ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ

Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ Γενική επιμέλει : Στράτης Αντωνές e-mail: strantoneas@gmailcom Ιστοσελίδ : http://usersschgr/stranton Τηλέφων επικοινωνίς 69745977 7 879

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδ Πρόλογος ΜΕΡΟΣ Α Κεφάλιο Μιγδικοί ριθμοί Ενότητ Η έννοι του μιγδικού ριθμού 5 Πράξεις μετξύ μιγδικών Συζυγής μιγδικού» Μέτρο μιγδικού ριθμού 8 Γενικές σκήσεις 5 ΜΕΡΟΣ Β Κεφάλιο Συνρτήσεις Όριο Συνέχει 5 Ενότητ Συνρτήσεις 55» Μονότονες συνρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση 8» Όριο συνάρτησης στο» 4 Ιδιότητες των ορίων 6» 5 Μη πεπερσμένo όριο στο 8» 6 Όρι συνάρτησης στο άπειρο 6» 7 Συνέχει συνάρτησης 48» 8 Βσικά θεωρήμτ συνεχών συνρτήσεων 59 Γενικές σκήσεις 8 Κεφάλιο Διφορικός Λογισμός 85 Ενότητ Η έννοι της πργώγου 87» Πράγωγος συνάρτησης Κνόνες πργώγισης 6» Εφπτόμενη διγράμμτος συνάρτησης» 4 Ρυθμός μετβολής 4» 5 Θεώρημ Rolle 47» 6 Θεώρημ Μέσης Τιμής 6» 7 Συνέπειες θεωρήμτος Μέσης Τιμής 7» 8 Μονοτονί συνάρτησης 8» 9 Τοπικά κρόττ συνάρτησης 9» Κυρτότητ Σημεί κμπής 5» Ασύμπτωτες Κνόνες de L Hospital 5» Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης Γενικές σκήσεις 6 Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ενότητ Αόριστο ολοκλήρωμ» Μέθοδοι ολοκλήρωσης 44» Ορισμένο ολοκλήρωμ 57» 4 Η συνάρτηση F() f () 68» 5 Το θεμελιώδες θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού 78» 6 Εμβδόν επίπεδου χωρίου 47 Γενικές σκήσεις 4 Θέμτ Πνελληνίων 48 Βιβλιογρφί 449

ΠΡΟΛΟΓΟΣ T ο βιβλίο πευθύνετι κτά βάση στο μθητή που θ διγωνιστεί στο μάθημ των Μθημτικών κτεύθυνσης της Γ Λυκείου στις Πνελλήνιες εξετάσεις γι την εισγωγή του στην τριτοβάθμι εκπίδευση Κάθε ενότητ περιέχει τη θεωρί με πρτηρήσεις κι σχόλι Στη συνέχει υπάρχουν τξινομημένες ομάδες λυμένων κι άλυτων - σκήσεων Τ λυμέν θέμτ βοηθούν στην επεξήγηση κι εμπέδωση της θεωρίς κι πολλά πό υτά δίνουν έμφση κι νδεικνύουν τ λεπτά σημεί τ οποί θέλουν ιδιίτερη προσοχή κι εμβάθυνση Ο μεγάλος ριθμός των άλυτων σκήσεων με πντήσεις βοηθάει στην πλήρη νσκόπηση της ύλης κάθε ενότητς κθώς κι κάθε κεφλίου Ακολουθούν ερωτήσεις γι τη κτνόηση των εννοιών των προτάσεων κι των πρτηρήσεων που προυσιάζοντι Το περιεχόμενο του βιβλίου είνι χωρισμένο σε δύο μέρη Το πρώτο μέρος νφέρετι στους Μιγδικούς ριθμούς Ο μθητής έρχετι σε επφή γι πρώτη φορά με την έννοι του φντστικού κι του μιγδικού ριθμού Επειδή όλη την προηγούμενη περίοδο δούλευε με τους πργμτικούς ριθμούς κι έχει εξοικειωθεί με τις ιδιότητές τους, έχει την εντύπωση ότι υτές είνι συνδεδεμένες με κάθε σύνολο ριθμών Γι υτό στην ρχή δυσπιστεί σε ριθμούς που το τετράγωνό τους είνι ρνητικό Στη συνέχει γνωρίζοντς τις πράξεις, τις ιδιότητές τους κθώς κι την νπράστσή τους στο επίπεδο, θ είνι σε θέση ν ποδεχθεί κι ν μπορεί ν κτνοήσει κλύτερ τη λειτουργί τους Άλλωστε, ότν οι μελετητές το 6 ο ιών έφθσν στην έννοι του μιγδικού ριθμού προσπθώντς ν βρουν ένν γενικό τρόπο λύσης των πολυωνυμικών εξισώσεων με βθμό νώτερο του δευτέρου, τους ντιμετώπισν σν μι προσωρινή πρέκκλιση πό τον κόσμο των Μθημτικών Πέρσε σχεδόν ένς ιώνς γι ν γίνουν ποδεκτοί πό τη μθημτική κοινότητ κι ν νγνωριστεί η σημσί κι η χρησιμότητά τους σε πλήθος γνωστικών τομέων κι κτέληξε στην νάπτυξη ενός ευρύττου πεδίου, της Μιγδικής Ανάλυσης Το δεύτερο μέρος ξεκινά με την έννοι της πργμτικής συνάρτησης, μις πργμτικής μετβλητής, με την οποί ο μθητής έχει δουλέψει σε προηγούμενες τάξεις Ορίζετι η ισότητ μετξύ δύο συνρτήσεων, ο λογισμός των πράξεων κι νφέρετι η γρφική πράστση γνωστών μέχρι τώρ συνρτήσεων Ακόμ ορίζετι μι νέ πράξη η οποί είνι χρκτηριστική μετξύ των συνρτήσεων, η σύνθεση Κτόπιν εισάγοντι τ βσικά χρκτηριστικά μις συνάρτησης, η μονοτονί, τ κρόττ, το έν προς έν, το οποίο επιτρέπει την κτσκευή της ντίστροφης συνάρτησης Έτσι μετά την άλγεβρ των συνρτήσεων φθάνουμε στην κεντρική έννοι της Μθημτικής Ανάλυσης, στην έννοι του ορίου Είνι μι ρκετά λεπτή έννοι όπου εδώ εισάγετι διισθητικά, γιτί ο ορισμός κι η χρήση του πιτεί μι μθημτική ωριμότητ, η οποί δεν είνι δεδομένη υτή τη χρονική στιγμή Πρτίθεντι οι ιδιότητες των ορίων, με τη βοήθει των οποίων νπτύσσοντι τεχνικές υπολογισμού του ορίου μις συνάρτησης, εφ όσον υτό υπάρχει Γίνετι νφορά στις προσδιόριστες μορφές, το άπειρο όριο κθώς κι το όριο συνάρτησης ότν η νεξάρτητη μετβλητή τείνει στο άπειρο Με τη βοήθει του ορίου ορίζετι η έννοι της συνέχεις, η οποί εποπτικά πρπέμπει στην ι- διότητ η γρφική πράστσή της ν είνι μι συνεχόμενη γρμμή ότν σχεδιστεί στο χρτί Η ιδιότητ της συνέχεις γι μι συνάρτηση είνι η ουσιστική προϋπόθεση πό την οποί πορρέουν βσικά θεωρήμτ που χρκτηρίζουν τη μεγάλη κλάση των συνεχών συνρτήσεων Το θεώρημ Bolzano είνι το πρώτο πό υτά Το θεώρημ ενδιμέσων τιμών, το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής ότν η συνάρτηση είνι ορισμένη σε κλειστό διάστημ [, β] Η πρότση που νφέρετι στην εικόν ενός διστήμτος

μέσω μις συνεχούς μη στθερής συνάρτησης κθώς κι το θεώρημ γι την εύρεση του συνόλου τιμών μις συνεχούς κι μονότονης συνάρτησης, ποτελούν τ ισχυρά συμπεράσμτ που χρκτηρίζουν τις συνεχείς συνρτήσεις Το επόμενο κεφάλιο είνι φιερωμένο στον Διφορικό Λογισμό, το λογισμό δηλδή των συνρτήσεων στις οποίες ορίζετι ο πράγωγος ριθμός Η κλάση των πργωγίσιμων συνρτήσεων είνι μι υποκτηγορί των συνεχών, στις οποίες ισχύουν μι σειρά πό θεωρήμτ που μς επιτρέπουν ν μελετήσουμε πλήρως μι συνάρτηση, ν σχεδιάσουμε τη γρφική της πράστση κι ν εξάγουμε χρήσιμ συμπεράσμτ Το θεωρήμτ Rolle, Μέσης Τιμής, γι τη μονοτονί, τ κρόττ κθώς κι τ κοίλ μς προμηθεύουν ισχυρές μεθόδους γι τη σε βάθος μελέτη των συνρτήσεων Οι μέθοδοι είνι γενικές κι εφρμόζοντι στο σύνολο των συνρτήσεων που νκύπτουν πό όλ τ επιστημονικά πεδί Έτσι το πλήθος των εφρμογών που συνντούμε εδώ είνι τεράστιο σε ποικιλί κι άπτετι σχεδόν όλων των κλάδων Το τελευτίο κεφάλιο νφέρετι στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Εισάγετι η έννοι της πράγουσς συνάρτησης κι του όριστου ολοκληρώμτος Προυσιάζετι ο πίνκς των βσικών όριστων ολοκληρωμάτων Στη συνέχει διτυπώνοντι τ δύο βσικά θεωρήμτ γι τον υπολογισμό τους, υτό της πργοντικής ολοκλήρωσης κι της ολοκλήρωσης με λλγή μετβλητής Ακολουθεί το ορισμένο ολοκλήρωμ με τις ιδιότητές του, ώσπου φθάνουμε στο θεμελιώδες θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού, με το οποίο γίνετι δυντός ο υπολογισμός των ορισμένων ολοκληρωμάτων Στο τέλος δίνετι ο τρόπος υπολογισμού του εμβδού επίπεδων χωρίων που σχημτίζοντι πό τις γρφικές πρστάσεις συνρτήσεων, τους άξονες των συντετγμένων κι κάθετες ευθείες Το μεγάλο πλήθος κθώς κι η ποικιλί των προβλημάτων που ντιμετωπίζοντι με την Μθημτική Ανάλυση μς κάνει ν την χρκτηρίζουμε, χωρίς υπερβολή, ως το - πόλυτο μθημτικό εργλείο Γι υτό σε όλ τ εκπιδευτικά προγράμμτ που συντάσσοντι κτά κιρούς την περιέχουν στο βσικό τους μέρος Πρδίδοντς το βιβλίο υτό στους μθητές, εκφράζω την ελπίδ ν συνεισφέρει στην σκληρή προετοιμσί τους, γι την εισγωγή τους στην τριτοβάθμι εκπίδευση Στράτης Αντωνές Σπάρτη, Ιούνιος Ότν ήμουν μικρός, κόμπζ γι το πόσο πολλές σελίδες διάβζ σε μί ώρ Στο κολέγιο έ- μθ πόσο βλκώδες ήτν υτό Το ν διβάζεις δέκ σελίδες μθημτικά την ημέρ μπορεί ν είνι ένς εξιρετικά γοργός ρυθμός Ακόμ κι μί σελίδ, όμως, μπορεί ν είνι ρκετή WILLIAM THRUSTON Μετάλλιο Φιλντς, Πνεπιστήμιο Πρίνστον

