Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό ν>1; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους με. Δηλδή, ν = ν πράγοντες Ορίζουμε κόμη: 1 = 0 = 1 με 0 ν 1 = με 0 κι ν = 1,, 3,.. ν. Ποιες είνι οι ιδιότητές των δυνάμεων με άση πργμτικό κι εκθέτη κέριο ; Γι δυνάμεις, με εκθέτες γενικά κέριους ριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: μ ν. = μ+ν. δ. ν = ν ν ε. μ ν = μ ν ν = στ. ν γ. ν ν = ( ) ν μ ( ) ν = μ ν Οι ιδιότητες υτές ισχύουν με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζοντι οι δυνάμεις κι οι πράξεις που σημειώνοντι. 3. Τι ονομάζετι τετργωνική ρίζ θετικού ριθμού ; Ονομάζετι τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού κι συμολίζετι με ο θετικός ριθμός x που, ότν υψωθεί στο τετράγωνο, μς δίνει τον ριθμό. Επομένως : = x ν κι μόνο ν x = x, > 0 4. Ποιες είνι οι ιδιότητές των ριζών; Ορίζουμε κόμη 0 = 0 Από τον ορισμό τις τετργωνικής ρίζς ενός ριθμού 0 έχουμε( ) = Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει = Aν 0 κι 0, τότε = Aν 0 κι 0, τότε = 1
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 5. Aν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, = Απόδειξη Είνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη ρνητικοί ριθμοί τότε = =. Έτσι: = ( ) = ( ) ( ) ( ) = = που ισχύει. 6. Aν 0 κι > 0 ν ποδείξετε ότι, = Απόδειξη Είνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη ρνητικοί ριθμοί τότε = =, Έτσι: = ( ) ( ) = = =, που ισχύει. Α. 1. 7. Τι ονομάζετι λγερική πράστση; Ονομάζετι λγερική πράστση κάθε έκφρση που συνδυάζει πράξεις μετξύ ριθμών κι μετλητών. 8. Τι ονομάζετι ριθμητική τιμή λγερικής πράστσης; Ονομάζετι ριθμητική τιμή λγερικής πράστσης ο ριθμός που θ προκύψει ν ντικτστήσουμε τις μετλητές της με ριθμούς κι εκτελέσουμε τις πράξεις. 9. Πότε μι λγερική πράστση ονομάζετι κέρι; Μι λγερική πράστση ονομάζετι κέρι, ότν μετξύ των μετλητών της σημειώνοντι μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι οι εκθέτες των μετλητών της είνι φυσικοί ριθμοί. 10. Τι ονομάζετι μονώνυμο κι πι τ μέρη πό τ οποί ποτελείτι; Ονομάζετι μονώνυμο μι λγερική πράστση στην οποί σημειώνετι μόνο η πράξη του πολλπλσισμού μετξύ ριθμού κι μις ή περισσοτέρων μετλητών. Σε έν μονώνυμο ο ριθμητικός πράγοντς που γράφετι πρώτος ονομάζετι συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μετλητών ονομάζετι κύριο μέρος του μονωνύμου.
