ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω στον φανταστικό άξονα: 5 Συζυγείς πόλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο: 6 Συζυγείς πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο: 7 Αν η συνάρτηση εξόδου εμφανίζει περισσότερους από ένα πόλους του ίδιου ή διαφορετικού είδους, η χρονική απόκριση είναι η συνισταμένη των επί μέρους όρων της συνάρτησης ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ 2,0 y(t) y max -y ss =M m =Overshoot (υπερύψωση) t s = Settling time (χρόνος αποκατάστασης), Transient State 1,37 1,05 1 0,9 t m 0,63 Τ=Predominant Time Constant (επικρατούσα σταθερά χρόνου) Steady State (σταθερή κατάσταση y ss ) 0,5 t d =Delay Time (χρόνος καθυστέρησης) 0,1 0 t r =Rise Time (χρόνος ανύψωσης) ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ Η(s) Το σύστημα 1 ης τάξης Περιγράφεται από διαφορικές εξισώσεις της μορφής, y(t 0 )=y 0 της οποίας ο μετ/σμός Laplace είναι και θεωρώντας (χωρίς βλάβη της γενικότητας) y 0 =0, παίρνουμε τη συνάρτηση μεταφοράς μοναδιαίας βαθμίδας είναι Η απόκριση του συστήματος σε διέγερση και χρησιμοποιώντας μερικά κλάσματα σελ 1
Επομένως εκθετικά ανερχόμενη προς το κέρδος του συστήματος K, με ταχύτερη απόκριση όσο μικρότερη είναι η σταθερά χρόνου Τ Συμπερασματικά όταν η σταθερά χρόνου Τ είναι θετική (πόλος στο αριστερό ημιεπίπεδο) το σύστημα είναι ευσταθές και όσο αριστερότερα είναι ο πόλος τόσο πιο γρήγορο είναι το σύστημα) Ισχύουν t d 0,7T, t r 2,3T και t s 3,2T (5%) Matlab T=10; K=10; num=k; den=[t 1]; G=tf(num, den); step(g) T=20; den1=[t 1]; G1=tf(num, den1); hold step(g1), grid 10 Step Response 9 8 7 6 Amplitude 5 4 3 2 1 0 0 20 40 60 80 100 120 Time (sec) Το σύστημα 2 ης τάξης Περιγράφεται από διαφορικές εξισώσεις της μορφής και υποθέτοντας μηδενικές αρχικές συνθήκες έχει συνάρτηση μεταφοράς G με, και Οι ρίζες του παρανομαστή είναι 1 Αν ζ 1 οι ρίζες του παρανομαστή γράφονται, όπου ω n η κυκλική φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση (undamped natural frequency) και ζ ο λόγος (συντελεστής) απόσβεσης του συστήματος (damping ratio) Η σταθερά Λ των φθινουσών σελ 2
ταλαντώσεων είναι Η συνάρτηση μεταφοράς για Κ=1 γράφεται: Η απόκριση του συστήματος σε διέγερση μοναδιαίας βαθμίδας είναι: a ζ=0 (μηδενική απόσβεση), απ όπου y(t)=1-cosω n t, δηλαδή έχουμε αμείωτη ταλάντωση με πλάτος ίσο με τη μονάδα b ζ=1 (κρίσιμη απόσβεση), απ όπου ομαλά στη τιμή 1, δηλαδή το σύστημα δεν ταλαντώνεται αλλά αρχίζοντας από το μηδέν φτάνει c 0<ζ<1 (υποαπόσβεση) με σ α =ω n ζ η σταθερά απόσβεσης (ή εξασθένησης) και η κυκλική φυσική συχνότητα με απόσβεση (damped natural frequency) απ όπου παίρνουμε Mε ανάλυση σε κλάσματα έχουμε με c 1 =1, και με Με αντικατάσταση έχουμε: και με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace παίρνουμε την έξοδο, με Φαίνεται τώρα ότι έχουμε μια φθίνουσα (ή αποσβεννύμενη) ταλάντωση τείνουσα στο 1 (όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του ζ τόσο πιο γρήγορα φθίνει η ταλάντωση) σελ 3
