Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Σχετικά έγγραφα
x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Πρόχειρο ιαγώνισµα: 11 Νοεµβρίου 2008 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 1 ώρα.

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 8: Ολοκλήρωση μελέτης απειρόβαθου πηγαδιού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 21: Δέλτα πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Μια γενική έκφραση της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών για μια δέσμια κατάσταση

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

Αρμονικός Ταλαντωτής

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.

Αναπαράσταση τελεστών µε πίνακα

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ. Προθεσµία παράδοσης 11/11/08

Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Τελικών εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ

Κβαντομηχανική Ι 2o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 23: Σκέδαση σε τετραγωνικά δυναμικά. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Transcript:

Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού το οποίο εκτείνεται από έως. Σχήµα ΑΚΠα.1 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της < > µορφής V( ) =. Αναζητούµε δέσµιες ενεργειακές καταστάσεις µε E >. Μεθοδολογία. Πρώτο στάδιο- ξισώσεις Schrödinger. Ξεκινάµε γράφοντας προσεκτικά τις εξισώσεις Schrödinger στις διάφορες περιοχές του δυναµικού. Στο παρόν δυναµικό έχουµε τρεις περιοχές. Τις περιοχές εκτός του πηγαδιού ( < > ) και την περιοχή µέσα στο πηγάδι ( < < ). Η γενική έκφραση για την εξίσωση Schrödinger είναι + V( ) ( ) = E( ). Για τις περιοχές εκτός του πηγαδιού η εξίσωση Schrödinger δεν m δίνει κάποιες πληροφορίες (ή έτσι φαίνεται µε µια γρήγορη µατιά). Αναµένουµε όµως (όπως και στην κλασική φυσική) να µην υπάρχει δυνατότητα παρουσίας του σωµατιδίου στις περιοχές αυτές. ηλαδή θα πρέπει η κυµατοσυνάρτηση να µηδενίζεται εκεί. Έχουµε λοιπόν ότι ( ) = για < > (µπορεί ο µηδενισµός της κυµατοσυνάρτησης να προκύει από το γεγονός ότι το δυναµικό απειρίζεται (V( ) ) για < > ). Στην περιοχή µέσα στο πηγάδι (V( ) = ) η εξίσωση Schrödinger γίνεται = E ( ). m εύτερο στάδιο- πίλυση εξισώσεων Schrödinger. Στο παρόν πρόβληµα ουσιαστικά έχουµε µία εξίσωση Schrödinger αυτή που περιγράφει την κυµατοσυνάρτηση στην περιοχή µέσα στο πηγάδι. d ( ) d ( ) me Η εξίσωση Schrödinger γράφεται = E( ) + ( ) = και καθώς m me αναζητούµε λύσεις µε θετικές ενέργειες η ποσότητα είναι θετική. Θέτουµε την ποσότητα αυτή ίση µε το τετράγωνο κάποιας νέας φυσικής ποσότητας (αυτή έχει διαστάσεις κυµατανύσµατος) δηλαδή

