ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ. Η φιλοσοφία είναι ένα παιχνίδι με στόχους και όχι κανόνες. Τα μαθηματικά είναι ένα παιχνίδι με κανόνες και όχι στόχους.

Transcript

1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΑΞΗΣ Η φιλοσοφί είνι έν πιχνίδι με στόχους κι όχι κνόνες. Τ μθημτικά είνι έν πιχνίδι με κνόνες κι όχι στόχους.

2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΕΡΑ)) ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 ο ο Αλγγεειικέέςς Πσττάσεειιςς Α Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πγμτικό κι εκθέτη το φυσικό ν>1; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ιθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πάγοντες ίσους με. Οίζουμε κόμη: 1 = Δηλδή, ν = ν πάγοντες 0 = 1 με 0 ν 1 = με 0 κι ν = 1,, 3,.. ν. Ποιες είνι οι ιδιότητές των δυνάμεων με άση πγμτικό κι εκθέτη κέιο ; ι δυνάμεις, με εκθέτες γενικά κέιους ιθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:. μ ν = μ+ν. δ. ν = ν ν ε. μ ν = μ ν ν = στ. ν γ. ν ν = ( ) ν μ ( ) ν = μ ν Οι ιδιότητες υτές ισχύουν με την ποϋπόθεση ότι κάθε φοά οίζοντι οι δυνάμεις κι οι πάξεις που σημειώνοντι. 3. Τι ονομάζετι τετγωνική ίζ θετικού ιθμού ; Ονομάζετι τετγωνική ίζ ενός θετικού ιθμού κι συμολίζετι με ο θετικός ιθμός x που, ότν υψωθεί στο τετάγωνο, μς δίνει τον ιθμό. Επομένως : = x ν κι μόνο ν x = x, > 0 4. Ποιες είνι οι ιδιότητές των ιζών; Οίζουμε κόμη 0 = 0 Από τον οισμό τις τετγωνικής ίζς ενός ιθμού 0 έχουμε( ) = ι κάθε πγμτικό ιθμό ισχύει = Aν 0 κι 0, τότε = Aν 0 κι 0, τότε =

3 3 5. Aν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, = Απόδειξη Είνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη νητικοί ιθμοί τότε = =. Έτσι: = ( ) = ( ) ( ) ( ) = = που ισχύει. 6. Aν 0 κι > 0 ν ποδείξετε ότι, = Απόδειξη Είνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη νητικοί ιθμοί τότε = =, Έτσι: = ( ) ( ) = = =, που ισχύει. Α Τι ονομάζετι λγεική πάστση; Ονομάζετι λγεική πάστση κάθε έκφση που συνδυάζει πάξεις μετξύ ιθμών κι μετλητών. 8. Τι ονομάζετι ιθμητική τιμή λγεικής πάστσης; Ονομάζετι ιθμητική τιμή λγεικής πάστσης ο ιθμός που θ ποκύψει ν ντικτστήσουμε τις μετλητές της με ιθμούς κι εκτελέσουμε τις πάξεις. 9. Πότε μι λγεική πάστση ονομάζετι κέι; Μι λγεική πάστση ονομάζετι κέι, ότν μετξύ των μετλητών της σημειώνοντι μόνο οι πάξεις της πόσθεσης κι του πολλπλσισμού κι οι εκθέτες των μετλητών της είνι φυσικοί ιθμοί. 10. Τι ονομάζετι μονώνυμο κι πι τ μέη πό τ οποί ποτελείτι; Ονομάζετι μονώνυμο μι λγεική πάστση στην οποί σημειώνετι μόνο η πάξη του πολλπλσισμού μετξύ ιθμού κι μις ή πεισσοτέων μετλητών. Σε έν μονώνυμο ο ιθμητικός πάγοντς που γάφετι πώτος ονομάζετι συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μετλητών ονομάζετι κύιο μέος του μονωνύμου. 11. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι όμοι;

4 4 Ονομάζοντι όμοι δύο ή πεισσότε μονώνυμ που έχουν το ίδιο κύιο μέος. 1. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι ίσ κι ποι ντίθετ; Ονομάζοντι ίσ δύο μονώνυμ που έχουν τον ίδιο συντελεστή κι το ίδιο κύιο μέος. Ονομάζοντι ντίθετ δύο μονώνυμ που έχουν ντίθετο συντελεστή κι το ίδιο κύιο μέος. 13. Τι ονομάζετι θμός μονωνύμου ως πος μί μετλητή του; Ονομάζετι θμός μονωνύμου ως πος μί μετλητή του ο εκθέτης της μετλητής υτής. 14. Τι ονομάζουμε στθεό κι τι μηδενικό μονώνυμο κι ποιος ο θμός τους; Ονομάζουμε στθεό μονωνύμο κάθε ιθμό κι μηδενικό μονώνυμο τον ιθμό 0. Το μηδενικό μονώνυμο δεν έχει θμό ενώ όλ τ άλλ στθεά μονώνυμ είνι μηδενικού θμού. 15. Πως οίζετι το άθοισμ ομοίων μονωνύμων; Το άθοισμ ομοίων μονωνύμων είνι έν μονώνυμο όμοιο με υτά που έχει συντελεστή το άθοισμ των συντελεστών τους. 16. Τι ονομάζετι νγωγή ομοίων όων; Ονομάζετι νγωγή ομοίων όων η πόσθεση ομοίων μονωνύμων. 17. Πως οίζετι το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είνι έν μονώνυμο με συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους κι κύιο μέος γινόμενο όλων των μετλητών τους με εκθέτη κάθε μετλητής το άθοισμ των εκθετών της. Α Τι ονομάζετι πολυώνυμο; Ονομάζετι πολυώνυμο έν άθοισμ μονωνύμων που δεν είνι όμοι. 19. Τι ονομάζετι θμός ενός πολυωνύμου ως πος μί μετλητή του; Ονομάζετι θμός ενός πολυωνύμου ως πος μί μετλητή του ο μεγλύτεος πό τους θμούς των όων του ως πος την μετλητή υτή. 0. Τι ονομάζουμε στθεό κι τι μηδενικό πολυώνυμο κι ποιος ο θμός τους; Ονομάζουμε στθεό πολυώνυμο κάθε ιθμό κι μηδενικό πολυώνυμο τον ιθμό 0. Το μηδενικό πολυώνυμο δεν έχει θμό ενώ όλ τ άλλ στθεά πολυώνυμ είνι μηδενικού θμού. Α Πως πολλπλσιάζουμε:. Μονώνυμο με πολυώνυμο ;. Πολυώνυμο με πολυώνυμο ; ι ν πολλπλσιάσουμε:

5 5. Μονώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όο του πολυωνύμου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όων.. Πολυώνυμο με πολυώνυμο πολλπλσιάζουμε κάθε όο του ενός πολυωνύμου με κάθε όο του άλλου κι στη συνέχει κάνουμε νγωγή ομοίων όων. Α Τι ονομάζετι τυτότητ; Ονομάζετι τυτότητ κάθε ισότητ που πειέχει μετλητές κι επληθεύετι γι κάθε τιμή των μετλητών υτών. 3. Ν ποδείξετε τις τυτότητες: i. ( +) = + + ii. ( ) = + iii. ( + ) 3 = iv. ( ) 3 = v. ( )( + ) = vi. 3 3 = ( ) ( + + ) vii = ( + ) ( + ) Απόδειξη i. ( + ) = ( + ) ( + ) = = + + ii. ( ) = ( ) ( ) = + = + iii. ( + ) 3 = ( + ) ( + ) = ( + + ) ( + ) = = = iv. ( ) 3 = ( ) ( ) = ( + ) ( ) = = = v. ( ) ( + ) = + vi. ( ) ( + + ) = = 3 3 vii. ( + ) ( + ) = = Α Τι ονομάζετι πγοντοποίηση; Ονομάζετι πγοντοποίηση ενός πολυωνύμου ή γενικότε μις λγεικής πάστσης η διδικσί μεττοπής της πάστσης σε γινόμενο. 5. Ποιες είνι οι χκτηιστικές πειπτώσεις πγοντοποίησης; κοινός πάγοντς Ότν όλοι οι όοι μις πάστσης έχουν κοινό πάγοντ, τότε η πάστση μεττέπετι σε γινόμενο πγόντων σύμφων με την επιμειστική ιδιό- + γ δ = ( + γ δ) τητ.

6 6 ομδοποίηση Ότν όλοι οι όοι του πολυωνύμου δεν έχουν κοινό πάγοντ, τους χωίζουμε σε ομάδες έτσι ώστε: Κάθε ομάδ που δημιουγούμε ν έχει κοινό + γ δ δγ = ( + γ) δ( + γ) = ( + γ )( δ ) πάγοντ, Οι πστάσεις που μένουν μετά την εξγωγή του κοινού πάγοντ ν είνι ίδιες διφοά τετγώνων Η μέθοδος υτή πγοντοποίησης στηίζετι στην τυτότητ = ( )( + ), στην = ( )( + ) οποί ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττέπουμε μι διφοά δύο τελείων τετγώνων σε γινόμενο. άθοισμ ή διφοά κύων Η πγοντοποίηση του θοίσμτος ή της διφοάς δύο κύων σίζετι στις δύο γνωστές μς τυτότητες: ( )( + + ) = = ( )( + + ) ( + )( + ) = = ( + )( + ) Σε κάθε μι πό τις οποίες ν ενλλάξουμε τ μέλη μεττέπουμε τη διφοά ή το άθοισμ δύο κύων σε γινόμενο. νάπτυγμ τετγώνου Αν το πολυώνυμο είνι τιώνυμο κι έχει ή μποεί ν πάει τη μοφή: + + ή +, + + = ( + ) τότε θ γίνει ντίστοιχ + = ( ) ( + ) ή ( ), που είνι γινόμεν πγόντων φού : ( + ) = ( + )( + ) κι ( ) =( )( ) Πγοντοποιήσει τιωνύμου της μοφής x + ( + )x + Αν το πολυώνυμο είνι τιώνυμο κι έχει τη μοφή x + ( + )x + έχουμε: x + ( + )x + = x + x + x + = x(x + ) + (x + ) = (x + )(x + ) Α Ομδοποίηση Κοινός πάγοντς x + ( + )x + = (x + ) (x + )

7 7 6. Πως οίζετι η διίεση δύο Πολυωνύμων; Η διίεση δύο Πολυωνύμων είνι η διδικσί εκείνη κτά την οποί μς δίνοντι δύο πολυώνυμ Δ(x) (διιετέος) κι δ(x) (διιέτης) με δ(x) 0 κι ίσκουμε έν μονδικό ζεύγος πολυωνύμων π(x) (πηλίκο) κι υ(x) (υπόλοιπο), γι τ οποί ισχύει: Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) (Τυτότητ Ευκλείδεις διίεσης) Το υ (x) είνι ίσο με μηδέν οπότε η διίεση λέγετι τέλει κι το δ(x) είνι πάγοντς του Δ(x) ή έχει θμό μικότεο πό το θμό του δ(x). Α Τι ονομάζετι Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε.Κ.Π.) κι τι Μέγιστος Κοινός Διιέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή πεισσοτέων λγεικών πστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πώτων πγόντων; Ελάχιστο Κοινό Πολλπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή πεισσοτέων λγεικών πστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πώτων πγόντων ονομάζετι, το γινόμενο των κοινών κι μη κοινών πγόντων τους με εκθέτη κθενός το μεγλύτεο πό τους εκθέτες του. Μέγιστος Κοινός Διιέτης (Μ.Κ.Δ.) δύο ή πεισσοτέων λγεικών πστάσεων που έχουν νλυθεί σε γινόμενο πώτων πγόντων ονομάζετι, το γινόμενο των κοινών πγόντων τους με εκθέτη κθενός το μικότεο πό τους εκθέτες του. Α Πότε μι λγεική πάστση ονομάζετι ητή; Μι λγεική πάστση ονομάζετι ητή ότν είνι κλάσμ με όους πολυώνυμ. 9. Πότε μι λγεική πάστση οίζετι; Μι λγεική πάστση οίζετι γι όλες τις τιμές των μετλητών που πειέχει εκτός π υτές που μηδενίζουν τον πνομστή φού όπως γνωίζουμε δεν οίζετι κλάσμ με πονομστή μηδέν. 30. Πότε μι ητή λγεική πάστση μποεί ν πλοποιηθεί; Όπως μι ιθμητική πάστση, έτσι κι μι ητή πάστση, μποεί ν πλοποιηθεί, ν ο ιθμητής κι ο πονομστής της είνι γινόμεν κι έχουν κοινό πάγοντ. Α Πως κάνουμε πάξεις με ητές λγεικές πστάσεις; ι ν κάνουμε πάξεις με ητές λγεικές πστάσεις κολουθούμε τους κνόνες που ισχύουν γι τις πάξεις των κλσμάτων. Δηλδή: + γ = + γ κι γ = - γ + γ δ = δ + γ δ κι γ δ = δ - γ δ δ 0