ΜΕΡΟΣ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοι του μιγδικού ριθμού Πράξεις μετξύ μιγδικών Συζυγής μιγδικού Μέτρο μιγδικού ριθμού Τ ο σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι το τελευτίο σύνολο στην λυσίδ στο οποίο μι πολυωνυμική εξίσωση έχει τουλάχιστον μι ρίζ Μάλιστ έχει τόσες ρίζες όσες κι ο βθμός της (συμπεριλμβνομένων των πολλπλών ριζών) Άλλωστε η έννοι του μιγδικού ριθμού ξεπήδησε μέσ πό την προσπάθει επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων ου κι 4 ου βθμού πό τους μθημτικούς της Ανγέννησης στις πόλεις της Ιτλίς του 6 ου ιών Έτσι ορίζετι το σύνολο των μιγδικών ως μι ε- πέκτση του συνόλου των πργμτικών ριθμών με την επισύνψη του φντστικού ριθμού i Στο νέο σύνολο ορίζετι η ισότητ, οι πράξεις κι νφέροντι οι ιδιότητές τους Ακόμ επισημίνοντι έννοιες κι ιδιότητες των πργμτικών οι οποίες δεν μετφέροντι στους μιγδικούς ριθμούς, όπως η διάτξη Η γεωμετρική πράστση των μιγδικών ριθμών στο κρτεσινό επίπεδο βοηθά στην κλύτερη κτνόηση του συνόλου τους Η ντιστοιχί πράξεων στους μιγδικούς με πράξεις μετξύ δινυσμάτων φνερώνουν τη σύνδεση ενός προηγούμενου μθημτικού πεδίου με το νέο, των μιγδικών ριθμών Η γεωμετρική νπράστσή των μιγδικών, ήτν ένς βσικός λόγος που ώθησε στην εδρίωση της ποδοχής τους πό τη μθημτική κοινότητ, η οποί στην ρχή κρτούσε μι επιφυλκτική στάση, στ τέλη του 6 ου ιών Ορίζετι η έννοι του μέτρου ενός μιγδικού - ριθμού, η οποί είνι επέκτση της πόλυτης τιμής στους πργμτικούς ριθμούς Το μέτρο χρησιμοποιείτι γι ν εκφράσει την πόστση των εικόνων δύο μιγδικών στο επίπεδο κι με υτόν τον τρόπο μπορούμε ν διτυπώσουμε πολλά γεωμετρικά προβλήμτ με τη χρήση μιγδικών Ακόμ θέμτ με τυπικό λγεβρικό χρκτήρ μπορούν ν βρουν μι γεωμετρική νπράστση κι ν γίνει κλύτερ κτνοητό το συμπέρσμ Ο συνδυσμός λγεβρικής γλώσσς κι γεωμετρικής οπτικής είνι ρκετά γόνιμος στην κτνόηση προβλημάτων λλά κι στην επινόηση νέων

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΝΟΤΗΤΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Το Άγιο Πνεύμ βρήκε την τέλει έκφρσή του σ υτό το θύμ της Ανάλυσης, σ υτή την πεμπτουσί του κόσμου των ιδεών, σ υτό το μφίβιο πλάσμ, νάμεσ στην ύπρξη κι τη μη ύπρξη, που ποκλούμε φντστική ρίζ της ρνητικής μονάδς GOTTFRIED LEIBNIZ(646 76) Μ έχρι τον 6 ο ιών ήτν γνωστή η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων δευτέρου βθμού Από την ρχιότητ κόμ είχν βρεθεί μέθοδοι επίλυσής τους κι ργότερ με την νάπτυξη του λγεβρικού λογισμού είχε β ± β 4γ διτυπωθεί ο τύπος Η προσπάθει εύρεσης ενός γενικού τύπου που θ δίνει τις λύσεις μις πολυωνυμικής εξίσωσης τρίτου κι ργότερ τέτρτου βθμού ήτν έν νέο επίτευγμ κι σημτοδότησε πό πλευράς των Μθημτικών την εποχή μετά το Μεσίων H μέθοδος που επινοήθηκε πιτούσε συχνά τον υπολογισμό της τετργωνικής ρίζς μις ρνητικής ποσότητς Στην ρχή υτό πορρίφθηκε, λλά ργότερ πρτήρησν ότι πρστάσεις της μορφής β όπου, β οποιοιδήποτε πργμτικοί ριθμοί, μπορούσν ν θεωρηθούν σν διώνυμ κι ν δώσουν τ ίδι ποτελέσμτ όπως τ ντίστοιχ διώνυμ με θετικές ποσότητες Με την ποδοχή υτών των πρστάσεων, η μέθοδος γι τη λύση των εξισώσεων, μπορούσε ν εφρμοστεί σε όλες τις περιπτώσεις Το ποτέλεσμ υτής της ποδοχής ήτν η εισγωγή της έννοις του μιγδικού ριθμού, η οποί στην ρχή δημιούργησε μηχνί κι σκεπτικισμό Είνι ξιοσημείωτο πως κόμ κι ο Νεύτων, είχε μφιβολίες κτά πόσον «έν εξωπργμτικό μέγεθος μπορεί ν βοηθήσει στην επίλυση πργμτικών προβλημάτων» Στους επόμενους ιώνες οι μιγδικοί ριθμοί χρησιμοποιήθηκν στη Γεωμετρί, την Ανάλυση κι νπτύχθηκν νέοι κλάδοι στ Μθημτικά, τ ποτελέσμτ των οποίων χρησιμοποιήθηκν γι την επίλυση προβλημάτων στην επιστήμη Ορισμός του συνόλου των μιγδικών ριθμών Το σύνολο των μιγδικών ριθμών είνι έν υπερσύνολο του συνόλου των πργμτικών ριθμών, στο οποίο: Επεκτείνοντι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ έτσι, ώστε ν έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο, με το μηδέν () ν είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έν () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού Υπάρχει έν στοιχείο i τέτοιο, ώστε i Κάθε στοιχείο z του γράφετι κτά μονδικό τρόπο με τη μορφή z βi, όπου, β Κάθε μιγδικός ριθμός βi,, β είνι η σύνθεση ενός πργμτικού ριθμού κι του βi τον οποίο ονομάζουμε φντστικό ριθμό O λέγετι πργμτικό μέρος του z κι συμβολίζετι Re(z) O β λέγετι φντστικό μέρος του z κι συμβολίζετι Im(z) Στο σύνολο κάθε πργμτικός ριθμός εκφράζετι ως i, ενώ κάθε φντστικός ριθμός βi εκφράζετι ως βi Ιδιότητες των πράξεων Ιδιότητες των πράξεων στο Πρόσθεση Πολλπλσισμός Προσετιριστική (z z ) z z (z z ) (z z )z z (z z ) Αντιμετθετική z z z z z z z z Ουδέτερο στοιχείο z z z z z z Συμμετρικό στοιχείο z ( z) ( z) z z z z z, z Επιμεριστική z (z z ) z z z z Διγρφή z z z z z z zz zz z z, z z Λύση εξίσωσης z z z z z z zz z z z, z Ισότητ μιγδικών ριθμών Επειδή κάθε μιγδικός ριθμός γράφετι κτά μονδικό τρόπο στη μορφή βi τότε: βi γ δi γ κι β δ Επειδή i, τότε: βi κι β Συζυγής ενός μιγδικού Αν z βi είνι ένς μιγδικός ριθμός τότε ο z βi λέγετι συζυγής του z Στην επέκτση πό το στο οι πράξεις κι οι ιδιότητες υτών που ισχύουν στο εξκολουθούν ν ισχύουν κι στο Η διάτξη κι οι ι- διότητές της δε μετφέροντι Δηλδή το σύνολο των μιγδικών ριθμών δεν είνι διτετγμένο Μπορούμε ν γράψουμε βi < γ δi ν κι μόνο ν < γ κι β δ Γεωμετρική πράστση μιγδικού κι του συζυγή του Ένν μιγδικό ριθμό z βi μπορούμε ν τον ντιστοιχίσουμε στο σημείο Μ(, β) του κρτεσινού επιπέδου Το σημείο Μ λέγετι εικόν του μιγδικού z Έτσι το κρτεσινό επίπεδο του οποίου τ σημεί είνι εικόνες μιγδι-

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 κών ριθμών θ λέγετι μιγδικό επίπεδο Ο μιγδικός ριθμός z βi πριστάνετι επίσης κι με τη δινυσμτική κτίν, OM, του σημείου Μ(, β) Ο συζυγής z βi του μιγδικού z, ντιστοιχίζετι στο σημείο Μ (, β) Πριστάνετι κόμ κι με τη δινυσμτική κτίν σημείου Μ (, β) O M του Πράξεις στο σύνολο των μιγδικών Γι την πρόσθεση των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi έχουμε: z z ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i Γι την φίρεση του μιγδικού ριθμού z γ δi πό τον z βi έχουμε: z z ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i Μπορούμε ν σχεδιάσουμε στο μιγδικό επίπεδο μί νπράστση του θροίσμτος κι της διφοράς δύο μιγδικών Σχέδιο Σχέδιο Αν Μ (, β) κι Μ (γ, δ) είνι οι εικόνες των βi κι γ δi ντίστοιχ στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i πριστάνετι με το σημείο Μ(γ, βδ) (Σχέδιο ) Επομένως, OM OM OM, δηλδή: Η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος των μιγδικών βi κι γ δi είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτίνων τους Επίσης, η διφορά ( βi) (γ δi) ( γ) (β δ)i πριστάνετι με το σημείο Ν( γ, β δ) (Σχέδιο ) Επομένως, ON OM OM, δηλδή: Η δινυσμτική κτίν της διφοράς των μιγδικών βi κι γ δi είνι η διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους Γι τον πολλπλσισμό των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi έχουμε: z z ( βi)(γ δi) γ δi βγi (βi)(δi) γ δi βγi βδi γ δi βγi βδ (γ βδ) (δ βγ)i Γι το πηλίκο των μιγδικών ριθμών z βi κι z γ δi με z έχουμε:

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ z z βi γ δi ( βi )( γ δi ) ( γ δi)( γ δi) ( γ βδ) ( βγ δ) i γ δ γ βδ γ δ βγ δ i γ δ Δύνμη μιγδικού Τυτότητες κι τύποι στους μιγδικούς ριθμούς Γι κάθε θετικό κέριο ν με ν > ορίζουμε z z, z zz, κι γενικά z ν z ν z Αν z, ορίζουμε z, z ν γι κάθε θετικό κέριο ν ν z Αν η ευκλείδει διίρεση του ν με το 4 δίνει πηλίκο ρ κι υπόλοιπο υ τότε θ έχουμε:, ν υ i ν i 4ρυ i 4ρ i υ (i 4 ) ρ i υ ρ i υ i υ i, ν υ, ν υ i, ν υ Επειδή οι ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού ισχύουν στο όπως κι στο τότε θ ισχύουν τυτότητες κι τύποι που γνωρίζουμε στο πχ (z ± w) z ± zw w, (z w)(z w) z w, (z ± w) z ± z w zw w, κλπ Ισχύουν οι τύποι που γνωρίζουμε που δίνουν το ν-οστό όρο κι το άθροισμ των ν πρώτων όρων μις ριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου ν (ν )ω, S ν ν ( ν ) ν [ (ν )ω] ν λ ν, S ν ( ν λ ), λ λ Προσοχή! Προτάσεις που ισχύουν στο κι βσίζοντι στη διάτξη ΔΕΝ ισχύουν στο Γι πράδειγμ: Αν, y με y τότε y ( y y Όμως, οπότε κι y y ) Αντίθετ ν z, w με z w τότε δεν είνι πρίτητ οι z, w μηδέν Πράγμτι, ν z κι w i τότε z w i ΠΡΟΤΑΣΗ: Γι τους συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z βi κι z βi ι- σχύουν: (i) z z a (ii) z z βi (iii) z z β Απόδειξη: (i) z z ( βi) ( βi) βi βi (ii) z z ( βi) ( βi) βi βi βi (iii) z z ( βi)( βi) (βi) β i β Από την (i) έχουμε ότι: Re(z) z z Από την (ii) έχουμε ότι: Im(z) β z z i ΠΡΟΤΑΣΗ: Γι ένν μιγδικό ριθμό z ισχύουν τ επόμεν: (i) z z z (ii) z I z z

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9 Απόδειξη: Αν είνι z βi, με, β τότε έχουμε: (i) z z βi βi βi β z (ii) z z βi (βi) βi βi z I ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν z βi κι z γ δi είνι δύο μιγδικοί ριθμοί, τότε ν ποδείξετε ότι: (i) z z z z z z z z (ii) (iii) z z z z z (iv) z z, z z Απόδειξη: (i) z z ( βi) ( γ δi) ( γ) ( β δ) i (γ) (βδ)i γ βi δi ( βi) (γ δi) z z (ii) ( ος τρόπος) z z ( βi) ( γ δi) ( γ) ( β δ) i ( γ) (β δ)i γ βi δi ( βi) (γ δi) z z ( ος τρόπος) z z z ( z) z ( z ) z z Επειδή ( z ) ( γ δi) γ δi γδi (γ δi) z (iii) z z ( βi)( γ δi) ( γ βδ) ( δ βγ) i (γ βδ) (δβγ)i γ βδ δi βγi γ( βi) δi( βi) ( βi)(γ δi) z z (iv) ( ος τρόπος) z z βi γ δi ( βi)( γ δi) ( γ δi)( γ δi) ( γ βδ) ( βγ δ) i γ βδ βγ δ γ δ γ δ γ δ z βi ( βi )( γ δi ) ( γ βδ) ( δ βγ) i γ βδ βγ δ i z γ δi ( γ δi)( γ δi) γ δ γ δ γ δ z Επομένως z z z ( ος τρόπος) z z z z z z z z z z z z ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Γενικότερ ισχύουν οι ιδιότητες: z z zν z z z ν Αν κ, κ,, κ ν τότε κ z κ z κν zν κ z κ z κ ν z z zν z z z ν ν Αν z z z ν z τότε z z z z z z z ( z )ν νπργοντες νπργοντες i z ν

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ακόμ ν z ( ν ) z ν z ( z ) ν ( z ) ν, z Λύση της εξίσωσης z βz γ με, β, γ κι z βz γ z βz a γ β z z γ z β z β β γ β z 4 β 4γ 4 β z Δ όπου Δ β 4γ η δικρίνουσ της εξίσωσης 4 Έχουμε τις εξής περιπτώσεις: β ± Δ Δ > τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: z, β Δ τότε η εξίσωση έχει μι διπλή πργμτική λύση: z Δ < τότε επειδή Δ 4 ( )( Δ) i 4 ( Δ ) ( ) i Δ η εξί- β σωση γράφετι: z i Δ β ± i Δ Άρ οι λύσεις της είνι: z,, οι οποίες είνι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Τύποι Vieta Ισχύουν οι σχέσεις: z z β κι z z γ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μέθοδος Ισότητς, πράξεων στους μιγδικούς ριθμούς Γι την εξέτση ισότητς δύο μιγδικών ή της εύρεση πρμέτρων προκειμένου δύο μιγδικοί ν είνι ίσοι, εφρμόζουμε τον ορισμό της ισότητς Γι ν γράψουμε ένν μιγδικό z στη μορφή βi ή ν βρούμε το Re(z), Im(z), εκτελούμε τις πράξεις σύμφων με τους ορισμούς 4 Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, y ώστε ν ισχύει η ισότητ: ( 5y 6) (5 6y )i (76i) ΛΥΣΗ: 5y 6 7 5y Είνι ( 5y 6) (5 6y )i 7 6i 5 6y 6 5 6y 58 D 5 5 5 9 D 6 9 96 5 6 58 6 κι D y 6 5 5 58

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Άρ D D 96 7 8 κι y D y D 7 5 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z (κλi)(κiλ) (κi)(i) i ) Ν γράψετε τον z στη μορφή βi β) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κ, λ γι τους οποίους z I γ) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κ, λ ν ισχύει: z ΛΥΣΗ: ) Είνι z (κλi)(κiλ) (κi)(i) i κ i κλ κλi λ i (κκiii ) i κ i κλ κλ λ i κ κi i i ( κ) (κ λ κ)i β) Είνι z Ι κ κ κι λ γ) Είνι z κ λ κ (κ ) λ κ κι λ κ κι λ 6 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός w ( i)(i) i Ν βρείτε το Re(w) κι το Im(w) i ΛΥΣΗ: Είνι w ( i)(i ) i i i 6 ( i) i i i 6 i i i ( i)( i) 7 i i 7 i i 7 i i 7 i Άρ Re(w) 7 κι Im(w) Μέθοδος Υπολογισμού δυνάμεων ενός μιγδικού ριθμού Στον υπολογισμό δυνάμεων μιγδικών ριθμών συνντούμε συνήθως τις επόμενες περιπτώσεις: Ότν θέλουμε ν υπολογίσουμε το i ν τότε κάνουμε τη διίρεση ν:4 κι βρίσκουμε υπόλοιπο υ με δυντές τιμές,,, ή Τότε το i ν ισούτι με, i, ή i ντίστοιχ Ότν θέλουμε ν υπολογίσουμε το z ν με z, τότε υπολογίζουμε κάποιες πό τις δυνάμεις z, z, με σκοπό ν πάρουμε ένν πργμτικό ή φντστικό ριθμό Μετά εφρμόζουμε ιδιότητες των δυνάμεων κι υπολογίζουμε, όπου εμφνίζετι, τη δύνμη του i Πράδειγμ: ( i) 4 Είνι ( i) i i i i Άρ ( i) 4 [( i) ] ( i) i i Ότν δεν μπορούμε ν φθάσουμε σε πργμτικό ή φντστικό ριθμό, όπως προηγούμεν, τότε τ ποτελέσμτ κάποιων δυνάμεων μιγδικών έχουν κάποι σχέση ή μπορούμε ν μετσχημτίσουμε τη βάση της δύνμης γι ν συσχετιστεί με κάποι άλλη ώστε ν πλοποιηθούν 7 ) Ν βρείτε τον i 96 β) Ν υπολογίσετε το άθροισμ w i i i i 96 i 96 κι ν γράψετε το πο-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ τέλεσμ στη μορφή βi γ) Ν ποδείξετε ότι w 4 4 ΛΥΣΗ: ) Το υπόλοιπο της διίρεσης 96:4 είνι, άρ i 96 i β) Το πλήθος των προσθετέων είνι 96 κι είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με γ) πρώτο όρο τον i κι λόγο i 96 96 ( i) Άρ w i i i i i i i i i ( i i) ( i)( i) ( i i) ( i i) i( i) i i i w ( i) ( ) ( )i i i i 4 w ( ) w ( i) 4i 4 Το άθροισμ των ν πρώτων ό- ρων μις Γεωμετρικής Προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ δίνετι πό τον τύπο: S ν λ ν λ 8 Αν ο φυσικός ριθμός ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4, τότε δείξτε ότι (i ν )(i ν ) ΛΥΣΗ: ος τρόπος: Το ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4, οπότε: Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ ) (i )(i ) (i)( ) Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ4 ) (i )(i ) ( )() Αν ν 4κ, κ, τότε (i ν )(i ν ) (i 4κ )(i 8κ6 ) (i )(i ) ( i)( ) ος τρόπος: Είνι (i ν )(i ν ) i ν i ν i ν Οι τέσσερις όροι του θροίσμτος είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο κι λόγο λ i ν, φού ο ν δεν είνι πολλπλάσιο του 4 Επομένως, (i ν )(i ν ν 4 4ν ( i ) ) i ν ν ν i i i i ) Ν βρείτε τον z β) Ν βρείτε τους μιγδικούς z, z 9 γ) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, β ν ισχύει: 9 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z ΛΥΣΗ: ) z (i)z i ( i ) z z 9 βiz i 8 ( i) 8 ( ) ( ) 8 ( 9i i) 8 8i i β) z z 667 ( z ) 667 z i 667 z i z i z i γ) z 9 z 67 ( z ) 67 i 67 i i z i i 4 i ( ) i i i i 4 i i i Εκτελούμε τη διίρεση : Το υπόλοιπο της διίρεσης 677:4 είνι Εκτελούμε τη διίρεση 9: Το υπόλοιπο της διίρεσης