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 11. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι όμοι; Ονομάζοντι όμοι δύο ή περισσότερ μονώνυμ που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. 1. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι ίσ κι ποι ντίθετ; Ονομάζοντι ίσ δύο μονώνυμ που έχουν τον ίδιο συντελεστή κι το ίδιο κύριο μέρος. Ονομάζοντι ντίθετ δύο μονώνυμ που έχουν ντίθετο συντελεστή κι το ίδιο κύριο μέρος. 13. Τι ονομάζετι θμός μονωνύμου ως προς μί μετλητή του; Ονομάζετι θμός μονωνύμου ως προς μί μετλητή του ο εκθέτης της μετλητής υτής. 14. Τι ονομάζουμε στθερό κι τι μηδενικό μονώνυμο κι ποιος ο θμός τους; Ονομάζουμε στθερό μονωνύμο κάθε ριθμό κι μηδενικό μονώνυμο τον ριθμό 0. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει θμό ενώ όλ τ άλλ στθερά μονώνυμ είνι μηδενικού θμού. 15. Πως ορίζετι το άθροισμ ομοίων μονωνύμων; Το άθροισμ ομοίων μονωνύμων είνι έν μονώνυμο όμοιο με υτά που έχει συντελεστή το άθροισμ των συντελεστών τους. 16. Τι ονομάζετι νγωγή ομοίων όρων; Ονομάζετι νγωγή ομοίων όρων η πρόσθεση ομοίων μονωνύμων. 17. Πως ορίζετι το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είνι έν μονώνυμο με συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους κι κύριο μέρος γινόμενο όλων των μετλητών τους με εκθέτη κάθε μετλητής το άθροισμ των εκθετών της. Α. 1. 3 18. Τι ονομάζετι πολυώνυμο; Ονομάζετι πολυώνυμο έν άθροισμ μονωνύμων που δεν είνι όμοι. 19. Τι ονομάζετι θμός ενός πολυωνύμου ως προς μί μετλητή του; Ονομάζετι θμός ενός πολυωνύμου ως προς μί μετλητή του ο μεγλύτερος πό τους θμούς των όρων του ως προς την μετλητή υτή. 0. Τι ονομάζουμε στθερό κι τι μηδενικό πολυώνυμο κι ποιος ο θμός τους; Ονομάζουμε στθερό πολυώνυμο κάθε ριθμό κι μηδενικό πολυώνυμο τον ριθμό 0. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει θμό ενώ όλ τ άλλ στθερά πολυώνυμ είνι μηδενικού θμού. Α. 1. 4 1. Πως πολλπλσιάζουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο ;. Πολυώνυμο με πολυώνυμο ; 3
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου Γι ν πολλπλσιάσουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όρων.. Πολυώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όρων. Α. 1. 5. Τι ονομάζετι τυτότητ; Ονομάζετι τυτότητ κάθε ισότητ που περιέχει μετλητές κι επληθεύετι γι κάθε τιμή των μετλητών υτών. 3. Ν ποδείξετε τις τυτότητες: i. ( +) = + + ii. ( ) = + iii. ( + ) 3 = 3 + 3 + 3 + 3 iv. ( ) 3 = 3 3 + 3 3 v. ( )( + ) = vi. 3 3 = ( ) ( + + ) vii. 3 + 3 = ( + ) ( + ) Απόδειξη i. ( + ) = ( + ) ( + ) = + + + = + + ii. ( ) = ( ) ( ) = + = + iii. ( + ) 3 = ( + ) ( + ) = ( + + ) ( + ) = = 3 + + + + + 3 = 3 + 3 + 3 + 3 iv. ( ) 3 = ( ) ( ) = ( + ) ( ) = = 3 + + 3 = 3 3 + 3 3 v. ( ) ( + ) = + vi. ( ) ( + + ) = 3 + + 3 = 3 3 vii. ( + ) ( + ) = 3 + + + 3 = 3 + 3 Α. 1. 6 4. Τι ονομάζετι πργοντοποίηση; Ονομάζετι πργοντοποίηση ενός πολυωνύμου ή γενικότερ μις λγερικής πράστσης η διδικσί μεττροπής της πράστσης σε γινόμενο. 5. Ποιες είνι οι χρκτηριστικές περιπτώσεις πργοντοποίησης; κοινός πράγοντς 4