8 8 γ δ = γ δ κι : γ δ = δ γ = δ γ γδ 0 γ δ = : γ δ = δ γ = δ γ γδ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ ο ο Εξξιισώσεειιςς Αννιισώσεειιςς Α Τι ονομάζετι εξίσωση 1 ου θμού με ένν άγνωστο; Ονομάζετι εξίσωση 1 ου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μοφής x + = 0 με 0. Ο λέγετι συντελεστής του γνώστου κι ο στθεός ( ή γνωστός ) όος. Ρίζ της εξίσωσης ονομάζετι ο ιθμός που ν ντικτστήσει τον χ στην εξίσωση ποκύπτει ισότητ που ληθεύει. Επίλυση μις εξίσωσης πώτου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ίσκουμε τη λύση της. 33. Πότε η εξίσωση x + = 0 έχει μί λύση πότε είνι δύντη κι πότε όιστη; Αν 0, η εξίσωση x + = Ο έχει μονδική λύση την x = Αν = 0, κι 0 η εξίσωση x + = 0 γάφετι 0 x = κι δεν έχει λύση (δύντη), Αν = 0, κι = 0, η εξίσωση x + = 0 γάφετι 0 x = 0 οπότε κάθε ιθμός είνι λύση της (τυτότητ ή όιστη). Α Τι ονομάζετι εξίσωση ου θμού, με ένν άγνωστο ; Ονομάζετι εξίσωση δευτέου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μοφής x + x + γ = 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς κι 0. Οι ιθμοί κι ονομάζοντι συντελεστές του δευτεοθμίου κι πωτοθμίου όου ντίστοιχ κι ο ιθμός γ στθεός όος. Επίλυση μις εξίσωσης δευτέου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ίσκουμε τις τιμές του x που την επληθεύουν. 35. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύση της δευτεοάθμις εξίσωσης x + x +γ = 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς κι 0. Απόδειξη ι την πόδειξη του τύπου υτού θ εφμόσουμε την μέθοδο «συμπλήωσης τετγώνου» ι την εξίσωση λοιπόν x + x + γ = 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς κι 0 έχουμε διδοχικά:

9 9 x + x + γ = 0 4 x + 4x + 4γ = 0 [Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με 4] 4 x + 4x = 4γ [Μετφέουμε το στθεό όο στο μέλος] 4 x + 4x + = 4γ [Ποσθέτουμε κι στ δύο μέλη της ισότητς το ] (x) + x + = 4γ [Στο μέλος έχουμε το νάπτυγμ του (χ + ) ] (χ + ) = 4γ Την πάστση 4γ ονομάζουμε δικίνουσ κι την συμολίζουμε με Δ οπότε η εξίσωση (χ + ) = 4γ γάφετι (χ + ) = Δ (i) Αν Δ 0 πό την (i) έχουμε: (χ + ) = ( Δ ) x + = ± x = ± Δ Δ x = ± Δ Αν Δ < 0 ή εξίσωση είνι δύντη φού είνι δύντον ν ισχύει η εξίσωση ( I ) Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης x + x + γ = 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς κι 0 δίδοντι πό τον τύπο x = ± Δ κι υπάχουν μόνο εφ όσον Δ Πότε μί εξίσωση δευτέου θμού:. έχει δύο άνισες ίζες;. έχει μι διπλή ίζ ; γ. δεν έχει ίζες; Η εξίσωση χ + χ + γ = 0 με,, γ πγμτικούς ιθμούς, 0 κι δικίνουσ Δ = 4γ:. έχει δύο ίζες άνισες που δίνοντι πό τον τύπο x = ± Δ, ότν Δ > 0. έχει δύο ίζες ίσες που δίνοντι πό τον τύπο x = γ. δεν έχει ίζες, ότν Δ < 0, ότν Δ = Πως πγοντοποιείτι το τιώνυμο x + x + γ ότν η εξίσωση x + x + γ = 0 με 0 έχει λύσεις τις 1, ; Αν 1, είνι λύσεις της εξίσωσης x + x + γ = 0 με 0 το τιώνυμο x + x + γ πγοντοποιείτι σύμφων με τον τύπο: x + x + γ = (x 1 ) ( x ) Α.. 4

10 Τι ονομάζετι κλσμτική εξίσωση κι πότε οίζετι υτή; Ονομάζετι κλσμτική εξίσωση, κάθε εξίσωση που πειέχει άγνωστο στον πνομστή. ι ν οίζετι μι κλσμτική εξίσωση, πέπει οι πνομστές των κλσμάτων της ν είνι διάφοοι του μηδενός. Α Πως συγκίνουμε( διτάσουμε) δύο πγμτικούς ιθμούς; Αν οι κι είνι δύο πγμτικοί ιθμοί τότε: Λέμε ότι ο είνι μεγλύτεος του κι το συμολίζουμε >, ότν > 0. Λέμε ότι ο είνι μικότεος του κι το συμολίζουμε <, ότν < 0. Λέμε ότι ο είνι ίσος με τον κι το συμολίζουμε =, ότν = 0. Αντίστοφ Αν > 0, τότε ο είνι μεγλύτεος του. Αν < 0, τότε ο είνι μικότεο του. Αν = 0, τότε ο είνι ίσος με τον. 40. Τι ονομάζετι νισότητ κι ποι τ χκτηιστικά της; Η σχέση της μοφής > ( ή < ) ονομάζετι νισότητ με μέλη, πώτο κι δεύτεο, τ κι ( ή τ κι ) ντίστοιχ. Οι νισότητες < κι γ < δ ( ή > κι γ > δ ) λέγοντι ομοιόστοφες ( έχουν την ίδι φοά ) Οι νισότητες < κι γ > δ ( ή > κι γ < δ ) λέγοντι ετεόστοφες ( έχουν ντίθετη φοά ) ι ν δηλώσουμε ότι ένς ιθμός είνι τυτόχον μεγλύτεος του x κι μικότεος του y, γάφουμε τη «διπλή» νισότητ x < < y. ι ν δηλώσουμε ότι ένς ιθμός x είνι μεγλύτεος ή ίσος με τον ιθμό, γάφουμε x. 41. Ποιες είνι οι ιδιότητες της διάτξης; Αν ποσθέσουμε κι στ δύο μέλη μις νισότητς τον ίδιο ιθμό, ποκύπτει νισότητ της ίδις φοάς. Δηλδή ν >, τότε + γ > + γ. Αν ποσθέσουμε κτά μέλη δύο ή πεισσότεες νισότητες της ίδις φοάς, ποκύπτει νισότητ της ίδις φοάς. Δηλδή ν > κι γ > δ, τότε + γ > + δ. Αν πολλπλσιάσουμε ή διιέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο θετικό ιθμό, ποκύπτει νισότητ της ίδις φοάς. Δηλδή ν > κι γ > 0, τότε γ > γ κι γ > γ.