me d ( ) k και η εξίσωση Schrödinger γράφεται (θεωρία διαφορικών εξισώσεων) αλλά και από την φυσική (θεωρία περιοδικών φαινοµένων) γνωρίζουµε ότι η λύση της εξίσωσης αυτής είναι ( ) = Asink+ Bcosk + k ( ) =. Από τα µαθηµατικά ik ik ik ik e e e + e B ia ik B+ ia ik = A + B = e e i + ik ik = Ae + Be δηλαδή είναι ένας γραµµικός συνδυασµός λύσεων sin kcos k ή ισοδύναµα ένας συνδυασµός ik εκθετικών λύσεων ( e e ik ). Συνοριακές συνθήκες-λύση µε φυσική σηµασία. Στα σηµεία ασυνέχειας του δυναµικού εφαρµόζουµε τις συνθήκες συνέχειας της κυµατοσυνάρτησης και της παραγώγου της κυµατοσυνάρτησης. Οι συνθήκες αυτές είναι προφανείς καθώς σε διαφορετική περίπτωση δηλαδή στην περίπτωση που είχαµε ασυνέχεια της συνάρτησης ή της πρώτης παραγώγου δεν θα ορίζονταν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της κυµατοσυνάρτησης αντίστοιχα (στην περίπτωση που η δεύτερη παράγωγος δεν ορίζεται ή αλλιώς είναι άπειρη δεν έχει νόηµα η εξίσωση Schrödinger). Από τις συνοριακές συνθήκες µπορούµε να βρούµε (α) τις δυνατές τιµές της παραµέτρου k (και ισοδύναµα της ενέργειας) και (β) για δεδοµένη ενέργεια τις τιµές των συντελεστών της κυµατοσυνάρτησης. Έτσι έχουµε από την συνθήκη συνέχεια της κυµατοσυνάρτησης στα σηµεία και ότι ( = ) = Asink+ Bcosk= B= και ( = ) = Asin k= sin k=. Στο απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι δυναµικού δεν έχουµε καµία επιπλέον πληροφορία από την παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης καθώς αφού η ασυνέχεια του δυναµικού είναι άπειρη η πρώτη παράγωγος δεν είναι συνεχής. me π Από την δεύτερη συνθήκη έχουµε sin k = k = nπ = nπ E = n όπου το m n είναι ένας ακέραιος αριθµός. Η τελευταία σχέση µας δίνει τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας ενώ το n είναι ο κβαντικός αριθµός που π τις χαρακτηρίζει En = n. m Καθώς k = nπ έχουµε ( ) = Asink= Asin nπ /. Προφανώς αφού φυσική σηµασία έχει το γινόµενο * ( ) ( ) = ( ) οι αρνητικές τιµές του ακεραίου n δεν δίνουν διαφορετικές ισοσυναρτήσεις ούτε και διαφορετικές ιδιοενέργειες (βλέπε το n στην σχέση ιδιοτιµών της ενέργειας). Τέλος παρατηρούµε ότι και η µηδενική τιµή του n δίνει µηδενική κυµατοσυνάρτηση η οποία δεν είναι αποδεκτή (η αντίστοιχη πιθανότητα είναι παντού µηδέν). Έτσι οι δυνατές τιµές του n είναι 13...(θετική ακέραιοι). Νορµαλισµός. Για τον υπολογισµό του συντελεστή στην κυµατοσυνάρτηση χρησιµοποιούµε την συνθήκη νορµαλισµού. Συνθήκη η οποία εξασφαλίζει το γινόµενο σηµασία της πιθανότητας. Έχουµε από τον νορµαλισµό * ( ) ( ) = ( ) να έχει την φυσική * * ( ) ( ) = A Asin( nπ / )sin( nπ / ) = A sin ( nπ / ) = A /= 1 δηλαδή A = /.

i Η τελευταία σχέση εκτιµά ότι A= / e ϕ όπου ϕ είναι ένας οποιοδήποτε αριθµός (συνήθως ονοµάζεται φάση). Αν δεν υπάρχει κάποια επιπλέον πληροφορία για την φάση αυτή η κάποια πληροφορία για το κβαντικό σύστηµα που να µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να βρεθεί η φάση θα την παραλείπουµε. Έτσι οι ιδιοσυναρτήσεις του απειρόβαθου πηγαδιού είναι ( ) sin nπ ( ) ( ) n = Θ Θ όπου n=1.(θετικός ακέραιος) και Θ ( ) είναι η συνάρτηση Heaviside γνωστή και ως συνάρτηση βήµατος ( Θ( ) = ). Οι συναρτήσεις βήµατος εξασφαλίζουν τον µηδενισµό των 1 > ιδιοσυναρτήσεων εκτός του πηγαδιού. Αρχίζουµε µε την συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού το οποίο εκτείνεται από / έως /. -/ / Σχήµα ΑΚΠα. Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της µορφής E >. > / V( ) =. Αναζητούµε δέσµιες ενεργειακές καταστάσεις µε / Α µέθοδος. Ξεκινάµε από την λύση που βρήκαµε στην µη συµµετρική περιγραφή του δυναµικού δηλαδή την ( ) sin nπ ( ) ( ) n = Θ Θ. Καθώς το δυναµικό της συµµετρικής µορφής (σχήµα ΑΚΠα.) µπορεί να προέρθει από την µετατόπιση του µη συµµετρικού δυναµικού (σχήµα ΑΚΠα.1) κατά / προς τα δεξιά αναµένουµε και η λύση να προέρχεται από µία ανάλογη µετατόπιση που ισοδυναµεί µε αντικατάσταση του µε το +/. Για να καταλάβουµε γιατί χρειάζεται η παραπάνω αντικατάσταση και όχι η -/ σκεφτόµαστε ως εξής. Έστω ότι έχουµε µια γνωστή απλή συνάρτηση για παράδειγµα την. Η συνάρτηση αυτή έχει ελάχιστο στο =. Τώρα αν µετατοπίσουµε τον άξονα προς τα δεξιά κατά το ελάχιστο της συνάρτησης παρατηρείται για = (κάντε ένα απλό σχήµα για να το καταλάβετε καλύτερα). Για να συµβαίνει αυτό θα πρέπει να γράουµε την συνάρτηση στο νέο σύστηµα ως ( + ).

