Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0)

Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις σωμάτων 7 Ορισμοί 7 Αλγεβρικά στοιχεία, ελάχιστο πολυώνυμο 8 Βαθμός διαδοχικών επεκτάσεων 0 Επεκτείνοντας ισομορφισμούς Ύπαρξη ρίζας σε επέκταση Ασκήσεις Αλγεβρικές επεκτάσεις, γεωμετρικές κατασκευές 8 Αλγεβρικές επεκτάσεις 8 Γεωμετρικές κατασκευές 9 Κατασκευάσιμα σημεία και επεκτάσεις 0 Τα κλασικά προβλήματα Ασκήσεις Σώμα ριζών Υπαρξη και μοναδικότητα Θεώρημα πρωταρχικού στοιχείου 6 Ιδιότητες σώματος ριζών 7 Ασκήσεις 0 Η ομάδα Galos Το σταθερό σώμα υποομάδας της ομάδας Galos 6 Ομάδα Galos σώματος ριζών 7 Μεταθέσεις ριζών 0 Ασκήσεις Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Galos Αντιστοιχία Galos Εφαρμογή: H ομάδα Galos πολυωνύμου βαθμού Ασκήσεις

6 Κυκλοτομικά πολυώνυμα, κατασκευάσιμα -γωνα 7 Κυκλοτομικά πολυώνυμα 7 Κατασκευάσιμα κανονικά -γωνα 66 Ασκήσεις 6 68 7 Επιλύσιμες ομάδες 70 Ασκήσεις 7 7 8 Πολυώνυμα επιλύσιμα με ριζικά 7 Ασκήσεις 8 77 9 Πεπερασμένα σώματα 78 Ιδιότητες, ύπαρξη και μοναδικότητα 78 Υποσώματα 79 Πολλαπλασιαστική ομάδα πεπερασμένου σώματος 80 Ασκήσεις 9 8 0 Απαντήσεις - υποδείξεις ασκήσεων 87

Βασικά σημεία Ανάγωγα πολυώνυμα πάνω από το Ο δακτύλιος F[ ] ( ( )) Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Στην ενότητα αυτή υπενθυμίζουμε και συμπληρώνουμε μερικά αποτελέσματα και έννοιες από τη Βασική Άλγεβρα που θα χρησιμοποιήσουμε πολλές φορές παρακάτω Ανάγωγα πολυώνυμα Έστω F σώμα και f ( ) F[ ] με deg f ( ) Υπενθυμίζουμε ότι το f ( ) λέγεται ανάγωγο πάνω από το F (ή ότι το f ( ) F[ ] είναι ανάγωγο) αν δεν υπάρχουν πολυώνυμα g( ), h( ) F[ ] με f ( ) g( ) h( ) και deg g( ),deg h( ) Για παράδειγμα, αν deg f ( ), τότε το f ( ) είναι ανάγωγο πάνω από το F Το είναι ανάγωγο πάνω από το αλλά δεν είναι ανάγωγο πάνω από το Ξέρουμε ότι αν deg f ( ),, τότε το f ( ) είναι ανάγωγο πάνω από το F αν και μόνο αν δεν έχει ρίζα στο F Χρειαζόμαστε μερικούς τρόπους να αναγνωρίζουμε ανάγωγα πολυώνυμα πάνω από το Πρόταση 0 Έστω f ( ) a a a0 [ ] και r, s με ( r, s) Αν το r s είναι ρίζα του f ( ), τότε το r διαιρεί το a 0 και το s διαιρεί το r Απόδειξη Από a( r s) a r s a0 0 παίρνουμε ar ar s ars a0s 0 Άρα το r διαιρεί το a0s Από την υπόθεση ( r, s), έπεται ότι το r διαιρεί το a 0 Όμοια το s διαιρεί το a Παράδειγμα Το f ( ) [ ] είναι ανάγωγο Το f ( ) δεν έχει ρητή ρίζα γιατί από την προηγούμενη πρόταση οι πιθανές ρητές ρίζες είναι οι,,, Αλλά f () 0, f ( ) 0, f () 0, f ( ) 0 Επειδή deg f ( ) και το f ( ) δεν έχει ρίζα στο, το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] Έστω πρώτος Έχουμε τον ομομορφισμό δακτυλίων, a [ a ], όπου [ a ] είναι η κλάση υπολοίπων του a modulo Αν f ( ) a a0 [ ], θέτουμε f ( ) [ a] [ a0] [ ] Εύκολα αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση [ ] [ ], f ( ) f ( ), είναι ομομορφισμός δακτυλίων Το f ( ) ονομάζεται η αναγωγή του f ( ) modulo Για παράδειγμα, η αναγωγή modulo του 6 9 είναι το μηδενικό πολυώνυμο στο [ ], ενώ η αναγωγή modulo του 6 9 είναι το πολυώνυμο του [ ] Το ακόλουθο αποτέλεσμα είναι πολύ χρήσιμο όταν θέλουμε να συγκρίνουμε παραγοντοποιήσεις στο [ ] και [ ] Στην απόδειξη χρησιμοποιούμε αναγωγή modulo Λήμμα 0 (Gauss) Έστω f ( ) [ ] και g( ), h( ) [ ] με f ( ) g( ) h( ) Τότε υπάρχουν a( ), b( ) [ ] με f ( ) a( ) b( ), deg a( ) deg g( ), deg b( ) deg h( ) Απόδειξη Επειδή g( ), h( ) [ ], υπάρχουν c, d {0} με cg( ), dh( ) [ ] Άρα στο [ ] έχουμε cdf ( ) ( cg( ))( dh( )) ()

Έστω πρώτος αριθμός που διαιρεί το cd και cd k Τότε η αναγωγή modulo του cdf ( ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο, οπότε η αναγωγή modulo του γινομένου ( cg( ))( dh( )) είναι το μηδενικό πολυώνυμο Επειδή η απεικόνιση [ ] [ ], a( ) a( ), είναι ομομορφισμός δακτυλίων και ο δακτύλιος [ ] είναι περιοχή, συμπεραίνουμε ότι η αναγωγή modulo του cg( ) ή του dh( ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο, ισοδύναμα ότι κάθε συντελεστής του cg( ) ή του dh( ) είναι πολλαπλάσιο του Έστω ότι ισχύει η πρώτη περίπτωση, οπότε έχουμε cg( ) g( ), g( ) [ ] Τότε από την () παίρνουμε kf ( ) g( ))( dh( )) στο [ ] () Τώρα επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία αρχίζοντας με τη () στη θέση της () για να απλοποιήσουμε έναν πρώτο παράγοντα του k Συνεχίζοντας έτσι φτάνουμε τελικά σε μια παράσταση της μορφής f ( ) a( ) b( ) όπου a( ), b( ) [ ] και deg a( ) deg g( ), deg b( ) deg h( ) Παράδειγμα Το f ( ) [ ] είναι ανάγωγο Από την Πρόταση 0 έπεται ότι οι πιθανές ρητές ρίζες του f ( ) είναι οι, Αλλά f () 0 και f ( ) 0 Άρα το f ( ) δεν έχει ρίζα στο Συνεπώς αν το f ( ) δεν είναι ανάγωγο στο [ ], τότε από το Λήμμα 0 υπάρχουν a, b, c, d με ( a b)( c d) Κάνοντας τις πράξεις και εξισώνοντας αντίστοιχους συντελεστές παίρνουμε a c 0 ac b d bc ad 0 bd Άρα c b d Αλλά από bd και b, d παίρνουμε b d ή b d Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε c 7 και στη δεύτερη c, που είναι άτοπα Άρα το ανάγωγο στο [ ] f ( ) είναι Παρατήρηση Έστω f ( ) [ ] και g( ), h( ) [ ] με f ( ) g( ) h( ) Από την απόδειξη του Λήμματος 0, έπεται ότι υπάρχουν μη μηδενικά c, c με a( ) cg ( ), b( ) ch( ) και f ( ) a( ) b( ) Συνεπώς αν υποθέσουμε ότι τα f ( ), g( ), h( ) είναι μονικά, συμπεραίνουμε ότι g( ), h( ) [ ] Πρόταση 0 Έστω f ( ) a a0 [ ] και πρώτος που δεν διαιρεί το a Αν το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ], τότε το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] Απόδειξη Αν f ( ) g( ) h( ), όπου g( ), h( ) [ ] και deg f ( ),deg g( ), από το Λήμμα του Gauss μπορούμε να υποθέσουμε ότι g( ), h( ) [ ] και deg f ( ),deg g( ) Επειδή το δεν διαιρεί το a, το δεν διαιρεί ούτε το μεγιστοβάθμιο συντελεστή του g( ) ούτε το μεγιστοβάθμιο συντελεστή του h( ) Άρα degg( ) deg g( ) και deg h( ) deg h( ) Παίρνοντας αναγωγές modulo προκύπτει f ( ) g( ) h( ) και επειδή το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] παίρνουμε ότι το g ( ) ή το g ( ) είναι σταθερό πολυώνυμο, άτοπο Παράδειγμα Το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] Πράγματι, επιλέγοντας, έχουμε f Εύκολα επαληθεύεται ότι το f ( ) δεν ( ) [ ] έχει ρίζα στο Επίσης, τα μόνο ανάγωγο πολυώνυμο βαθμού στο [ ] είναι το (γιατί;) και

