Jaka Cimprič, Jasna Prezelj REŠENE NALOGE IZ ANALIZE 4

Jaka Cimprič, Jasna Prezelj REŠENE NALOGE IZ ANALIZE 4 Ljubljana

naslov: REŠENE NALOGE IZ ANALIZE IV avtorske pravice: Jaka Cimprič, Jasna Prezelj izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Jaka Cimprič in Jasna Prezelj, Ljubljana avtorja: Jaka Cimprič in Jasna Prezelj leto izida: natis: elektronsko gradivo dostop: http://www.fmf.uni-lj.si/~prezelj/analiza4/analiza4.pdf CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 57./.4(75.8)(76.)(.34.) CIMPRIČ, Jaka Rešene naloge iz analize 4 [Elektronski vir] / Jaka Cimprič, Jasna Prezelj. -. izd. - El. knjiga. - Ljubljana : samozal. J. Prezelj : samozal. J. Cimprič, Način dostopa (URL): http://www.fmf.uni-lj.si/~prezelj/analiza4/analiza4. pdf ISBN 978-96-938--6. Prezelj-Perman, Jasna 566448

Kazalo. Fourierove vrste......................... 7 Klasični trigonometrijski sistem.................. 7 Trigonometrijske vrste....................... 9 Kompleksni trigonometrijski sistem................ Dvojni trigonometrijski sistemi.................. 4. Fourierova transformacija................... 6 Osnove L teorije.......................... 6 Odvajanje in integriranje..................... 9 Konvolucija............................. Kompleksna integracija...................... L teorija.............................. 3 3. Laplacova transformacija................... 7 Osnovne lastnosti.......................... 7 Inverzna transformacija...................... 8 Odvajanje in integriranje..................... 3 Konvolucija............................. 36 4. Parcialne diferencialne enačbe prvega reda........ 39 5. Klasifikacija PDE drugega reda v dveh spremenljivkah 45 6. Laplacova enačba........................ 47 Harmonične funkcije, Greenova funkcija, Poissonovo jedro... 48 Reševanje z integralskimi transformacijami........... 5 Reševanje s separacijo spremenljivk................ 5 7. Difuzijska enačba........................ 58 Reševanje z integralskimi transformacijami........... 58 Reševanje s separacijo spremenljivk................ 6 8. Valovna enačba.......................... 65 Reševanje z integralskimi transformacijami........... 65 Reševanje s separacijo spremenljivk................ 67 9. Rešitve nalog........................... 69 Fourierove vrste........................... 69 3

4 KAZALO Fourierova transformacija..................... 8 Laplacova transformacija...................... 95 Parcialne diferencialne enačbe prvega reda............ 3 Klasifikacija PDE drugega reda v dveh spremenljivkah..... 8 Laplacova enačba.......................... Difuzijska enačba.......................... Valovna enačba........................... 3 Literatura 37

Predgovor Pričujoča zbirka vsebuje naloge, ki sva jih avtorja sestavljala za vaje in kolokvije iz parcialnih diferencialnih enačb. Nekaj nalog je z vaj in kolokvijev najinih predhodnikov B. Gornika in S. Strleta, nekaj nalog pa sta prispevala profesorja M. Černe in M. Perman. Vsem se za njihov prispevek iskreno zahvaljujeva. Zbirka vsebuje naslednja področja: parcialne diferencialne enačbe prvega reda, Fourierove vrste, Fourierova in Laplacova transformacija. klasifikacija parcialnih diferencialnih enačb, Laplacova enačba, difuzijska enačba, valovna enačba. Ta snov v celoti pokriva predmet Analiza 4 na prvi stopnji matematike in dele predmetov: Matematika 3 (praktična matematika), Matematika 3 in Matematika 4 (fizika, prva stopnja). Vse naloge so opremljene z rešitvami.

FOURIEROVE VRSTE 7. FOURIEROVE VRSTE Klasični trigonometrijski sistem Operatorju A : y y pravimo Fourierov diferencialni operator. Naj bo f dana funkcija na intervalu [ l, l]. Radi bi rešili enačbo Ay = f, pri čemer nas zanimajo rešitve, ki so periodične s periodo l. Najprej poiščemo lastne funkcije operatorja A, ki so periodične in torej zadoščajo pogojema y( l) = y(l) in y ( l) = y (l). Take funkcije tvorijo kompleten ortogonalen sistem v prostoru L [ l, l] z običajnim skalarnim produktom, zato lahko vsako L funkcijo f razvijemo v vrsto po lastnih funkcijah.. Naj bo l > in V l = {y C () [ l, l]; y( l) = y(l), y ( l) = y (l)}. (a) Dokaži, da je V l gost podprostor v L [ l, l]. (b) Dokaži, da je operator A : V l pozitiven, ni pa injektiven. L [l, l], Ay = y, simetričen in (c) Določi njegove lastne vrednosti in lastne vektorje.. Naj bosta A in V l kot pri prejšnji nalogi, in Gf = l je G(x, t) = 4l (x t) + x t. (a) Dokaži, da za vsak f L [ l, l] velja AGf = f l vsak g V l velja GAg = g l l l g(t) dt. l G(x, t)f(t) dt, kjer l l f(t) dt in da za (b) Dokaži, da imata operatorja A : V l L [ l, l] in G : L [ l, l] V l iste lastne vektorje. Iz tega sklepaj, da lastni vektorji operatorja A : V L [ l, l] tvorijo kompleten ortogonalen sistem. Zaporedju, cos πx l, sin πx l,..., cos kπx l, sin kπx,... l