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου + γ δ = ( + γ δ) Ότν όλοι οι όροι μις πράστσης έχουν κοινό πράγοντ, τότε η πράστση μεττρέπετι σε γινόμενο πργόντων σύμφων με την επιμεριστική ιδιότητ. ομδοποίηση Ότν όλοι οι όροι του πολυωνύμου δεν έχουν κοινό πράγοντ, τους χωρίζουμε σε ομάδες έτσι ώστε: Κάθε ομάδ που δημιουργούμε ν έχει κοινό + γ δ δγ = ( + γ) δ( + γ) = ( + γ )( δ ) πράγοντ, Οι πρστάσεις που μένουν μετά την εξγωγή του κοινού πράγοντ ν είνι ίδιες διφορά τετργώνων Η μέθοδος υτή πργοντοποίησης στηρίζετι στην τυτότητ = ( )( + ), στην = ( )( + ) οποί ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττρέπουμε μι διφορά δύο τελείων τετργώνων σε γινόμενο. άθροισμ ή διφορά κύων Η πργοντοποίηση του θροίσμτος ή της διφοράς δύο κύων σίζετι στις δύο γνωστές μς τυτότητες: ( )( + + ) = 3 3 3 3 = ( )( + + ) ( + )( + ) = 3 + 3 3 + 3 = ( + )( + ) Σε κάθε μι πό τις οποίες ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττρέπουμε τη διφορά ή το άθροισμ δύο κύων σε γινόμενο. νάπτυγμ τετργώνου Αν το πολυώνυμο είνι τριώνυμο κι έχει ή μπορεί ν πάρει τη μορφή: + + ή +, + + = ( + ) τότε θ γίνει ντίστοιχ + = ( ) ( + ) ή ( ), που είνι γινόμεν πργόντων φού : ( + ) = ( + )( + ) κι ( ) =( )( ) Πργοντοποιήσει τριωνύμου της μορφής x + ( + )x + Αν το πολυώνυμο είνι τριώνυμο κι έχει τη μορφή x + ( + )x + έχουμε: x + ( + )x + = x + ( + )x + = (x + ) (x + ) 5
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου x + x + x + = Ομδοποίηση x(x + ) + (x + ) = Κοινός πράγοντς (x + )(x + ) Α. 1. 7 6. Πως ορίζετι η διίρεση δύο Πολυωνύμων; Η διίρεση δύο Πολυωνύμων είνι η διδικσί εκείνη κτά την οποί μς δίνοντι δύο πολυώνυμ Δ(x) (διιρετέος) κι δ(x) (διιρέτης) με δ(x) 0 κι ρίσκουμε έν μονδικό ζεύγος πολυωνύμων π(x) (πηλίκο) κι υ(x) (υπόλοιπο), γι τ οποί ισχύει: Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) (Τυτότητ Ευκλείδεις διίρεσης) Το υ (x) είνι ίσο με μηδέν οπότε η διίρεση λέγετι τέλει κι το δ(x) είνι πράγοντς του Δ(x) ή έχει θμό μικρότερο πό το θμό του δ(x). Α. 1. 8 7. Τι ονομάζετι Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε.Κ.Π.) κι τι Μέγιστος Κοινός Διιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσοτέρων λγερικών πρστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πρώτων πργόντων; Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων λγερικών πρστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πρώτων πργόντων ονομάζετι, το γινόμενο των κοινών κι μη κοινών πργόντων τους με εκθέτη κθενός το μεγλύτερο πό τους εκθέτες του. Μέγιστος Κοινός Διιρέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή περισσοτέρων λγερικών πρστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πρώτων πργόντων ονομάζετι, το γινόμενο των κοινών πργόντων τους με εκθέτη κθενός το μικρότερο πό τους εκθέτες του. Α. 1. 