http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: + (i) d (ii) cos( ) + + d (iii) + + d Υπόδειξη: Για το (i) να χρησιμοποιήσετε ολοκλήρωση με αντικατάσταση (Κεφ., Σ.Ε.Υ. Ολοκληρώματα ΙΙ), για το (ii) να χρησιμοποιήσετε παραγοντική ολοκλήρωση (Κεφ. 5, Σ.Ε.Υ. Ολοκληρώματα ΙΙ) και για το (iii) ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων (Κεφ. 7, Σ.Ε.Υ. Ολοκληρώματα ΙΙ). (i) (( ) + + ) ( ) + y + d = d = d( ) = dy + + + y+ Κάνουμε την διαίρεση και βρίσκουμε ότι: y + y+ y y y y + y + Δηλαδή: y + = y + y+ y+ Επομένως έχουμε ότι: y + y dy = y + dy = ydy dy + dy = y + ln( y + ) + c y+ y+ y+ Δηλαδή τελικά: + ( ) d = ( ) + ln( + ) + c = + ln( + ) + c + (ii) I = cos( + ) d = cos( + ) d = = cos( + ) cos( ) d cos( ) -sin ( ) d + = + + =
http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: = cos = cos( + ) + sin( + ) [ sin( + ) ] d = = cos( + ) + sin ( + ) cos( + ) d = 9 9 4 = cos( + ) + sin ( + ) cos( + ) d = 9 9 4 = cos( + ) + sin( + ) I 9 9 4 I + I = cos( + ) + sin ( + ) 9 9 I = cos( + ) + sin ( + ) 9 9 9 9 I = cos( + ) + sin ( + ) 9 I = cos( + ) + sin( + ) + c (iii) ( + ) + sin( + ) d = cos( + ) + sin( + ) d = I = + d + Μετατρέπουμε το κλάσμα σε απλά κλάσματα, αφού πρώτα παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή: + = + ( ) = ( )( + + ) + ( ) = = ( )( + + + ) = ( )( + + ) = ( )( + ) + A B C = + + + + ( + ) + = + + + + Η σχέση () ισχύει για κάθε, άρα και για =-, οπότε βρίσκουμε: =C C =, άρα η () γίνεται: + = A( + ) + B( )( + ) + () Η () για = γίνεται: 4= 4A A=, άρα η () γίνεται: + = ( + ) + B( )( + ) + () Τέλος η () για = δίνει: = B B = δηλ. τελικά: A( ) B( )( ) C( ) () + = + + + + ( + )
http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Τώρα έχουμε: I = + + d= d+ d+ ( + ) d( + ) = + ( + ) + + ( + ) = ln( ) + ln( + ) + = ln( ) + ln( + ) + c + + Άσκηση. (5 μονάδες) (α) (Μονάδες ) Δείξτε ότι το ολοκλήρωμα : I = d ( ) p p R συγκλίνει αν και μόνο αν p <. (β) (Μονάδες 5) Να υπολογίσετε το γενικευμένο ολοκλήρωμα: I = d Υπόδειξη: Τα παραπάνω γενικευμένα ολοκληρώματα μελετάει το Κεφ. του βιβλίου του κ. Δάσιου (Κεφ.. και.) (δες επίσης ΣΕΥ Ολοκληρώματα, σελ. 9). Στο I μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ολοκλήρωση με αντικατάσταση (Κεφ. από ΣΕΥ). (α) Υπολογίζουμε αρχικά το ολοκλήρωμα: p p ( ) ( ) ( ) + ε + ε + ε ( ) p+ I ( ε) = d = ( ) d = d = p + p+ p+ p ε = = + p+ p+ p p p pε = = + ε p () Από την σχέση () παρατηρούμε πως όταν p>, τότε ο δεύτερος όρος έχει όριο το άπειρο, όταν το ε->, δηλ.: I = lim I( ε) = + lim =+ ε p p p ε ε οπότε το ολοκλήρωμα αποκλίνει για p>. Αντιθέτως, όταν p<, τότε: p lim I( ε) = + limε = + = ε p p ε p p και το ολοκλήρωμα συγκλίνει. (β) I = d Υπολογίζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.