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (i)z z z 9 βiz i (i) i i i βi i i i (ii) βi i i i (i) βi i i i i β ( β ) i β Άρ οι, β είνι δύο ντίθετοι πργμτικοί ριθμοί β β i i Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ) Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ β) Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ ΛΥΣΗ: ) ( ος τρόπος) (βi) βi (βi) β βi p κι (β i) β βi (i) β βi p Επομένως, Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ [(βi) ] ρ [(β i) ] ρ p ρ ( p) ρ p ρ p ρ ( ος τρόπος) Α (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) 4ρ ( βi i) 4ρ (βi) 4ρ [ i(βi)] 4ρ (βi) 4ρ i 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ β) ( ος τρόπος) Όμοι (βi) p κι (β i) p Επομένως, Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) (ρ) (β i) (ρ) [(βi) ] ρ [(β i) ] ρ p ρ ( p) ρ p ρ ( p ρ ) p ρ p ρ ( ος τρόπος) Β (βi) 4ρ (β i) 4ρ (βi) 4ρ ( βi i) 4ρ (βi) 4ρ [ i(βi)] 4ρ (βi) 4ρ i 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ (βi) 4ρ Μέθοδος Εξέτσης ενός μιγδικού ριθμού ν υτός είνι πργμτικός ή φντστικός ριθμός Ότν θέλουμε ν ποδείξουμε ότι ένς μιγδικός ριθμός z είνι πργμτικός ή φντστικός, τότε προσπθούμε ν ποδείξουμε ότι: z z γι ν είνι ο z πργμτικός z z γι ν είνι ο z φντστικός z w w ή z w w γι ν είνι ο z πργμτικός z w w γι ν είνι ο z φντστικός Αν δεν μπορούμε ν φθάσουμε στο ζητούμενο με τις προηγούμενες μεθόδους, τό-

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ τε θέτουμε z βi κι χρησιμοποιώντς τ δεδομέν κτλήγουμε σε β ν ζητείτι z ή σε ν ζητείτι z Ι ) Αν z z z ΛΥΣΗ: β) Αν z z z iw iw ( w ) z z ) Είνι z z z Άρ z I β) Είνι z iw iw w i z w w Άρ z ( ) ν δείξετε ότι ο z είνι φντστικός ριθμός ν δείξετε ότι ο z είνι πργμτικός ριθμός i z z z z z iw z z z z iw w i z z z z z z i w w Μέθοδος Επίλυσης εξισώσεων κι συστημάτων στο σύνολο των μιγδικών ριθμών Στη λύση εξισώσεων ή συστημάτων στο σύνολο συνντούμε συνήθως τις επόμενες περιπτώσεις: Ότν έχουμε εξίσωση ου βθμού τότε δουλεύουμε όπως κι στους πργμτικούς ριθμούς Έν γρμμικό σύστημ μπορούμε ν το λύσουμε με ντικτάστση, ντίθετους συντελεστές ή με ορίζουσες Ότν έχουμε εξίσωση ου βθμού (z βz γ με, β, γ κι ) τότε βρίσκουμε τη δικρίνουσ Δ β 4γ κι νάλογ με το πρόσημό της η ε- ξίσωση έχει δύο άνισες πργμτικές ρίζες ή μι διπλή ρίζ ή δύο συζυγείς μιγδικές ρίζες Ότν η εξίσωση είνι πολυωνυμική, βθμού μεγλύτερου του ου, τότε κάνουμε πργοντοποίηση ή χρησιμοποιούμε το σχήμ του Horner Ότν δεν μπορούμε ν δουλέψουμε όπως προηγούμεν ονομάζουμε τον άγνωστο z yi,, y κι μετά τις πράξεις κτλήγουμε σε σύστημ με γνώστους τους, y Ν λύσετε, στο σύνολο των μιγδικών ριθμών, τις εξισώσεις: ) z z i β) z z i z i i i i ΛΥΣΗ: z ) i z i z i ( i)z i( i) z i z iz i i z z iz i i z iz i ( i)z i z i i ( i)( i) z i i 4 i ( i ) i ( i)( i) z β) i z i i z i z( i) ( z i )( i ) z i ( i)( i) ( i)( i) z iz z iz i z i 5(z iz) (z iz i ) z 5(i ) 5

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 5z 5iz 4z iz 4i z 5i 55 9z 7iz 57 i (9 7i)z 57 i z 57 i (57 i)(9 7 i) 5 99i 9i 7 5 9i 5 9 7i (9 7)(9 i 7) i 8 49 9 i 4 i ) Ν λύσετε, στο σύνολο των μιγδικών ριθμών, ττην εξίσωση: z z 4z β) Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: z 4z z κι z z ΛΥΣΗ: ) Οι πιθνές κέριες ρίζες της εξίσωσης z z 4z είνι: ±, ± 4 Άρ z z 4z (z )(z z ) z ή z z z ή z i ή z i [ Δ ( ) 4 4 8 4 κι z ± i ( ± i ) ± i ] β) Είνι: z 4z z z z 4z z ή z i ή z i Θ ελέγξουμε τώρ ν οι ρίζες της πρώτης εξίσωσης είνι ρίζες κι της δεύτερης εξίσωσης Γι την ρίζ z έχουμε: z z Γι την ρίζ z i έχουμε: z ( i) i i z ( z ) 5 (i) 5 i 5 i οπότε z z i ( i) i i Γι την ρίζ z i έχουμε: z z z z z z Άρ οι κοινές ρίζες των δύο εξισώσεων είνι οι: i, i κι 4 ) Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό z γι τον οποίο ισχύει: (i)z 4 z 8i z z 5z z β) Ν γράψετε τον μιγδικό ριθμό w στη μορφή βi z z 6 γ) Ν δείξετε ότι ο w 4 είνι φντστικός ριθμός ΛΥΣΗ: ) ος τρόπος: Έστω z yi με, y Τότε: ( i)z 4 z 8i ( i)( yi) 4( yi) 8 i yi i y 4 4yi 8 i (5 y) ( y)i 8 i 5 y 8 5 y 8 y ( 5) 5 5y 5 4y 4 y κι ( ) 9 Άρ z i 4 4 y

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ος τρόπος: Είνι ( i) z 4z 8 i ( i) z 4z 8 i ( iz ) 4z 8 i Έχουμε το σύστημ: 4 z ( i) z 8 i D i 4 ( i)( i) 6 ( ) 6 6 4 4 i 8 i 4 D z (8 i)( i) 4(8 i) 8 8i i 4i 4 4i 8 i i z Dz D 4 4i i 4 β) Είνι z z, z z 6i κι z z 9, οπότε w z z 5z z ( z z) zz 5zz ( z z) z z z z 6 ( z z) z z z z 6 ( z z) z z( z z) 6 ( z z) z z 4 6 ( z z) z z( z z) 6 ( 6 i) ( 6 i) 6 6i 8i 6 6i 8i 6 6 6 6 6i 6( i) i i i ( i)( i) i γ) Είνι w ( i ) 4 ( i) 4 ( i i ) 4 ( i ) 4 ( i) i κι w 4 (w ) 7 ( ) 7 i 7 i7 i 7 ( i) 7 7 i Επομένως, w 4 4 w 7 8 i 8 i 8i I 7 i i i Μέθοδος Εύρεσης γεωμετρικών τόπων ή της γρμμής στην οποί βρίσκοντι οι εικόνες των μιγδικών που επληθεύουν μί σχέση Ότν ζητείτι ν βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(,y) ενός μιγδικού ριθμού z yi στο μιγδικό επίπεδο ν γνωρίζουμε ότι ένς άλλος ριθμός w είνι πργμτικός ή είνι φντστικός ή ικνοποιεί μι ισότητ κλπ, τότε μετά πό τις πράξεις κτλήγουμε σε μι ισότητ η οποί είνι συνήθως εξίσωση ευθείς, κύκλου, πρβολής, έλλειψης ή υπερβολής Κθ όλη τη διάρκει των πράξεων πρέπει ν διτηρούντι οι ισοδυνμίες ώστε ν εξσφλίσουμε ότι κάθε σημείο των γρμμών θ είνι εικόν ενός z Αν υπάρχουν περιορισμοί γι τ, y τότε ο γεωμετρικός τόπος είνι μέρος των πρπάνω γρμμών Ότν ζητείτι ν βρούμε τις γρμμές στις οποίες κινείτι η εικόν Μ(,y) ενός μιγδικού ριθμού z yi στο μιγδικό επίπεδο, τότε δουλεύουμε όπως προηγούμεν χωρίς ν είνι πρίτητο ν διτηρείτι η ισοδυνμί κθ όλη τη διάρκει των πράξεων 5 Θεωρούμε τον μιγδικό zyi με, y κι τον w (z i)( z )

