Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ι Ενότητα: Περιγραφική Στατιστική 2: Αριθμητικά Μεγέθη Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Αθανάσιος Λαπατίνας Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών
Διάλεξη 3: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω το δείγμα μεγέθους n = 5 με παρατηρήσεις 10, 20, 12, 17 και 16. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο και τη διάμεσο. Υπολογίστε το εύρος και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Υπολογίστε την z-τιμή για κάθε μια από τις παρατηρήσεις. Υπολογίστε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. 2. Έστω το δείγμα μεγέθους n = 6 με παρατηρήσεις 10, 20, 21, 17, 16 και 12. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο και τη διάμεσο. 3. Έστω το δείγμα μεγέθους n = 8 με παρατηρήσεις 27, 25, 20, 15, 30, 34, 28 και 25. Υπολογίστε τα τρία τεταρτημόρια, Q1, Q2, Q 3. Υπολογίστε το εύρος και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Υπολογίστε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. 4. Έστω το δείγμα παρατηρήσεων 53, 55, 70, 58, 64, 57, 53, 69, 57, 68 και 53. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. 5. Ο μέσος άνθρωπος ακούει μουσική περίπου 45 λεπτά την ημέρα (The Des Mones Regster, December 5, 1997). Τα παρακάτω στατιστικά δεδομένα πάρθηκαν από δείγμα 30 ατόμων και αφορούν τα λεπτά ακρόασης μουσικής σε μια ημέρα. 88.3 4.3 4.6 7.0 9.2 0.0 99.2 34.9 81.7 0.0 85.4 0.0 17.5 45.0 53.3 29.1 28.8 0.0 98.9 64.5 4.4 67.9 94.2 7.6 56.6 52.9 145.6 70.4 65.1 63.6 α. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο και την επικρατούσα τιμή. β. Σας φαίνονται συνεπή αυτά τα στατιστικά δεδομένα με τον αριθμητικό μέσο που αναφέρει η εφημερίδα; γ. Υπολογίστε τη διάμεσο. δ. Υπολογίστε το πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο. 6. Δίνεται ο αριθμός x των απασχολουμένων σε τυχαίο δείγμα 25 βιοτεχνιών έτοιμου ενδύματος που παράγουν με το σύστημα «φασόν» 35 12 23 18 5 58 11 14 53 29 61 45 10 6 11 32 92 17 17 44 9 15 12 38 28 Να βρείτε τα τρία τεταρτημόρια της κατανομής των παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ. 1
7. Έστω οι παρακάτω παρατηρήσεις και οι αντίστοιχες σταθμίσεις x στάθμιση, w 3.2 6 2.0 3 2.5 2 5.0 8 α. Υπολογίστε το σταθμισμένο μέσο για τα παραπάνω στατιστικά δεδομένα. β. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο. 1 8. Αν x = x, για ποιες τιμές των x ισχύει ( ) 0 n x x = και για ποιες ισχύει 2 ( x x) = 0; 9. Σε 12 φιαλίδια με διαλυτική ουσία μετρήσαμε τον όγκο του περιεχομένου και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα (σε ml): x : 0.75 1.20 1.30 1.75 2.25 2.55 2.60 2.80 2.95 3.05 3.05 3.10 Ζητείται: α. Να υπολογιστεί ο αριθμητικός μέσος και η διακύμανση των παρατηρήσεων. β. Αν όλες οι παρατηρήσεις πολλαπλασιαστούν με μια σταθερά λ τι θα πάθει η μέση τιμή και η διακύμανση; γ. Αν κάθε παρατήρηση x αντικατασταθεί από την σταθερά, οι στατιστικές συναρτήσεις x και x 2 s θα μεταβληθούν; + a, όπου a είναι μια 10. Στον Πίνακα που ακολουθεί δίνεται ο αριθμός φοιτητών και ο μέσος ετήσιος αριθμός μαθημάτων ανά φοιτητή σε 5 τμήματα μιας σχολής. Αριθμός φοιτητών, f : 450 310 135 112 97 Μέσος ετήσιος αριθμός μαθημάτων, x : 11 17.5 13 18 14 Ζητείται να υπολογιστεί ο μέσος ετήσιος αριθμός μαθημάτων ανά φοιτητή της σχολής. 11. Ο συγγραφέας ενός βιβλίου 250 σελίδων αναλαμβάνει για διόρθωση τις τυπωμένες σελίδες του. Τις διαβάζει προσεκτικά, κάνει τις διορθώσεις του και καταγράφει τον αριθμό Χ των λαθών που βρήκε σε κάθε σελίδα. Τα αποτελέσματα ομαδοποιούνται στην κατανομή συχνοτήτων που δίνεται στον ακόλουθο Πίνακα: 2