εύκολα επαληθεύεται με την Ευκλείδεια διαίρεση ότι το δεν διαιρεί το f ( ) στο [ ] Άρα το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] Από την Πρόταση 0, έπεται ότι το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] Πρόταση 0 (κριτήριο του Eseste) Έστω f ( ) a a a0 [ ] πολυώνυμο θετικού βαθμού Αν υπάρχει πρώτος τέτοιος ώστε ) a0, a,, a, ) δεν διαιρεί το a και ) δεν διαιρεί το a 0, τότε το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] Απόδειξη Έστω Από το Λήμμα 0 αρκεί να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν g( ), h( ) [ ] θετικού βαθμού με f ( ) g( ) h( ) Έστω ότι υπάρχουν τέτοια g( ), h( ) Λαμβάνοντας αναγωγές modulo έχουμε f ( ) g( ) h( ) Από τις υποθέσεις ) και ) έπεται ότι f ( ) [ a ] και το [ a ] είναι μη μηδενικό Από τη μοναδικότητα της παραγοντοποίησης πολυωνύμων στο [ ] σε γινόμενο ανάγωγων παίρνουμε ( ) m g b και h( ) c m για κάποια μη μηδενικά b, c Έχουμε m deg g( ) 0 και l deg h( ) 0 Τότε από g( ) b και l h( ) c έπεται ότι το διαιρεί και το g (0) και το h (0), οπότε το άτοπο διαιρεί το g(0) h(0) f (0), Παραδείγματα 0 ) Αν είναι θετικός ακέραιος και πρώτος, τότε το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στο [ ] από το κριτήριο του Eseste 0 ) Το 6 6 είναι ανάγωγο στο [ ] από το κριτήριο Eseste για ) Έστω πρώτος και f ( ) [ ] Θα δείξουμε ότι το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] και για το σκοπό αυτό αρκεί να δείξουμε ότι το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] (γιατί;) Έχουμε f ( ) οπότε ( ) f ( ) Ο διαιρεί καθέναν από τους,,, (γιατί;), ο δεν διαιρεί το και ο διαιρεί το Από την Πρόταση 0 το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα δεν Αν R είναι μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο και a R, με ( a ) συμβολίζουμε το σύνολο { ra R r R} Το ( a ) είναι ιδεώδες του R Ειδικά, αν R F[ ], όπου F σώμα, και ( ) F[ ] έχουμε το ιδεώδες I ( ( )) { f ( ) ( ) f ( ) F[ ]} Ξέρουμε ότι ο δακτύλιος πηλίκο F[ ] δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο (το F I ) ως προς τις πράξεις F[ ] I F[ ] I F[ ] I, ( a( ) I, b( ) I) a( ) b( ) I, F[ ] I F[ ] I F[ ] I, ( a( ) I, b( ) I) a( ) b( ) I Υπενθυμίζουμε το παρακάτω αποτέλεσμα I είναι μεταθετικός l

Πρόταση 06 Έστω F σώμα, ( ) F[ ] και I ( ( )) Το ( ) είναι ανάγωγο αν και μόνο αν ο δακτύλιος πηλίκο F[ ] I είναι σώμα Απόδειξη Έστω ότι το ( ) είναι ανάγωγο Ξέρουμε ότι ο δακτύλιος F[ ] I είναι μεταθετικός και έχει μοναδιαίο στοιχείο το F I Επειδή deg ( ), έχουμε I F[ ], οπότε ο δακτύλιος F[ ] I είναι μη μηδενικός Έστω f ( ) I F[ ] I, f ( ) I 0 F[ ] I I Τότε f ( ) I, δηλαδή το ( ) δεν διαιρεί το f ( ) Επειδή το ( ) είναι ανάγωγο έχουμε ( f ( ), ( )) και επομένως υπάρχουν a( ), b( ) F[ ] με F a( ) f ( ) b( ) ( ) Τότε στο F[ ] I έχουμε F I ( a( ) I)( f ( ) I), δηλαδή το f ( ) I είναι αντιστρέψιμο στοιχείο Άρα ο δακτύλιος F[ ] I είναι σώμα Αντίστροφα, έστω ότι ο δακτύλιος F[ ] I είναι σώμα και έστω ( ) a( ) b( ), όπου a( ), b( ) F[ ], deg a( ) deg ( ) και deg b( ) deg ( ) Τότε στο F[ ] I ισχύει 0 F[ ] I I ( a( ) I)( b( ) I) Επειδή ο F[ ] I είναι σώμα παίρνουμε a( ) I 0 F [ ] I ή b, δηλαδή a( ) I ή b( ) I, ισοδύναμα ( ) a( ) ή ( ) b( ) Αυτό σημαίνει ότι ( ) I 0 F [ ] I deg a( ) deg ( ) ή deg b( ) deg ( ), άτοπο Παραδείγματα ) Είδαμε πριν ότι το ( ) [ ] είναι ανάγωγο στο [ ] Άρα ο δακτύλιος [ ] ( ( )) είναι σώμα ) Επειδή το ( ) [ ] δεν έχει ρίζα στο και έχει βαθμό, είναι ανάγωγο στο [ ] Άρα ο δακτύλιος πηλίκο [ ] ( ( )) είναι σώμα Χαρακτηριστική σώματος Έστω F σώμα Εύκολα αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση f : F, m m F, είναι ομομορφισμός δακτυλίων Ο πυρήνας ker f είναι ιδεώδες του και άρα έχει τη μορφή ( ) { a a } για μοναδικό μη αρνητικό ακέραιο Ο λέγεται η χαρακτηριστική του σώματος F Από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών δακτυλίων έχουμε ότι ο δακτύλιος ( ) είναι ισόμορφος με υποδακτύλιο του σώματος F Άρα ο ( ) δεν έχει μηδενοδιαιρέτες Επιπλέον ο ( ) είναι μη μηδενικός αφού f () 0 Συνεπώς ο μη αρνητικός ακέραιος είναι ή 0 ή πρώτος αριθμός Στην πρώτη περίπτωση, F F εύκολα επαληθεύεται ότι η απεικόνιση F, m m ( ), είναι μονομορφισμός Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε μονομορφισμό F Για παράδειγμα, για κάθε πρώτο η χαρακτηριστική του,, είναι 0 Συνοψίζοντας, έχουμε το την εξής πρόταση F F είναι Η χαρακτηριστική καθενός των Πρόταση 07 Έστω F σώμα Ισχύουν τα εξής ) Αν η χαρακτηριστική του F είναι 0, τότε υπάρχει μονομορφισμός σωμάτων F ) Έστω πρώτος Αν η χαρακτηριστική του F είναι, τότε υπάρχει μονομορφισμός σωμάτων F Στην περίπτωση αυτή, ο είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος m τέτοιος ώστε ma 0 F για κάθε a F

Απλές ρίζες πολυωνύμων Έστω f ( ) K[ ], όπου K σώμα, και a K ρίζα του f ( ) Τότε το a διαιρεί το f ( ) στο K[ ] Αν το ( a) δεν διαιρεί το f ( ) στο K[ ], θα λέμε ότι το a είναι απλή ρίζα του f ( ) στο K Μια ρίζα που δεν είναι απλή λέγεται πολλαπλή Για παράδειγμα, το είναι απλή ρίζα του ( )( ) [ ] και το είναι πολλαπλή ρίζα του Αν F είναι σώμα και ( )( ) [ ] f ( ) a a a a, ορίζουμε την τυπική παράγωγο f ( ) του 0 f ( ) ως f ( ) a ( ) a a F[ ] Εύκολα επαληθεύονται οι γνώριμες σχέσεις ( cf ( )) cf ( ), ( f ( ) g( )) f ( ) g( ), ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) f ( ) g( ), για κάθε c F και f ( ), g( ) F[ ] Παράδειγμα Για f ( ) [ ], όπου πρώτος, έχουμε [ ], g ( ) 0 για κάθε g( ) [ ] f ( ) 0, γιατί στο Το ακόλουθο αποτέλεσμα είναι συχνά χρήσιμο όταν θέλουμε να αποφανθούμε ότι μια ρίζα είναι απλή Για την απόδειξή του υπενθυμίζουμε ότι αν F είναι υπόσωμα σώματος K και f ( ), g( ) F[ ], τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των f ( ), g( ) όταν αυτά θεωρηθούν ως στοιχεία του F[ ] ταυτίζεται με το μέγιστο κοινό διαιρέτη των f ( ), g( ) όταν αυτά θεωρηθούν ως στοιχεία του K[ ] (γιατί;) Πρόταση 08 Έστω F υπόσωμα σώματος K, f ( ) F[ ] και a K ρίζα του f ( ) ) Αν ( f ( ), f ( )), τότε το a είναι απλή ρίζα του f ( ) ) Αν η χαρακτηριστική του F είναι 0 και το f ( ) είναι ανάγωγο πάνω από το F, τότε το a είναι απλή ρίζα του f ( ) Ειδικά κάθε ανάγωγο f ( ) [ ] έχει μόνο απλές ρίζες στο Απόδειξη Έστω ότι το a είναι πολλαπλή ρίζα του f ( ), δηλαδή f ( ) ( a) g( ) για κάποιο g( ) K[ ] Τότε f ( ) ( a) g( ) ( a) g( ) Άρα το a διαιρεί το f ( ) στο K[ ], οπότε το a διαιρεί το ( f ( ), f ( )) στο K[ ] Συνεπώς έχουμε ( f ( ), f ( )) ) Άμεσο από αυτό που είπαμε πριν ) Αν το f ( ) είναι ανάγωγο πάνω από το F, τότε από ( f ( ), f ( )), παίρνουμε ( f ( ), f ( )) c f ( ), όπου c ο μεγιστοβάθμιος όρος του f ( ) Άρα το f ( ) διαιρεί το f ( ) Επειδή deg f ( ) deg f ( ), παίρνουμε f ( ) 0 Αυτό είναι αδύνατο γιατί deg f ( ) και η χαρακτηριστική του F είναι 0 Παράδειγμα 09 Έστω θετικός ακέραιος, F υπόσωμα σώματος K και f ( ) F[ ] Αν η χαρακτηριστική του F είναι 0 ή πρώτος που δεν διαιρεί το, τότε κάθε ρίζα του f ( ) στο K είναι απλή Πράγματι, έχουμε f ( ) και λόγω της υπόθεσης στη χαρακτηριστική του F, το δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο Είναι σαφές ότι ( ( ), ( )) ( f f, ) και το ζητούμενο έπεται από την Πρόταση 08 ) Το πολυώνυμο [ ] έχει πολλαπλή ρίζα στο αφού ( ) στο [ ] Ασκήσεις 0 Ποια από τα ακόλουθα πολυώνυμα είναι ανάγωγα πάνω από το ;

a b c d e 6 9 7 7 9 f 6 Υπάρχουν άπειροι το πλήθος ακέραιοι a για τους οποίους το πολυώνυμο ανάγωγο πάνω από το Δείξτε ότι τα ακόλουθα πολυώνυμα είναι ανάγωγα 8 a [ ] 7 0 a είναι b [ ], όπου πρώτος!! Δείξτε τα αντίστροφα στην Πρόταση 07 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν a Οι ρίζες του στο είναι απλές b Ο δακτύλιος [ ] ( ) είναι σώμα c Για κάθε 0 υπάρχουν άπειρα το πλήθος ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] βαθμού d Αν F είναι υπόσωμα σώματος K, τότε τα F και K έχουν την ίδια χαρακτηριστική e Αν F σώμα και f ( ) F[ ] ανάγωγο, τότε τα σώματα F και F[ ] ( f ( )) έχουν την ίδια χαρακτηριστική 00 f Έστω f ( ) [ ] μονικό πολυώνυμο τέτοιο ώστε f ( ) στο [ ] Τότε f ( ) [ ] 6