Έτσι έχουµε για την κυµατοσυνάρτηση στο συµµετρικό δυναµικό nπ( + /) nπ nπ n( ) = sin Θ ( + /) Θ( /) = sin + Θ ( + /) Θ( / ) Η τελευταία σχέση γράφεται ισοδύναµα cos ( nπ / ) n= 135.. nπ nπ n( ) = sin + Θ ( + /) Θ( / ) =Θ ( + /) Θ( / ) sin ( nπ / ) n= 46.. ηλαδή έχουµε άρτιες λύσεις για περιττό n(π.χ. για n =1 έχουµε την θεµελιώδη κοκ) και περιττές λύσεις για άρτιο n(π.χ. για n = έχουµε την πρώτη διεγερµένη κοκ). Η συµπεριφορά αυτή των ιδιοσυναρτήσεων είναι αναµενόµενη καθώς έχουµε συµµετρικό δυναµικό. Β µέθοδος. Μπορούµε να εργαστούµε όπως στην µη συµµετρική µορφή του δυναµικού εφαρµόζοντας τις κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Έτσι έχουµε από την συνθήκη συνέχεια της κυµατοσυνάρτησης στα σηµεία / και / ότι ( = /) = Asin k/+ Bcos k/= και ( = /) = Asin k/+ Bcos k/=. Έχουµε ουσιαστικά ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους sin k / cos k / A = sin k / cos k / B Το παραπάνω σύστηµα έχει µη µηδενική λύση όταν η ορίζουσα των συντελεστών είναι µηδέν δηλαδή sin / cos / det k k = sin k / cos k / sin k / cos k / = sin k = sin k / cos k /. Βρίσκουµε όπως αναµένουµε την ίδια συνθήκη για τις ιδιοενέργειες. Ακόµα από την πρώτη σχέση βρίσκουµε ότι B = Atan k/. Προσπαθήστε να αποδείξτε ότι από την σχέση αυτή βρίσκουµε τις ιδιοσυναρτήσεις που βρήκαµε στην Α µέθοδο (µη ξεχάσετε να κάνετε τις πράξεις και για το νορµαλισµό για να επιβεβαιώσετε ότι ο συντελεστής είναι ο ίδιος).

Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδιβ(ΑΚΠβ) Για το κλασικό απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι διερευνήστε την δυνατότητα ύπαρξης µη θετικών ενεργειών ( E ). Σχήµα ΑΚΠ5α.1 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της < > µορφής V( ) =. Αναζητούµε δέσµιες ενεργειακές καταστάσεις µε E. Μπορούµε να ξεκινήσουµε µε την µηδενική ενέργεια. Προφανώς η µηδενική ενέργεια πρακτικά συµπεριλαµβάνεται στην διερεύνηση των µη µηδενικών ενεργειών που γίνεται σε όλα τα εγχειρίδια κβαντοµηχανικής. Έτσι γνωρίζουµε ότι η δεν γίνεται για οποιαδήποτε γεωµετρικά στοιχεία του πηγαδιού να έχουµε µηδενική ενέργεια. Αλλά ας διερευνήσουµε την περίπτωση µηδενικής ενέργειας χρησιµοποιώντας την εξίσωση Schrödingerι. Έχουµε = ( E( = ) ( )) ( ) = A+B. m Από τις συνοριακές συνθήκες βρίσκουµε ( = ) = A + B= ( = ) = A= A=. ηλαδή η µοναδική λύση είναι η ( ) = η οποία προφανώς δεν είναι φυσικά αποδεκτή (πιθανότητα ηλεκτρονίου παντού µηδενική!). Προχωράµε στην διερεύνηση των αρνητικών ενεργειών. Από την εξίσωση Schrödinger έχουµε me γ γ = E( ) ( ) γ ( ) = ( ) = Ae + Be m φαρµόζουµε τώρα τις συνοριακές συνθήκες της κυµατοσυνάρτησης στα σηµεία και και της παραγώγου της στα υπόλοιπα σηµεία ασυνέχειας του δυναµικού. γ γ () = Ae + Be = B = A ( ) = Asinhγ Και ( ) = Asinhγ= γ= γ = ( E = ) ( ) = Πάλι µη αποδεκτή λύση (πυκνότητα πιθανότητας παντού µηδέν!).