9 8. Πότε μι λγερική πράστση ονομάζετι ρητή; Μι λγερική πράστση ονομάζετι ρητή ότν είνι κλάσμ με όρους πολυώνυμ. 9. Πότε μι λγερική πράστση ορίζετι; Μι λγερική πράστση ορίζετι γι όλες τις τιμές των μετλητών που περιέχει εκτός π υτές που μηδενίζουν τον πρνομστή φού όπως γνωρίζουμε δεν ορίζετι κλάσμ με προνομστή μηδέν. 30. Πότε μι ρητή λγερική πράστση μπορεί ν πλοποιηθεί; Όπως μι ριθμητική πράστση, έτσι κι μι ρητή πράστση, μπορεί ν πλοποιηθεί, ν ο ριθμητής κι ο προνομστής της είνι γινόμεν κι έχουν κοινό πράγοντ. Α. 1. 10 31. Πως κάνουμε πράξεις με ρητές λγερικές πρστάσεις; Γι ν κάνουμε πράξεις με ρητές λγερικές πρστάσεις κολουθούμε τους κνόνες που ισχύουν γι τις πράξεις των κλσμάτων. Δηλδή: 6
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου + γ = + γ κι γ = - γ + γ δ = δ + γ δ κι γ δ = δ - γ δ δ 0 γ δ = γ δ κι : γ δ = δ γ = δ γ γδ 0 γ δ = : γ δ = δ γ = δ γ γδ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ ο ο Εξξιισώσεειιςς Αννιισώσεειιςς Α.. 1 3. Τι ονομάζετι εξίσωση 1 ου θμού με ένν άγνωστο; Ονομάζετι εξίσωση 1 ου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μορφής x + = 0 με 0. Ο λέγετι συντελεστής του γνώστου κι ο στθερός ( ή γνωστός ) όρος. Ρίζ της εξίσωσης ονομάζετι ο ριθμός που ν ντικτστήσει τον χ στην εξίσωση προκύπτει ισότητ που ληθεύει. Επίλυση μις εξίσωσης πρώτου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ρίσκουμε τη λύση της. 33. Πότε η εξίσωση x + = 0 έχει μί λύση πότε είνι δύντη κι πότε όριστη; Αν 0, η εξίσωση x + = Ο έχει μονδική λύση την x = Αν = 0, κι 0 η εξίσωση x + = 0 γράφετι 0 x = κι δεν έχει λύση (δύντη), Αν = 0, κι = 0, η εξίσωση x + = 0 γράφετι 0 x = 0 οπότε κάθε ριθμός είνι λύση της (τυτότητ ή όριστη). Α.. 34. Τι ονομάζετι εξίσωση ου θμού, με ένν άγνωστο ; Ονομάζετι εξίσωση δευτέρου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μορφής x + x + γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0. Οι ριθμοί κι ονομάζοντι συντελεστές του δευτεροθμίου κι πρωτοθμίου όρου ντίστοιχ κι ο ριθμός γ στθερός όρος. Επίλυση μις εξίσωσης δευτέρου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ρίσκουμε τις τιμές του x που την επληθεύουν. 7
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 35. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύση της δευτεροάθμις εξίσωσης x + x +γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0. Απόδειξη Γι την πόδειξη του τύπου υτού θ εφρμόσουμε την μέθοδο «συμπλήρωσης τετργώνου» Γι την εξίσωση λοιπόν x + x + γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0 έχουμε διδοχικά: x + x + γ = 0 4 x + 4x + 4γ = 0 [Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με 4] 4 x + 4x = 4γ [Μετφέρουμε το στθερό όρο στο μέλος] 4 x + 4x + = 4γ [Προσθέτουμε κι στ δύο μέλη της ισότητς το ] (x) + x + = 4γ [Στο μέλος έχουμε το νάπτυγμ του (χ + ) ] (χ + ) = 4γ Την πράστση 4γ ονομάζουμε δικρίνουσ κι την συμολίζουμε με Δ οπότε η εξίσωση (χ + ) = 4γ γράφετι (χ + ) = Δ (i) Αν Δ 0 πό την (i) έχουμε: (χ + ) = ( Δ ) x + = ± x = ± Δ Δ x = ± Δ Αν Δ < 0 ή εξίσωση είνι δύντη φού είνι δύντον ν ισχύει η εξίσωση ( I ) Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης x + x + γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0 δίδοντι πό τον τύπο x = ± Δ κι υπάρχουν μόνο εφ όσον Δ 0 36. Πότε μί εξίσωση δευτέρου θμού:. έχει δύο άνισες ρίζες;. έχει μι διπλή ρίζ ; γ. δεν έχει ρίζες; Η εξίσωση χ + χ + γ = 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς, 0 κι δικρίνουσ Δ = 4γ:. έχει δύο ρίζες άνισες που δίνοντι πό τον τύπο x = ± Δ, ότν Δ > 0. έχει δύο ρίζες ίσες που δίνοντι πό τον τύπο x = γ. δεν έχει ρίζες, ότν Δ < 0, ότν Δ = 0 8
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 37. Πως πργοντοποιείτι το τριώνυμο x + x + γ ότν η εξίσωση x + x + γ = 0 με 0 έχει λύσεις τις ρ 1, ρ ; Αν ρ 1, ρ είνι λύσεις της εξίσωσης x + x + γ = 0 με 0 το τριώνυμο x + x + γ πργοντοποιείτι σύμφων με τον τύπο: x + x + γ = (x ρ 1 ) ( x ρ ) Α.. 4 38. Τι ονομάζετι κλσμτική εξίσωση κι πότε ορίζετι υτή; Ονομάζετι κλσμτική εξίσωση, κάθε εξίσωση που περιέχει άγνωστο στον πρνομστή. Γι ν ορίζετι μι κλσμτική εξίσωση, πρέπει οι πρνομστές των κλσμάτων της ν είνι διάφοροι του μηδενός. Α.. 5 39. Πως συγκρίνουμε( διτάσουμε) δύο πργμτικούς ριθμούς; Αν οι κι είνι δύο πργμτικοί ριθμοί τότε: Λέμε ότι ο είνι μεγλύτερος του κι το συμολίζουμε >, ότν > 0. Λέμε ότι ο είνι μικρότερος του κι το συμολίζουμε <, ότν < 0. Λέμε ότι ο είνι ίσος με τον κι το συμολίζουμε =, ότν = 0. Αντίστροφ Αν > 0, τότε ο είνι μεγλύτερος του. Αν < 0, τότε ο είνι μικρότερο του. Αν = 0, τότε ο είνι ίσος με τον. 40. Τι ονομάζετι νισότητ κι ποι τ χρκτηριστικά της; Η σχέση της μορφής > ( ή < ) ονομάζετι νισότητ με μέλη, πρώτο κι δεύτερο, τ κι ( ή τ κι ) ντίστοιχ. Οι νισότητες < κι γ < δ ( ή > κι γ > δ ) λέγοντι ομοιόστροφες ( έχουν την ίδι φορά ) Οι νισότητες < κι γ > δ ( ή > κι γ < δ ) λέγοντι ετερόστροφες ( έχουν ντίθετη φορά ) Γι ν δηλώσουμε ότι ένς ριθμός είνι τυτόχρον μεγλύτερος του x κι μικρότερος του y, γράφουμε τη «διπλή» νισότητ x < < y. Γι ν δηλώσουμε ότι ένς ριθμός x είνι μεγλύτερος ή ίσος με τον ριθμό, γράφουμε x. 41. Ποιες είνι οι ιδιότητες της διάτξης; Αν προσθέσουμε κι στ δύο μέλη μις νισότητς τον ίδιο ριθμό, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. Δηλδή ν >, τότε + γ > + γ. 9