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 ) Ν γράψετε τον w στη μορφή βi β) Αν w, ν δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z είνι ευθεί ε γ) Αν w I, ν δείξετε ότι το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z είνι κύκλος C δ) Ν δείξετε ότι η ευθεί ε διέρχετι πό το κέντρο του κύκλου C κι ν βρείτε τ σημεί τομής τους Α, Β Έπειτ ν υπολογίσετε το εμβδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η ρχή των ξόνων ΛΥΣΗ: ) Είνι w (z i)( z ) z z z i z i y yi i( yi) i y yi i y i ( y y) ( y )i β) w y y Άρ το σύνολο των εικόνων των z είνι η ευθεί ε: y γ) w I y y 4 y y 4 4 4 ( ) ( y ) Άρ το σύνολο των εικόνων των z είνι ο κύκλος C: ( ) ( ) δ) Το κέντρο του κύκλου C είνι Κ(, ) y Γι είνι y Άρ το κέντρο του κύκλου C νήκει στην ευθεί ε Γι ν βρούμε τ σημεί τομής του κύκλου C κι της ευθείς ε θ λύσουμε το σύστημ των εξισώσεών τους Γι y έχουμε: y y () () () ή ή Αν τότε y κι ν τότε y Άρ τ σημεί τομής του κύκλου C κι της ευθείς ε είνι Α(,) κι Β(,) (ΟΑΒ) ( OA) ( OB) τμ z 4i 6 Δίνετι η συνάρτηση f (z) με z iz ) Ν βρείτε το σύνολο στο οποίο ορίζετι η f * { i} ισχύει: f ( ) f ( ) β) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε z z z γ) Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο ν f (z) ΛΥΣΗ: ( i) ) Απιτούμε iz iz z z i i Άρ το σύνολο στο οποίο ορίζετι η f είνι το {i} z i

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ β) Οι πρστάσεις ορίζοντι ότν z, i z z i z i i κι i i i z z i z z z i * Ότν z { i} είνι: f ( 4 i 4iz ) z z 4iz z i i z i z z z 4i z 4 i f ( ) z z 4iz 4iz z i i z i z i z ( ) z z Άρ ( 4iz 4iz 4i z f ) z i z f ( i z i z z ) γ) Έστω z yi με, y με (,y) (,) Τότε: f f (z) ( z 4i ) z i f (z) (z) z 4i z 4i z 4i iz iz iz iz ( z 4i)(iz ) ( i z )(z 4i) iz z z 4i z 8i iz z 4i z z 8i iz z 6z 6 z 6i iz z (z z ) 8i i( y ) yi 8i y 6y 8 (y ) Γι κι y έχουμε: ( ) Άρ το σύνολο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο είνι ο κύκλος C: (y ) εκτός του σημείου (,) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α Ομάδ 7 Ν βρείτε τον λ ν δίνετι ότι: (λ ) (λ 9λ )i 8 Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, y, γι τους οποίους ισχύει: y i i 9 i 5 i [Απλ-] [Απ5, y] βi 9 ) Ν δείξετε ότι: βi β με, β κι (, β) (,) βi βi β β) Αν z i i i, ν βρείτε το Re(z) i 5 i 5 i γ) Αν w, ν βρείτε το Im(w) 5 i 5 i [Απβ), γ)] Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z 5 i Ν τον γράψετε στη μορφή z ( i) y( i) [Απ-4, y9]

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9 Έστω z i κι z i Ν τεθεί ο μιγδικός ριθμός w στη μορφή w κz λz με κ, λ, ότν: ) w 5i β) w 7 6 i [Απ)κ, λ4 β)κ/4, λ- ] * Αν, β, γ κι w βγ i β 5 6 4 γ δείξτε ότι z w, όπου z ( β) (β )γi κι Αν z, z τότε Re(z z ) Re(z )Re(z ) ν κι μόνο ν z ή z 4 Ν βρείτε τον, ν ο z 4 i 9i είνι πργμτικός θετικός ριθμός [Απ6] 5 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός w i y i με, y ) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τους, y ότν w β) Δείξτε ότι ν ο w είνι πργμτικός ριθμός, ισούτι με [Απ)y] 6 Έστω z 4i * με κι y Θεωρούμε ότι ο z είνι πργμτικός ριθμός Τότε: yi ) Δείξτε ότι 8 y β) Δείξτε ότι z 4 y γ) Αν z, ν βρείτε τ, y [Απ(,y)(-8,) ή (-4,)] 7 Έστω Μ, Μ, Μ κι Μ 4 οι εικόνες των μιγδικών ριθμών z, z, z κι z 4 ντίστοιχ Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο Μ Μ Μ Μ 4 είνι πρλληλόγρμμο ν κι μόνο ν z z z z 4 8 Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό w i i 9 99 i 659 [Απi] 9 Ν γράψετε στη μορφή βi,, β τον ριθμό: i) z ( 7i ) 7 i 96 ( i ) i 5 ii) w ( 6 5i ) 5 6i ( 9 i ) 67 9i [Απi)z-i ii)] Ν ποδείξετε ότι: ) ν βi β i μ κ λi ( λ κi ) i ν i μ β) ν βi β i μ κ λi ( λ κi ) ( i) ν ( i) μ Ν υπολογισετε τ θρίσμτ:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ) S i i i 5 i 777 β) S ( i) ( i) ( 5i) ( 99 99i) γ) S ( i) ( 7 i) ( 4 4i) ( 7 i) δ) S 4 i ( i) (4 5i) (6 7i) [(ν ) (ν )i], ν Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν βρείτε τους ριθμούς z, z 4, z 8 β) Ν δείξετε ότι: z 79 79 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν βρείτε τους ριθμούς z, z 4, z β) Ν δείξετε ότι: z 98 98 * [Απ)i β) - 4 i γ)99-878i δ)ν(ν-)ν i] 4 Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z i ) Ν υπολογίσετε τους μιγδικούς z, z 6, z 5 β) Ν γράψετε τον μιγδικό ριθμό w i z 6 z 5 i 54 z i στη μορφή βi γ) Ν δείξετε ότι w [Απβ)w i] 5 Αν γι τον μιγδικό ριθμό z ισχύει z z ) Ν ποδείξετε ότι: z β) Ν υπολογίσετε τον w z 5 5 z, τότε: [Απβ)] 6 Ν δείξετε ότι: ) ( 4i) 4 (4 i) 4 β) (5 i) ( 5i) γ) ( i) 99 ( i) 99 ( i) 8 ( i) 8 7 Γι ποιους φυσικούς ριθμούς ν ισχύει η σχέση i ν [Απν4κ] 8 Ν βρείτε τις δυντές τιμές της πράστσης Π ( i ν )( i ν ), ν 9 Αν z i, ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) z z iv) z ii) z z v) z 4 z iii) z z z z 4 z z vi) z z z [Απi)/5 ii)-6 iii)-6/5 iv)- v)-4 vi)48i/5] 4 Δείξτε ότι ο ριθμός z (5 9i) (5 9i) είνι πργμτικός * 4 Αν κ, λ κι ν, ν ποδείξετε ότι ο ριθμός z (κ λi) ν (κ λi) ν είνι φντστικός 4 Αν, ν ποδείξετε ότι ο ριθμός w ( i ) i ( i ) i είνι πργμτικός

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 Έστω z βi με, β Ν εκφράσετε ως συνάρτηση των z, z τις πρστάσεις 4β κι 4 6β 5 z 44 Αν z, z, με z ν ποδείξετε ότι Re z zz zz zz z, Im z zz zz izz 45 Αν z, z, ν ποδείξετε ότι οι επόμενοι ριθμοί είνι πργμτικοί: ) z z z z β) z z γ) z z z z 46 Αν z, z, ν δείξετε ότι ο ριθμός w z z zz είνι πργμτικός, ενώ ο ριθμός u z z zz είνι φντστικός 47 Αν z 5i z ( z 5i ) z *, z τότε δείξτε ότι z 48 Αν 49 Αν i 9z iz iz 4 5iz 9i z z, z * τότε δείξτε ότι z ( z 4i ) 5z *, z τότε δείξτε ότι z Ι z zz 5 Έστω z, z, z με z γι τις οποίους ισχύει z z z (z z ) Δείξτε ότι z 5 Αν iz w w ριθμός i w ( ) iw *, με z κι w τότε δείξτε ότι ο z είνι φντστικός - 5 Αν z z z zw z * zw, με z, z, w τότε δείξτε ότι ο w είνι πργμτικός ριθμός 5 Γι τους μιγδικούς ριθμούς z, w ισχύει w κι z w Ν ποδείξετε ότι: ) z w β) Οι ριθμοί zw, z w κι zw i είνι πργμτικοί z w z w z w 54 Ν βρείτε τον z, ώστε οι εικόνες των w iz κι u (z 6i) στο μιγδικό επίπεδο ν συμπίπτουν [Απz-5i] 55 Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό z, ν ισχύει z i z i i 4i 6 [Απz5-i]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 56 Ν λύσετε στο σύνολο των μιγδικών ριθμών τις επόμενες εξισώσεις: i) 8 5 ii) 6 48 5 iii) 7 iv) 4 4 v) 4 4 45 vi) 8 [Απi)4 ± i, ii)- ± i, iii) ± i, iv) ±, ± i v) ± i, ± 5 i vi)-, ± i] 57 Ν λύσετε στο σύνολο των μιγδικών ριθμών τις επόμενες εξισώσεις: ) 4 β) 4 5 [Απ) ±, ± i β) ± i, ± i] 58 Ν βρεθεί ο μιγδικός ριθμός z ν δίνετι ότι ( i)iz ( i) z 6 4i [Απz-i] 59 Ν δείξετε ότι δεν υπάρχει μιγδικός ριθμός z τέτοιος ώστε ν ισχύει iz z i 6 Ν δείξετε ότι δεν υπάρχει z τέτοιος ώστε ν ισχύει z ( i )z i 6 Ν λύσετε στο την εξίσωση z z [Απ, i, -i] 6 Ν λύσετε το σύστημ 6 Ν λύσετε το σύστημ ( iz ) iw 4 i z ( i) w 6 i z iw 4i ( iz ) iw i [Απz-i, wi] [Απzi, wi] 64 Ν δείξετε ότι η εξίσωση i έχει ρίζ τον ριθμό i Ν εξετάσετε ν έχει ρίζ τον μιγδικό i Τι έχετε ν πρτηρήσετε; 65 Αν μι ρίζ τις εξίσωσης β γ, όπου β, γ, είνι η i ν βρείτε τις τιμές των β κι γ [Απβ-8, γ] 66 Αν μι ρίζ τις εξίσωσης β 5, όπου, β, είνι η i ν βρείτε τις τιμές των κι β [Απ4, β-8] Ν βρεί- i 67 Η εξίσωση 4 κ λ, όπου κ, λ, έχει ρίζ το μιγδικό ριθμό τε τις τιμές των κ κι λ [Απκ4, λ] 68 Αν ο z i είνι ρίζ της εξίσωσης z 5 z β,, β, ν δείξετε ότι κι β 8 69 Ν βρείτε την εξίσωση ου βθμού, με πργμτικούς συντελεστές, της οποίς η μι ρίζ είνι ο μιγδικός i [Απ9-6]