http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Κάνουμε την αντικατάσταση -=y => d=-dy κι έχουμε: + y / / dy y dy 6 y d = = + = dy + y dy = y y /+ /+ / / y y y y / = 6 + = 6 + = y + y = y( y6) /+ /+ / / Δηλαδή, ως προς : d = = ( 6) = ( 4) = ( + 4) Επομένως το ορισμένο ολοκλήρωμα γίνεται: ε I( ε) = d= ( 4) ( 4) + = = ε + = = (6 ε) ε ( 4) + = (6 ε) ε + () Από την σχέση () βλέπουμε ότι όταν ε->, τότε: I ε ε ( ε ) ε ) = lim I ( ε ) = + + lim (6 = + = Άσκηση. ( μονάδες) (α) Ρίχνουμε δύο ζάρια μια φορά.. (Μον. ) Ποιος είναι ο δειγματοχώρος ;. Ποια είναι τα γεγονότα που ακολουθούν και ποια η πιθανότητα καθενός από αυτά : i) (Μον. 4) Το άθροισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 7, ii) (Μον. 4) Οι αριθμοί που δείχνουν τα ζάρια είναι ίσοι. (β) (Μον. ) Αν ρίχναμε ζάρια ταυτόχρονα, είναι ισοπίθανες οι περιπτώσεις να φέρουμε άθροισμα ή ; (γ) Ας υποθέσουμε ότι οι πρωτοετείς φοιτητές της ΠΛΗ επιλέγουν στο πρώτο έτος την θεματική ενότητα ΠΛΗ σε ποσοστό 6%, και την ΠΛΗ σε ποσοστό 5%, ενώ το ποσοστό των φοιτητών που επιλέγουν και τις θεματικές ενότητες είναι %. Αν διαλέξουμε έναν τυχαίο πρωτοετή φοιτητή της ΠΛΗ, τότε :. (Μον. 5) Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «ο τυχαίος φοιτητής να έχει επιλέξει τουλάχιστον μια από τις δύο θεματικές ενότητες» ;. (Μον. 5) Ποια είναι η πιθανότητα του γεγονότος «ο τυχαίος φοιτητής να έχει επιλέξει ακριβώς μια από τις δύο θεματικές ενότητες» ; Υπόδειξη. Η έννοια του δειγματικού χώρου ορίζεται στο Κεφ.. του βιβλίου, ενώ βασικές προτάσεις και η αξιωματική θεμελίωση της πιθανότητας αναφέρονται στο Κεφ.. του βιβλίου (δες επίσης ΣΕΥ, Κεφ.. από Πιθανότητες Ι). (α). Ω={(,), (,), (,), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (,), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (,), (,4), (,5), (,6), (4,), (4,), (4,), (4,4), (4,5), (4,6), (5,), (5,), (5,), (5,4), (5,5), (5,6), (6,), (6,), (6,), (6,4), (6,5), (6,6)} Ν(Ω)=6 4
. http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: i) A={(,6),(,5),(,6),(,4),(,5),(,6),(4,),(4,4),(4,5),(4,6),(5,),(5,),(5,4),(5,5),(5,6),( 6,),(6,),(6,),(6,4),(6,5),(6,6)} Ν(Α)= P(A)=N(A)/N(Ω)=/6=7/=,58=58, % ii) B={(,),(,),(,),(4,4),(5,5),(6,6)} Ν(Β)=6 P(Β)=N(Β)/N(Ω)=6/6=/6=,667=6,67 % (β) Ω={(,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,4,), (,4,), (,4,), (,4,4), (,4,5), (,4,6), (,5,), (,5,), (,5,), (,5,4), (,5,5), (,5,6), (,6,), (,6,), (,6,), (,6,4), (,6,5), (,6,6), (,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,4,), (,4,), (,4,), (,4,4), (,4,5), (,4,6), (,5,), (,5,), (,5,), (,5,4), (,5,5), (,5,6), (,6,), (,6,), (,6,), (,6,4), (,6,5), (,6,6), (,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,,), (,,), (,,), (,,4), (,,5), (,,6), (,4,), (,4,), (,4,), (,4,4), (,4,5), (,4,6), (,5,), (,5,), (,5,), (,5,4), (,5,5), (,5,6), (,6,), (,6,), (,6,), (,6,4), (,6,5), (,6,6), (4,,), (4,,), (4,,), (4,,4), (4,,5), (4,,6), (4,,), (4,,), (4,,), (4,,4), (4,,5), (4,,6), (4,,), (4,,), (4,,), (4,,4), (4,,5), (4,,6), (4,4,), (4,4,), (4,4,), (4,4,4), (4,4,5), (4,4,6), (4,5,), (4,5,), (4,5,), (4,5,4), (4,5,5), (4,5,6), (4,6,), (4,6,), (4,6,), (4,6,4), (4,6,5), (4,6,6), (5,,), (5,,), (5,,), (5,,4), (5,,5), (5,,6), (5,,), (5,,), (5,,), (5,,4), (5,,5), (5,,6), (5,,), (5,,), (5,,), (5,,4), (5,,5), (5,,6), (5,4,), (5,4,), (5,4,), (5,4,4), (5,4,5), (5,4,6), (5,5,), (5,5,), (5,5,), (5,5,4), (5,5,5), (5,5,6), (5,6,), (5,6,), (5,6,), (5,6,4), (5,6,5), (5,6,6), (6,,), (6,,), (6,,), (6,,4), (6,,5), (6,,6), (6,,), (6,,), (6,,), (6,,4), (6,,5), (6,,6), (6,,), (6,,), (6,,), (6,,4), (6,,5), (6,,6), (6,4,), (6,4,), (6,4,), (6,4,4), (6,4,5), (6,4,6), (6,5,), (6,5,), (6,5,), (6,5,4), (6,5,5), (6,5,6), (6,6,), (6,6,), (6,6,), (6,6,4), (6,6,5), (6,6,6)} Ν(Ω)=6 Α={άθροισμα=}={(,4,6),(,5,5),(,6,4),(,,6),(,4,5),(,5,4),(,6,),(,,6),(,,5 ),(,4,4),(,5,),(,6,),(4,,6),(4,,5),(4,,4),(4,4,),(4,5,),(4,6,),(5,,5),(5,,4),(5,, ),(5,4,),(5,5,),(6,,4),(6,,),(6,,),(6,4,)} Ν(Α)=7 Ρ(Α)=N(A)/N(Ω)=7/6=/8=,5=,5 % 5
http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Β={άθροισμα=}={(,5,6),(,6,5),(,4,6),(,5,5),(,6,4),(,,6),(,4,5),(,5,4),(,6, ),(4,,6),(4,,5),(4,4,4),(4,5,),(4,6,),(5,,6),(5,,5),(5,,4),(5,4,),(5,5,),(5,6,),(6,, 5),(6,,4),(6,,),(6,4,),(6,5,)} Ν(Β)=5 Ρ(Β)=Ν(Β)/Ν(Ω)=5/6=,57=,57%,5 % = Ρ(Α) Όχι. (γ) Έστω τα ενδεχόμενα: Α={ο φοιτητής επιλέγει την ΠΛΗ} με Ρ(Α)=,6 Β={ο φοιτητής επιλέγει την ΠΛΗ} με Ρ(Β)=,5 Επίσης δίνεται ότι: PA ( B) =, Τότε θα έχουμε:. PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) =,6 +,5, =,8 = 8%. Έστω τα ενδεχόμενα: Γ= A B, Δ= A B Γνωρίζουμε ότι: PA ( ) = PA ( B) + PA ( B) PA ( B) = PA ( ) PA ( B) P( Γ ) =,6, =, Ομοίως έχουμε ότι: PB ( ) = PB ( A) + PB ( A) PB ( A) = PB ( ) PA ( B) P( Δ ) =,5, =, Επειδή τα ενδεχόμενα Γ και Δ είναι ξένα μεταξύ τους: Γ Δ = ( A B ) ( A B) = A B A B = A A B B = { } έχουμε τελικά ότι: P( Γ Δ ) = P( Γ ) + P( Δ ) =, +, =,5 = 5% Άσκηση 4. ( μονάδες) Λόγω ενός σφάλματος που