Αριθμός λαθών, x : 0 1 2 3 4 5 6 7 Αριθμός σελίδων, f : 57 71 64 32 12 7 4 3 Ζητείται να υπολογισθεί ο μέσος αριθμός λαθών ανά σελίδα, η διακύμανση, η επικρατούσα τιμή και η διάμεσός τους. 12. Σε τυχαίο δείγμα n = 45 πελατών ενός μεγάλου super-market μετρήσαμε το χρόνο αναμονής τους Χ στο ταμείο, το Σάββατο το πρωί μεταξύ των ωρών 12:00 και 13:00 και πήραμε την ακόλουθη κατανομή συχνοτήτων Χρόνος αναμονής (σε mn), x : 0 1 2 3 4 Πλήθος πελατών, f : 10 11 14 8 2 Ζητείται α. Να υπολογιστεί ο μέσος χρόνος αναμονής και η διακύμανση των 45 πελατών. β. Να υπολογιστεί ο επικρατέστερος χρόνος αναμονής και ο διάμεσος χρόνος αναμονής. γ. Αν σε αντίστοιχο τυχαίο δείγμα n = 100 πελατών που παρατηρήθηκε μεταξύ των ωρών 7:00 και 8:00 το βράδυ υπολογίσαμε x = 2.2 mn και s = 1.85 mn, σε ποια περίπτωση είναι μεγαλύτερη η διασπορά; 13. Δίνεται η εξέλιξη του Ακαθάριστου Εγχώριου Προϊόντος (ΑΕΠ) της Ελλάδας σε δισεκ. δρχ. τη χρονική περίοδο 1981-1986. Έτη: 1981 1982 1983 1984 1985 1986 ΑΕΠ: 1721.1 1718.9 1725.8 1773.2 1826.3 1850.1 Ζητείται να υπολογιστεί η μέση ποσοστιαία μεταβολή του ΑΕΠ σε αυτό το χρονικό διάστημα. 14. Μια επιχείρηση έχει 3 εργοστάσια και στη διάρκεια της 10ετους λειτουργίας τους σημειώθηκε στο καθένα από αυτά αριθμός ατυχημάτων, αντίστοιχα ίσος με 40, 45 και 65, ενώ ο αντίστοιχος αριθμός των εργάσιμων ωρών ήταν 20, 30 και 60 χιλιάδες ώρες. Να υπολογιστεί ο μέσος αριθμός ατυχημάτων ανά χίλιες εργάσιμες ώρες για ολόκληρη την επιχείρηση. 3
15. Σε τυχαίο δείγμα n = 32 υπεραστικών κλήσεων από ορισμένο τηλεφωνικό κέντρο μετρήσαμε τη χρονική διάρκεια και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα (σε λεπτά της ώρας): 11.8 3.6 16.6 13.5 4.8 8.3 8.9 9.1 7.7 2.3 12.1 6.1 10.2 8.0 11.4 6.8 9.6 19.5 4.3 12.3 8.5 15.9 18.7 11.7 6.2 11.2 10.4 7.2 5.5 14.5 16.8 19.3 Ζητείται: α. Να ομαδοποιηθούν τα δεδομένα σε μια κατανομή συχνοτήτων με k = 4 κλάσεις. β. Να υπολογιστούν η μέση τιμή και η διακύμανση των παρατηρήσεων, όχι από τα πρωτογενή δεδομένα, αλλά από την κατανομή των συχνοτήτων. γ. Λαμβάνοντας υπόψη την απάντηση που δώσατε στην άσκηση 8(β), χωρίς να κάνετε πράξεις, να πείτε ποια θα ήταν η μέση τιμή και η διακύμανση αν οι κλήσεις είχαν μετρηθεί σε δευτερόλεπτα. δ. Αν τα δεδομένα ήταν ομαδοποιημένα σε μια κατανομή συχνοτήτων με περισσότερες κλάσεις, τα στατιστικά που θα υπολογίζατε από την κατανομή θα ήταν πιο κοντά ή πιο μακριά στις αντίστοιχες τιμές που θα παίρνατε υπολογίζοντάς τα από τις πρωτογενείς (μη ομαδοποιημένες) παρατηρήσεις; 16. Δίνονται σε αύξουσα τάξη μεγέθους οι μετρήσεις της περιεκτικότητας σε ορισμένη δραστική ουσία 55 φιαλιδίων φαρμάκου (ml) στον πίνακα που ακολουθεί: 0.05 0.07 0.08 0.08 0.09 0.09 0.09 0.10 0.10 