ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1
Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις ισορροπίας Διάγραμμα ελευθέρου σώματος (Δ.Ε.Σ.) Είδη φόρτισης 2
Βασικές έννοιες Πάνω σε αυτές θεμελιώνεται η ανάπτυξη της μηχανικής! Υλικό σημείο: κομμάτι ύλης με μηδενικές διαστάσεις, αλλά μη μηδενική μάζα. Μάζα: η ποσότητα της ύλης Άκαμπτο σώμα: με την επίδραση εξωτερικών φορτίων διατηρεί το αρχικό σχήμα και διαστάσεις του. Γεγονός: συμβαίνει στιγμιαία και έχει μηδενική χρονική διάρκεια, π.χ. η δημιουργία του κόσμου. Σύστημα αναφοράς: αναγκαίο για τον ακριβή προσδιορισμό γεγονότος, π.χ. γνώση τόπου χρόνου. Οποιοδήποτε αμετάβλητο σώμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σύστημα αναφοράς (συντεταγμένες x, y, z). Χρόνος: η διάρκεια ενός γεγονότος. Ηρεμία κίνηση: μεταβολή ή μη της θέσης ενός σώματος ανάλογα με το σύστημα αναφοράς. Δύναμη: χαρακτηριστικό της είναι ότι επηρεάζει την κατάσταση ηρεμίας ή κίνησης των υλικών σωμάτων. Ορισμός δύναμης: σημείο εφαρμογής, διεύθυνση και φορά, μέγεθος. Εισαγωγή/ Μηχανική Υλικών 3
Στατική Στατική είναι η μελέτη των άκαμπτων στερεών σωμάτων σε ηρεμία ή κάτω από σταθερή ταχύτητα. Μελετώνται οι συνθήκες κάτω από τις οποίες τα υλικά σώματα ισορροπούν από την επενέργεια δυνάμεων (εσωτερικών και εξωτερικών). Το διάνυσμα μπορεί να αποτελέσει το μαθηματικό πρότυπο για την φυσική οντότητα που είναι η δύναμη. Μεθοδολογία διανυσματικής άλγεβρας Εισαγωγή/ Μηχανική Υλικών 4
Αξιωματικές αρχές (1/2) Η Νευτώνεια Μηχανική, πάνω στην οποία βασίζεται η τεχνολογία μας, στηρίζεται στις παρακάτω αξιωματικές αρχές: Ο νόμος του παραλληλόγραμμου Δυο δυνάμεις που ενεργούν πάνω σε ένα υλικό σημείο, μπορούν να αντικατασταθούν από μια τρίτη, την συνισταμένη (R) τους, που αντιστοιχεί διανυσματικά στην διαγώνιο ενός παραλληλόγραμμου που σχηματίζεται από τις αρχικές δυνάμεις (εφαρμοστό διάνυσμα). x P 1 β φ α R 2 (μέτρο συνισταμένης) y P 2 sin sin sin sin καθορισμένης διεύθυνσης λόγω του ότι είναι άνυσμα 5
Αξιωματικές αρχές (2/2) Αρχή αξονικής μετατόπισης (επαλληλίας) Όταν ένα σύστημα δυνάμεων επενεργεί σε ένα σώμα τότε το αποτέλεσμα παραμένει το ίδιο εάν προσθέσουμε στο σώμα αυτό ένα άλλο σύστημα δυνάμεων το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία. Το θεώρημα αυτό λέγεται και θεώρημα της μεταφοράς (ή ολίσθησης) μιας δύναμης πάνω στο φορέα της. A P B P A P B P A B P Η δύναμη με άλλο λόγια θεωρείται ολισθαίνον διάνυσμα. 6
Νόμοι του Νέυτωνα 1 ος Νόμος Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που επενεργούν πάνω σε ένα υλικό σώμα είναι μηδενική, τότε αυτό ηρεμεί ή κινείται, δηλαδή παραμένει στην αρχική κατάσταση. 2 ος Νόμος Αν η συνισταμένη δυνάμεων που ενεργούν πάνω σε ένα υλικό σημείο δεν είναι μηδενική τότε αυτό επιταχύνεται ανάλογα με το μέγεθός της και κατά τη διεύθυνση και φορά της. F = m a F=συνισταμένη δύναμη, m=μάζα, a=επιτάχυνση 3 ος Νόμος Οι δυνάμεις δράσης και αντίδρασης ανάμεσα σε δύο σώματα έχουν ίδιο μέγεθος και αντίθετη φορά. Νόμος της βαρύτητας Οι δυνάμεις, ελκτικές ή απωστικές μεταξύ δυο υλικών σωμάτων δίνεται από τη σχέση 7