7 Βασικά σημεία Ελάχιστο πολυώνυμο Βαθμός διαδοχικών επεκτάσεων Παραδείγματα υπολογισμού βαθμών επεκτάσεων Θεώρημα επέκτασης ισομορφισμών Επεκτάσεις σωμάτων Ορισμοί Αν K είναι σώμα και F υπόσωμα του K, θα λέμε ότι το K είναι επέκταση του F Για παράδειγμα, το είναι επέκταση του, το είναι επέκταση του και το είναι επέκταση του Αν το K είναι επέκταση του F, τότε το K είναι F - διανυσματικός χώρος με εξωτερικό πολλαπλασιασμό F K K, ( a, b) ab, και θα συμβολίζουμε τη διάσταση dm F K με [ K : F ] Ο ακέραιος [ K : F ] λέγεται ο βαθμός της επέκτασης F K Για παράδειγμα, [ : ] γιατί μια βάση του ως - διανυσματικός χώρος είναι το σύνολο {, } Μια επέκταση K του F λέγεται πεπερασμένη αν [ K : F] και άπειρη αν δεν είναι πεπερασμένη Για παράδειγμα, η επέκταση του είναι πεπερασμένη Έστω K επέκταση του F και S K Με F ( S ) συμβολίζουμε την τομή όλων των υποσωμάτων του K που περιέχουν το F και το S Το F( S ) είναι σώμα και F F( S) K Αν το σύνολο S είναι πεπερασμένο S { a,, a } συμβολίζουμε το σώμα F ( S ) με F( a,, a ) Πρόταση Έστω K επέκταση του F και a,, a K Έχουμε f ( a,, a ) ) F( a,, a) K f (,, ), g(,, ) F[,, ], g( a,, a) 0 g( a,, a) ) F( a,, a) F ( a), όπου F F( a,, a ) Απόδειξη ) Εύκολα αποδεικνύεται ότι το δεξί μέλος, έστω E, είναι σώμα τέτοιο ώστε F E K και a,, a E Από τον ορισμό του F( a,, a ) έπεται ότι F( a,, a) E Αν L είναι σώμα με F L και,, f ( a,, a) a a L, τότε L για κάθε g( a,, a ) f (,, ), g(,, ) F[,, ], g( a,, a ) 0 από τον ορισμό του σώματος Άρα L E Από τον ορισμό του F( a,, a ) έπεται ότι F( a,, a) E Συνεπώς F( a,, a) E ) Άμεσο από τον ορισμό Παράδειγμα Ισχύει (, ) ( ) Πράγματι, επειδή (, ) και (, ) έχουμε (, ) Επειδή το (, ) είναι σώμα τέτοιο ώστε (, ) και (, ), έχουμε ( ) (, ) Έστω a Έχουμε a ( ) και άρα a ( ) Αλλά a ( )( ) Αφού ( ) a a και ( ) a a, παίρνουμε ( ) και ( ) Επειδή το σώμα ( ) περιέχει το και τα,, έχουμε

8 Άρα ( ) (, ) (, ) ( ) Αλγεβρικά στοιχεία, ελάχιστο πολυώνυμο Ορισμός Έστω K επέκταση του F και a K Θα λέμε ότι το a είναι αλγεβρικό πάνω από το F αν υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο f ( ) F[ ] με f ( a) 0 Παραδείγματα ) Για παράδειγμα, το είναι αλγεβρικό πάνω από το αφού είναι ρίζα του ) Το a είναι αλγεβρικό πάνω από το Πράγματι, έχουμε δηλαδή a a 0 Άρα το a είναι ρίζα του 6 6 [ ] [ ] a οπότε ( a ) ) Το είναι αλγεβρικό πάνω από το αφού είναι ρίζα του 0 [ ] (γιατί;) v) Αποδεικνύεται ότι το δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το (βλ Θεώρημα στο βιβλίο του Ανδρεαδάκη) v) Το είναι αλγεβρικό πάνω από το ( ) αφού είναι ρίζα του ( )[ ] Έστω K επέκταση του F και a K αλγεβρικό πάνω από το F Τότε υπάρχει μη μηδενικό f ( ) F[ ] με f ( a) 0 Πολλαπλασιάζοντας με τον αντίστροφο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το f ( ) είναι μονικό Συνεπώς το σύνολο των μονικών πολυωνύμων του F[ ] που έχουν ρίζα το a είναι μη κενό Θεωρούμε ένα πολυώνυμο ( ) του συνόλου αυτού που έχει ελάχιστο βαθμό Το ( ) είναι μοναδικό Πράγματι, αν q( ) F[ ] είναι μονικό, έχει ρίζα το a και είναι ελαχίστου βαθμού, τότε deg ( ) deg q( ) και συνεπώς deg( ( ) q( )) deg ( ) Έχουμε ( a) q( a) 0 και συνεπώς αν ( ) q( ) 0, τότε πολλαπλασιάζοντας με τον αντίστροφο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή του ( ) q( ) θα είχαμε μονικό πολυώνυμο που έχει ρίζα το a και έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του ( ) Άρα ( ) q( ) 0 Θα καλούμε αυτό το ( ) το ελάχιστο πολυώνυμο του a πάνω από το F και θα το συμβολίζουμε με Irr( a, F ) Για παράδειγμα, Irr(, ) Επίσης, deg Irr(, ) γιατί αλλιώς που δεν ισχύει Συνεπώς Irr(, ) Ακολουθούν μερικές ιδιότητες του Irr( a, F ) Πρόταση Έστω K επέκταση του F και a K αλγεβρικό πάνω από το F Τότε ) Το Irr( a, F) F[ ] είναι ανάγωγο ) Αν f ( ) F[ ] έχει ρίζα το a, τότε Irr( a, F) f ( ) ) Αν q( ) F[ ] είναι μονικό ανάγωγο πολυώνυμο με ρίζα το a, τότε q( ) Irr( a, F) Απόδειξη ) Εξ ορισμού deg Irr( a, F) Αν το Irr( a, F ) δεν ήταν ανάγωγο πάνω στο F, τότε το a θα ήταν ρίζα κάποιου μονικού γνήσιου παράγοντα του Irr( a, F ), πράγμα αδύνατο λόγω του ελαχίστου του βαθμού του Irr( a, F ) ) Έστω f ( ) F[ ] με f ( a) 0 Από την Ευκλείδεια διαίρεση, υπάρχουν q( ), r( ) F[ ] με f ( ) q( ) Irr( a, F) r( ) και deg r( ) deg Irr( a, F) Άρα r( a) f ( a) 0 Αν το r( ) είναι μη μηδενικό, τότε πολλαπλασιάζοντας με τον αντίστροφο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή του r( ) θα είχαμε ένα μονικό πολυώνυμο στο F[ ] με ρίζα το a και βαθμό μικρότερο του βαθμού του Irr( a, F ), άτοπο ) Από το ) έπεται ότι Irr( a, F) q( ) Επειδή το q( ) είναι ανάγωγο και το Irr( a, F ) θετικού βαθμού παίρνουμε q( ) cirr( a, F) για κάποιο c F Επειδή τα q( ), Irr( a, ) είναι μονικά έχουμε c

9 Παραδείγματα ) Έστω θετικός ακέραιος και πρώτος Στο Παράδειγμα 0 είδαμε ότι το στο [ ] Από την Πρόταση ) έχουμε Irr(, ) π π ) Έστω πρώτος και cos s Επειδή, και είναι ανάγωγο ( )( ), το είναι ρίζα του Στο Παράδειγμα 0 είδαμε ότι το πολυώνυμο αυτό είναι ανάγωγο πάνω από το και επομένως από την Πρόταση ) έχουμε Irr (, ) Στην επόμενη πρόταση περιγράφονται σημαντικές διασυνδέσεις μεταξύ του πολυωνύμου Irr( a, F ) και του σώματος F( a ) Πρόταση Έστω K επέκταση του F, a K αλγεβρικό πάνω από το F, ( ) Irr( a, F) και deg ( ) Τότε ) Τα σώματα F ( a ) και F[ ] ( ( )) είναι ισόμορφα ) Μια βάση του F - διανυσματικού χώρου F ( a ) είναι το σύνολο {, a, a,, a } Άρα [ F ( a) : F ] ) Αν f ( ) F[ ] είναι μη μηδενικό τέτοιο ώστε f ( a) 0, τότε [ F( a) : F] deg f ( ) Απόδειξη ) Επειδή το ( ) F[ ] είναι ανάγωγο, ο δακτύλιος F[ ] ( ( )) είναι σώμα σύμφωνα με την Πρόταση 06 Θεωρούμε την απεικόνιση a : F[ ] F( a), f ( ) f ( a) Εύκολα επαληθεύεται ότι αυτή είναι ομομορφισμός δακτυλίων και ( ( )) kera Από την Πρόταση ) έπεται ότι ( ( )) kera και επομένως ( ( )) kera Συνεπώς από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών δακτυλίων, οι δακτύλιοι F[ ] ( ( )) και Im a είναι ισόμορφοι Άρα ο δακτύλιος Im a είναι σώμα Θα δείξουμε στη συνέχεια ότι Im F( a) a Έχουμε Im a { f ( a) f ( ) F[ ]} και επομένως από την Πρόταση έπεται ότι Im a F( a) Από την άλλη μεριά, είναι σαφές ότι F Im a και a Im a Επειδή ο δακτύλιος Im a είναι σώμα παίρνουμε F( a) Im a Άρα Im a F( a) ) Αν c0 ca c a 0, όπου c F, τότε το πολυώνυμο c0 c c F[ ] έχει ρίζα το a ενώ ο βαθμός του είναι μικρότερος του deg Irr( a, F) Άρα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή c0 c c 0 Άρα τα στοιχεία, a,, a είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω από το F Στην απόδειξη του ) είδαμε ότι F( a) Im { f ( a) f ( ) F[ ]} Δηλαδή κάθε στοιχείο του F ( a ) a είναι της μορφής f ( a ), όπου f ( ) F[ ] Από την Ευκλείδεια διαίρεση, υπάρχουν q( ), r( ) F[ ] με f ( ) q( ) ( ) r( ) και deg r( ) Άρα f ( a) r( a) Επειδή r r r r όπου ( ) 0, r F, τα στοιχεία, a,, a παράγουν το F - διανυσματικό χώρο F ( a ) ) Αν f ( ) F[ ] είναι μη μηδενικό τέτοιο ώστε f ( a) 0, τότε από τον ορισμό του Irr( a, F ) έχουμε deg f ( ) deg ( ) To ζητούμενο έπεται από σχέση [ F( a) : F ] deg ( ) του ) Παραδείγματα 6 ) Επειδή Irr(, ), μια βάση του - διανυσματικού χώρου ( ) είναι το σύνολο {, } Έχουμε[ ( ) : ] Κάθε στοιχείο του ( ) γράφεται μοναδικά στη μορφή a b, όπου a, b

