ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

Σχετικά έγγραφα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

4

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ.

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν

Συναρτήσεις. Ορισμός Συνάρτησης

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης,

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΜΑΘ. ΚΑΙ ΣΤ. ΣΤΑΤ. ΤΑΞΗ Γ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

( ) 2. χρόνος σε min. 2. xa x. x x v

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

Μονάδες 10. x. (μονάδες 2) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Απάντηση από το Σχολικό βιβλίο σελίδα 28

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μονάδες 10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 1

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ύλη: Συναρτήσεις-Στατιστική Θέμα 1 o : Α. i. Να διατυπώσετε το κριτήριο μονοτονίας. (5 μον.)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας)

(f (x) g(x)) = f (x) g(x)+f (x) g (x) (μονάδες 2)

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

g( x) ( g( x)) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

x. Αν ισχύει ( ) ( )

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2004

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 B ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Transcript:

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α. Τι ονοµάζεται γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxy ; 3. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της;.... 4. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; 5. α. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο x1 A ; β. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο x1 A ;.... 1

6. Αν 1 2 1 2 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής lim f ( x) = l και l im g( x) = l, όπου l, l είναι πραγµατικοί αριθµοί, να συµπληρώσετε τις ισότητες : l im( f ( x) + g( x) ) = l im( kf ( x) ) im( f ( x) g( x) )... l = lim( f ( x) ) ν =...... f ( x) = ( ) l im g x im x x l ν 0 = f ( x) =......... 7. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής ; 8. Να συµπληρώσετε τα κενά : l imηµx =..., l imεφx =..., x l im e =..., l imσυνx =... l imσφx =... liml nx =... 9. Έστω f µια συνάρτηση και ένα σηµείο A( x 0, f ( x 0 )) της γραφικής της παράστασης Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της 2 C f στο Α ;... 10. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ;.... 11. Τι ονοµάζεται ρυθµός µεταβολής του y= f ( x) ως προς το x, όταν x= x ; 0.......... C f.

12. Τι ονοµάζεται (πρώτη) παράγωγος µιας συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού το Α ; 3 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής.... 13. Αν η συνάρτηση θέσης x(t) ενός κινητού είναι παραγωγίσιµη, ποια είναι η ταχύτητα του υ(t) και ποια η επιτάχυνσή του α(t) κάθε χρονική στιγµή t;.... 14. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f ( x) = c είναι 0, δηλαδή ότι ( c ) = 0. 15. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f ( x) = x είναι 1, δηλαδή ότι ( x ) = 1.

4 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 2 2 16. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f ( x) = x είναι 2x, δηλαδή ότι ( x ) = 2x............. 17. Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο Α, τότε και η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιµη στο Α και ισχύει ( f ( x) + g( x) ) = f ( x) + g ( x).

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 18. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο Α, τότε και η συνάρτηση cf είναι παραγωγίσιµη στο Α και ισχύει ( ) cf ( x) = cf ( x). 5

6 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 2 :Στατιστική 1. Τι ονοµάζεται πληθυσµός, δείγµα και πότε ένα δείγµα θα ονοµάζεται αντιπροσωπευτικό του πληθυσµού; 2. Τι ονοµάζονται στη στατιστική µεταβλητές και τι τιµές της µεταβλητής;.... 3. Ποιες µεταβλητές ονοµάζονται α. ποσοτικές και σε ποιες υποκατηγορίες χωρίζονται; β. ποιοτικές ή κατηγορικές;. 7

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 4. Έστω x 1 < x 2 < < xκ, κ ν οι διαφορετικές τιµές µιας µεταβλητής Χ, ενός δείγµατος µεγέθους v. Α. α) Τι ονοµάζουµε (απόλυτη) συχνότητα (ν i ) της τιµής xi. β) Τι ονοµάζουµε σχετική συχνότητα (fi ) της τιµής xi. γ) Τι ονοµάζουµε αθροιστική συχνότητα (N i ) της τιµής xi (για ποσοτικές µεταβλητές ). δ) Τι ονοµάζουµε αθροιστική σχετική συχνότητα (F i ) της τιµής xi..... Β. Συµπληρώστε τα κενά : α) ν 1 + ν 2 + + νκ = β) N 1 =.. και F 1 =.. γ).. = N i - N i -1 i = 2, 3,, κ. δ).. = F i - F i -1, i = 2, 3,, κ. ε) N κ =.. και F κ =.. 5. Να αποδείξετε ότι για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες : i. 0 fi 1 για i =1, 2,..., κ ii. f 1 + f 2 + + fκ = 1 8