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων z z κι 8z 4 z 7 Δίνοντι τ πολυώνυμ Ρ(z) z z κι Q(z) z z βz όπου, β i) Ν βρείτε τις ρίζες z, z του Ρ(z) κι ν ποδείξετε ότι z z 7 [Απ ( ± i)] ii) Αν μι ρίζ του P(z) είνι κι ρίζ του Q(z), ν προσδιορίσετε τις τιμές των, β (Εξετάσεις ) [Απii)-,β4] 7 ) Αν z, z είνι οι ρίζες της εξίσωσης z z, ν ποδείξετε ότι z z β) Αν z είνι η ρίζ της εξίσωσης του () ερωτήμτος, με φντστικό μέρος θετικό ριθμό, ν ν βρείτε τις τιμές του θετικού κερίου ν γι τις οποίες ο z είνι πργμτικός ριθμός [Απβ)νπολ4] 7 Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z γι τους οποίους ισχύει: z z [Απβ),, - i, - - i] 74 Δίνετι το πολυώνυμο P(z) z (i)z (i)z i Δείξτε ότι οι ριθμοί i, i κι i είνι ρίζες του πολυωνύμου 75 Δίνετι η συνάρτηση f (z) z 4 ( i)z ( 6i)z ( i)z 6i ) Ν δείξετε ότι: f (i) f ( i) β) Ν λύσετε την εξίσωση f (z) [Απβ)-, -i, i, i] 76 Ν βρείτε τον μιγδικό ριθμό z γι τον οποίο ισχύει: ) z 4i β) z 4i γ) z 6 i [Απ)i,--i β)-i, -i γ)5-i, -5i] 77 Θεωρούμε τον μιγδικό ριθμό z Ν ποδείξετε ότι: ) Αν z, τότε z β) Αν z * <, τότε z λi, όπου λ γ) Αν z >, τότε ο z είνι θετικός πργμτικός ριθμός ή της μορφής κ ± κ i, κ < 78 Ν γράψετε το μιγδικό ριθμό z i σν άθροισμ δύο άλλων μιγδικών z, z των οποίων οι εικόνες στο επίπεδο νήκουν ντίστοιχ στις ευθείες με εξισώσεις y κι y 5 [Απz i, z -i] 79 Θεωρούμε έν μιγδικό ριθμό z βi,, β, του οποίου η εικόν βρίσκετι στην ευθεί με εξίσωση y κι τη συνάρτηση f (ν) i ν z, ν ) Ν γράψετε τους μιγδικούς ριθμούς f (6), f (994), f (79) ως συνάρτηση του β β) Ν βρείτε τον z ν οι εικόνες των μιγδικών του ερωτήμτος () σχημτίζουν τρίγωνο με εμβδόν τμ [Απβ)z-i] 8 Δίνετι η εξίσωση z βz με > β > ) Ν βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης β) Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης κινούντι πάνω στον μονδιίο κύκλο

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 8 Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z yi, όπου, y γι τους οποίους υπάρχει ώστε ν ισχύει: z z ( ) z z ( ) i ( )i Ν ποδείξετε ότι: i ) Αν Im(z), τότε β) Αν, τότε z γ) Γι τον πργμτικό ριθμό ισχύει δ) Οι εικόνες Μ των μιγδικών υτών ριθμών z στο μιγδικό επίπεδο νήκουν σε κύκλο, του οποίου ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν [Απδ)Κέντρο Ο, ρ] 8 Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z, z κι έστω Α, Β οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Α έτσι ώστε ν ισχύει OA OB, όπου Ο η ρχή των ξόνων [Απ, y ] 8 Έστω Μ η εικόν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ, ν οι εικόνες των μιγδικών, z, z βρίσκοντι στην ίδι ευθεί [Απy κι (-) y ] 84 Έστω Μ η εικόν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ, ν οι εικόνες των μιγδικών, z, iz βρίσκοντι στην ίδι ευθεί [Απ(- ) (y ) ] 85 Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z γι τους οποίους ισχύει Re(z z) Re(z) [Απ -y ] 86 Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών z γι τους οποίους ισχύει z z 4 ( Im( z )) Re(z) 4 Im(z) [Απ(- ) (y) 5 4 ] 87 Ν βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών z ν δίνετι ότι: z z Re(z) [ΑπO y y κι -y ] 88 Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z κι w, με w iz 4 iz ) Ν βρείτε τις τιμές του z γι τις οποίες ορίζετι ο w β) Ν βρείτε το σύνολο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο ν w I [Απ)z i β) (y) 9 εκτός του (,)] 89 Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z γι τους οποίους ισχύει: ) Re(z z ) Re(z) β) Im(z z ) Im(z) [Απ)Ο y y εκτός του Ο(,) κι y β) Ο εκτός του Ο(,) κι y ] 9 Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z κι w, με w z i, z Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z, ν Re(w) Im(w) z [Απy εκτός του Ο(,) κι y ]

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 9 Ν βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο ν ο πργμτικός z είνι z [Απy εκτός του (-,) ή () y ] 9 Ν βρεθεί το σύνολο των εικόνων Μ των μιγδικών ριθμών z στο μιγδικό επίπεδο, γι τους οποίους ο ριθμός iz z Ι [Απy εκτός του (-,) κι () y ] 9 Δίνετι η συνάρτηση f (z) z i με z iz ) Ν βρείτε το σύνολο στο οποίο ορίζετι η f * β) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε z {i} ισχύει f ( ) f ( z z ) γ) Ν περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο ν f (z) [Απ)C-{-i} γ) (y) εκτός του (,-)] 94 Θεωρούμε τη συνάρτηση f (z) iz z i με z ) Ν βρείτε τους μιγδικούς οι οποίοι δι μέσου της f ντιστοιχούν στο β) Ν βρείτε τους μιγδικούς των οποίων οι εικόνες στο μιγδικό επίπεδο συμπίπτουν με τις εικόνες των μιγδικών που υτοί ντιστοιχούν δι μέσου της f γ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγδικών των οποίων οι εικόνες μέσω της f βρίσκοντι στον άξον [Απ)--i β)- - i γ)-y-] 95 Έστω η συνάρτηση f (z) iz με z ) Ν βρείτε τους μιγδικούς των οποίων οι εικόνες στο μιγδικό επίπεδο συμπίπτουν με τις εικόνες των μιγδικών που υτοί ντιστοιχούν δι μέσου της f β) Αν Ρ είνι η εικόν ενός μιγδικού του ερωτήμτος () κι Μ, Μ οι εικόνες ενός μιγδικού κι του ντιστοίχου του μέσω της f στο μιγδικό επίπεδο, τότε το τρίγωνο ΜΡΜ είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές [Απ) i] * 96 Έστω z κ( i), κ ) Ν γράψετε το μιγδικό z στη μορφή βi β) Αν Μ(,y) το μέσο του τμήμτος με άκρ τις εικόνες των z,, ν ποδείξετε ότι z y, y κ 5κ γ) Ν δείξετε ότι το Μ κινείτι σε υπερβολή της οποίς ν βρείτε την εξίσωση [Απγ)5 -y 4] Β Ομάδ 97 ) Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς z, w ισχύει zw κι z w Ι, τότε ν ποδείξετε ότι υτοί είνι συζυγείς μιγδικοί

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ β) Δίνετι το πολυώνυμο P() ν ν ν ν, i i ν Αν z τότε ν ποδείξετε ότι P(z) κ λi κι P( z ) κ λi, κ, λ 98 Γι ν ποδείξουμε ότι το σύνολο των μιγδικών ριθμών δεν είνι διτετγμένο, ρκεί ν ποδειχθεί ότι δεν υπάρχει έν μη κενό υποσύνολο Α του με τις ιδιότητες: i) Γι κάθε z ισχύει μόνο μί πό τις τρεις σχέσεις: z Α, z, z Α ii) Γι κάθε z, w Α, ισχύουν: (z w) Α κι (zw) Α 99 ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( i)z ( 5i)z 4 i έχει ρίζες τους ριθμούς i κι i β) Ν λύσετε την εξίσωση (z z 4) (z 5z ) Ν βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού κέριου ν, γι την οποί ισχύει: ( i) ν ( i) ν [Απ] Ν ποδείξετε ότι γι κάθε φυσικό ριθμό ν ισχύει ( i ν )( i ν )( i ν )( i ν ) Δείξτε ότι οι ρίζες της εξίσωσης: 4 6 8 68 5 είνι οι ριθμοί ( i ν )( i ν ), ν Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z γι τους οποίους ισχύει z z [Απβ), -,, i, -i] 4 Ν λυθεί το σύστημ 9 z w 5 7 z w z w [Απ(i,i), (-i,-i)] 5 Δίνετι το άθροισμ S i i i νi ν Ν υπολογίσετε: ) Το S i S β) Το S ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6 Ν χρκτηρίσετε Σωστή ή Λάθος κάθε μι πό τις επόμενες προτάσεις Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς I Η δινυσμτική κτίν της διφοράς των μιγδικών z βi κι w γ δi, είνι η διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους II Αν, β τότε ισχύει η ισοδυνμί: β β III Ισχύει i < i IV Είνι i i i i V Αν κ, λ κέριοι τότε: i κ i λ κ λ VI Αν z, z με Re(z z ) τότε Re(z ) Re(z ) VII Αν z, z με Re(z z ) κι Im(z z ) τότε z z VIII Γι κάθε z, z ισχύει Im(z z ) Im(z )Im(z )

