Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6 Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. H f είναι αραγωγίσιμη ως ρητή στο IR με Έχουμε λοιόν τον ακόλουθο ίνακα: f () f () f() Άρα: η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) η f έχει ελάχιστο (ολικό) στο Ο(,) Β. Για κάθε IR έχουμε: f () και συνεώς έχουμε τον ακόλουθο ίνακα: f f f () Άρα: f() η f είναι κυρτή στο, Σ.Κ. Σ.Κ. η f είναι κοίλη στα, και,
Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 η f έχει σημεία καμής τα Α,, Β, Β. Η C f δεν έχει κατακόρυφη ασύμτωτη αφού η f είναι συνεχής στο IR. Είσης: lim f() lim lim και lim f() lim lim Συνεώς η f έχει οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία y στο και στο. Πλάγια ασύμτωτη δεν έχει, αφού έχει οριζόντια. Β. Με βάση τα αραάνω έχουμε τον ακόλουθο ίνακα μεταβολών: f () f () f() Σ.Κ. και την ακόλουθη γραφική αράσταση: Σ.Κ. ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω η συνάρτηση f με f() e, IR. H f είναι αραγωγίσιμη στο IR με f () e e f () e. Είναι: ή e e e e εειδή e e e e είναι f (). Έχουμε λοιόν τον ακόλουθο ίνακα: και
Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 f () f() Γ. Αό την σχέση f () e Η f έχει ολικό ελάχιστο για το f(). Άρα ισχύει f() για κάθε IR με την ισότητα να ισχύει μόνο για και συνεώς η εξίσωση f() έχει μοναδική λύση την. έχουμε ισοδύναμα f() e και εειδή (αό ερώτημα Γ) e τελικά έχουμε: f() e Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (,) και δε μηδενίζεται σε αυτό, θα διατηρεί σταθερό ρόσημο. Εομένως: Αν (,) και f() f() e τότε στο διάστημα αυτό είναι Αν (,) και f() τότε στο διάστημα αυτό είναι f() e Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, ) και δε μηδενίζεται σε αυτό, θα διατηρεί σταθερό ρόσημο. Εομένως: Αν (, ) και f() f() e τότε στο διάστημα αυτό είναι Αν (, ) και f() τότε στο διάστημα αυτό είναι f() e Άρα έχουμε τους ακόλουθους συνδυασμούς για τον τύο της f, IR ή f() e f() e e, f() e, ή, IR ή f() e, e, Γ. Για κάθε IR έχουμε f () e e e e Ισχύει ότι: e e e e και εειδή e τελικά έχουμε f () με την ισότητα να ισχύει μόνο για, οότε η f κυρτή στο IR. Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με g() f( ) f() στο [, ). Η g είναι αραγωγίσιμη ως διαφορά και σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο [, ) με g () f ( )( ) f () f ( ) f () Ισχύει f f () f ( ) f ( ) f () [, ) συνεώς η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και "-". Η αρχική εξίσωση λοιόν γίνεται: g:, οότε g () και f ημ f ημ f() f() g ημ g() ημ εειδή αό τη θεωρία γνωρίζουμε ότι ημ να ισχύει μόνο για και για κάθε ισχύει ημ με την ισότητα
Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ΘΕΜΑ Δ Δ. Αό τη σχέση f() f () ημ d ισοδύναμα έχουμε: f() f () ημ d f()ημ d f ()ημ d f()( συν) d f () ημ d f()συν f ()συν d f ()ημ f ()συν d f()συν f()συνf ()ημ f ()ημ f() f() () Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο IR, είναι και συνεχής στο IR, άρα και στο. f() f() Αό τη δοσμένη σχέση lim, θέτουμε g() f() g()ημ με ημ ημ lim g(). Οότε: lim f() lim g()ημ και εειδή η f είναι συνεχής στο τελικά lim f() f() f() Αό την () τελικά έχουμε: f() f() f() f() f() f() f() ημ Για το f () έχουμε: f () lim lim lim lim ημ Δ. α) Έστω ότι η f έχει ακρότατο στη θέση IR. Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο εσωτερικό σημείο IR αό το θεώρημα Fermat έχουμε: f () Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση έχουμε: f() f() e f(f()) e e f () f (f()) f () e, IR f Για γίνεται: e f f (f ) f e e, οότε αό την () έχουμε: f () ΑΤΟΠΟ, διότι f () Άρα η f δεν έχει ακρότατα. β) Εειδή η f δεν έχει ακρότατα στο IR θα ισχύει f () για κάθε IR. Είσης η f είναι συνεχής στο IR, ως αραγωγίσιμη και εομένως η f διατηρεί σταθερό ρόσημο στο IR. Ειλέον εειδή f () άρα f (), οότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. Δ. Εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο IR, έχουμε: f(ir)ir limf(),limf() (, ), δηλαδή lim f() ημ συν ημ συν Ισχύει: f() f() f() f() f() f() Εειδή ημ συν lim lim, αό κριτήριο αρεμβολής lim. f() f() f() ()
Γκύζη -Αθήνα Τηλ :.6.5.777 ln f Δ. Έχουμε: e lnln lne ln f() f(ln) f() f(ln) f(ln) f(ln) To f(ln) f() για e αίρνει τιμή, άρα δεν είναι αντού μηδέν, e e e οότε f(ln) d f(ln) f(ln) Για η f(ln) αίρνει τιμή f(), άρα δεν είναι αντού μηδέν, οότε e e e e f(ln) f(ln) d d d d e e e f(ln ) e f(ln ) f(ln ) d ln d ln e d e f(ln) Άρα τελικά d 5