11 11 Αν πολλπλσιάσουμε ή διιέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο νητικό ιθμό, ποκύπτει νισότητ ντίθετης φοάς. Δηλδή ν > κι γ < 0, τότε γ < γ κι γ < γ. Αν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη δύο νισότητες που έχουν την ίδι φοά κι θετικά μέλη ποκύπτει νισότητ με την ίδι φοά. Δηλδή ν,, γ, δ θετικοί πγμτικοί ιθμοί με > κι γ > δ τότε γ > δ ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 3 ο ο Συσττήμττ μμιικώνν Εξξιισώσεεωνν Α Τι ονομάζετι γμμική εξίσωση με δύο γνώστους κι τι λύση της; Ονομάζετι γμμική εξίσωση με δύο γνώστους κάθε εξίσωση της μοφής x + y= γ. Λύση της γμμική εξίσωση x + y= γ ονομάζετι κάθε ζεύγος ιθμών (x, y) που την επληθεύει. 43. Πως πιστάνετι γφικά κάθε εξίσωση της μοφής x + y= γ με 0 ή 0 κι τι ισχύει γι υτή; Κάθε εξίσωση της μοφής x + y = γ με 0 ή 0 πιστάνετι γφικά με μι ευθεί ε έτσι ώστε: Αν έν σημείο νήκει στην ευθεί, ε οι συντετγμένες του επληθεύουν την εξίσωση x + y = γ. Αν οι συντετγμένες ενός σημείου επληθεύουν την εξίσωση x + y = γ το σημείο - νήκει στην ευθεί ε. 44. Τι πιστάνουν οι εξισώσεις;. y = k με k 0. y = 0 γ. x = k με k 0 δ. x = 0. Η εξίσωση y = k με k 0 πιστάνει μι ευθεί που είνι πάλληλη στον άξον x x κι τέμνει τον άξον y y στο σημείο (0, k ). Η εξίσωση y = 0 πιστάνει τον άξον x x. γ. Η εξίσωση x = k με k 0 πιστάνει μι ευθεί που είνι πάλληλη στον άξον y y κι τέμνει τον άξον x x στο σημείο (k, 0) δ. Η εξίσωση x = 0 πιστάνει τον άξον y y. 45. Πως ίσκουμε τις τομές μις ευθείς x + y= γ με 0 κι 0 με τους άξονες x x κι y y; Κάθε σημείο του x x έχει τετγμένη 0, οπότε κι το Α, σημείο τομής της x + y = γ με τον

12 1 x x, θ έχει τετγμένη y = 0 κι τετμημένη x με x + 0 = γ ή x = γ ή x = γ. Ά Α( γ, 0) Κάθε σημείο του y y έχει τετμημένη 0, οπότε κι το B, σημείο τομής της x + y = γ με τον y y, θ έχει τετμημένη x = 0 κι τετγμένη y με 0 +y = γ ή y = γ ή y = γ. Ά B(0, γ ) Α Τι ονομάζετι;. μμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y;. Λύση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y; γ. Επίλυση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y;. Ονομάζετι γμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο γνώστους έν σύστημ της x + y = γ μοφής, με έν τουλάχιστον πό τ,,, 0. x + y = γ. Ονομάζετι λύση του γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y κάθε ζεύγος (x 0, y 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. γ. Ονομάζετι επίλυση του γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y η διδικσί που κολουθούμε γι ν ούμε κάθε ζεύγος (x 0, y 0 ) που επληθεύει τις εξισώσεις του. 47. Πως γίνετι η γφική επίλυση γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y κι πότε υτό έχει μί λύση, είνι δύντο, είνι όιστο; ι τη γφική επίλυση ενός γμμικού συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους x κι y σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημ ξόνων τις ευθείες που πιστάνουν τις εξισώσεις του συστήμτος κι: ν τέμνοντι το σύστημ έχει μί λύση τις συντετγμένες του κοινού τους σημείου. ν είνι πάλληλες δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε το σύστημ δεν έχει λύση κι λέμε ότι είνι δύντο. Αν συμπίπτουν (τυτίζοντι) έχουν όλ τ σημεί τους κοινά κι επομένως το σύστημ έχει άπειες λύσεις κι λέμε ότι είνι όιστο. ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 4 ο ο Συννττήσεειιςς Α Τι γνωίζετι γι την συνάτηση y = x με > 0; Η γφική πάστση της συνάτησης y = x με > 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι πολή. Η πολή που είνι γφική πάστση της συνάτησης y = x με > 0 έχει κουφή το σημείο Ο(0, 0) κι ίσκετι πό τον άξον x x κι πάνω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του x ισχύει y 0.