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΈΝΝΟΙΑ & ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 7 z IX Αν z, z, z τότε ισχύει πάντ Re z Re( z ) Re( z ) X Αν z τότε (z z ) XI Αν z βi, z κι z z, τότε z z XII Αν z βi, z κι z z β, τότε z z XIII Αν Re(z) τότε οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι πάνω στην ευθεί XIV Αν Μ, Μ είνι οι εικόνες των μιγδικών z κι z στο μιγδικό επίπεδο κι ο άξονς είνι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος Μ Μ τότε είνι z z XV Αν Im(z) 4 τότε οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στην ευθεί y 4 XVI Αν Α κι Β είνι οι εικόνες των μιγδικών z κι w στο επίπεδο, τότε το μέσο Μ του τμήμτος ΑΒ είνι η εικόν του μιγδικού z w XVII Η εξίσωση 4 λ, λ, μπορεί ν έχει ρίζες τους μιγδικούς i κι i XVIII Αν η εξίσωση κ λ, κ, λ, έχει ρίζ τον i, θ έχει ρίζ κι τον i 7 Ν σημειώσετε τη σωστή πάντηση στις επόμενες προτάσεις Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς I Αν ( ) κ i, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού κέριου κ είνι: Α Β Γ Δ 6 Ε 5 II Οι εικόνες των μιγδικών i κι i στο μιγδικό επίπεδο έχουν άξον συμμετρίς την ευθεί Α Β y Γ y Δ y Ε III Η εξίσωση z 8z, μπορεί ν έχει ρίζ τον ριθμό: Α 4i Β 4 i Γ i Δ 4 i Ε 8 i IV Η εξίσωση κ, κ μπορεί ν έχει ρίζ τον ριθμό: Α i Β i Γ 4i Δ i Ε i

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η έννοι, η οποί είνι πργμτικά θεμελιώδης, που ποτελεί τη βάση κι διεισδύει σε όλη τη μοντέρν Ανάλυση κι Γεωμετρί, είνι υτή της φντστικής ποσότητς στην Ανάλυση κι του φντστικού χώρου στη Γεωμετρί ARTHUR CAYLEY (8 94) Σ τους πργμτικούς ριθμούς η πόλυτη τιμή μς δίνει τη δυντότητ ν υπολογίσουμε την πόστση μετξύ δύο σημείων της ευθείς των πργμτικών ριθμών Έτσι ν είνι ένς πργμτικός ριθμός τότε η είνι η πόστση του σημείου που ντιστοιχεί στον πό την ρχή του άξον Ο, ενώ η πόστση των σημείων της ευθείς που ντιστοιχούν οι, β είνι d(, β) β Η έννοι της πόλυτης τιμής στο επεκτείνετι πό την έννοι του μέτρου ενός μιγδικού ριθμού z στο Το μέτρο ενός μιγδικού z, το z, είνι η πόστση της εικόνς του στο μιγδικό επίπεδο πό την ρχή των ξόνων Ο Στην ενότητ υτή θ δώσουμε τον ορισμό του μέτρου κι θ ποδείξουμε τις ιδιότητές του οι οποίες είνι πρόμοιες με υτές της πόλυτης τιμής ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω z yi κι Μ(, y) η εικόν του στο μιγδικό επίπεδο Ο- ρίζουμε ως μέτρο του z την πόστση του Μ πό την ρχή των - ξόνων Ο, δηλδή z OM y ΠΡΟΤΑΣΗ: Γι έν μιγδικό ριθμό z ισχύουν οι ισότητες: (i) z z z z (ii) z zz Απόδειξη: Αν z yi, με, y τότε (i) z yi, z yi κι z yi (ii) Επομένως z z z z y z z ( yi)( yi) (yi) y i y z

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 9 ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν z, z είνι δύο μιγδικοί ριθμοί τότε: (i) z z z z z z (ii), z z z Απόδειξη: (i) Έχουμε: z z z z z z (z z ) ( z z) ( z z ) z z z z z z z z z z ισχύει, άρ ποδείχθηκε (ii) Έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ισχύει, άρ ποδείχθηκε 4 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Γενικότερ ισχύει ότι: z z zν z z zν Αν z z z ν z τότε z z z z ν z zz ν πργοντες ν πργοντες ν z 5 ΠΡΟΤΑΣΗ: Γι τους μιγδικούς ριθμούς z, z ισχύει η σχέση z z z z z z Απόδειξη: Θεωρούμε τις εικόνες Μ (z ), Μ (z ) κι Μ(z z ) των μιγδικών z, z κι z z ντίστοιχ στο μιγδικό επίπεδο Τότε έχουμε: OM OM OM OM OM OM Επομένως z z z z z z 6 ΠΡΟΤΑΣΗ: Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικών είνι ίσο με την πόστση των εικόνων τους Απόδειξη: Θεωρούμε τις εικόνες Μ (z ), Μ (z ) κι N(z z ) των μιγδικών z, z κι z z ντίστοιχ στο μιγδικό επίπεδο Τότε πό το πρλληλόγρμμο ΟΝΜ Μ έχουμε: (Μ Μ ) M M ON z z

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η εξίσωση z z ρ επληθεύετι μόνο πό τους μιγδικούς z που έχουν την ιδιότητ οι εικόνες τους ν πέχουν πό την εικόν του μιγδικού z πόστση ίση με ρ Άρ η πρπάνω εξίσωση πριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(z ) κι κτίν ρ Η εξίσωση z z z z επληθεύετι μόνο πό τους μιγδικούς z που έχουν την ιδιότητ οι εικόνες τους ν ισπέχουν πό τις εικόνες των μιγδικών z κι z Άρ η πρπάνω εξίσωση πριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ σημεί Α(z ) κι Β(z ) Η εξίσωση z z z z, με > κι z z < επληθεύετι μόνο πό τους μιγδικούς z που οι εικόνες τους νήκουν σε έλλειψη με εστίες τις εικόνες Ε κι Ε των z κι z ντίστοιχ Η εξίσωση z z z z, με > κι z z > επληθεύετι μόνο πό τους μιγδικούς z που οι εικόνες τους νήκουν σε υπερβολή με εστίες τις εικόνες Ε κι Ε των z κι z ντίστοιχ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μέθοδος Εύρεσης του μέτρου ενός μιγδικού ριθμού Γι ν βρούμε το μέτρο ενός μιγδικού ριθμού: Εφρμόζουμε τις ιδιότητες του γινομένου ή του πηλίκου γι τ μέτρ μιγδικών Αν υτές δεν εφρμόζοντι, τότε γράφουμε το μιγδικό ριθμό z στη μορφή z βi κι μετά βρίσκουμε το μέτρο του Αν μπορούμε ν βρούμε μί δύνμη του z, τότε εφρμόζουμε την ιδιότητ ν z ν z Αν στην έκφρση του z υπάρχει ένς άλλος μιγδικός w, τότε κάνουμε πργοντοποίηση Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούμε ν λύσουμε τη σχέση που συνδέει τους δύο μιγδικούς ως προς w κι ν την ντικτστήσουμε στην ισότητ που περιέχει το μέτρο του w 7 Ν βρείτε τ μέτρ των μιγδικών ριθμών z, w κι ω ν: 4 ( i) ( i) ) z β) w i 7 i ( i) ( ) 5 γ) ω 5 i ( i) i 9 i 5 ΛΥΣΗ: 4 4 4 4 ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) i i ) Είνι z 5 5 5 5 i ( i) i ( i) i ( i) i i

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 4 ( 5 ) ( ) 5 ( 5) 4 ( ) ( ) 5 4 5 5 β) Είνι (i) i i i i Οπότε (i) 6 [(i) ] (i) 8i 8i Κι (i) 7 (i) 6 (i) 8i(i) 8i 8i 8 8i Επομένως w (i) 7 i ( i ) i ( i)( i) 5 8 8i 5 i ( i) ( i) i ( i i i ) 8 8i 5 8 8i i (4 i ) 5 8 8i 4i i 5 5 i Άρ w 5 i 5 ( ) 5 44 69 γ) Είνι ω 9 i 5 ω 9 i 5 Τότε 9 ω i 5 9 ω 5 ω 9 5 ω 8 Αν γι τον μιγδικό ριθμό w ισχύει w i, ν βρείτε τ μέτρ των μιγδικών: ) z w44wi i β) z w wi ΛΥΣΗ: ) ος τρόπος: Είνι z w44wi i (w i) 4i(w i) (w i)(4i) Επομένως z ( w i)( 4 i) w i 4i ος τρόπος: 4 5 5 z 4 i z w44wi i z 4i w4wi z 4i w(4i) w 4i z 4 i z 4 i i 4i z z w i i 4i 4i 4i 4i z z z 5 4 5 β) Είνι z w wi w wi i (w i) Επομένως z ( w i) w i 9 Μέθοδος Απόδειξης ισοτήτων κι νισοτήτων οι οποίες περιέχουν μέτρ μιγδικών ριθμών Σε ισότητες ή νισότητες με μέτρ μιγδικών χρησιμοποιούμε την ιδιότητ z z z Αν χρειάζετι υψώνουμε πρώτ στο τετράγωνο κι μετά εφρμόζουμε την ιδιότητ Αν δίνετι ισότητ τριών ή περισσότερων μέτρων μιγδικών ριθμών, ονομάζουμε κθέν ρ >, υψώνουμε στο τετράγωνο κι μετά εφρμόζουμε την ιδιότητ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Αν z, δείξτε ότι: z 4 z z ΛΥΣΗ: Είνι z 4 z z 4 z (z4) ( z 4) (z ) (z ) (z4)( z 4) (z )( z ) z z 4z 4 z 6 4z z z z z z 6z 6 z 5 z z z z 5 z z z z 5 z z z z 4 9 z( z ) ( z ) 9 ( z )(z ) 9 (z ) ( z ) 9 z 9 z Αν z, δείξτε ότι: z z z z ΛΥΣΗ: Είνι z z z z ( z z ) ( z z ) z z z z z z z z (z )( z ) z z (z )( z ) z z z z (z )( z ) z z z z z z z z z z 4 z z z z z z z z 9 z z z z 4 z z z z, ισχύει, άρ ποδείχθηκε Θεωρούμε τους μιγδικούς z, z,, zκ διφορετικούς νά δύο οι οποίοι έχουν ίσ μέτρ Ν ποδείξετε ότι ο w είνι πργμτικός ότν w ν z z ν z z z z ν zκ zκ z z z, ν θετικός κέριος κ zκ ΛΥΣΗ: Έστω ότι: z z z κ ρ Αν λ κ τότε: z z λ λ z z z z λ λ ν λ λ z z ν λ λ z z λ λ z z z λ ρ ν λ λ z z λ λ z z z λ ρ z λ z λ ρ ρ z λ z ν λ λ ρ z ρ z λ λ λ ρ z ρ z λ ν ρ ( zλ zλ) zλ z λ ρ ( zλ zλ) zλ z λ Επομένως w w, οπότε ο w είνι πργμτικός ριθμός λ ν κι z λ z z λ λ zλ z λ ρ z ν λ Μέθοδος Απόδειξης ότι ένς μιγδικός ριθμός είνι πργμτικός ή φντστικός χρησιμοποιώντς μέτρ Ένς επι πλέον τρόπος γι ν ποδείξουμε ότι ένς μιγδικός ριθμός z είνι πργμ-