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 6. Τι ονοµάζεται κατανοµή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων µίας µεταβλητής µε τιµές x 1, x 2, x κ ; 7. Πότε χρησιµοποιείται το ραβδόγραµµα ; 8. Πότε χρησιµοποιείται το διάγραµµα συχνοτήτων ; 9. Τι ονοµάζουµε πολύγωνο συχνοτήτων ενός διαγράµµατος συχνοτήτων ;....... 10. Πότε χρησιµοποιείται το κυκλικό διάγραµµα ; 11. Με τι είναι ίσο το τόξο α i κυκλικού τόξου που αντιστοιχεί στην τιµή xi ; 12. Τι είναι το σηµειόγραµµα ; 13. Τι είναι το χρονόγραµµα ή χρονολογικό διάγραµµα ;.... 14. Τι ονοµάζουµε οµαδοποίηση ;... 9

15. Τι ονοµάζουµε κλάση ; Τι ονοµάζουµε κεντρική τιµή, τι πλάτος και τι συχνότητα µίας κλάσης ; 10 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής.... 16. α. Τι είναι το ιστόγραµµα συχνοτήτων/σχετικών συχνοτήτων ; β. Τι είναι το πολύγωνο συχνοτήτων/σχετικών συχνοτήτων ; 17. α. Τι είναι το ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων/αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ; β. Τι είναι το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων/αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ; 18. Ποια είναι η αριθµητική τιµή του εµβαδού του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα; 19. Τι ονοµάζεται καµπύλη συχνοτήτων ; 20. Ποια κατανοµή λέγεται οµοιόµορφη και ποια είναι η καµπύλη συχνοτήτων της ;

21. Ποια κατανοµή λέγεται κανονική και ποια η καµπύλη συχνοτήτων της ; 11 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 22. Ποια κατανοµή λέγεται ασύµµετρη; Ποια είναι τα είδη ασυµµετρίας ; 23. Τι ονοµάζουµε µέτρα θέσης ; 24. Τι ονοµάζουµε διάµεσο (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων. ;. 25. Πως ορίζεται η µέση τιµή µίας ποσοτικής µεταβλητής Χ, σε ένα δείγµα τιµών t 1, t 2,..., t ν µεγέθους ν ; 26. Πως εκφράζεται η µέση τιµή µίας ποσοτικής µεταβλητής Χ, σε ένα δείγµα τιµών x 1, x 2,, xκ µεγέθους ν, µε αντίστοιχες συχνότητες ν 1, ν 2,, νκ ; 27. Τι ονοµάζουµε σταθµισµένο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο των τιµών x 1, x 2,, xν µε συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας) w 1, w 2,, wν ;

12 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 28. Πως εκφράζεται η µέση τιµή µίας ποσοτικής µεταβλητής Χ, σε ένα δείγµα τιµών x1,x2,..., xκ, µεγέθους ν από τις τιµές της µεταβλητής και τις σχετικές συχνότητές τους f 1, f 2,, fκ ; 29. Τι ονοµάζουµε µέτρα διασποράς ; 30. Τι ονοµάζεται εύρος ή κύµανση (R) µιας κατανοµής ; Πως ορίζεται το εύρος για οµαδοποιηµένα δεδοµένα(κλάσεις) ; 31. Να απoδείξετε ότι ο αριθµητικός µέσος των αποκλίσεων των τιµών t1, t2,..., tv ενός δείγµατος από τη µέση τιµή του x, είναι ίσος µε το µηδέν.... 32. Τι ονοµάζεται διακύµανση ή διασπορά (s²) µιας κατανοµής (σε ένα δείγµα τιµών t1, t2,..., tv µεγέθους ν);

33. Τι ονοµάζεται τυπική απόκλιση (s) µιας κατανοµής ; 13 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής...... 34. Τι ονοµάζουµε µέτρα ασυµµετρίας ; 35. Αν η µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s, να αναφέρετε το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκεται στο διάστηµα : i) ( x s, x + s) ii) ( x 2s, x + 2s) iii) ( x 3s, x + 3s).... 36. Ποιο είναι κατά προσέγγιση το εύρος R µίας κανονικής κατανοµής ; 37. Πως ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας CV ;.............. 38. Πότε ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής θα είναι οµοιογενές ;