δημιουργήθηκε στο Intrnt τα πακέτα δεδομένων μεταξύ υπολογιστών τα οποία αποστέλλονται από Θεσσαλονίκη προς Αθήνα δρομολογούνται μέσω Ιωαννίνων με πιθανότητα /. Ένα πακέτο δεδομένων που δρομολογείται μέσω Ιωαννίνων έχει πιθανότητα / να χαθεί μέχρι να φτάσει στην Αθήνα. Αν πάλι ένα πακέτο δεδομένων δεν δρομολογηθεί μέσω Ιωαννίνων τότε έχει την πιθανότητα /4 να χαθεί.. (Μονάδες 5) Ποια είναι η πιθανότητα να χαθεί ένα πακέτο δεδομένων από Θεσσαλονίκη προς Αθήνα;. (Μονάδες 5) Ποια η πιθανότητα ένα πακέτο δεδομένων που έφτασε στην 6
http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Αθήνα να ήρθε μέσω Ιωαννίνων; Υπόδειξη. Να ορίσετε τα γεγονότα Α={ένα πακέτο δεδομένων δρομολογείται μέσω Ιωαννίνων}, Β={ένα πακέτο δεδομένων χάνεται}. Θα σας βοηθήσει ιδιαίτερα το κεφάλαιο.5 του βιβλίου (Δεσμευμένη Πιθανότητα) καθώς και το κεφάλαιο. από το ΣΕΥ Πιθανότητες Ι που αναφέρεται στο ίδιο αντικείμενο.. Έστω τα ενδεχόμενα: Α ={το πακέτο δρομολογείται μέσω Ιωαννίνων}, Ρ(Α )=/ Α ={το πακέτο δεν δρομολογείται μέσω Ιωαννίνων}, Ρ(Α )=- Ρ(Α ) = / Ε={το πακέτο χάνεται} Από τον τύπο της Ολικής Πιθανότητας έχουμε: 5 P( Ε ) = P( Α) P( E Α ) + P( Α) P( E Α ) =. +. = =,778 = 7,78% 4 8. Έστω επίσης το ενδεχόμενο: Z={το πακέτο φτάνει στην Αθήνα} Από τον τύπο της Ολικής Πιθανότητας έχουμε: PZ ( ) = P( Α) PZ ( Α ) + P( Α) PZ ( Α ) =. +. = 4 8 Από τον τύπο του Bays έχουμε για την πιθανότητα ένα πακέτο που έφτασε τελικά στην Αθήνα να πέρασε πρώτα από τα Ιωάννινα ότι είναι ίση με:. P( Α) P( Z Α) 9 4 P( Α Z) = = = = =,77 =,77% PZ ( ) 8 8 Άσκηση 5. ( μονάδες) Ο χρόνος ζωής μίας τεχνητής καρδιάς (μετρούμενος σε έτη) είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας: f() =.5,av,av < ) (Μον. 5) Να επαληθεύσετε ότι η f () είναι πράγματι συνάρτηση πυκνότητας. ) (Μον. 5) Να βρεθεί η πιθανότητα να παρουσιασθεί ελάττωμα εντός ετών. ) (Μον. 5) Αν η τεχνητή καρδιά έχει ήδη λειτουργήσει για χρόνια ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργήσει άλλα 5 χρόνια; 4) (Μον. 5) Να υπολογιστεί η μέση τιμή EX και η τυπική απόκλιση σ της X.. Παρατηρούμε ότι είναι μη αρνητική: f () Επίσης είναι κανονικοποιημένη στην μονάδα: 7