13 13 Η συνάτηση y = x με > 0 πίνει ελάχιστη τιμή y = 0, ότν x = 0, ι ντίθετες τιμές του x ντιστοιχεί η ίδι τιμή του y, που σημίνει ότι η πολή y = x με > 0 έχει άξον συμμετίς τον άξον y y. Ότν η τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της πολή «κλείνει». Α Τι γνωίζετι γι την συνάτηση y = x με < 0; Η γφική πάστση της συνάτησης y = x με < 0 είνι μι κμπύλη που ονομάζετι πολή. Η πολή που είνι γφική πάστση της συνάτησης y = x με < 0 έχει κουφή το σημείο Ο(0, 0) κι ίσκετι πό τον άξον x x κι κάτω, που σημίνει ότι γι οποιδήποτε τιμή του x ισχύει y 0. Η συνάτηση y = x με > 0 πίνει μέγιστη τιμή y = 0, ότν x = 0, ι ντίθετες τιμές του x ντιστοιχεί η ίδι τιμή του y, που σημίνει ότι η πολή y = x με < 0 έχει άξον συμμετίς τον άξον y y. Ότν η πόλυτη τιμή του υξάνετι, τότε το «άνοιγμ» της πολή «κλείνει». Α Ποι συνάτηση ονομάζετι τετγωνική; Ονομάζετι τετγωνική κάθε συνάτηση της μοφής y = x + x + γ με Τι γνωίζετι γι τη συνάτησης y = x + x + γ με 0; Η γφική πάστση της συνάτησης γ = x + x + γ με 0 είνι πολή με: Κουφή το σημείο Κ(, Δ 4 ) όπου Δ = 4γ Άξον συμμετίς την κτκόυφη ευθεί που διέχετι πό την κουφή Κ κι έχει εξίσωση x = Αν > 0, η συνάτηση y = x + x + γ πίνει ελάχιστη τιμή y = Δ 4 ότν x = Αν < 0, η συνάτηση y = x + x + γ πίνει μέγιστη τιμή y = Δ 4 ότν x = ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 5 ο ο Πιιθννόττηττεεςς 5. Τι είνι το σύνολο; Σύνολο είνι κάθε συλλογή ντικειμένων, που κθοίζοντι με πόλυτη σφήνει κι δικίνοντι το έν πό το άλλο. 53. Πως μποεί πστθεί έν σύνολο; Έν σύνολο μποεί ν πστθεί με νγφή ή με πειγφή των στοιχείων του κι με το διάγμμ Venn.

14 Πότε δύο σύνολ λέγοντι ίσ; Ίσ ονομάζοντι δύο σύνολ, ότν έχουν τ ίδι κιώς στοιχεί. 55. Πότε έν σύνολο Α ονομάζετι υποσύνολο ενός συνόλου ; Έν σύνολο Α ονομάζετι υποσύνολο ενός συνόλου, ότν κάθε στοιχείο του Α είνι κι στοιχείο του συνόλου κι συμολίζετι Α. 56. Τι ονομάζετι κενό σύνολο κι πως συμολίζετι ; Ονομάζετι κενό σύνολο το σύνολο που δεν έχει κνέν στοιχείο. Το κενό σύνολο συμολίζετι με. 57. Τι ονομάζετι ένωση δύο συνόλων Α, κι πως συμολίζετι; Ένωση δύο συνόλων Α, ονομάζετι έν νέο σύνολο που έχει ως στοιχεί τ κοινά κι μη κοινά στοιχεί των δύο συνόλων κι συμολίζετι με Α. 58. Τι ονομάζετι τομή δύο συνόλων Α, κι πως συμολίζετι; Τομή δύο συνόλων Α, ονομάζετι έν νέο σύνολο που έχει ως στοιχεί τ κοινά στοιχεί κι των δύο συνόλων κι συμολίζετι Α. 59. Τι ονομάζετι συμπλήωμ ενός συνόλου Α ως πος έν σικό σύνολο Ω κι πως συμολίζετι; Συμπλήωμ ενός συνόλου Α ως πος έν σικό σύνολο Ω ονομάζετι το σύνολό που έχει όλ τ στοιχεί του Ω που δεν νήκουν στο Α κι συμολίζετι με Α. 60. Τι ονομάζετι πείμ τύχης; Πείμ τύχης ονομάζετι κάθε πείμ που όσες φοές κι ν το επνλάουμε, δεν μποούμε ν πολέψουμε το ποτέλεσμ του με πόλυτη ειότητ. 61. Τι ονομάζετι δειγμτικός χώος ενός πειάμτος τύχης κι πως συμολίζετι; Δειγμτικός χώος ενός πειάμτος τύχης ονομάζετι το σύνολο όλων των δυντών ποτελεσμάτων του κι συμολίζετι με Ω. 6. Τι ονομάζετι ενδεχόμενο ενός πειάμτος τύχης κι πότε υτό πγμτοποιείτι; Ενδεχόμενο ενός πειάμτος τύχης ονομάζετι κάθε υποσύνολο του δειγμτικού χώου Ω. Έν ενδεχόμενο πγμτοποιείτι, ότν το ποτέλεσμ του πειάμτος σε μι συγκεκιμένη εκτέλεση του είνι στοιχείο του ενδεχομένου. 63. Ποιο ενδεχόμενο ονομάζετι έιο κι ποιο δύντο σε έν πειάμτος τύχης; έιο ενδεχόμενο σε έν πείμ τύχης ονομάζετι το ενδεχόμενο που πγμτοποιείτι σε οποιδήποτε εκτέλεση του πειάμτος. Αδύντο ενδεχόμενο σε έν πείμ τύχης ονομάζετι το ενδεχόμενο που δεν πγμτοποιείτι σε κμιά εκτέλεση του πειάμτος. 64. Πότε δύο ενδεχόμεν Α κι ενός πειάμτος τύχης ονομάζοντι συμίστ; Δύο ενδεχόμεν Α κι ενός πειάμτος τύχης ονομάζοντι συμίστ ότν Α = Τι ονομάζετι συμπλήωμ ενός ενδεχομένου Α;

15 15 Ονομάζετι συμπλήωμ ενός ενδεχομένου Α το ενδεχόμενο Α που πγμτοποιείτι ότν δεν πγμτοποιείτι το Α. 66. Τι ονομάζετι πιθνότητ P(Α) ενός ενδεχόμενου Α σε έν πείμ τύχης με ισοπίθν ποτελέσμτ κι ποιες οι ιδιότητες της; Ονομάζετι πιθνότητ ενός ενδεχόμενου Α σε έν πείμ τύχης με ισοπίθν ποτελέσμτ o ιθμός P( Α) = πλήθος ευνοϊκών πειπτώσεων = Ν(Α) πλήθος δυντών πειπτώσεων Ν(Ω) Από τον οισμό της πιθνότητς ποκύπτει ότι: P( Ω) = Ν(Ω) = 1 κι P( ) = Ν( ) = 0 Ν(Ω) Ν(Ω) ι κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγμτικού χώου Ω ισχύει Ο Ρ(Α) Ποιοι είνι σικοί κνόνες λογισμού των πιθνοτήτων; Σ έν πείμ τύχης ι οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α ) = 1 ι οποιδήποτε ενδεχόμεν Α, ισχύει Ρ(Α ) + Ρ(Α ) = Ρ(Α) + Ρ(). ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ((ΕΩΜΕΤΡΙΙΑ --ΤΡΙΙΩΝΟΜΕΤΡΙΙΑ)) ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 ο ο εεωμεεττίί Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; A Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά σημεί τ οποί συνδέοντι με ευθύγμμ τμήμτ. Τ κύι στοιχεί ενός τιγώνου είνι, οι πλευές του κι οι γωνίες του Πλευές του τιγώνου ονομάζοντι τ ευθύγμμ τμήμτ που συνδέουν τις κουφές του. ωνίες του τιγώνου ονομάζοντι οι γωνίες που οίζοντι πό τις πλευές του. 69. Ποι είνι τ είδη των τιγώνων ως πος τις πλευές, κι ως πος τις γωνίες τους; Έν τίγωνο που εξετάζετι ως πος τις πλευές του λέγετι: σκληνό, ν οι πλευές του είνι άνισες, ισοσκελές, ν δύο πλευές του είνι ίσες, ισόπλευο, ν κι οι τεις πλευές του είνι ίσες. A σκληνό γ Α ισοσκελές A ισόπλευο Α οθογώνιο