) Επειδή Irr (, ) (Παράδειγμα )), μια βάση του - διανυσματικού χώρου ( ) είναι το σύνολο {,,( ) } {,, } Έχουμε [ ( ) : ] Κάθε στοιχείο του ( ) γράφεται μοναδικά στη μορφή a a a όπου a π π ) Έστω πρώτος και cos s Στο Παράδειγμα ) είδαμε ότι Irr Άρα μια βάση του - διανυσματικού χώρου ( ) είναι η (, ) {,,,, } και [ ( ) : ] v) Θεωρούμε το πολυώνυμο f ( ) και a μια ρίζα του Το f ( ) είναι ανάγωγο στο [ ] γιατί είναι τρίτου βαθμού και δεν έχει ρίζα στο (βλ Πρόταση 0) Επειδή είναι μονικό, έχουμε Irr( a, ) f ( ) σύμφωνα με την Πρόταση ) Από την Πρόταση ), μια βάση του - διανυσματικού χώρου ( a) είναι το σύνολο {, a, a } a Έστω b a a a ( a) Ας παραστήσουμε το b ως γραμμικό συνδυασμό των, a, a Με την Ευκλείδεια διαίρεση βρίσκουμε ότι ( ) f ( ) Άρα b a b Έστω c ( a ) ( a) Ας παραστήσουμε το c ως γραμμικό συνδυασμό των, a, a ος τρόπος Επειδή το a είναι ρίζα του f ( ), το a είναι ρίζα του f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Από ( a )(( a ) ( a ) ) 0, παίρνουμε ( a ) (( a ) ( a ) ) ( a a ) ος τρόπος Με τη βοήθεια του Ευκλείδειου αλγορίθμου (όπως θυμόμαστε από τη Βασική Άλγεβρα) υπολογίζουμε a( ), b( ) [ ] τέτοια ώστε μκδ( f ( ), ) a( ) f ( ) b( )( ) Βρίσκουμε f ( ) ( )( ) Άρα στο ( a) έχουμε ( a a )( a ) Συνεπώς ( a ) a a 0 Παρατηρήσεις ) Στην απόδειξη της Πρότασης είδαμε ότι αν το a είναι αλγεβρικό πάνω από το F, τότε F( a) { f ( a) f ( ) F[ ]} Σημειώνουμε ότι το συμπέρασμα αυτό δεν αληθεύει αν το a δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το F Πράγματι, αν ο δακτύλιος { f ( a) f ( ) F[ ]} είναι σώμα, τότε a { f ( a) f ( ) F[ ]}, οπότε a f ( a) για κάποιο f ( ) F [ ] Άρα το a είναι ρίζα του πολυωνύμου f ( ) που είναι μη μηδενικό και έχει συντελεστές στο F Δηλαδή το a είναι αλγεβρικό πάνω από το F (Βλ σχετικά την άσκηση ) ) Έστω F F( a,, a ) επέκταση όπου κάθε a είναι αλγεβρικό πάνω από το F Τότε F( a,, a ) { f ( a,, a ) f (,, ) F[,, ]} Έχουμε δείξει την περίπτωση και η γενική περίπτωση προκύπτει εύκολα με επαγωγή (άσκηση) Καλό είναι να συγκριθεί το αποτέλεσμα αυτό με την Πρόταση ) Βαθμοί διαδοχικών επεκτάσεων Θεώρημα 7 Έστω διαδοχικές επεκτάσεις F K L Αν [ K : F] και [ L : K ], τότε [ L : F ] και [ L : F] [ L : K][ K : F]

Σχηματικά έχουμε το εξής διάγραμμα [ L : F] L K F [ L : K ] [ K : F ] Απόδειξη Έστω { a,, a } μια βάση του K ως F διανυσματικός χώρος και έστω { b,, b m } μια βάση του L ως K διανυσματικός χώρος Θα δείξουμε ότι τα στοιχεία a b,,,, j,, m αποτελούν βάση του L ως F διανυσματικός χώρος Έστω c L Τότε υπάρχουν r K με c rb rb rmb m Για κάθε υπάρχουν s,, s F με r s a s a Αντικαθιστώντας έχουμε j c ( s a s a ) b ( s a s a ) b ( s a s a ) b m m m s a b s a b s a b s a b s a b s a b m m m m Άρα τα στοιχεία ab j παράγουν το διανυσματικό χώρο L πάνω από το F Έστω r j F με, m r a b 0 Τότε j j, j m rja bj 0 j Από τη γραμμική ανεξαρτησία των b j πάνω από το K παίρνουμε r a 0 j για κάθε j,, m Τότε από τη γραμμική ανεξαρτησία των a πάνω από το F παίρνουμε rj 0 για κάθε j,, m και,, Άρα τα στοιχεία ab j είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω από το F Παρατήρηση Επαγωγικά προκύπτει το εξής Έστω διαδοχικές πεπερασμένες επεκτάσεις F0 F F F [ F : F ] [ F : F ][ F : F ][ F : F ] Τότε 0 0 Παραδείγματα 8 ) Θα δείξουμε ότι [ (, ) : ] Θεωρούμε τις διαδοχικές επεκτάσεις ( ) (, ) οπότε από το Θεώρημα 7 έχουμε [ (, ) : ] [ (, ) : ( )][ ( ) : ] Είδαμε πριν ότι [ ( ) : ] Θα δείξουμε παρακάτω ότι [ (, ) : ( )], οπότε θα έχουμε [ (, ) : ] Επειδή το μηδενίζει το ( )[ ], έχουμε deg Irr(, ( )) οπότε [ (, ) : ( )] σύμφωνα με την Πρόταση ) Θα δείξουμε ότι [ (, ) : ( )] και για το σκοπό αυτό αρκεί να δείξουμε ότι ( ) Αν ( ) τότε a b για κάποια a, b, οπότε a b ab Επειδή το σύνολο {, }

είναι γραμμικά ανεξάρτητο πάνω από το (Παράδειγμα 6 )), παίρνουμε ab 0, δηλαδή a 0 ή b 0 Στην πρώτη περίπτωση έχουμε b και στη δεύτερη a, που είναι άτοπα καθώς a, b Άρα [ (, ) : ( )] και επειδή είχαμε [ (, ) : ( )] παίρνουμε [ (, ) : ( )] (, ) ( ) Παρατήρηση Η απόδειξη του Θεωρήματος 7 δίνει ένα τρόπο να βρούμε βάση του (, ) πάνω από το Επειδή Irr (, ), μια βάση του ( ) πάνω από το είναι το σύνολο {, }, σύμφωνα με την Πρόταση Επειδή Irr (, ( )), μια βάση του (, ) πάνω από το ( ) είναι το {, } Από την απόδειξη του Θεωρήματος 6, έπεται ότι μια βάση του (, ) πάνω από το είναι το {,,, 6} Σημειώνουμε ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε την Πρόταση απευθείας στο (, ) : Είδαμε σε προηγούμενο παράδειγμα ότι (, ) ( ) Επειδή [ (, ) : ], από την Πρόταση έπεται ότι μια βάση του (, ) πάνω από το είναι το {, a, a, a }, όπου a ) Έστω και ( ) Ισχύει [ (, ) : ] 6 Πράγματι, έχουμε τις επεκτάσεις ( ) (, ) Από Irr (, ) (Παράδειγμα )) έπεται ότι (Πρόταση ) [ ( ) : ] deg Irr(, ), έχουμε ( ) και άρα (, ) ( ) Δηλαδή Επειδή και ( ) [ (, ) : ( )] Επειδή το είναι ρίζα του ( )[ ], έχουμε (Πρόταση ) [ (, ) : ( )] deg Irr(, ( )) Άρα [ (, ) : ( )] Από το Θεώρημα 7 [ (, ) : ] [ (, ) : ( )][ ( ) : ] 6 (, ) 6 ( ) Παρατήρηση Όπως στην παρατήρηση στο προηγούμενο παράδειγμα έχουμε ότι μια βάση του ( ) πάνω από το είναι το σύνολο {,, } και μια βάση του (, ) πάνω από το ( ) είναι το {, } Από την απόδειξη του Θεωρήματος 7, έπεται ότι μια βάση του (, ) πάνω από το είναι το {,,,,, }

