δικτύων! o Δεν επηρεάζεται από τον πίνακα βάρους W. (για ελάχιστες δεσμεύσεις) o Επηρεάζεται από τον πίνακα βάρους W. (για πλεονάζουσες δεσμεύσεις μικραίνει όσο μεγαλώνει ο W)
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων Επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων 2 T T o σˆ ( NH WH) N( NH WH) (1) 1 1 ΠΡΟΣΟΧΗ: συνήθως εφαρμόζεται κάποιο re-scaling μέσω της a-posteriori εκτίμησης της μεταβλητότητας αναφοράς. (όταν έχει εξασφαλιστεί ότι οι μετρήσεις είναι απαλλαγμένες από χονδροειδή και συστηματικά σφάλματα)
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων Επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων από τον ορισμό του ΣΑ T T T c ˆ ( N H WH ) H W ( ) WH ( N H WH ) (2) 1 1 x o Είναι ανώμαλος πίνακας! o c είναι ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των ψευδοπαρατηρήσεων ενώ W είναι ο πίνακας βάρους τους κατά τη συνόρθωση του δικτύου. o Η επίδραση του μπορεί να είναι σημαντική στην τελική ακρίβεια του δικτύου.
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων συνορθωμένων συντεταγμένων Συνολική ακρίβεια δικτύου (1) (2) (2) o Είναι αντιστρέψιμος πίνακας όταν 0! o Εκφράζει την ακρίβεια των συνορθωμένων συντεταγμένων ως προς το ΣΑ των γνωστών σταθμών αναφοράς που συμμετείχαν στις δεσμεύσεις για την επίλυση του δικτύου.
Μερικές ειδικές (συνηθισμένες) περιπτώσεις..
Περίπτωση σταθερών προσεγγιστικών συντεταγμένων Επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων 2 T T o σ ( NH WH) N( NH WH) (1) 1 1 Όταν το ΣΑ του δικτύου ορίζεται μέσω σταθερών συντ/νων σε επιλεγμένους σταθμούς αναφοράς, δηλαδή: N11 N 12 δ 1 u1 T ( ˆ 12) 22 2 2 N N δx u δ 0 Η 0 Ι W 2 1 Ν 0 (1) 2 11 σ o 0 0
Περίπτωση σταθερών προσεγγιστικών συντεταγμένων N11 N 12 δ 1 u1 T ( ˆ 12) 22 2 2 N N δx u Σταθερά σημεία 1 1 11 1 δ N u δ 0 2 Μη-σταθερά σημεία Data noise effect Data + Datum noise effect 0 2 2 prior x 2 1 1 σ N 2 1 o 11 σ N N N N N 2 1 1 prio r T 1 o 11 11 12 x 12 11 2
Παράδειγμα: οριζόντιο δίκτυο 3 5 4 2 1 (*) Τα δεδομένα του δικτύου είναι ίδια με αυτά που δόθηκαν σε προηγούμενο παράδειγμα. (*) Τα σημεία 1, 2, 3 είναι γνωστοί σταθμοί αναφοράς (οι αρχικές συντεταγμένες τους έχουν ακρίβεια: ± 5 cm)
Υπενθυμίζεται ότι - Οι παρατηρήσεις πεδίου στο συγκεκριμένο δίκτυο έχουν γίνει με ακρίβεια της τάξης: ~ 3 cc για τις οριζόντιες διευθύνσεις ~ 0.7 cm για τις οριζόντιες αποστάσεις - Οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων του δικτύου είναι περίπου 2-4 km. - Οι γνωστές συντεταγμένες των σταθμών αναφοράς έχουν ακρίβεια 5 cm.