http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: f ()d=.5 d Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι:.5 d = d = d = d = άρα το ορισμένο ολοκλήρωμα γράφεται: f ( )d =.5 d = lim = + = =. Έχουμε, χρησιμοποιώντας και το αόριστο ολοκλήρωμα που υπολογίσαμε στο ερ.. ότι για την τυχαία μεταβλητή: Χ={έτη καλής λειτουργίας της τεχνητής καρδιάς} θα ισχύει: P ( X ) = f ( )d =.5 d = = + = = = P ( X ) =,95 = 9,5%. Χρησιμοποιώντας την τυχαία μεταβλητή του ερ. έχουμε: P( { X 5} { X } ) P ( X 5) P ( X 5) P ( X 5 X ) = = = = P X P X P X ( ) ( ) 5 4 f()d 4 = 5 = + ( ) = = = = =, =,% f()d 4. E( X ) = f ( )d =.5 d Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι: y.5 d = d = d = y dy = ( ) ( ) y y y y y = y dy = y y dy = y + dy = y y = y = = άρα το ορισμένο ολοκλήρωμα γράφεται: E( X ) = lim = lim lim + = = 8
http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: ( ) =lim ( ) + = lim + = + E( X) = () Επίσης έχουμε: ( ) σ = V( X ) = E( X ) E( X ) () Υπολογίζουμε λοιπόν: E( X ) = f ( )d =.5 d Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι, αν χρησιμοποιήσουμε και ότι βρήκαμε στο ερ. : y.5 d = d = d = 4 y dy = y y y y y = 4 y ( ) dy 4 y ( )( y ) dy = = 4 y + 4 y dy = ( ) y y y y y y y = 4 y + 8 y dy = 4 y + 8 y dy = 4 y + 8 y = y y y 4 y 8 y + 8 = 4 8 8 = = 4 8 άρα το ορισμένο ολοκλήρωμα γράφεται: E( X ) = lim 4 8 4 8 = = =lim 4 lim 8 lim + + + 8 = 4( ) + 8 = 8 () όπως μπορεί εύκολα να δειχθεί με χρήση του κανόνα L Hospital δύο φορές στο όριο ( ) ( ) lim = lim = lim = 4 lim = 4 lim = άρα τελικά έχουμε από την () λόγω των () και () ότι: ( ) 8 8 4 4 σ = = = Άσκηση 6. ( μονάδες) Οι τιμές της χοληστερόλης σε κάποιο πληθυσμό είναι τιμές τυχαίας μεταβλητής X που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή gr/ dl και τυπική απόκλιση 65 gr/ dl.. (Μον. 5) Να υπολογισθεί το ποσοστό των ατόμων με μετρήσεις χοληστερόλης μεταξύ 5 και gr/ dl.. (Μον. 5) Να βρεθεί εκείνη η τιμή χοληστερόλης για την οποία το 8% του πληθυσμού να έχει μικρότερη μέτρηση από αυτήν. Υπόδειξη. Θα χρειαστεί να μελετήσετε από το κεφάλαιο 4 την παράγραφο 4.5 (κανονική κατανομή), καθώς επίσης και τον πίνακα της σελίδας 78. Μπορείτε επίσης να μελετήσετε από το Σ.Ε.Υ., Πιθανότητες - Λυμένες ασκήσεις. 9
http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Έστω η τυχαία μεταβλητή: Χ={τιμή χοληστερόλης σε ένα άτομο} Τότε έχουμε ότι: X ~ N ( μ =, σ = 65) Επομένως έχουμε:. 5 X μ P( 5 < X < ) = P < < = P(,77 < Z <,54) = 65 σ 65 = Φ(,54 ) Φ(,77 ) = Φ(,54 ) Φ(,77 ) = Φ(,54 ) + Φ(,77 ) = =,98 +,7794 =,776 = 7,76%. [ ] Έστω η ζητούμενη τιμή. Τότε θα έχουμε ότι: X P( X ) P μ P Z Φ < = < = < = =,8 σ 65 65 65 Από τους πίνακες της κανονικής κατανομής βρίσκουμε ότι: Φ (,84) =,8 Επομένως έχουμε:,8 (,84) Φ = = Φ =,84 = 65(,84 ) 65 65 = + 65(,84 ) = 54.6