Επεκτείνοντας ισομορφισμούς Έστω : F F ισομορφισμός σωμάτων Εύκολα αποδεικνύεται ότι η απεικόνιση F [ ] F [ ], c c c0 ( c) ( c ) ( c0 ) είναι ισομορφισμός δακτυλίων Καταχρηστικά θα τον συμβολίζουμε πάλι με Για παράδειγμα, αν :, ( z) z, όπου z είναι ο συζυγής μιγαδικός του z, τότε (( ) ) ( ) Παρατηρούμε ότι αν f ( ) F [ ], τότε τα πολυώνυμα f ( ) και ( f ( )) έχουν τον ίδιο βαθμό Από αυτό έπεται ότι το f ( ) F [ ] είναι ανάγωγο αν και μόνο αν το ( f ( )) F[ ] είναι ανάγωγο Στα παρακάτω θα εφαρμόσουμε πολλές φορές το εξής αποτέλεσμα Θεώρημα 9 (επέκτασης ισομορφισμών) Έστω : F F ισομορφισμός σωμάτων, ( ) F [ ] ανάγωγο, a μια ρίζα του ( ) σε κάποια επέκταση του F και b μια ρίζα του ( ( )) σε κάποια επέκταση του F Τότε υπάρχει ισομορφισμός σωμάτων : F ( a) F ( b) τέτοιος ώστε ( a) b και ( c) ( c) για κάθε c F F ( a) F ( b) F F Απόδειξη Έστω η παρακάτω σύνθεση ομομορφισμών δακτυλίων F [ ] F[ ] F[ ] ( ( ( )) όπου ( f ( )) f ( ) ( ( ( )) Η είναι επί γιατί είναι σύνθεση επί απεικονίσεων Επίσης εύκολα επαληθεύεται ότι Ker ( ( )) Συνεπώς υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων : F [ ] ( ( )) F [ ] ( ( ( )), Έστω η παρακάτω σύνθεση όπου f ( ) ( ( )) ( f ( )) ( ( ( ))) a b F ( a) F [ ] ( ( )) F [ ] ( ( ( )) F ( b), : [ ] ( ( )) ( ) a F F a είναι ο ισομορφισμός που επάγεται από τον επιμορφισμό a : F [ ] F ( a), f ( ) f ( a) και ομοίως για Τότε η είναι ισομορφισμός ως σύνθεση ισομορφισμών Επίσης ( a) b και ( c) ( c) για κάθε b c F Πράγματι, και a b a a ( ( )) a ( ( ( ))) b a b c c ( ( )) ( c) ( ( ( ))) ( c) Ο περιορισμός της απεικόνισης : F ( a) F ( b) του συμπεράσματος του Θεωρήματος 9 στο υποσύνολο F F ( a) είναι η απεικόνιση : F F της υπόθεσης Θα λέμε ότι η επεκτείνει την Πόρισμα 0 Έστω K επέκταση του F και a, b K αλγεβρικά πάνω από το F Τότε Irr( a, F ) Irr( b, F) αν και μόνο αν υπάρχει ισομορφισμός : F( a) F( b) τέτοιος ώστε ( a) b και ( c) c για κάθε c F Απόδειξη Αν Irr( a, F) Irr( b, F), το συμπέρασμα έπεται άμεσα από το Θεώρημα 9 για F F F και : F F την ταυτοτική απεικόνιση F

Αντίστροφα, έστω ότι υπάρχει ισομορφισμός : F( a) F( b) τέτοιος ώστε ( a) b και ( c) c για κάθε c F Τότε το σ( ( )) είναι ανάγωγο, όπου ( ) Irr( a, F ) Αλλά σ( ( )) ( ) καθώς ( c) c για κάθε c F Επίσης ( b) ( ( a)) ( ( a)) (0) 0 Άρα ( ) Irr( b, F) σύμφωνα με την Πρόταση ) Στοιχεία a, b όπως στο Πόρισμα 0, δηλαδή ρίζες του ίδιου ανάγωγου πολυωνύμου με συντελεστές από το F, λέγονται συζυγή πάνω από το F Για παράδειγμα, τα συζυγή του πάνω από το είναι τα,,,, ενώ τα συζυγή του πάνω από το ( ) είναι τα, Αφήνουμε ως άσκηση την επαλήθευση των παραπάνω Το Θεώρημα 9 χρησιμοποιείται συχνά για την κατασκευή ισομορφισμών ειδικών σωμάτων όπως δείχνει το επόμενο παράδειγμα Παράδειγμα Έστω, ( ) και K (, ) Θα δείξουμε ότι υπάρχει ισομορφισμός : K K με ( ), ( ), ( c) c για κάθε c ο βήμα Τα στοιχεία, είναι ρίζες του πολυωνύμου (Παράδειγμα )) Άρα που είναι ανάγωγο πάνω από το Irr(, ) Irr(, ) Από το Πόρισμα 0 υπάρχει ισομορφισμός : ( ) ( ) τέτοιος ώστε ( ) και ( c) c για κάθε c ( ) ( ) ο βήμα Θεωρούμε τον ισομορφισμό : ( ) ( ) που κατασκευάσαμε στο προηγούμενο βήμα και τις επεκτάσεις ( ) (, ) K και ( ) (, ) Ισχύει (, ) (, ) αφού, (, ) και, (, ) καθώς Το στοιχείο είναι ρίζα του πολυωνύμου που είναι ανάγωγο στο ( )[ ] (γιατί;) Επίσης το είναι ρίζα του ( ) Από το Θεώρημα 9 υπάρχει ισομορφισμός : K K τέτοιος ώστε ( ) και ( c) ( c) για κάθε c ( ) K K ( ) ( ) Ο ισομορφισμός ικανοποιεί τις ζητούμενες ιδιότητες καθώς ( c) ( c) ( c) c για κάθε c ( ) ( ), ( ) και Σημείωση Σχηματικά θα λέγαμε ότι στην απόδειξη του παραδείγματος συμπληρώσαμε το παρακάτω διάγραμμα εργαζόμενοι από κάτω προς τα πάνω

K ( ) ( ) K Ύπαρξη ρίζας σε επέκταση Έστω F σώμα και ( ) F[ ] ανάγωγο πολυώνυμο Ξέρουμε ότι ο δακτύλιος πηλίκο F[ ] ( ( )) είναι σώμα Εύκολα επαληθεύεται ότι η απεικόνιση F F[ ] ( ( )), a a ( ( )), είναι μονομορφισμός σωμάτων Μέσω αυτής θα ταυτίζουμε κάθε a F με την εικόνα του στο F[ ] ( ( )) Κατά τον τρόπο αυτό θεωρούμε το σώμα F[ ] ( ( )) ως επέκταση του F Θεώρημα Έστω F σώμα και f ( ) F[ ] με deg f ( ) Τότε υπάρχει επέκταση του F όπου το f ( ) έχει ρίζα Απόδειξη Επειδή deg f ( ) υπάρχει ανάγωγο ( ) F[ ] που διαιρεί το f ( ) Έστω I ( ( )), το κύριο ιδεώδες του F[ ] που παράγεται από το ( ) Η απεικόνιση : F F[ ] I, a a I, είναι μονομορφισμός σωμάτων Μέσω αυτού θα ταυτίζουμε κάθε a F με την εικόνα a I στο F[ ] I Συνεπώς έχουμε μια επέκταση F[ ] I του F Έστω E F[ ] I και I E Τότε το είναι ρίζα του f ( ) στο E Πράγματι, αν f ( ) a a a, τότε υπολογίζοντας στο E έχουμε 0 f ( ) a a a 0 a ( I) a ( I) a 0 a ( I) a ( I) a 0 a a a0 I f ( ) I I 0 αφού f ( ) I καθώς το ( ) διαιρεί το f ( ) Παραδείγματα ) Με το συμβολισμό του θεωρήματος, έστω F και f ( ) Το f ( ) είναι ανάγωγο πάνω από το και ο δακτύλιος E [ ] ( f ( )) είναι σώμα Το f ( ) δεν έχει ρίζα στο, αλλά έχει ρίζα στο E καθώς αν ( f ( )), τότε ( f ( )) ( ( f ( ))) f ( ) ( f ( )) 0 E Σημειώνουμε ότι το σώμα E είναι ισόμορφο με το σώμα των μιγαδικών αριθμών ) Θεωρούμε το f ( ) [ ] Η ανάλυση του f ( ) σε γινόμενο ανάγωγων στο [ ] είναι f ( ) ( )( ) (άσκηση) Οι δακτύλιοι [ ] ( ) και [ ] ( ) είναι σώματα (Πρόταση 06) και σε καθένα από αυτά το f ( ) έχει ρίζα σύμφωνα με την απόδειξη του Θεωρήματος E Ασκήσεις Δείξτε τα εξής a (, ) ( ) b ( )

c [ (, ) : ] d Irr(, ) 9 e Το σύνολο {,,, 0} είναι μια βάση του -διανυσματικού χώρου (, ) Έστω επέκταση F K με [ K : F ] πρώτο αριθμό Να βρεθούν όλα τα σώματα L με F L K Βρείτε τα ακόλουθα ελάχιστα πολυώνυμα a Irr( 7, ) b Irr( 7, ( 7)) c Irr(, ) d Irr(, ) Έστω cos( ) s( ) και a Δείξτε τα εξής a Irr( a, ) b ( a) ( ) και cos( ) ( ) Έστω πρώτος και a Βρείτε το Irr( a, ) και το Irr( a, ( )) 6 a Έστω K σώμα με K και [ K : ] 9 Αληθεύει ότι το K περιέχει ρίζα του 6 ; b Έστω a,, a με a για κάθε Δείξτε ότι [ ( a,, a ) : ] t για κάποιο t 0 Αληθεύει ότι ( a,, a ) ; 7 Έστω επέκταση F K και a K αλγεβρικό στοιχείο πάνω από το F τέτοιο ώστε deg Irr( a, F ) είναι 8 περιττός Τότε F a ( ) F( a ) a Έστω F K επέκταση και a, b K αλγεβρικά στοιχεία πάνω από το F με [ F( a) : F] m, [ F( b) : F], όπου ( m, ) Τότε (, ) : F a b F m b Ποιος είναι ο βαθμός [ (,, ) : ]; 9 Έστω F E K διαδοχικές επεκτάσεις, a K και [ K : F] Τότε a [ E( a) : E] [ F( a) : F] και b [ E( a) : F( a)] [ E : F] 0 Έστω ( ), q( ) [ ] ανάγωγα πολυώνυμα, a ρίζα του ( ), b ρίζα του q( ), F ( a) και K ( b) Τότε το ( ) είναι ανάγωγο στο K[ ] αν και μόνο αν το q( ) είναι ανάγωγο στο F[ ] a Έστω a ρίζα του και b Να βρεθούν c0, c, c με b c0 ca ca a Στις επόμενες περιπτώσεις εξετάστε αν υπάρχει ισομορφισμός σωμάτων : K K με τις αναγραφόμενες ιδιότητες a K (, ), ( ) b K (, ), ( ) c K (, ), ( ), ( ), όπου, ( ) Έστω F K πεπερασμένη επέκταση και ( ) F[ ] ανάγωγο Δείξτε ότι αν (deg ( ),[ K : F ]), τότε το ( ) είναι ανάγωγο στο K[ ] Έστω K επέκταση του σώματος F και a F Με F[ a ] συμβολίζουμε το δακτύλιο { f ( a) K f ( ) F[ ]} Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες a Το a είναι αλγεβρικό πάνω από το F 6