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ τικός ή φντστικός, είνι ν δείξουμε ότι: z z γι ν είνι ο z πργμτικός z z γι ν είνι ο z φντστικός ) Δείξτε ότι: z z z ΛΥΣΗ: ) β) β) Γι τον μη μηδενικό ριθμό z ισχύουν οι σχέσεις: Ν δείξετε ότι ο z είνι πργμτικός z z κι z z z z z z z z z z z z z( z z) z ή z z z z z z z z z ( z z) z z z z z z z z z z(z z ) z z z z z z z Επομένως z z Άρ ο z είνι πργμτικός Μέθοδος Εύρεσης γεωμετρικών τόπων ή πόδειξης σχέσεων ότν τ μέτρ τους επληθεύουν κάποιες σχέσεις Προκειμένου ν βρούμε μήκη τμημάτων των οποίων τ άκρ είνι εικόνες μιγδικών, βρίσκουμε το μέτρο της διφοράς τους Τις περισσότερες φορές τ προβλήμτ υτά λύνοντι ευκολότερ γεωμετρικά Γι υτο σχεδιάζουμε στο μιγδικό επίπεδο τις περιοχές στις οποίες βρίσκοντι οι μιγδικοί που προυσιάζοντι κι χρησιμοποιώντς γεωμετρικές προτάσεις προσπθούμε ν φθάσουμε στο ποτέλεσμ Θ πρέπει ν έχουμε υπ όψη μς τις δύο βσικές περιπτώσεις z z ρ κι z z z z στις οποίες ο γεωμετρικός τόπος των z είνι ο κύκλος με κέντρο την εικόν του z κι κτίν ρ κθώς κι η μεσοκάθετος του τμήμτος με άκρ τις εικόνες των z κι z ντίστοιχ Γι τους μιγδικούς ριθμούς z κι w ισχύουν οι σχέσεις: z w z w κι z w Ν ποδείξετε ότι z w ΛΥΣΗ: ος τρόπος (γεωμετρικός) Έστω Α κι Β οι εικόνες των z κι w μιγδικό επίπεδο OA κι OB είνι οι ντίστοιχες δινυσμτικές κτίνες των Α κι Β Τότε: z w z w OA OB OA OB OA OB κι z w OA OB Δηλδή τ δινύσμτ OA κι OB είνι ντίρροπ κι έχουν ίσ μέτρ Επομένως τ σημεί Α κι Β είνι συμμετρικά ως προς το Ο, οπότε z w ος τρόπος (λγεβρικός) Έστω z βi κι w γδi Έχουμε z w Είνι z w z w z w z w z w β γ δ ( z w ) (zw) ( z w)

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ z z w w (zw)( z w ) z z z w w z z z w w z w w z z w zw z Re(z w ) z Re(z w ) () Είνι z w (βi)(γ δi) γ δi βγi βδ (γβδ) (βγ δ)i Η () β (γ βδ) Έχουμε ( γ) (β δ) γ γ β βδ δ ( β ) (γ βδ) (γ βδ) (γ βδ) Άρ γ κι β δ γ κι β δ οπότε z w 4 Αν w * ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των w, w iw, w iw στο μιγδικό επίπεδο, είνι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου ΛΥΣΗ: Έστω z w, z w iw κι z w iw με εικόνες Α, Β κι Γ ντίστοιχ στο μιγδικό επίπεδο Τότε (ΑΒ) z z w w iw w w iw w iw w i w i w 9 w 4 4 (ΑΓ) z z w w iw w w iw w iw w i w i w 9 w 4 4 (ΒΓ) z z w iw w iw w iw w iw iw iw w Επομένως, (ΑΒ) (ΑΓ) (ΒΓ) δηλδή το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισόπλευρο 5 Δίνετι η συνάρτηση f (z) z z 4i με z Ν βρείτε: ) Την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης β) Τους μιγδικούς z γι τους οποίους η f πίρνει την ελάχιστη τιμή της γ) Από τους προηγούμενους μιγδικούς z ν βρείτε υτόν με το ελάχιστο μέτρο, κθώς κι το ελάχιστο μέτρο του ΛΥΣΗ: ) Είνι f (z) z z 4i z z 4i ( z) ( z 4 i) z z 4i 4i 4 4 6 5 f () Άρ η ελάχιστη τιμή της f είνι 5 β) Είνι f (z) z z 4i z z ( 4 i) (ΜΑ) (ΜΒ) (ΑΒ) 5 Άρ η f πίρνει την ελάχιστη τιμή της γι εκείνους μόνο τους μιγδικούς z γι τους οποίους ισχύει η ισότητ, δηλδή ν κι μόνο ν (ΜΑ) (ΜΒ) (ΑΒ), ν κι μόνο ν η εικόν Μ του z βρίσκετι στο ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι yα yβ λ ΑΒ 4 Η εξίσωσή της είνι y y Α λ ΑΒ ( Α ) Α Β

ΕΝΟΤΗΤΑ Η : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 5 y ( ) y 4 Οι ζητούμενοι μιγδικοί είνι z ( 4)i, με [,] γ) ος τρόπος: Είνι z ( 4) 4 6 6 5 6 6 Το μέτρο του z γίνετι ελάχιστο ν κι μόνο ν το τριώνυμο φ() 5 6 6 πάρει την ελάχιστη δυντή τιμή Αυτό γίνετι ν κι μόνο ν 6 8 [,] Άρ ο ζητούμενος z 5 5 είνι ο z 8 5 ( 8 5 4)i 8 5 ( 6 5 4)i 8 5 4 5 i Το μέτρο του είνι z 8 ( ) 4 5 ( 5) 64 6 8 5 5 5 4 5 5 ος τρόπος: Ο ζητούμενος μιγδικός είνι υτός με εικόν το σημείο Μ, όπου ΟΜ ΑΒ Είνι λ ΟΜ λ ΑΒ λ ΟΜ λ ΟΜ Η εξίσωση της ευθείς ΟΜ είνι: y y Ο λ ΟΑ ( Ο ) y ( ) y Γι ν βρούμε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ κι ΟΜ θ λύσουμε το σύστημ y y y y y 8 4 5 5 y 4 4 4 8 5 8 8 5 Άρ Μ( 8 5, 4 5 ) Επομένως ο ζητούμενος μιγδικός είνι ο z 8 5 4 5 i κι z 4 5 5 6 Θεωρούμε τους μιγδικούς z γι τους οποίους ισχύει z 4i ΛΥΣΗ: ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο β) Ν ποδείξετε ότι z 7 ) Είνι z 4 i z (4 i) Άρ ο γεωμετρικός τόπος των z στο μιγδικό επίπεδο είνι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το Κ(4, ) κι κτίν ρ β) ος τρόπος (γεωμετρικός) Έστω Μ έν σημείο του κύκλου (Κ, ρ) κι Α, Β τ σημεί στ οποί η ευθεί ΟΚ τέμνει τον κύκλο Έχουμε (ΟΚ) (4 ) ( ) 6 9 5 5 Είνι (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ) (ΟΚ) (ΚΑ) (ΟΜ) (ΟΚ) (ΚΒ) (ΟΚ) ρ (ΟΜ) (ΟΚ) ρ 5 z 5 z 7 Η μέγιστη τιμή του z είνι 7, ενώ η ελάχιστη τιμή του είνι ος τρόπος (λγεβρικός) Είνι z 4 i z ( 4 i) z 4 i z ( 4 i) z 4 i Επομένως, z 4 i z 5 z 5 5 z 5 z 7

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 Θεωρούμε τους μιγδικούς z γι τους οποίους ισχύει 5 iz 5 Ν βρείτε ) το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z στο μιγδικό επίπεδο β) τους μιγδικούς που ικνοποιούν την προηγούμενη σχέση κι έχουν τη μεγλύτερο κι το μικρότερο δυντό μέτρο ΛΥΣΗ: 5 ) Είνι 5i z 5 ( z 5 i) 5 5 z 5 i 5 5 z ( 5 i) 5 Άρ ο γεωμετρικός τόπος των z στο μιγδικό επίπεδο είνι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το Κ( 5, 5 ) κι κτίν ρ 5 β) ος τρόπος (γεωμετρικός) Έστω Μ έν σημείο του κύκλου (Κ,ρ) κι Α, Β τ σημεί στ οποί η ευθεί ΟΚ τέμνει τον κύκλο Είνι (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ) άρ οι ζητούμενοι μιγδικοί είνι υτοί με εικόνες yk y 5 Ο τ Α κι Β Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς ΟΚ είνι λ ΟΚ K Ο 5 Η εξίσωσή της είνι y y Ο λ ΟΚ ( Ο ) y ( ) y Γι ν βρούμε τ σημεί τομής της ευθείς ΟΚ κι του κύκλου με κέντρο Κ θ λύσουμε y y y το σύστημ 5 ( 5) ( y ) 5 ( 5) 5 4 ( ) 5 ( 5) 5 4 ( ) 5 4 y y y y ( 5) ( 5) 5 4( 5) ( 5) 5 5( 5) 5 ( 5) 4 4 y y y η y ( 4) y ( 6) η y y η ( 5) 5 5 4 6 4 6 Άρ Α( 4, ) κι Β( 6, ) Επομένως ο μιγδικός με το ελάχιστο μέτρο είνι ο z 4 i κι ο μιγδικός με το μέγιστο μέτρο είνι ο z 6 i ος τρόπος (λγεβρικός) Είνι z ( z 5 5 i ) ( 5 5 i ) 5 5 z 5 i 5 i 5 5 5 5 4 55 4 5 5 5 6 5 5 Άρ το μέγιστο μέτρο του z είνι 5 κι το έχουν οι μιγδικοί γι τους οποίους ισχύουν οι ισότητες στις πρπάνω σχέσεις Δηλδή είνι μόνο οι μι- γδικοί γι τους οποίους ισχύει: z 5 5 i λ( 5 5 i) z 5λ 5 λ i 5 5 i z ( 5λ 5) ( 5 λ 5 )i, όπου λ >