Διάγραμμα ελευθέρου σώματος (1/2) Προκειμένου ένα σώμα να ισορροπεί, πρέπει να στηρίζεται! Την στήριξη πραγματοποιούν οι συνδέσεις. Οι συνδέσεις περιορίζουν τις ελεύθερες κινήσεις των σωμάτων. Ασκούν δηλαδή δυνάμεις στα σώματα που αποτρέπουν την κίνηση τους. Οι δυνάμεις αυτές λέγονται αντιδράσεις. Έχουν φορέα την ευθεία στηνοποίατείνεινακινηθείτοσώμακαιδιέρχονταιαπότοσημείο του συνδέσμου. Οι αντιδράσεις δεν είναι εσωτερικές δυνάμεις. 8
Διάγραμμα ελευθέρου σώματος (2/2) Οσχεδιασμόςενόςσώματοςχωρίςτουςσυνδέσμουςαλλάμετις αντιδράσεις που ασκούν οι σύνδεσμοι (πάνω στο σώμα) καθώς και τα εξωτερικά φορτία λέγεται Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος (ΔΕΣ). Το ΔΕΣ διευκολύνει την επίλυση της Στατικής και της Αντοχής Υλικών, δηλαδή της Μηχανικής των Υλικών (δηλαδή επιτρέπει τον υπολογισμότωναγνώστωνδυνάμεωνμέσααπόέναδιάγραμμα που όλες δυνάμεις φαίνονται ως εξωτερικές δυνάμεις). ΔΕΣ Fs ΔΕΣ Β Β Κ Η Κ Β Β Η Α 9
Ισορροπία στερεού σώματος (απαραμόρφωτου) Συνισταμένη δυνάμεων Συνισταμένη ροπών = =0 = 0 Οι ως άνω εξισώσεις εκφράζουν την απόλυτη ισορροπία του συστήματος και σε μετατόπιση και περιστροφή. 10
Η μέθοδος των τομών Εσωτερικές τάσεις Οι εξωτερικές δυνάμεις παραμορφώνουν το σώμα, οι εσωτερικές προσπαθούν να διατηρήσουν το αρχικό σχήμα και όγκο. ΗεπίλυσητωνπροβλημάτωνΑντοχήςαπαιτείτονκαθορισμότων εσωτερικών δυνάμεων και παραμορφώσεων. P 1 (α) P 3 P 1 (α) Το σχήμα είναι σε ισορροπία κάτω από την επίδραση των P 1, P 2, P 3 και P 4. P 2 (β) P 4 P 2 (β) 11
Υπολογισμός εσωτερικών φορτίων Για τον υπολογισμότωνεσωτερικώνφορτίωνστο επίπεδο (α β) αφαιρείται το δεξί τμήμα. Για να παραμείνει η ισορροπία αναπτύσσονται εσωτερικά φορτία. Αυτά ουσιαστικά αντισταθμίζουν την επενέργεια των εξωτερικών φορτίων P 3 και P 4. Τα φορτία αυτά (τα εσωτερικά) για το όλο σώμα, παίζουντονρόλοτωνεξωτερικώνφορτίωνγιατοαριστερό τμήμα. Το σύνολο των δυνάμεων αυτών μπορεί να αναχθεί σε μια συνολική δύναμη ή σε ένα ζεύγος δυνάμεων ή πιο γενικά σε δυναμικά ζεύγη. 12
Διάφορα είδη απλών φορτίσεων 13
Αξονική φόρτιση Ελεύθερη ράβδος Πακτωμένη ράβδος Η πακτωμένη ράβδος είναι στατικά ισοδύναμη με την ελεύθερη ράβδο (δεξιά) που εφελκύεται από την δύναμη P 14
Η έννοια της τάσης (1/2) Η τάση γενικά είναι η δύναμη που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας και η οποία επενεργεί πάνω στο σώμα και μεταβάλλει το σχήμα ή τον όγκο του. Η τάση είναι διάνυσμα και έχει γενικά τα χαρακτηριστικά της δύναμης. μ Δ Γ Β P S Γ Β P S=σΑ Γ Β P ν Ανάπτυξη ορθών τάσεων σ κάθετα στην διατομή A A σ=s/a 15
Η έννοια της τάσης (2/2) Ανάπτυξη διατμητικών τάσεων τ πάνω στο επίπεδο της διατομής A 16
Τριαξονική ή χωρική εντατική κατάσταση τ 17
Η έννοια της ροπής (1/2) Η ροπή είναι η τάση μιας δύναμης να περιστρέψει ένα αντικείμενο γύρω από ένα άξονα. Μαθηματικά η ροπή δυνάμης ως προς σημείο ορίζεται ως το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο προς το γινόμενο της δύναμης επί την (κάθετη) απόσταση της δύναμης από το σημείο. Κατά όμοιο τρόπο ροπή δυνάμεως ως προς άξονα είναι το διανυσματικό μέγεθος που έχει ως μέτρο το γινόμενο της δύναμης επί την (κάθετη) απόσταση της δύναμης από τον άξονα, και φορέα τον άξονα. Στο σχήμα είναι προφανές ότι το κλειδί περιστρέφεται ευκολότερα ασκώντας δύναμη στο σημείο Β. 18