b F[ a] F( a) c Ο δακτύλιος F[ a ] είναι σώμα Έστω F K επέκταση και a K αλγεβρικό πάνω από το F Θεωρούμε την απεικόνιση T : F( a) F( a), T ( b) ab a Δείξτε ότι η T είναι γραμμική απεικόνιση (ως απεικόνιση F - διανυσματικών χώρων) b Ξέρουμε ότι το σύνολο {, a,, a } είναι βάση του F ( a ) πάνω από το F, όπου deg Irr( a, F) Δείξτε ότι αν Irr( a, F) a a0, τότε ο πίνακας της T ως προς την προηγούμενη βάση είναι ο 0 0 0 a0 0 0 a 0 0 a 0 0 a c Δείξτε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του παραπάνω πίνακα (με την έννοια της Γραμμικής Άλγεβρας) ισούται με το Irr( a, F ) 6 Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι αληθείς 7 a (, ) 0 b Έστω cos( ) s( ) Τότε ( 7) c Τα σώματα ( ), ( ) είναι ισόμορφα 8 d Τα στοιχεία,,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω από το e Αν [ ( a) : ], τότε [ ( a ) : ] f (, ) ( ), όπου, ( ) g [ ( ) : ( 6)] 7

8 Αλγεβρικές επεκτάσεις, γεωμετρικές κατασκευές Βασικά σημεία Αλγεβρικές επεκτάσεις Κατασκευάσιμα σημεία έχουν συντεταγμένες που είναι αλγεβρικά πάνω από το με βαθμούς δυνάμεις του Τα κλασικά προβλήματα κατασκευών με κανόνα και διαβήτη Αλγεβρικές επεκτάσεις Ορισμός Μια επέκταση F K λέγεται αλγεβρική αν κάθε στοιχείο του K είναι αλγεβρικό πάνω από το F Παραδείγματα ) Η επέκταση είναι αλγεβρική γιατί κάθε z είναι ρίζα του ( z z ) zz που έχει πραγματικούς συντελεστές ) Η επέκταση δεν είναι αλγεβρική γιατί υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί πάνω από το (Cator) Μία σκιαγράφηση μιας απόδειξης είναι: Για κάθε θετικό ακέραιο έστω [ ] { f ( ) [ ] deg f ( ) } Επειδή κάθε f ( ) a a0 [ ] καθορίζεται μοναδικά από τη διατεταγμένη + - άδα ( a,, a 0), υπάρχει - και επί αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων [ ] και Από αυτό έπεται ότι το [ ] είναι αριθμήσιμο γιατί το είναι φορές αριθμήσιμο Επειδή [ ] [ ] και η ένωση αριθμήσιμου πλήθους αριθμήσιμων συνόλων 0,, είναι αριθμήσιμο, συμπεραίνουμε ότι το σύνολο [ ] είναι αριθμήσιμο Έστω το σύνολο των μιγαδικών που είναι αλγεβρικοί πάνω από το Ξέρουμε ότι για κάθε μη μηδενικό f ( ) [ ] το σύνολο των ριζών { a f ( a) 0} είναι πεπερασμένο Από { a f ( a) 0}, f ( ) [ ] f ( ) 0 που είναι ένωση αριθμήσιμου πλήθους πεπερασμένων συνόλων, έπεται ότι σύνολο είναι αριθμήσιμο Επειδή το είναι μη αριθμήσιμο, έχουμε ) Η επέκταση ( ) είναι αλγεβρική γιατί κάθε στοιχείο του ( ) έχει τη μορφή a b, όπου a, b, και το a b είναι ρίζα του Θεώρημα Κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι αλγεβρική Απόδειξη Έστω F a a b που έχει ρητούς συντελεστές K πεπερασμένη επέκταση βαθμού και a K Τότε τα στοιχεία του K είναι γραμμικά εξαρτημένα πάνω από το F Συνεπώς υπάρχουν c F, όχι όλα 0, με, a, a,, c0 c a ca Δηλαδή έχουμε f ( a) 0, όπου f ( ) c0 c c F[ ] και f ( ) 0 Άρα το a είναι αλγεβρικό πάνω από το F Έστω F K επέκταση και a, b K αλγεβρικά στοιχεία πάνω από το F Τότε καθεμιά από τις επεκτάσεις που εμφανίζονται στην αλυσίδα F F ( a) F( a, b) είναι αλγεβρική a

Πράγματι, από την Πρόταση ), [ F ( a) : F ] deg Irr( a, F ) και άρα η επέκταση F F( a) είναι αλγεβρική από το Θεώρημα Επίσης, [ F( a, b) : F( a)] deg Irr( b, F( a)) deg Irr( b, F) λόγω της Πρότασης ) Άρα η F ( a) F ( a, b) είναι αλγεβρική Από το Θεώρημα 7 έπεται ότι [ F( a, b)] [ F( a, b) : F( a)][ F( a) : F] οπότε και η επέκταση F F( a, b) είναι αλγεβρική Με παρόμοιο συλλογισμό αποδεικνύεται το εξής αποτέλεσμα Πόρισμα Έστω F K επέκταση και a,, a K αλγεβρικά στοιχεία πάνω από το F Τότε η επέκταση (,, ) είναι πεπερασμένη (και αλγεβρική) F F a a Πόρισμα Αν F K και K L είναι αλγεβρικές επεκτάσεις, τότε η F L είναι αλγεβρική Απόδειξη Έστω a L Το a είναι αλγεβρικό πάνω από το K Έστω 0 9 Irr( a, K) a a Το a είναι αλγεβρικό πάνω από το F( a0,, a ) και [ F( a0,, a, a) : F( a0,, a )] Κάθε a είναι αλγεβρικό πάνω από το F και άρα η επέκταση F F( a0,, a ) είναι πεπερασμένη από το προηγούμενο πόρισμα Συνεπώς [ F( a,, a, a) : F] [ F( a,, a, a) : F( a,, a )][ F( a,, a ) : F] 0 0 0 0 και η επέκταση F F( a0,, a, a) είναι αλγεβρική από το Θεώρημα Πόρισμα Έστω F K επέκταση και E το υποσύνολο του K των στοιχείων που είναι αλγεβρικά πάνω από το F Τότε το E είναι υπόσωμα του K και η επέκταση F E είναι αλγεβρική Απόδειξη Αν a, b E, τότε η επέκταση F F( a, b) είναι αλγεβρική από το Πόρισμα Επειδή τα a b, ab, a b, ab ( b 0 στην τελευταία σχέση) ανήκουν στο F( a, b ), είναι αλγεβρικά πάνω από το F οπότε ανήκουν στο E Άρα το E είναι υπόσωμα του K Για F και K, το E του Πορίσματος λέγεται το σώμα των αλγεβρικών αριθμών και θα το συμβολίζουμε με Παρατήρηση Η επέκταση θετικό ακέραιο έχουμε αφού το είναι παράδειγμα άπειρης αλγεβρικής επέκτασης Πράγματι, για κάθε είναι αλγεβρικό πάνω από το ως ρίζα του [ ] ( ) Από το Παράδειγμα ) και την Πρόταση ) έπεται ότι [ ( ) : ] Από ( ) έχουμε [ : ] [ ( ) : ] για κάθε Άρα η επέκταση είναι άπειρη Γεωμετρικές κατασκευές Τα ακόλουθα προβλήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας απασχόλησαν τους αρχαίους Έλληνες και μεταγενέστερους μαθηματικούς επί σειρά αιώνων Οι πλήρεις απαντήσεις δόθηκαν το 9 ο αιώνα Διπλασιασμός του κύβου: Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ένας κύβος με διπλάσιο όγκο από δοσμένο κύβο Τριχοτόμηση γωνίας: Να τριχοτομηθεί με κανόνα και διαβήτη δοσμένη γωνία

Τετραγωνισμός του κύκλου: Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν δοσμένου κύκλου Χρησιμοποιώντας επεκτάσεις σωμάτων θα δείξουμε ότι οι παραπάνω κατασκευές είναι αδύνατες Ξεκινάμε ορίζοντας αυστηρά ποιες κατασκευές επιτρέπονται Ορισμοί Έστω S ένα σύνολο σημείων του επιπέδου Θεωρούμε τις εξής διαδικασίες (Κανόνας) Χάραξη ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία του S (Διαβήτης) Χάραξη κύκλου με κέντρο σημείο του S και ακτίνα την απόσταση δύο σημείων του S Ένα σημείο του λέγεται κατασκευάσιμο από το S με βήμα αν είναι σημείο τομής ευθειών ή κύκλων που χαράχθηκαν με τις διαδικασίες ή Ένα σημείο P του λέγεται κατασκευάσιμο από το S αν υπάρχει πεπερασμένη ακολουθία σημείων P, P,, P P τέτοια ώστε το P είναι κατασκευάσιμο με βήμα από το S και για κάθε,, το P είναι κατασκευάσιμο με βήμα από το σύνολο S { P,, P } Εφοδιάζουμε το επίπεδο με ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το O και θεωρούμε το σημείο I με συντεταγμένες (, 0) Θέτουμε S0 { O, I} Ένα σημείο P λέγεται κατασκευάσιμο αν είναι κατασκευάσιμο από το S 0 Παράδειγμα Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα που δείχνει ότι η συνήθης Ευκλείδεια κατασκευή του μέσου ευθυγράμμου τμήματος υλοποιείται σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε πιο πάνω Αν P, Q είναι διακεκριμένα κατασκευάσιμα σημεία, τότε το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος PQ είναι κατασκευάσιμο Φέρουμε την ευθεία PQ (κατασκευή τύπου ) Φέρουμε δύο κύκλους με κέντρα P και Q και ακτίνα PQ (κατασκευές τύπου ) Φέρουμε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία τομής των κύκλων (κατασκευή τύπου ) Αυτή τέμνει το PQ στο μέσο του PQ 0 P Q Κατασκευάσιμα σημεία και επεκτάσεις Θεωρούμε πεπερασμένη ακολουθία σημείων P, P,, P P τέτοια ώστε το P είναι κατασκευάσιμο με βήμα από το S 0 και για κάθε,, το P είναι κατασκευάσιμο με βήμα από το σύνολο S0 { P,, P } Έστω (, y ) οι συντεταγμένες του P Ορίζουμε μια ακολουθία διαδοχικών επεκτάσεων K K K K 0 ως εξής: K0 και επαγωγικά K (, ) K y,,,