Οι χρόνοι στους οποίους η συνάρτηση y(t) παρουσιάζει ακρότατα είναι: με τιμές Η υπερύψωση είναι και το ποσοστό υπερύψωσης Για ζ=0,7 το σύστημα 2 ης τάξης εμφανίζει τον ελάχιστο χρόνο αποκατάστασης (στη πράξη παίρνουμε 0,6<ζ<0,85) 2 ζ>1 (υπεραπόσβεση) και με ανάλυση σε κλάσματα γίνεται Μετά από μερικές πράξεις εφαρμόζουμε αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και παίρνουμε και επομένως το σύστημα δεν ταλαντώνεται, αλλά αρχίζοντας από το μηδέν, φτάνει στο 1 με ρυθμό που καθορίζεται από τη σταθερά ζ (ταχύτερο σύστημα για μικρότερο ζ) Το σύστημα 3 ης τάξης έχει συνάρτηση μεταφοράς G Matlab t=0:01:25; wn=1; num=wn^2; zeta1=0; den1=[1 2*zeta1*wn wn^2]; zeta2=02; den2=[1 2*zeta2*wn wn^2]; zeta3=04; den3=[1 2*zeta3*wn wn^2]; zeta4=07; den4=[1 2*zeta4*wn wn^2]; zeta5=10; den5=[1 2*zeta5*wn wn^2]; zeta6=20; den6=[1 2*zeta6*wn wn^2]; sys1=tf(num, den1); sys2=tf(num, den2); sys3=tf(num, den3); sys4=tf(num, den4); sys5=tf(num, den5); sys6=tf(num, den6); [y1, t]=step(sys1, t); [y2, t]=step(sys2, t); [y3, t]=step(sys3, t); [y4, t]=step(sys4, t); σελ 4
[y5, t]=step(sys5, t); [y6, t]=step(sys6, t); plot(t, y1,t,y2,t,y3,t,y4,t,y5,t,y6) grid title('step Response for Second-Order System with w_n=1') xlabel('w_n*t'), ylabel('y(t)'), legend('ζ=0','ζ=02','ζ=04','ζ=07','ζ=10','ζ=20') 2 18 16 14 12 Step Response for Second-Order System with w n =1 ζ=0 ζ=02 ζ=04 ζ=07 ζ=10 ζ=20 y(t) 1 08 06 04 02 0 0 5 10 15 20 25 w n *t Ανακεφαλαιώνοντας γράφουμε τις παρακάτω σχέσεις:,,,, για ανοχή 2% ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΤΗ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Έστω G(s) η συνάρτηση μεταφοράς ενός ανοικτού γραμμικού συστήματος με τη μορφή: με, T Ni και Τ Dj σταθερές χρόνου, Κ η σταθερά ενίσχυσης ανοικτού βρόχου και n, ο τύπος του συστήματος (το πλήθος των ολοκληρώσεων κατά μήκος του ανοιχτού βρόχου) Θα εξετάσουμε την έξοδο στη σταθερή κατάσταση, για διάφορες τιμές αρνητικής ανατροφοδότησης F(s): σελ 5
F(s)=0 Με είσοδο την μοναδιαία βαθμίδα, η έξοδος του συστήματος θα είναι της μορφής Το σύστημα δεν εκτελεί καμία ολοκλήρωση (n=0): Τότε Το σύστημα εκτελεί μία ολοκλήρωση (n=1): Τότε και επομένως Το σύστημα εκτελεί δύο ολοκληρώσεις (n=2): Τότε και άρα F(s)=1 Τώρα για το ευσταθές κλειστό σύστημα η μετασχηματισμένη κατά Laplace έξοδος είναι: και η μετασχηματισμένη κατά Laplace συνάρτηση σφάλματος: Σφάλμα θέσης (position error) έχουμε όταν το σύστημα διεγείρεται με σήμα συνάρτησης βαθμίδας (step function) της μορφής Ορίζουμε την σταθερά σφάλματος θέσης Σφάλμα ταχύτητας (velocity error) όταν το σύστημα διεγείρεται με σήμα συνάρτησης αναρρίχησης (ramp function) της μορφής Ορίζουμε την σταθερά σφάλματος ταχύτητας Σφάλμα επιτάχυνσης (acceleration error) όταν το σύστημα διεγείρεται με σήμα συνάρτησης παραβολής (parabola function) της μορφής Ορίζουμε την σταθερά σφάλματος επιτάχυνσης Θα υπολογίσουμε τώρα την έξοδο του συστήματος με τις παραπάνω εισόδους θέτοντας για απλούστευση και χωρίς βλάβη της γενικότητας, Έτσι οι αντίστοιχες είσοδοι θα είναι r(t)=1, r(t)=t και r(t)=t 2 Σύστημα τύπου 0: και σελ 6