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου Αν προσθέσουμε κτά μέλη δύο ή περισσότερες νισότητες της ίδις φοράς, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. Δηλδή ν > κι γ > δ, τότε + γ > + δ. Αν πολλπλσιάσουμε ή διιρέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο θετικό ριθμό, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. Δηλδή ν > κι γ > 0, τότε γ > γ κι γ > γ. Αν πολλπλσιάσουμε ή διιρέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο ρνητικό ριθμό, προκύπτει νισότητ ντίθετης φοράς. Δηλδή ν > κι γ < 0, τότε γ < γ κι γ < γ. Αν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη δύο νισότητες που έχουν την ίδι φορά κι θετικά μέλη προκύπτει νισότητ με την ίδι φορά. Δηλδή ν,, γ, δ θετικοί πργμτικοί ριθμοί με > κι γ > δ τότε γ > δ ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 3 ο ο Συσττήμττ Γρμμιικώνν Εξξιισώσεεωνν Α. 3. 1 4. Τι ονομάζετι γρμμική εξίσωση με δύο γνώστους κι τι λύση της; Ονομάζετι γρμμική εξίσωση με δύο γνώστους κάθε εξίσωση της μορφής x + y= γ. Λύση της γρμμική εξίσωση x + y= γ ονομάζετι κάθε ζεύγος ριθμών (x, y) που την επληθεύει. 43. Πως πριστάνετι γρφικά κάθε εξίσωση της μορφής x + y= γ με 0 ή 0 κι τι ισχύει γι υτή; Κάθε εξίσωση της μορφής x + y = γ με 0 ή 0 πριστάνετι γρφικά με μι ευθεί ε έτσι ώστε: Αν έν σημείο νήκει στην ευθεί, ε οι συντετγμένες του επληθεύουν την εξίσωση x + y = γ. Αν οι συντετγμένες ενός σημείου επληθεύουν την εξίσωση x + y = γ το σημείο - νήκει στην ευθεί ε. 44. Τι πριστάνουν οι εξισώσεις;. y = k με k 0. y = 0 γ. x = k με k 0 δ. x = 0 10
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου. Η εξίσωση y = k με k 0 πριστάνει μι ευθεί που είνι πράλληλη στον άξον x x κι τέμνει τον άξον y y στο σημείο (0, k ). Η εξίσωση y = 0 πριστάνει τον άξον x x. γ. Η εξίσωση x = k με k 0 πριστάνει μι ευθεί που είνι πράλληλη στον άξον y y κι τέμνει τον άξον x x στο σημείο (k, 0) δ. Η εξίσωση x = 0 πριστάνει τον άξον y y. 45. Πως ρίσκουμε τις τομές μις ευθείς x + y= γ με 0 κι 0 με τους άξονες x x κι y y; Κάθε σημείο του x x έχει τετγμένη 0, οπότε κι το Α, σημείο τομής της x + y = γ με τον x x, θ έχει τετγμένη y = 0 κι τετμημένη x με x + 0 = γ ή x = γ ή x = γ. Άρ Α( γ, 0) Κάθε σημείο του y y έχει τετμημένη 0, οπότε κι το B, σημείο τομής της x + y = γ με τον y y, θ έχει τετμημένη x = 0 κι τετγμένη y με 0 +y = γ ή y = γ ή y = γ. Άρ B(0, γ ) Α. 3. 46. Τι ονομάζετι;. Γρμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y;. Λύση γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y; γ. Επίλυση γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y;. Ονομάζετι γρμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους έν σύστημ της x + y = γ μορφής, με έν τουλάχιστον πό τ,,, 0. x + y = γ. Ονομάζετι λύση του γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y κάθε ζεύγος (x 0, y 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. γ. Ονομάζετι επίλυση του γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y η διδικσί που κολουθούμε γι ν ρούμε κάθε ζεύγος (x 0, y 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. 47. Πως γίνετι η γρφική επίλυση γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y κι πότε υτό έχει μί λύση, είνι δύντο, είνι όριστο; Γι τη γρφική επίλυση ενός γρμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημ ξόνων τις ευθείες που πριστάνουν τις εξισώσεις του συστήμτος κι: ν τέμνοντι το σύστημ έχει μί λύση τις συντετγμένες του κοινού τους σημείου. 11