Πρόταση 6 Με τους προηγούμενους συμβολισμούς, deg Irr(, K ) και deg Irr( y, K ) Απόδειξη Το σημείο P είναι σημείο τομής δύο ευθειών ή μίας ευθείας και ενός κύκλου ή δύο κύκλων Ας δούμε αναλυτικά τη δεύτερη περίπτωση Αφήνουμε τις άλλες δύο ως ασκήσεις Έχουμε μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία A, B με συντεταγμένες ( a, a), ( b, b ) αντίστοιχα, τέτοιες ώστε a, a, b, b K Έχουμε ένα κύκλο με κέντρο σημείο C με συντεταγμένες ( c, c ) τέτοιες ώστε c, c K και ακτίνα r που είναι η απόσταση δύο σημείων D, E με συντεταγμένες ( d, d),( e, e ) αντίστοιχα τέτοιες ώστε d, d, e, e K Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, r ( d e ) ( d e) και επομένως r K Ας υποθέσουμε ότι a b Οι εξισώσεις της ευθείας και του κύκλου που αναφέραμε πριν είναι b a y ( a) b, b a ( c) ( y c) r Αντικαθιστώντας την πρώτη σχέση στη δεύτερη προκύπτει b a ( c ) ( ( a) b c) r b a και άρα η πρώτη συντεταγμένη του P είναι ρίζα πολυωνύμου βαθμού που έχει συντελεστές στο K b a Τότε από τη σχέση y ( a) b, το ίδιο συμβαίνει για τη δεύτερη συντεταγμένη του P b a a Αν b, τότε έχουμε τις εξισώσεις a, ( c ) ( y c ) r, οπότε η πρώτη συντεταγμένη του P είναι στο K και η δεύτερη είναι ρίζα δευτεροβάθμιου πολυωνύμου με συντελεστές από το K Το κύριο αποτέλεσμα για κατασκευάσιμα σημεία είναι το ακόλουθο Θεώρημα 7 Αν το σημείο P είναι κατασκευάσιμο, τότε οι βαθμοί [ ( ) : ] και [ ( y) : ] είναι δυνάμεις του, όπου (, y ) είναι οι συντεταγμένες του P Απόδειξη Αν το σημείο P είναι κατασκευάσιμο, τότε υπάρχει πεπερασμένη ακολουθία σημείων P, P,, P P τέτοια ώστε το P είναι κατασκευάσιμο με βήμα από το S 0 και για κάθε,, το P είναι κατασκευάσιμο με βήμα από το σύνολο S0 { P,, P } Έστω (, y ) οι συντεταγμένες του P Έχουμε μια ακολουθία διαδοχικών επεκτάσεων K K K K, όπου K K (, ) y,, Από την Πρόταση 6 έπεται ότι 0 [ K ( ) : K ], και όμοια, [ K ( y ) : K ], Συνεπώς από το Θεώρημα 7 έχουμε [ K : K ] [ K (, y ) : K ] [ K (, y ) : K ( )][ K ( ) : K ],, Δηλαδή για κάθε, το [ K : K ] είναι δύναμη του Επειδή [ K : ] [ K : K ][ K : K ][ K : ]

έπεται ότι ο βαθμός [ K : ] είναι δύναμη του Από [ K : ] [ K : ( )][ ( ) : ] παίρνουμε ότι το [ ( ) : ] είναι δύναμη του Όμοια και το [ ( y ) : ] είναι δύναμη του Τα κλασικά προβλήματα ) Διπλασιασμός του κύβου: Δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη κύβος όγκου (Watzel 87) Πράγματι, τοποθετώντας την ακμή στον άξονα των, το σημείο ( a,0) θα ήταν κατασκευάσιμο, όπου a Το πολυώνυμο είναι ανάγωγο πάνω από το (πχ από το κριτήριο του Eseste) οπότε [ ( a) : ] Αυτό αντιβαίνει το Θεώρημα 7 ) Τριχοτόμηση γωνίας: Δεν είναι δυνατό να τριχοτομηθεί τυχαία γωνία με κανόνα και διαβήτη (Watzel, 87) Θα δείξουμε ότι η γωνία 60 μοιρών δεν τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη, ισοδύναμα το σημείο ο ( a,0) δεν είναι κατασκευάσιμο, όπου a cos 0 Η γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα cos(θ)= cos θ cosθ δίνει ότι το a είναι ρίζα του δηλαδή του 8 6 Αλλά εύκολα επαληθεύεται ότι το 8 6 είναι ανάγωγο πάνω από το (βλ Πρόταση 0) Άρα ο [ (cos0 ) : ] Αυτό αντιβαίνει το Θεώρημα 7 ) Τετραγωνισμός του κύκλου: Δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τετράγωνο εμβαδού π (Ldema, 88) Πράγματι, σε αντίθετη περίπτωση το σημείο ( π,0) θα ήταν κατασκευάσιμο Συνεπώς η επέκταση ( π) θα ήταν αλγεβρική σύμφωνα με το Θεώρημα 7 και το Θεώρημα Επειδή π ( π), το π θα ήταν αλγεβρικό πάνω από το Ο Ldema (88) έδειξε ότι το π δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το Ασκήσεις a Έστω a Δείξτε ότι η επέκταση ( a) είναι αλγεβρική αν και μόνο αν η ( a ) είναι αλγεβρική b Αληθεύει ότι η επέκταση ( ) ( ) είναι αλγεβρική; Αν ναι, ποιο είναι το Irr(, ( )) ; Θεωρούμε τις διαδοχικές επεκτάσεις 8 ( ) ( ) ( ) ( ) και F ( ) Δείξτε ότι το F είναι σώμα και η επέκταση F είναι αλγεβρική Είναι πεπερασμένη; Δείξτε ότι η επέκταση F K είναι πεπερασμένη αν και μόνο αν υπάρχουν a,, a K αλγεβρικά στοιχεία πάνω από το F τέτοια ώστε K F( a,, a ) Έστω a, b Δείξτε ότι η επέκταση ( a b, ab) δεν είναι αλγεβρική Έστω F σώμα τέτοιο ώστε F ( ) Δείξτε ότι αν [ F : ], τότε F 6 Συμπληρώστε την απόδειξη της Πρότασης 6 7 Δείξτε ότι η κατασκευή κανονικού 9-γώνου με κανόνα και διαβήτη δεν είναι δυνατή 8 Δείξτε ότι μια γωνία θ μπορεί να τριχοτομηθεί με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν το πολυώνυμο cos θ δεν είναι ανάγωγο πάνω από το (cosθ)

9 Έστω θ ακέραιος Δείξτε ότι η γωνία θ μοιρών μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν το θ είναι πολλαπλάσιο του 0 Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν a Οι επεκτάσεις F F( a) και F F( b) είναι αλγεβρικές αν και μόνο αν η επέκταση F F( a, b) είναι αλγεβρική b Έστω επέκταση F K και a K {0} Η επέκταση F F( a) είναι αλγεβρική αν και μόνο αν η επέκταση F F( a ) είναι αλγεβρική c Έστω επέκταση F K και a, b K Η επέκταση F F( a b) είναι αλγεβρική αν και μόνο αν η επέκταση F F( a b) είναι αλγεβρική d Έστω επέκταση F K και a, b K τέτοια ώστε το a είναι αλγεβρικό πάνω από το F και το b δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το F Τότε το a b δεν είναι αλγεβρικό πάνω από το F Δείξτε ότι δεν είναι δυνατή η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ισοσκελούς τριγώνου με και h, όπου είναι η περίμετρος και h το μήκος του ύψους προς μια από τις ίσες πλευρές

Βασικά σημεία Παραδείγματα σωμάτων ριζών Ύπαρξη και μοναδικότητα σώματος ριζών Θεώρημα πρωταρχικού στοιχείου Ιδιότητες σώματος ριζών (9, 0 και ) Σώμα ριζών Ορισμός Έστω K επέκταση του F και f ( ) F[ ] πολυώνυμο θετικού βαθμού Το K λέγεται σώμα ριζών του f ( ) πάνω από το F αν υπάρχουν a,, a K τέτοια ώστε K F( a,, a ) και στο K[ ] ισχύει f ( ) c( a)( a)( a), c K Παρατηρήσεις ) Ένα σώμα ριζών του f ( ) F[ ] πάνω από το F είναι ένα ελάχιστο σώμα K ως προς τις ιδιότητες F K και το f ( ) αναλύεται πλήρως στο K[ ] ) Από το Πόρισμα είναι σαφές ότι κάθε σώμα ριζών πάνω από το F είναι πεπερασμένη επέκταση του F και άρα αλγεβρική Παραδείγματα ) Το είναι σώμα ριζών του ( )( ) ) Το ( ) είναι σώμα ριζών του ( )( ) ) Το (, ) είναι σώμα ριζών του του ( )( ) πάνω από το v) Το (, ) είναι σώμα ριζών του Επίσης, το (, ) είναι σώμα ριζών του πάνω από το αφού ( ) (, ) και πάνω από το αφού ( ) (, ) πάνω από το ( ) και Επίσης, το (, ) είναι σώμα ριζών 6 ( )( ) πάνω από το 0 ( )( )( )( ) πάνω από το αφού (, ) (,,, ) v) Το ( ) είναι σώμα ριζών του πάνω από το, όπου cos( ) s( ), αφού ( ) (,,,, ) και ( )( )( )( ) v) Έστω και ( ) Το K (, ) είναι σώμα ριζών του αφού πάνω από το ( )( )( ) και (, ) (,, ) Επίσης, το (, ) είναι σώμα ριζών του πάνω από το ( ) αφού ( )( ) Παρατήρηση Έστω F E K διαδοχικές επεκτάσεις και K είναι σώμα ριζών ενός f ( ) F[ ] Τότε θεωρώντας f ( ) E[ ], το K είναι σώμα ριζών του f ( ) πάνω από το E Πράγματι, αν K F( a,, a ), τότε K E( a,, a ) αφού E K