8 FOURIEROVE VRSTE pravimo klasični trigonometrijski sistem na [ l, l]..3 Dokaži, da je klasični trigonometrijski sistem ortogonalen v L [ l, l] ni pa normiran. Dokaži, da je sistem kompleten in zapiši Fourierovo vrsto in Parsevalovo identiteto za ta sistem..4 Razvij naslednje funkcije v klasične Fourierove vrste na [ π, π]. (a) f(x) = x, (b) f(x) = x, (c) f(x) = (x 3 π x)/. Zapiši tudi ustrezne Parsevalove identitete..5 Izračunaj vsote vrst n= n, n= n 4, n= n 6..6 Bernoullijevi polinomi ϕ n (x) so definirani z naslednjo rekurzivno relacijo: ϕ n(x) = ϕ n (x), ϕ (x) = in ϕ n (x) dx =, n >. (a) Eksplicitno izračunaj prvih pet Bernoullijevih polinomov. (b) Razvij polinome ϕ n (x) v Fourierove vrste na intervalu [, ]. (c) Izrazi vsoto z Bernoullijevimi polinomi. k= k m.7 Naj bo < a <. Razvij funkcije χ [ a,a] (x), cos ax, sin ax, ch ax, sh ax v klasične Fourierove vrste na [ π, π] in zapiši ustrezne Parsevalove identitete..8 Naj bo n naravno število in f L [ π, π]. Poišči minimum izraza f T n, kjer T n teče po vseh linearnih kombinacijah elementov, cos x, sin x,..., cos nx, sin nx. Pri katerem T n je dosežen?.9 Razvij funkcijo f(x) = sin x v klasično Fourierovo vrsto na intervalu [ π, π].

Trigonometrijske vrste 9. Poišči periodično rešitev diferencialne enačbe y (x) + y(x) = sin x. Trigonometrijske vrste Vsaki funkciji f L [ π, π] priredimo števila a = π π π f(t) dt, π a n = f(t) cos nt dt, π π π b n = f(t) sin nt dt, π π ki jim pravimo klasični Fourierovi koeficienti. Zaporedju funkcij (s n f)(x) = a + n (a k cos kx + b k sin kx) k= pravimo klasična Fourierova vrsta funkcije f. Iz definicije še ne sledi, da s n f konvergira proti f v kakršnemkoli smislu. Za konvergenco so potrebne dodatne predpostavke. (a) Cesarova konvergenca. Če je f L [ π, π], potem je lim f N N N+ n= s nf =. (b) Kvadratična konvergenca.. Če f L [ π, π], potem je lim n s nf f = (c) Konvegenca po točkah. Če f L [ π, π] in če je f odvedljiva v točki x ( π, π), (zadošča obstoj levega in desnega odvoda), potem je lim (s nf)(x) = f(x). n (d) Enakomerna konvergenca. Če je funkcija f zvezna na [ π, π], ima omejen totalni razmah in zadošča f(π) = f( π), potem je lim s nf f =. n Za dokaze teh trditev glej [9].

FOURIEROVE VRSTE. Primerjaj grafe naslednjih funkcij z grafi vsot njihovih klasičnih Fourierovih vrst. (a) f(x) = x, (b) f(x) = x, (c) f(x) = (x 3 π x)/. Primerjaj vrednosti funkcij in njihovih Fourierovih vrst za x = π.. (a) Razvij funkcijo f(x) = cos a(π x ) v klasično Fourierovo vrsto na intervalu [ π, π]. (b) Dokaži, da je ctg πt πt = t π k= k t in da ta vrsta enakomerno konvergira na vsaki kompaktni podmnožici v R, ki ne vsebuje celih števil. (c) Dokaži sin πt πt = ( t k ). k=.3 Izračunaj vsoti vrst n= ( ) n n +, n= n +. Katero funkcijo boš moral razviti?.4 Naj bo m poljubno naravno število. Izrazi klasične Fourierove koeficiente funkcij f(x) cos mx in f(x) sin mx s klasičnimi Fourierovimi koeficienti funkcije f(x)..5 Razvij funkciji x sin x in x cos x v klasično Fourierovo vrsto na intervalu [ π, π].