16 16 Έν τίγωνο που εξετάζετι ως πος τις γωνίες του λέγετι: οξυγώνιο, ν όλες του οι γωνίες είνι οξείες, οθογώνιο, ν μί γωνί του είνι οθή, μλυγώνιο, ν μί γωνί του είνι μλεί. Ισογώνιο ν όλες οι γωνίες του είνι ίσες 70. Τι ονομάζετι διάμεσος, διχοτόμος, ύψος, τιγώνου. Διάμεσος ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που συνδέει μι κουφή του με το μέσο της πένντι πλευάς.κάθε τίγωνο Α έχει τεις διάμεσους που συμολίζοντι μ, μ, μ γ ντίστοιχ κι διέχοντι το ίδιο σημείο. Διχοτόμος μις γωνίς ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που συνδέει την κουφή της γωνίς με την πένντι πλευά κι διχοτομεί τη γωνί υτή. Α Α οξυγώνιο Κάθε τίγωνο Α έχει τεις διχοτόμους που συμολίζοντι δ, δ, δ γ ντίστοιχ κι διέχοντι πό το ίδιο σημείο. Ύψος ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που φένουμε πό μι κουφή του κάθετο πος την ευθεί της πένντι πλευάς. Κάθε τίγωνο Α έχει τί ύψη που συμολίζοντι υ, υ, υ γ ντίστοιχ κι διέχοντι το ίδιο σημείο. 71. Πότε δύο τίγων λέγοντι ίσ ; Δύο τίγων λέγοντι ίσ, ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες κι τις ομόλογες πλευές τους ( πλευές πένντι πό ίσες γωνίες ) ίσες μί πος μί. Έτσι ν τ τίγων Α κι ΔΕΖ είνι ίσ τότε: Α = Δ$ $ = Ε$ $ = Ζ$ ωνίες 7. Πότε δύο τίγων είνι ίσ; ( Κιτήι ισότητς τιγώνων) Κιτήιο (Π. Π. Π.) A=ΔΕ = ΕΖ Ομόλογες πλευές Α = ΔΖ >90 μλυγώνιο A Ζ Ζ Α δ δ Α μ Α Η μ υ υ Ο = Κ δ Ε Ε Μ γ υ γ Ε μ γ ισογώνιο Ζ

17 17 Δύο τίγων είνι ίσ, ότν οι τεις πλευές του ενός είνι ίσες με τις τεις πλευές του άλλου μί A πος μί. = Τ τίγων Α κι ΔΕΖ έχουν: A = ΔΕ Ε Ζ = ΕΖ Α = ΔΖ οπότε είνι Κιτήιο ( Π.. Π. ) Α = ΔΕΖ Δύο τίγων είνι ίσ ότν οι δύο πλευές κι η πειεχόμενη σ υτές γωνί του ενός είνι ίσες με τις δύο πλευές κι την πειεχόμενη σ υτές γωνί του άλλου ντίστοιχ. Τ τίγων Α κι ΔΕΖ έχουν: A = ΔΕ Α = ΔΖ Α $ = Δ$ Κιτήιο (Π...) οπότε είνι Α = ΔΕΖ Δύο τίγων είνι ίσ, ότν η μί πλευά κι οι ποσκείμενες σ υτήν γωνίες του ενός είνι ίσες με την μί πλευά κι τις ποσκείμενες σ υτήν γωνίες του άλλου ντίστοιχ. Τ τίγων Α κι ΔΕΖ έχουν: = ΕΖ $ = Ε$ $ = Ζ$ οπότε είνι Α = ΔΕΖ 73. Πότε δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ; ( Κιτήι ισότητς οθογωνίων τιγώνων ) Δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν οι δύο κάθετες πλευές του ενός είνι ίσες με τις δύο κάθετες πλευές του άλλου. Τ τίγων Α κι Α έχουν : A = Ε Ζ A = Ε Ζ o A = A = 90 Α = Α Α = Α οπότε είνι Α = Α Α Α

18 18 Δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί κάθετη πλευά του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μι κάθετη πλευά του άλλου. Τ τίγων Α κι Α έχουν : A =A = 90 Α = Α = οπότε είνι Α = o Α Α Α Δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευά κι η ποσκείμενη της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με τη μί κάθετη πλευά κι την ποσκείμενη της οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων Α κι Α έχουν: o A =A = 90 1 Α = Α οπότε είνι Α = $ = $ Α Α Α Δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευά κι η πένντι της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την μί κάθετη πλευά κι την πένντι της οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων Α κι Α έχουν: o A =A = 90 Α = Α $ = $ οπότε είν Α = Α Α Α Δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων Α κι Α έχουν: o A =A = 90 = $ = $ οπότε είνι Α = Α 74. Ποι είνι η χκτηιστική ιδιότητ των σημείων της μεσοκθέτου ευθυγάμμου τμήμτος ; Α Α