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ν είνι πράλληλες δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε το σύστημ δεν έχει λύση κι λέμε ότι είνι δύντο. Αν συμπίπτουν (τυτίζοντι) έχουν όλ τ σημεί τους κοινά κι επομένως το σύστημ έχει άπειρες λύσεις κι λέμε ότι είνι όριστο. ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 4 ο ο Συννρττήσεειιςς Α. 4. 1 48. Τι γνωρίζετι γι την συνάρτηση y = x με > 0; Η γρφική πράστση της συνάρτησης y = x με > 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι προλή. Η προλή που είνι γρφική πράστση της συνάρτησης y = x με > 0 έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) κι ρίσκετι πό τον άξον x x κι πάνω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του x ισχύει y 0. Η συνάρτηση y = x με > 0 πίρνει ελάχιστη τιμή y = 0, ότν x = 0, Γι ντίθετες τιμές του x ντιστοιχεί η ίδι τιμή του y, που σημίνει ότι η προλή y = x με > 0 έχει άξον συμμετρίς τον άξον y y. Ότν η τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της προλή «κλείνει». Α. 4. 1 49. Τι γνωρίζετι γι την συνάρτηση y = x με < 0; Η γρφική πράστση της συνάρτησης y = x με < 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι προλή. Η προλή που είνι γρφική πράστση της συνάρτησης y = x με < 0 έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) κι ρίσκετι πό τον άξον x x κι κάτω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του x ισχύει y 0. Η συνάρτηση y = x με > 0 πίρνει μέγιστη τιμή y = 0, ότν x = 0, Γι ντίθετες τιμές του x ντιστοιχεί η ίδι τιμή του y, που σημίνει ότι η προλή y = x με < 0 έχει άξον συμμετρίς τον άξον y y. Ότν η πόλυτη τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της προλή «κλείνει». Α. 4. 50. Ποι συνάρτηση ονομάζετι τετργωνική; Ονομάζετι τετργωνική κάθε συνάρτηση της μορφής y = x + x + γ με 0. 1
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου 51. Τι γνωρίζετι γι τη συνάρτησης y = x + x + γ με 0; Η γρφική πράστση της συνάρτησης γ = x + x + γ με 0 είνι προλή με: Κορυφή το σημείο Κ(, Δ 4 ) όπου Δ = 4γ Άξον συμμετρίς την κτκόρυφη ευθεί που διέρχετι πό την κορυφή Κ κι έχει εξίσωση x = Αν > 0, η συνάρτηση y = x + x + γ πίρνει ελάχιστη τιμή y = Δ 4 ότν x = Αν < 0, η συνάρτηση y = x + x + γ πίρνει μέγιστη τιμή y = Δ 4 ότν x = ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 5 ο ο Πιιθννόττηττεεςς 5. Τι είνι το σύνολο; Σύνολο είνι κάθε συλλογή ντικειμένων, που κθορίζοντι με πόλυτη σφήνει κι δικρίνοντι το έν πό το άλλο. 53. Πως μπορεί πρστθεί έν σύνολο; Έν σύνολο μπορεί ν πρστθεί με νγρφή ή με περιγρφή των στοιχείων του κι με το διάγρμμ Venn. 54. Πότε δύο σύνολ λέγοντι ίσ; Ίσ ονομάζοντι δύο σύνολ, ότν έχουν τ ίδι κριώς στοιχεί. 