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα (1) ˆx = 3.0 cm = 1.4 cm 3 5 = 2.7 cm = 1.2 cm = 0.0 cm = 0.0 cm 1 Λύση: x 1, y 1, x 2 σταθερά 4 = 1.4 cm = 0.7 cm 2 1 2 = 0.0 cm = 2.5 cm σ 0 N 2 1 o 11
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα (2) ˆx = 17.9 cm = 8.6 cm 3 5 = 18.8 cm = 7.3 cm 4 = 10.0 cm = 5.4 cm 2 = 5.0 cm = 14.7 cm = 5.0 cm = 5.0 cm 1 Λύση: x 1, y 1, x 2 σταθερά N N N N 1 11 12 x 12 11 1 prior T 1 2 2 prior x 2
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα = 3.0 cm = 1.4 cm = 18.2 cm = 8.7 cm 3 5 = 2.7 cm = 1.2 cm = 19.0 cm = 7.4 cm (1) ˆx και ˆx = 0.0 cm = 0.0 cm = 5.0 cm = 5.0 cm 1 4 = 1.4 cm = 0.7 cm = 10.1 cm = 5.4 cm 2 = 0.0 cm = 2.5 cm = 5.0 cm = 14.9 cm Λύση: x 1, y 1, x 2 σταθερά
Να θυμάστε ότι (1) - Ο πίνακας δίνει τις ακρίβειες των ˆx συνορθωμένων συντεταγμένων του δικτύου, θεωρώντας ότι οι γνωστές συντεταγμένες των ΣΑ δεν έχουν καθόλου σφάλματα! (2) - Ο πίνακας δίνει τις ακρίβειες των ˆx συνορθωμένων συντεταγμένων του δικτύου, λόγω των τυχαίων σφαλμάτων στις γνωστές συντεταγμένες των ΣΑ που συμμετέχουν στις δεσμεύσεις για την επίλυση του δικτύου!
Να θυμάστε ότι - Η αξιολόγηση του δικτύου βάση του πίνακα (1) συμ-μεταβλ. ˆx δίνει, κατά μία έννοια, την σχετική ακρίβεια των συνορθωμένων συντεταγμένων ως προς τους γνωστούς ΣΑ που χρησιμοποιούνται στον ορισμό του datum! - Η αξιολόγηση του δικτύου βάση του πίνακα συμ-μεταβλ. ˆx δίνει, κατά μία έννοια, την απόλυτη ακρίβεια των συνορθωμένων συντεταγμένων ως προς το σύστημα αναφοράς που υλοποιούν οι γνωστοί ΣΑ!
Περίπτωση ολικών εσωτερικών δεσμεύσεων Επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων (1) 2 T 1 T 1 2 σ ( NE E) N( NE E) σ N o Σε αυτή την περίπτωση θα ισχύει: o trace (1) min. ανάμεσα σε οποιαδήποτε άλλη λύση ελαχίστων δεσμεύσεων για το ίδιο δίκτυο!
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα = 3.0 cm = 1.4 cm = 0.5 cm = 0.4 cm 3 5 = 2.7 cm = 1.2 cm = 1.4 cm = 0.7 cm (1) ˆx = 0.0 cm = 0.0 cm = 0.5 cm = 0.6 cm 1 4 = 1.4 cm = 0.7 cm = 0.8 cm = 0.7 cm 2 = 0.0 cm = 2.5 cm = 0.7 cm = 0.5 cm Λύση Ι: x 1, y 1, x 2 σταθερά Λύση ΙΙ: μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις (σημεία 1, 2, 3)
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα = 17.9 cm = 8.6 cm = 4.0 cm = 3.6 cm 3 5 = 18.8 cm = 7.3 cm = 4.1 cm = 3.0 cm (2) ˆx = 5.0 cm = 5.0 cm = 3.6 cm = 2.9 cm 1 4 = 10.0 cm = 5.4 cm = 3.0 cm = 3.1 cm 2 = 5.0 cm = 14.7 cm = 2.9 cm = 4.0 cm Λύση Ι: x 1, y 1, x 2 σταθερά Λύση ΙΙ: μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις (σημεία 1, 2, 3)