K K σώμα ριζών E σώμα ριζών E F F Σημειώνουμε ότι το E δεν είναι αναγκαστικά σώμα ριζών πάνω από το F, βλ άσκηση 6 Θεώρημα (ύπαρξης) Έστω f ( ) F[ ] βαθμού 0 Tότε υπάρχει σώμα ριζών K του f ( ) πάνω από το F με [ K : F ]! Απόδειξη Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι το f ( ) είναι μονικό Χρησιμοποιούμε επαγωγή στο Για, έχουμε f ( ) a και το F είναι σώμα ριζών του f ( ) πάνω από το F Έστω και υποθέτουμε ότι το θεώρημα αληθεύει για κάθε πολυώνυμο του F[ ] βαθμού Σύμφωνα με το Θεώρημα υπάρχει επέκταση K του F όπου το f ( ) έχει ρίζα, έστω a Έχουμε f ( ) ( a) g( ) για κάποιο g( ) F ( a)[ ] Άρα deg g( ) Από την Πρόταση έχουμε [ F( a) : F] deg f ( ) Από την επαγωγική υπόθεση, υπάρχει σώμα ριζών L του g( ) πάνω από το F( a ) με [ L : F ( a)] ( )! Το L είναι σώμα ριζών του f ( ) πάνω από το F Πράγματι, αν L F( a)( a,, a ) και g( ) ( a)( a ), τότε L F( a, a,, a ) και f ( ) ( a)( a)( a ) Από το Θεώρημα 0, [ L : F ] [ L : F ( a)][ F ( a) : F] ( )!! Το θεώρημα επέκτασης ισομορφισμών δίνει για σώματα ριζών το ακόλουθο αποτέλεσμα Λήμμα Έστω : F F ισομορφισμός σωμάτων, K ένα σώμα ριζών του f ( ) F [ ] πάνω από το F και K ένα σώμα ριζών του ( f ( )) F [ ] πάνω από το F Τότε υπάρχει ισομορφισμός : K K με ( c) ( c) για κάθε c F K K F F Απόδειξη Επαγωγή στο deg f ( ) Αν, τότε K F και K F Ως μπορούμε να θέσουμε το Έστω και υποθέτουμε ότι το θεώρημα αληθεύει για κάθε f ( ) F [ ] βαθμού Έστω a K ρίζα ανάγωγου παράγοντα ( ) F [ ] του f ( ) και b K ρίζα του ( ( )) F [ ] Από το θεώρημα επέκτασης ισομορφισμών (Θεώρημα 9), υπάρχει ισομορφισμός : F ( a) F ( b) που επεκτείνει τον και ικανοποιεί ( a) b K K F ( a) F ( b) F F

Έχουμε μια παραγοντοποίηση f ( ) ( a) g( ) στο F( a)[ ] και άρα ( f ( )) ( b) ( g( )) στο F( b)[ ] Επειδή το K είναι σώμα ριζών του f ( ) πάνω από το F, το K είναι σώμα ριζών του g( ) πάνω από το F( a ) Όμοια το K είναι σώμα ριζών του ( g( )) πάνω από το F( b ) Επειδή deg g( ), η επαγωγική υπόθεση δίνει την ύπαρξη ισομορφισμού : K K που επεκτείνει τον και άρα επεκτείνει τον Θεωρώντας στο λήμμα την ειδική περίπτωση που F F F και : F F είναι η ταυτοτική απεικόνιση F, προκύπτει το εξής Πόρισμα 6 (μοναδικότητα) Κάθε δύο σώματα ριζών του f ( ) F[ ] πάνω από το F είναι ισόμορφα Θεώρημα πρωταρχικού στοιχείου Αν μια επέκταση F K είναι πεπερασμένη, τότε υπάρχουν στοιχεία,, K με K F(,, ) (βλ άσκηση ) Στην περίπτωση που η χαρακτηριστική του F είναι 0 έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα που θα χρησιμοποιηθεί συχνά σε επόμενες ενότητες Θεώρημα 7 (πρωταρχικού στοιχείου) Αν F K είναι πεπερασμένη επέκταση και η χαρακτηριστική του F είναι 0, τότε υπάρχει K με K F( ) Απόδειξη Εφόσον [ K : F ], υπάρχουν,, K με K F(,, ) Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι: αν K F ( a, b), τότε υπάρχει K με K F( ) (Το ζητούμενο προκύπτει από διαδοχική εφαρμογή της ανωτέρω συνεπαγωγής) Έστω ( ) Irr ( a, F ) και q( ) Irr ( b, F ) Έστω a a, a,, am οι ρίζες του ( ) στο L και b b, b,, b οι ρίζες του q( ) στο L, όπου L σώμα ριζών του ( ) q( ) πάνω από το K Τα b j είναι διαφορετικά ανά δύο λόγω της Πρότασης 08 Θεωρούμε τα στοιχεία a a L b b j όπου j Επειδή τα στοιχεία στην () είναι πεπερασμένου πλήθους και το F είναι άπειρο σύνολο (είναι σώμα χαρακτηριστικής 0), υπάρχει c F {0} με c διάφορο από κάθε στοιχείο στη () Θέτουμε a cb () Θα αποδείξουμε ότι F ( a, b) F ( ) Η σχέση F( ) F( a, b) είναι προφανής Αρκεί να δείξουμε ότι a, b F( ) και για τούτο αρκεί να δείξουμε ότι b F( ) λόγω της () Θεωρούμε το πολυώνυμο r( t) ( ct) F( )[ t] Ισχύει r( b) ( cb) ( a) 0 Έτσι το b είναι κοινή ρίζα των πολυωνύμων r( t) F ( )[ t] και q( t) F [ t] F ( )[ t] Επομένως Irr ( b, F ( )) r( t) και Irr ( b, F ( )) q( t) () Ισχυρισμός Τα πολυώνυμα r( t ) και q( t ) έχουν ακριβώς μια κοινή ρίζα στο L Πράγματι, αν L είναι ρίζα του r( t ), το c L είναι ρίζα του ( t ) και άρα για κάποιο s, c a s Αν bt, τότε a cb cbt as και ο ορισμός του c δίνει b Από τον ισχυρισμό, την () και το γεγονός ότι τα b είναι διαφορετικά ανά δύο, έπεται ότι το πολυώνυμο Irr( b, F ( )) είναι πρωτοβάθμιο Άρα b F ( ) Παράδειγμα Έστω F (, 7) Με το συμβολισμό της προηγούμενης απόδειξης έχουμε j 6 ()

7 a b a a b b, a, 7, b 7, 0, 7 Από την απόδειξη έπεται ότι για κάθε c {0, }, δηλαδή για κάθε c {0}, ισχύει 7 (, 7) ( c 7) Για παράδειγμα, μπορούμε να θέσουμε c, οπότε (, 7) ( 7) Σημείωση Το συμπέρασμα του θεωρήματος 7 ισχύει κάτω από ασθενέστερες υποθέσεις Δύο περιπτώσεις είναι οι εξής ) Έστω F K πεπερασμένη επέκταση όπου το F είναι άπειρο σώμα τέτοιο ώστε για κάθε a K το Irr( a, F ) δεν έχει πολλαπλή ρίζα σε οποιοδήποτε σώμα ριζών του Τότε υπάρχει K με K F( ) Η απόδειξη είναι ουσιαστικά ίδια με αυτή που είδαμε ) Έστω F K επέκταση όπου τα F και K είναι πεπερασμένα σώματα Τότε υπάρχει K με K F( ) Αυτό έπεται από το γεγονός ότι η πολλαπλασιαστική ομάδα κάθε πεπερασμένου σώματος είναι κυκλική Θα δούμε μια απόδειξη στην Ενότητα 9 Στο μάθημα θα αποδείξουμε το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galos για α) σώματα ριζών χαρακτηριστικής 0 και β) πεπερασμένα σώματα Στην απόδειξη του α) θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 7 Ιδιότητες σώματος ριζών Έστω K F( a,, a ) σώμα ριζών του f ( ) F[ ] πάνω από το F, όπου f ( ) c( a )( a)( a ), L επέκταση του K και : K L μονομορφισμός σωμάτων τέτοιος ώστε ( c) c για κάθε c F Από f ( a ) 0 παίρνουμε 0 (0) ( f ( a )) f ( ( a )), δηλαδή το ( a ) είναι ρίζα του f ( ) στο L και άρα το ( a ) είναι ένα από τα a,, a Άρα ( K ) K, γιατί κάθε στοιχείο του K έχει τη μορφή h( a,, a ), όπου h(,, ) F[,, ] (βλ Παρατήρηση ) μετά τα Παραδείγματα 6), και ( h( a,, a)) h( ( a ),, ( a)) K Από ( K ) K έπεται ότι ( K ) K αφού [ ( K ) : F] [ K : F ] (η τελευταία ισότητα ισχύει αφού η απεικόνιση είναι μονομορφιμός F -διανυσματικών χώρων) Συνεπώς έχουμε το εξής αποτέλεσμα Λήμμα 8 Έστω K σώμα ριζών του f ( ) F[ ] πάνω από το F, L επέκταση του K και : K L μονομορφισμός σωμάτων τέτοιος ώστε ( c) c για κάθε c F Τότε ( K ) K και άρα ( K ) K Σύμφωνα με τον ορισμό, αν K είναι σώμα ριζών του f ( ) F[ ] πάνω από το F, τότε το f ( ) αναλύεται πλήρως στο K[ ] Θα δούμε τώρα την ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα ιδιότητα ότι κάθε ανάγωγο πολυώνυμο του F[ ] που έχει μια ρίζα στο K αναλύεται πλήρως στο K Δηλαδή ένα ανάγωγο πολυώνυμο του F[ ] ή δεν έχει ρίζα στο K ή αναλύεται πλήρως στο K Θεώρημα 9 Έστω K σώμα ριζών πάνω από το F και ( ) F[ ] ανάγωγο στο F[ ] Αν το ( ) έχει μία ρίζα στο K, τότε το ( ) αναλύεται πλήρως στο K[ ]