55. Πότε έν σύνολο Α ονομάζετι υποσύνολο ενός συνόλου Β; Έν σύνολο Α ονομάζετι υποσύνολο ενός συνόλου Β, ότν κάθε στοιχείο του Α είνι κι στοιχείο του συνόλου Β κι συμολίζετι Α Β. 56. Τι ονομάζετι κενό σύνολο κι πως συμολίζετι ; Ονομάζετι κενό σύνολο το σύνολο που δεν έχει κνέν στοιχείο. Το κενό σύνολο συμολίζετι με. 57. Τι ονομάζετι ένωση δύο συνόλων Α, Β κι πως συμολίζετι; Ένωση δύο συνόλων Α, Β ονομάζετι έν νέο σύνολο που έχει ως στοιχεί τ κοινά κι μη κοινά στοιχεί των δύο συνόλων κι συμολίζετι με Α Β. 58. Τι ονομάζετι τομή δύο συνόλων Α, Β κι πως συμολίζετι; Τομή δύο συνόλων Α, Β ονομάζετι έν νέο σύνολο που έχει ως στοιχεί τ κοινά στοιχεί κι των δύο συνόλων κι συμολίζετι Α Β. 59. Τι ονομάζετι συμπλήρωμ ενός συνόλου Α ως προς έν σικό σύνολο Ω κι πως συμολίζετι; 13
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου Συμπλήρωμ ενός συνόλου Α ως προς έν σικό σύνολο Ω ονομάζετι το σύνολό που έχει όλ τ στοιχεί του Ω που δεν νήκουν στο Α κι συμολίζετι με Α. 60. Τι ονομάζετι πείρμ τύχης; Πείρμ τύχης ονομάζετι κάθε πείρμ που όσες φορές κι ν το επνλάουμε, δεν μπορούμε ν προλέψουμε το ποτέλεσμ του με πόλυτη ειότητ. 61. Τι ονομάζετι δειγμτικός χώρος ενός πειράμτος τύχης κι πως συμολίζετι; Δειγμτικός χώρος ενός πειράμτος τύχης ονομάζετι το σύνολο όλων των δυντών ποτελεσμάτων του κι συμολίζετι με Ω. 6. Τι ονομάζετι ενδεχόμενο ενός πειράμτος τύχης κι πότε υτό πργμτοποιείτι; Ενδεχόμενο ενός πειράμτος τύχης ονομάζετι κάθε υποσύνολο του δειγμτικού χώρου Ω. Έν ενδεχόμενο πργμτοποιείτι, ότν το ποτέλεσμ του πειράμτος σε μι συγκεκριμένη εκτέλεση του είνι στοιχείο του ενδεχομένου. 63. Ποιο ενδεχόμενο ονομάζετι έιο κι ποιο δύντο σε έν πειράμτος τύχης; Βέιο ενδεχόμενο σε έν πείρμ τύχης ονομάζετι το ενδεχόμενο που πργμτοποιείτι σε οποιδήποτε εκτέλεση του πειράμτος. Αδύντο ενδεχόμενο σε έν πείρμ τύχης ονομάζετι το ενδεχόμενο που δεν πργμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειράμτος. 64. Πότε δύο ενδεχόμεν Α κι Β ενός πειράμτος τύχης ονομάζοντι συμίστ; Δύο ενδεχόμεν Α κι Β ενός πειράμτος τύχης ονομάζοντι συμίστ ότν Α Β = 0. 65. Τι ονομάζετι συμπλήρωμ ενός ενδεχομένου Α; Ονομάζετι συμπλήρωμ ενός ενδεχομένου Α το ενδεχόμενο Α που πργμτοποιείτι ότν δεν πργμτοποιείτι το Α. 66. Τι ονομάζετι πιθνότητ P(Α) ενός ενδεχόμενου Α σε έν πείρμ τύχης με ισοπίθν ποτελέσμτ κι ποιες οι ιδιότητες της; Ονομάζετι πιθνότητ ενός ενδεχόμενου Α σε έν πείρμ τύχης με ισοπίθν ποτελέσμτ o ριθμός P( Α) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων = Ν(Α) πλήθος δυντών περιπτώσεων Ν(Ω) Από τον ορισμό της πιθνότητς προκύπτει ότι: P( Ω) = Ν(Ω) = 1 κι P( ) = Ν( ) = 0 Ν(Ω) Ν(Ω) Γι κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγμτικού χώρου Ω ισχύει Ο Ρ(Α) 1. 67. Ποιοι είνι Βσικοί κνόνες λογισμού των πιθνοτήτων; Σ έν πείρμ τύχης Γι οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α ) = 1 Γι οποιδήποτε ενδεχόμεν Α, Β ισχύει Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β). 14