Παράδειγμα: τιμές από τον ολικό πίνακα = 18.2 cm = 8.7 cm = 4.0 cm = 3.6 cm 3 5 = 19.0 cm = 7.4 cm = 4.3 cm = 3.1 cm ˆx = 5.0 cm = 5.0 cm = 3.7 cm = 3.0 cm 1 4 = 10.1 cm = 5.4 cm = 3.1 cm = 3.1 cm 2 = 5.0 cm = 14.9 cm = 3.0 cm = 4.0 cm Λύση Ι: x 1, y 1, x 2 σταθερά Λύση ΙΙ: μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις (σημεία 1, 2, 3)
Περίπτωση απόλυτων δεσμεύσεων Επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων 2 T T o σ ( NH WH) N( NH WH) (1) 1 1 Αν W τότε θα έχουμε 2 T T o σ ( NH H) N( NH H) (1) 1 1 ελάχιστες δεσμεύσεις 2 T o (1) 1 1 1 1 σ ( R R H S HR ) R T NH H S HR H 1 T πλεονάζουσες δεσμεύσεις
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα (1) ˆx = 3.0 cm = 1.4 cm 3 5 = 2.7 cm = 1.2 cm 4 2 = 0.0 cm = 2.5 cm = 0.0 cm = 0.0 cm 1 = 1.4 cm = 0.7 cm Λύση: x 1, y 1, x 2 σταθερά
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα (1) ˆx = 0.0 cm = 0.0 cm 3 5 = 1.2 cm = 0.7 cm 4 2 = 0.0 cm = 0.0 cm = 0.0 cm = 0.0 cm 1 = 0.6 cm = 0.5 cm Λύση: x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3 σταθερά
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα (2) ˆx = 17.9 cm = 8.6 cm 3 5 = 18.8 cm = 7.3 cm 4 2 = 5.0 cm = 14.7 cm = 5.0 cm = 5.0 cm 1 = 10.0 cm = 5.4 cm Λύση: x 1, y 1, x 2 σταθερά
Παράδειγμα: τιμές από τον πίνακα (2) ˆx = 5.0 cm = 5.0 cm 3 5 = 6.2 cm = 3.4 cm 4 2 = 5.0 cm = 5.0 cm = 5.0 cm = 5.0 cm 1 = 4.3 cm = 3.9 cm Λύση: x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3 σταθερά
Να θυμάστε ότι - Η διατήρηση περισσότερων σταθερών συντ/νων από όσες χρειάζονται για τον ορισμό του ΣΑ (πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις) οδηγεί σε βελτίωση της στατιστικής ακρίβειας του δικτύου σε σχέση με τη λύση ελαχίστων δεσμεύσεων. - Η βελτίωση αυτή είναι θεωρητικού χαρακτήρα και δεν αντανακλά τον κίνδυνο παραμόρφωσης που υπάρχει σε λύσεις πλεοναζουσών δεσμεύσεων λόγω χονδροειδών ή συστηματικών σφαλμάτων στις σταθερές συντ/νες των σταθμών αναφοράς!
Περισσότερα αριθμητικά παραδείγματα για την ανάλυση ακρίβειας δικτύου και τη μελέτη των πινάκων συμ-μεταβλ. συντεταγμένων για διάφορα σενάρια συνόρθωσης δίνονται σε επόμενη παρουσίαση. βλέπε παρουσίαση oordinate covariance matrices in network solution στην ιστοσελίδα του μαθήματος.
Παράρτημα αναλυτικών σχέσεων
Περίπτωση όπου υπάρχουν αδιάφορες παράμετροι Σε περίπτωση που συμμετέχουν πρόσθετες παράμετροι στη συνόρθωση του δικτύου, δηλαδή: δx b A A v θα έχουμε δ q 2 o 1 v ~ ( 0, P ) 2 T 1 T T T σ A ( A PA ) A M ( A A ) M yˆ o vˆ 2 1 σ P o y v yˆ 1 M IA( A PA) A P T T
Συνεχίζεται.