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 39. Πως συγκρίνονται ως προς την οµοιογένεια δύο δείγµατα Α, Β µε βάση τους συντελεστές µεταβολής ; 40. Οι παρατηρήσεις xi, i= 1, 2,..., ν, έχουν µέση τιµή x και τυπική απόκλιση s x. α) Αν y = x + c, i= 1,..., ν, τοτε : y =... και s =... i i y β) Αν y = cx i= 1,..., ν, τοτε : y =... και s =... i i y γ) Αν y = α x + β, i= 1,..., ν, τοτε : y =... και s =... i i y 14

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 3 :Πιθανότητες 1. Τι ονοµάζεται πείραµα τύχης ; Πότε ονοµάζεται αιτιοκρατικό ;...... 2. Τι ονοµάζεται δειγµατικός χώρος Ω ενός πειράµατος τύχης ; 3. Τι ονοµάζεται απλό και τι σύνθετο ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης ;.......... 4. Πότε λέµε ότι ένα ενδεχόµενο Α ενός πειράµατος τύχης πραγµατοποιείται ή συµβαίνει σε µια συγκεκριµένη εκτέλεση του πειράµατος ; 5. Τι ονοµάζονται ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγµατοποίησή ενός ενδεχοµένου; 6. Ποιο είναι το βέβαιο και ποιο το αδύνατο ενδεχόµενο ; 15

7. Τι ονοµάζεται ένωση δύο ενδεχοµένων Α και Β; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 8. Τι ονοµάζεται τοµή δύο ενδεχοµένων Α και Β ; 9. Τι ονοµάζεται συµπληρωµατικό ενός ενδεχοµένου Α; 10. Τι ονοµάζεται διαφορά ενός ενδεχοµένου Β από ένα ενδεχόµενο Α; 11. Πότε δύο ενδεχόµενα Α και Β λέγονται ασυµβίβαστα ή ξένα µεταξύ τους ή αµοιβαίως αποκλειόµενα ; 12. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά µε το κατάλληλο ενδεχόµενο. i. { δεν πραγµατοποιείται το Α } =... ii. { πραγµατοποιείται το Α ήτο Β } =... iii. { πραγµατοποιείται το Α και το Β } =... iv. { πραγµατοποιείταιµόνο το Α } =... v. { δεν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α, Β } =... vi. { δεν πραγµατοποιείται το Α και Β } =... vii. { πραγµατοποιείταιµόνοένα από τα Α, Β } =... 13. Να γράψετε µε τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόµενο που παριστάνει το σκιασµένο εµβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράµµατα Venn. 16

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 14. Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχοµένου Α ;....... 15. Έστω Ω = { ω 1, ω 2,, ω λ }δειγµατικός χώρος και τα απλά ενδεχόµενα {ω 1 },{ω 2 },,{ω λ } τα οποία πραγµατοποιούνται κ 1, κ 2,, κ λ φορές αντίστοιχα σε ν εκτελέσεις του πειράµατος µε σχετικές συχνότητες f 1, f 2,, f λ. Να αποδείξετε ότι i. 0 f 1, i= 1, 2,..., λ ii. f 1 + f 2 + + f λ = 1. i 16. Τι ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών ; 17. Να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας..... 17

18 Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής....... 18. Να αποδείξετε ότι Ρ( Ω ) = 1, Ρ( ) = 0, 0 Ρ( Α) 1........ 19. Να δώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας.................... 20. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α και Β ισχύει Ρ(Α Β) =Ρ (Α) + Ρ(Β) (Απλός Προσθετικός Νόµος)............

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 21. Να αποδείξετε ότι για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ισχύει Ρ (Α ) = 1 Ρ (Α)............ 22. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ισχύει: Ρ(Α Β) =Ρ (Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) (1 ος Προσθετικός Νόµος)................ 23. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β µε Α Β, ισχύει Ρ(Α) Ρ(Β)................. 19

Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής 24. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ισχύει Ρ(Α Β) =Ρ(Α) Ρ(Α Β).................................... 20