Η έννοια της ροπής (1/2) Ο καλύτερος τρόπος ορισμού της ροπής είναι ως το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων F και r. Το μέτρο της ροπής είναι: M0 rf = rf sin Fd Για τη φορά της ροπής συνήθως χρησιμοποιείται ο κανόνας του δεξιού χεριού ή κανόνας της αντίστροφης φοράς του ρολογιού. Αυτοί οι κανόνες προσδιορίζουν την έννοια του δεξιόστροφου. Γενικά η σύμβαση είναι ότι οι ροπές που τείνουν να προκαλέσουν στροφή αντίθετη προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού θεωρούνται θετικές ενώ οι αντίστροφες αρνητικές. 19
Η έννοια της ροπής (2/2) Θέωρημα Varignon: «Η ροπή της συνισταμένης, ισούται με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών της». Η μαθηματική έκφραση του θεωρήματος είναι ως εξής: r (F F...) rf rf... 1 2 1 2 20
Ροπή ζεύγους (περιστροφή) Δύο δυνάμεις που έχουν το ίδιο μέγεθος, κινούνται σε παράλληλους φορείς και έχουν αντίθετη φορά λέμε ότι σχηματίζουν ένα ζεύγος δυνάμεων. Το άθροισμα των ροπών των δύο αυτών δυνάμεων δεν είναι μηδενικό. Προφανώς οι δυνάμεις αυτές απλώς θα προκαλέσουν περιστροφή στο υλικό σώμα. Αν υπολογίσουμε τις ροπές ως προς ένα σημείο Ο (αρχή αξόνων) τότε θα έχουμε: Μ rfr( F) ( r r) F Όμως r r r = ΑΒ- σημεία εφαρμογής δυνάμεων Άρα προκύπτει: Μ rf *Eδώ Μ είναι η ροπή του ζεύγους που το μέτρο της είναι: rf sin Fd
Συνθήκη Ισορροπίας ΔΕΣ Εάν έχουμε ένα σύστημα μη συντρεχουσών δυνάμεων P 1, P 2, P i το οποίο βρίσκεται πάνω σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων Oxy τότε μεταφέρουμε όλες τις δυνάμεις ώστε η αρχή τους να είναι στο Ο και προσθέτουμε τις ροπές όλων των δυνάμεων ως προς το σημείο Ο. Οι εξισώσεις ισορροπίας του συστήματος μη συντρεχουσών δυνάμεων στο επίπεδο είναι P 0, P 0, M 0 x y O 22
Διάφορα είδη φορέων 23
Δομικά στοιχεία Ράβδος Δοκός Τόξο Χαρακτηρίζεταιένασώμαπουτομήκοςτουείναισυγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από τις άλλες διαστάσεις και που καταπονείται σε εφελκυσμό ή θλίψη. Χαρακτηρίζεταιένασώμαπουτομήκοςτουείναισυγκριτικά πολύ μεγαλύτερο από τις άλλες διαστάσεις και που καταπονείται με εγκάρσιες δυνάμεις. Χαρακτηρίζεται μια δοκός με καμπύλο άξονα. Δίσκος Χαρακτηρίζεται ένα επίπεδο λεπτό σε σύγκριση με τις άλλες διαστάσεις του ελαστικό σώμα, που καταπονείται με δυνάμεις στο επίπεδό του. Πλάκα Χαρακτηρίζεται ένα λεπτό σε σύγκριση με τις άλλες διαστάσεις του ελαστικό σώμα που μεταβιβάζει και εγκάρσια προς το επίπεδό του φορτία. Κέλυφος Χαρακτηρίζεται ένα λεπτό σε σύγκριση με τις διαστάσεις του ελαστικό σώμα, που η μέση επιφάνειά του δεν είναι επίπεδη αλλά κυρτή. 24
Στήριξη δοκών και αντιδράσεις 25
Παράδειγμα (γερανός) Ένας γερανός έχει μάζα 1000 kg και σηκώνει ένα φορτίο μάζας 2400 kg. Στηρίζεται με μια απλή άρθρωση στο A και μία κύλιση στο B. Το κέντρο βάρους είναι στο G. Να βρείτε τις τιμές των αντιδράσεων στα A και B. Λύση 1. Κατασκευάζουμε το Δ.Ε.Σ. και μετατρέπουμε τις μάζες σε βάρη. 2. Προσδιορισμός του Β: 0 B(1,5 m)-(9,81 kn)(2 m)-(23,5 kn) (6 m)=0 B 107,1 kn ( ) 3. Προσδιορισμός του A: F 0 A B 0 A 107,1 kn=0 A 107,1 kn ( ) x x x x F 0A y 9,81 kn 23,5 kn=0 A 33,3 kn ( ) y y 26
Τέλος Ενότητας 27