19 19 Κάθε σημείο της μεσοκθέτου ευθυγάμμου τμήμτος ισπέχει πό τ άκ του. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τ άκ ενός ευθυγάμμου τμήμτος είνι σημείο της μεσοκθέτου του ευθυγάμμου τμήμτος. 75. Ποι είνι η χκτηιστική ιδιότητ των σημείων της διχοτόμου μις γωνίς; Κάθε σημείο της διχοτόμου μις γωνίς ισπέχει πό τις πλευές της γωνίς. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τις πλευές μις γωνίς είνι σημείο της διχοτόμου της. 76. Ν ποδείξετε ότι ν πό το μέσο μις πλευάς ενός τιγώνου φέουμε πάλληλη πος μί άλλη πλευά του, υτή διέχετι κι πό το μέσο της τίτης πλευάς. Απόδειξη Θεωούμε τίγωνο Α κι το σημείο Μ μέσο της πλευάς του Α. Από το Μ φέουμε πάλληλη πος την που τέμνει την Α στο σημείο Ν. Θ δείξουμε ότι ΑΝ = Ν. Από το σημείο Α φένουμε μι οηθητική ευθεί ε //. Οι πάλληλες ευθείες ε, ΜΝ κι οίζουν ίσ τμήμτ στην Α, ά θ οίζουν ίσ τμήμτ κι στην Α. Επομένως ΑΝ = Ν Τι ονομάζετι λόγος δύο ευθυγάμμων τμημάτων κι με τι ισούτι; Λόγος ενός ευθύγμμου τμήμτος Δ πος το ευθύγμμο τμήμ Α, που συμολίζετι Δ, ονομάζετι ο ιθμός λ γι τον οποίο ισχύει Δ = λ Α. Α Ο λόγος δύο ευθυγάμμων τμημάτων ισούτι με το λόγο των μηκών τους εφόσον έχουν μετηθεί με την ίδι μονάδ μέτησης. 78. Πότε τ ευθύγμμ τμήμτ, γ είνι νάλογ πος τ ευθύγμμ τμήμτ, δ; Τ ευθύγμμ τμήμτ, γ είνι νάλογ πος τ ευθύγμμ τμήμτ κι δ ότν ισχύει = γ δ ε B M A N Η ισότητ = γ δ ονομάζετι νλογί με όους τ ευθύγμμ τμήμτ,, γ, δ. Τ ευθύγμμ τμήμτ, δ ονομάζοντι άκοι όοι, ενώ τ ευθύγμμ τμήμτ, γ ο- νομάζοντι μέσοι όοι της νλογίς. 79. Ποιες είνι οι σημντικότεες ιδιότητες των νλογιών ; Σε μι νλογί με όους τ ευθύγμμ τμήμτ,, γ, δ εφμόζουμε τις ιδιότητες των νλογιών που ισχύουν κι στους ιθμούς χησιμοποιώντς τ μήκη των ευθυγάμμων τμημάτων. Οι σημντικότεες πό τις ιδιότητες υτές είνι:

20 0 Σε κάθε νλογί το γινόμενο των ά- κων όων είνι ίσο με το γινόμενο των μέσων όων. Σε κάθε νλογί μποούμε ν ενλλάξουμε τους μέσους ή τους άκους όους κι ν ποκύψει πάλι νλογί. Λόγοι ίσοι μετξύ τους είνι κι ίσοι με το λόγο που έχει ιθμητή το άθοισμ των ιθμητών κι πονομστή το ά- θοισμ των πονομστών. 80. Ν διτυπώσετε το θεώημ του Θλή κι τις πότση που ποκύπτουν πό υτό γι έν τίγωνο. Ότν πάλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τ τμήμτ που οίζοντι στη μι είνι νάλογ πος τ ντίστοιχ τμήμτ της άλλης. Δηλδή ν ε 1 // ε // ε 3 τότε Α Α = = Α Α Κάθε πάλληλη πος μι πλευά τιγώνου χωίζει τις άλλες πλευές του, σε ίσους λόγους. Δηλδή ν ΔΕ // τότε ΑΔ = ΑΕ Δ Ε Αντίστοφ: Αν μι ευθεί που τέμνει δύο πλευές τιγώνου τις χωίζει σε ίσους λόγους, είνι πάλληλη πος την τίτη πλευά. Δηλδή ν ΑΔ = ΑΕ Δ Ε τότε ΔΕ // 81. Τι ονομάζετι ομοιόθετο ενός σημείου Α με κέντο ομοιοθεσίς δοσμένο σημείο Ο κι λόγο ομοιοθεσίς τον ιθμό λ ; Ονομάζετι ομοιόθετο ενός σημείου Α με κέντο ομοιοθεσίς δοσμένο σημείο Ο κι λόγο ομοιοθεσίς τον ιθμό λ το σημείο Α της ημιευθείς ΟΑ γι το οποίο ισχύει ΟΑ = λ ΟΑ. 8. Ποιες είνι οι ιδιότητες δύο ομοιόθετων πολυγώνων Π κι Π ; Δύο ομοιόθετ πολύγων έχουν τις πλευές τους νάλογες κι τις ντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Αν Αν = γ τότε δ = γ δ = γ δ γ τότε = ή = δ γ δ γ Αν = δ γ + γ τότε = = δ + δ ε 1 Α Α ε ε 3 B B A A δ ζ Ε Ε

21 1 Οι νάλογες πλευές δύο ομοιόθετων πολυγώνων που δε ίσκοντι στην ίδι ευθεί είνι πάλληλες. Αν το πολύγωνο Π είνι ομοιόθετο του Π με λόγο λ τότε το Π είνι: μεγέθυνση του Π, ότν λ > 1 σμίκυνση του Π, ότν 0 < λ < 1 κι ίσο με το Π, ότν λ = Πότε δύο πολύγων λέγοντι όμοι; Δύο πολύγων λέγοντι όμοι, ότν το έν είνι μεγέθυνση ή σμίκυνση του άλλου. Αυτό σημίνει ότι έχουν τις γωνίες τους ίσες μί πος μί κι τις ομόλογες(ντίστοιχες ) πλευές τους νάλογες. Έτσι τ πολύγων ΑΔΕ κι ΟΚΛΜΝ που έχουν, $Α = Ο $, $ = Κ, $ = Λ $, Δ $ = Μ, Ε $ = Ν κι Α Δ ΔΕ ΕΑ = = = = = λ ΟΚ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΟ είνι όμοι. Το λ ονομάζετι λόγος ομοιότητς. 84. Ποιες ποτάσεις ποκύπτουν πό τον οισμό της ομοιότητ δύο πολυγώνων; Από τον οισμό της ομοιότητς δύο πολυγώνων ποκύπτουν οι επόμενες ποτάσεις. Δύο κνονικά πολύγων με τον ίδιο ιθμό πλευών είνι όμοι μετξύ τους. Δύο ίσ πολύγων είνι κι όμοι, με λόγο ομοιότητς 1. Κάθε πολύγωνο είνι όμοιο με τον ευτό του. Δύο πολύγων όμοι πος τίτο είνι κι όμοι μετξύ τους. 85. Πότε δύο τίγων λέγοντι όμοι; Δύο τίγων λέγοντι όμοι ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες μί πος μί κι τις ομόλογες (ντίστοιχες ) πλευές τους νάλογες. Δηλδή A B Ο Κ A Λ Ν Ε Μ ν Α ΔΕΖ, τότε $Α = Δ $, $ = Ε $, $ = Ζ $ Α Α κι = = ΔΕ ΕΖ ΔΖ B Ο λόγος των ντιστοίχων (ομολόγων) πλευών τους ονομάζετι λόγος ομοιότητς κι συμολί- Ε Ζ ζετι με λ. 86. Πότε δύο τίγων είνι όμοι; (Κιτήιο ομοιότητς τιγώνων) A B