0.10 0.10 0.11 0.12 0.12 0.13 0.14 0.14 0.15 0.16 0.17 0.17 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.19 0.19 0.19 0.20 0.20 0.20 0.21 0.22 0.23 0.23 0.23 0.24 0.24 0.26 0.27 0.28 0.29 0.29 0.29 0.31 0.32 0.32 0.33 0.34 0.35 0.38 0.38 0.39 0.39 Ζητείται: α. Να ομαδοποιηθούν τα δεδομένα σε μια κατανομή συχνοτήτων με k = 7 κλάσεις β. Να υπολογιστεί από την κατανομή συχνοτήτων (και όχι από τα πρωτογενή μη ομαδοποιημένα- δεδομένα) ο αριθμητικός μέσος και η διακύμανση. Ασκήσεις από το βιβλίο: Δ. Χατζηνικολάου, Στατιστική για Οικονομολόγους, Β Έκδοση, Ιωάννινα 2002 2.1. Υποθέσατε ότι σας ενδιαφέρει η μεταβλητή Χ = αριθμός αγοριών μίας οικογένειας με 5 παιδιά συνολικά και ότι ο πληθυσμός αποτελείται από 85 οικογένειες. (Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι σε μία κωμόπολη, όπου κατοικούν 1000 οικογένειες, οι 85 από αυτές έχουν 5 παιδιά συνολικά. Οι 85 αυτές οικογένειες αποτελούν τον υπό μελέτη πληθυσμό.) Έστω ότι f συμβολίζει τον αριθμό των οικογενειών που έχουν Χ αγόρια και ότι η κατανομή συχνότητας της μεταβλητής Χ είναι η ακόλουθη: 4
Χ 0 1 2 3 4 5 f 8 14 21 18 17 7 Να υπολογίσετε το διάμεσο αριθμό αγοριών του πληθυσμού, τα τρία τεταρτημόρια, την επικρατούσα τιμή, τον αριθμητικό μέσο, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση, το συντελεστή μεταβλητότητας, το συντελεστή ασυμμετρίας α 3 και το συντελεστή κυρτώσεως α 4. 2.3. Έστω Χ = αριθμός αυτοκινήτων που έχει στην κατοχή της μία οικογένεια και ότι τα δεδομένα που πήραμε από ένα δείγμα 100 οικογενειών δίνονται στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων: Χ 0 1 2 Αριθμός οικογενειών 10 80 10 (α) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα. (β) Πόσα αυτοκίνητα έχει κατά μέσο όρο στην κατοχή της μία οικογένεια του δείγματος; (γ) Να υπολογίσετε τη διάμεσο, το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο του δείγματος. (δ) Να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση του δείγματος. (ε) Είναι η κατανομή μεσόκυρτη, λεπτόκυρτη ή πλατύκυρτη; 2.4. Σε μία τάξη είναι γραμμένοι 100 φοιτητές και παρακολουθούν όλοι το μάθημα. Στο τέλος του εξαμήνου, ο καθηγητής ζητά από τους φοιτητές να αξιολογήσουν τη διδασκαλία του μαθήματος, χρησιμοποιώντας ως βαθμούς τους 1 (εξαιρετικά κακή), 2 (κακή), 3 (μέση), 4 (καλή) και 5 (εξαιρετικά καλή) και ως κριτήρια την οργανωτική ικανότητα του καθηγητή, τη μεταδοτικότητά του, το ενδιαφέρον του για τους φοιτητές, την ευκολία με την οποία προσεγγίζεται για ερωτήσεις, το κέντρισμα του ενδιαφέροντος των φοιτητών κ.λπ. Τα αποτελέσματα δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Βαθμός 1 2 3 4 5 Αριθμός φοιτητών 0 5 10 65 20 (α) Τί βαθμό έδωσαν κατά μέσο όρο οι φοιτητές στον καθηγητή του μαθήματος; (β) Ποιά είναι η διάμεσος και ποιό το πρώτο τεταρτημόριο αυτής της κατανομής; (γ) Ποιά είναι η τυπική απόκλιση της κατανομής; 5
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Αθανάσιος Λαπατίνας. «Στατιστική Ι. Περιγραφική Στατιστική 2: Αριθμητικά Μεγέθη». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uo.gr/course/vew.php?d=1180. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creatvecommons.org/lcenses/by-sa/4.0/.