Με είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας έχουμε και επομένως τελικό σφάλμα (συγκρίνετε με το αντίστοιχο ανοιχτό σύστημα που έδινε ) Με είσοδο μοναδιαίας ράμπας έχουμε και επομένως τελικό σφάλμα Με μοναδιαία παραβολική είσοδο όμοια με προηγούμενα έχουμε τελικό σφάλμα Σύστημα τύπου 1: Με είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας θα πάρουμε έξοδο τελικά και επομένως τελικό σφάλμα Με είσοδο μοναδιαίας ράμπας έχουμε ) (συγκρίνετε με το αντίστοιχο ανοιχτό σύστημα που έδινε και επομένως η ασύμπτωτη της τελικής εξόδου θα είναι η (το θεώρημα τελικής τιμής απ ευθείας για την y(t) ΔΕΝ ισχύει γιατί υπάρχει πόλος στο φανταστικό άξονα) με c το τελικό σφάλμα που υπολογίζεται από Με μοναδιαία παραβολική είσοδο έχουμε Σύστημα τύπου 2: και Με είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας θα πάρουμε τελικό σφάλμα Με είσοδο μοναδιαίας ράμπας θα πάρουμε επίσης τελικό σφάλμα Με μοναδιαία παραβολική είσοδο έχουμε τελικό σφάλμα Αν το σύστημα είναι γραμμικό και τροφοδοτείται με είσοδο που είναι ένα άθροισμα των παραπάνω r(t), το συνολικό σφάλμα του συστήματος θα είναι το άθροισμα των επιμέρους σφαλμάτων σελ 7
Matlab syms s K=10; % σταθερά ενίσχυσης n=0; % πλήθος ολοκληρώσεων (τύπος συστήματος) TN1=2; TN2=3; % σταθερές χρόνου αριθμητή TD1=4;TD2=8; % σταθερές χρόνου παρονομαστή num=k*conv([tn1 1],[TN2 1]); den=conv([td1 1], [TD2 1]); dens=s^n*poly2sym(den,s); den=sym2poly(dens); G1=tf(num,den); F=1; sys1=feedback(g1,h); t=0:001:10; figure(1) step(sys1, t) hold on r=1; plot(t,r,'-g') % σχεδιάζουμε στην ίδια εικόνα την είσοδο για σύγκριση title( Step Response ) hold off num2=1; den2=[1 0]; G2=tf(num2,den2); % δίνουμε είσοδο ramp sys2=series(g2,sys1); % υπολογίζουμε τη νέα συνάρτηση μεταφοράς figure(2) step(sys2, t) hold on r=t; plot(t,r,'-g') % σχεδιάζουμε title( Ramp Response ) hold off num3=1; den3=[1 0 0]; G3=tf(num3,den3); % δίνουμε είσοδο parabola sys3=series(g3,sys1); figure(3) step(sys3, t) hold on r=t^2; plot(t,r,'-g') % σχεδιάζουμε title( Parabola Response ) hold off το αποθηκεύουμε με το όνομα TimeResponsem και το τρέχουμε Έτσι θα πάρουμε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις για σύστημα που δεν εκτελεί ολοκληρώσεις (n=0) Μπορούμε να αλλάξουμε την τιμή του n, για να πάρουμε τις αποκρίσεις του συστήματος τύπου n, σε εισόδους step, ramp και parabola Επίσης σελ 8
μπορούμε να αλλάξουμε την τιμή της ανάδρασης Η (πχ για F=0 θα πάρουμε την απόκριση του ανοιχτού συστήματος) 1 Step Response 095 09 Amplitude 085 08 075 07 065 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) 9 Ramp Response 8 7 6 Amplitude 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) 45 Parabola Response 40 35 30 Amplitude 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) σελ 9
F(s) 1 Στη περίπτωση αυτή το σφάλμα είναι: Επομένως σ ένα ευσταθές κλειστό σύστημα η συνθήκη μηδενικού σφάλματος θέσης (για είσοδο συνάρτηση βαθμίδας) είναι και τελικά Αν η συνάρτηση μεταφοράς G(s) είναι της μορφής δηλ δεν περιέχει παράγοντα ολοκλήρωσης, παίρνουμε Στη πράξη παίρνουμε σταθερό και ανεξάρτητο της συχνότητας για αποφυγή ταλαντώσεων Αν η συνάρτηση μεταφοράς G(s) είναι της μορφής δηλ περιέχει παράγοντα ολοκλήρωσης, η συνθήκη μηδενικού σφάλματος ταχύτητας (για είσοδο συνάρτηση αναρρίχησης) είναι, απ όπου παίρνουμε Στη πράξη παίρνουμε τη παραπάνω σχέση για μικρές τιμές της μεταβλητής s σελ 10