22 Δύο τίγων είνι όμοι, ότν δύο γωνίες του ενός είνι ίσες με δύο γωνίες του άλλου μί πος μί. Aν δηλδή τ τίγων Α κι ΔΕΖ έχουν $Α = $Δ, $ = Ε $, τότε Α ΔΕΖ,, κι επομένως $ = Ζ $ κι Α Α = = ΔΕ ΕΖ ΔΖ 87. Με τι ισούτι ο λόγος των εμδών δύο ομοίων σχημάτων; Ο λόγος των εμδών δύο ομοίων σχημάτων είνι ίσος με το τετάγωνο του λόγου ομοιότητς τους. ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 ο ο Τιιγγωννομεεττίί Πως οίζοντι οι τιγωνομετικοί ιθμοί μις οποισδήποτε γωνίς; Έστω ω (0 ω 180 )η γωνί που πάγετι πό τον ημιάξον Οx, ότν υτός στφεί κτά τη θετική φοά. Ε Ζ Aν πάουμε έν οποιοδήποτε σημείο Μ( x, y ) με xom = ω κι ΟΜ = = x + y τότε οίζουμε: y ημω = x συνω = M(x, y) y ω y εφω = x x Ο y x Το ημω κι συνω πίνουν τιμές πό το 1 έως το +1. Είνι δηλδή 1 ημω 1 κι 1 συνω 1 Η εφω πίνει οποιδήποτε τιμή. Aν το Μ(x, y) ίσκετι στο 1 ο τεττημόιο, τότε ημω> 0, συνω>0, εφω>0 Aν το Μ(x, y) ίσκετι στο ο τεττημόιο, τότε ημω> 0, συνω<0, εφω<0 89. Ποιοι οι τιγωνομετικοί ιθμοί μις γωνίς ω = 0 ή ω = 90 ή ω = 180 ; Αν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Οx π.χ. το Μ(1,0), τότε ω = xom = 0 κι = ΟΜ=1 οπότε έχουμε: ημ0 = y = 0 1 = 0 y συν0 = x = 1 1 = 1 x O y M(1,0) x

23 3 y εφ0 = x = 0 1 = 0 Αν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Οy π.χ. το Μ(0, 1), τότε ω = xom = 90 κι = ΟΜ=1 οπότε έχουμε: ημ90 = y = 1 1 = 1 y M(0,1) συν90 = x = 0 1 = 0 εφ90 δεν οίζετι, φού x = 0 x O ω y x Αν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Οx π.χ. το σημείο Μ( 1, 0), τότε ω = xom = 180 κι = ΟΜ = 1 οπότε έχουμε: ημ180 = y = 0 1 = 0 y συν180 = x = 1 = 1 1 y εφ180 = x = 0 1 = 0 x M(-1, 0) O y v x 90. Ποιες σχέσεις συνδέουν τους τιγωνομετικούς ιθμούς δύο ππληωμτικών γωνιών; ι δύο ππληωμτικές γωνίες ω κι ω ιοχύουν: ημ(180 ω) = ημω συν(180 ω) = συνω εφ(180 ω) = εφω 91. Ν ποδείξετε ότι γι μι οποιδήποτε γωνί ω ισχύουν οι τύποι:. ημ ω +συν ημω ω = 1 κι. εφω = συνω Απόδειξη. ημ ω +συν ω = y + x ΟΑ = + ΑΜ y x + = y x + = y y + x = ΟΜ = = ΟΑ + Ο =1 x B (x) M(x, y) Ο A (y) y ω x Απόδειξη. y M(x, y) A (y) ω x B (x) Ο y x

24 4 y ημω y y = = = = εφω συνω x x x 9. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων. Σε κάθε τίγωνο Α ισχύει: γ = = ημα ημ ημγ Απόδειξη Θεωούμε τίγωνο Α κι το ύψος του Δ ( Δ Α) Στο οθογώνιο τίγωνο ΔΑ ( $Δ = 90 ) έχουμε: Δ ημα = οπότε Δ = ημα (1) Στο οθογώνιο τίγωνο Δ ( $Δ = 90 ) έχουμε: ημ = Δ Α γ οπότε Δ = ημ () Από τις σχέσεις ( 1 ), ( ) ποκύπτει: η μα = ημ οπότε = ημα ημ (3) Όμοι ποδεικνύουμε ότι γ = ημα ημ (4) Από τις σχέσεις (3), (4) ποκύπτει γ = = ημα ημ ημ 93. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόμο των συνημιτόνων. Σε κάθε τίγωνο Α ισχύουν οι σχέσεις = + γ γσυνα = γ + γσυν γ = + συν Απόδειξη Θεωούμε τίγωνο Α κι το ύψος του Δ ( Δ Α) Θ δείξουμε ότι = + γ γσυνα. Στο οθογώνιο τίγωνο ΔΑ ( $Δ = 90 ) έχουμε: συνα = ΑΔ οπότε ΑΔ = συνα (1) κι πό το θεώημ του Πυθγό: Α γ

25 5 Δ + ΔΑ = () Στο οθογώνιο τίγωνο Δ ( Δ $ = 90 ) πό το θεώημ του Πυθγό έχουμε: = Δ + Δ = Δ + ( γ ΑΔ) = Δ + γ γ ΑΔ + ΑΔ () + γ (1) = γ ΑΔ = + γ γσυνα Με νάλογο τόπο ποδεικνύετι ότι: = γ + γσυν κι γ = + συν