Trigonometrijske vrste.6 Razvij funkciji f(x) = log( cos x ), g(x) = log tg ( x + π 4 v klasično Fourierovo vrsto na intervalu [ π, π]..7 Odvajanje Fourierove vrste. Naj bo funkcija f zvezna na [ π, π], zvezno odvedljiva na ( π, π) in naj velja f( π) = f(π) in f L [ π, π]. Izrazi klasične Fourierove koeficiente funkcije f s klasičnimi Fourierovimi koeficienti funkcije f..8 Naj bo funkcija f periodična s periodo π in naj bo k-krat zvezno odvedljiva na R. Dokaži, da velja a n, b n = O( n k ), ko n..9 Enakomerna konvergenca. Naj bo funkcija f zvezna na [ π, π], zvezno odvedljiva na ( π, π) in naj velja f( π) = f(π) in f L [ π, π]. Dokaži, da s n f konvergira proti f enakomerno na [ π, π].. Integriranje Fourierove vrste. Naj bo f L [ π, π] poljubna funkcija in a,..., a n, b n,... njeni Fourierovi koeficienti. kjer je a = π π π f(x) dx. Naj bo F (x) = x (f(t) a ) dt in A,..., A n, B n,... njeni Fourierovi koeficienti. (a) Dokaži, da velja F ( π) = F (π). (b) Dokaži, da velja A n = b n n, B n = a n n in A = n= b n n < +. x (c) Dokaži, da Fourierovo vrsto za f(t) dt a dobimo tako, da formalno integriramo vrsto za f a. ),. Dokaži, da trigonometrijska vrsta n= sin nx log n ni klasična Fourierova vrsta nobene L funkcije.

FOURIEROVE VRSTE Kompleksni trigonometrijski sistem Zaporedju e imx, kjer m Z, pravimo kompleksni trigonometrijski sistem.. Dokaži, da je kompleksni trigonometrijski sistem ortogonalen v prostoru L ([ π, π], C), ni pa normiran. Skalarni produkt v tem prostoru je f, g = π π f(x)g(x) dx..3 Izrazi kompleksne Fourierove koeficiente s klasičnimi in obratno..4 Dokaži, da je kompleksni trigonometrijski sistem kompleten in zapiši ustrezno Fourierovo vrsto in Parsevalovo identiteto..5 Razvij funkcijo + cos x v klasično Fourierovo vrsto na intervalu [ π, π]. integracijo. Pomagaj si s kompleksno.6 Naj bo a > b >. Razvij funkcijo f(x) = ab a + b + (b a ) cos x v klasično Fourierovo vrsto na intervalu [ π, π]..7 Razvij funkcijo n= f(x) = exp(exp(ix)) v kompleksno Fourierovo vrsto. Seštej vrsti cos nx sin nx,. n! n!.8 Poišči vsoti vrst n= cos nx n(n ), n= n= sin nx n(n ). Nasvet: Pomagaj si s formulo z n = z + ( z) log( z). n(n ) n=

Kompleksni trigonometrijski sistem 3.9 Funkcijo f L [ π, π] periodično nadaljujemo na vso realno os. Naj bo g(x) = f(mx), kjer je m naravno število. Izrazi kompleksne Fourierove koeficiente funkcije g s kompleksnimi Fourierovimi koeficienti funkcije f..3 Izoperimetrični problem. Pokaži, da ima med vsemi sklenjenimi gladkimi krivuljami krog največjo ploščino. Predpostavi, da ima krivulja obseg π in naj bo z(s) = x(s) + iy(s) njena parametrizacija z naravnim parametrom. Razvij z(s) v kompleksno Fourierovo vrsto po [ π, π]. Dokaži naslednje zaporedje enakosti in neenakosti: p = = π (xy x y) ds = Im z, z = π n Zn c n π n Zn c n = z = π. π π.3 Konvolucija Fourierovih vrst. Funkciji f, g L [ π, π] periodično nadaljujemo na R. Izrazi kompleksne (klasične) Fourierove koeficiente funkcije π h(x) = f(t)g(x t) dt s kompleksnimi (klasičnimi) Fourierovimi koeficienti funkcij f in g. Dokaži tudi, da je h f g..3 Funkcijo f L [ π, π] periodično nadaljujemo na R. Izrazi kompleksne π Fourierove koeficiente funkcije g(x) = f(t)f(x + t) dt s kompleksnimi π π Fourierovimi koeficienti funkcije f. Izrazi še klasične Fourierove koeficiente funkcije g s klasičnimi Fourierovimi koeficienti funkcije f. Zaporedju sin kπx l cos kπx l, k =,,... pravimo sinusni sistem na [, l], zaporedju, k =,,... pa kosinusni sistem na [, l]..33 Razvij naslednje funkcije po sinusnem sistemu na [, π]. (a) f(x) =, (b) f(x) = cos x, (c) f(x) = x(π x).

4 FOURIEROVE VRSTE.34 Definirajmo preslikavo Φ : L [, l] L [, l] L [ l, l], Φ(f, g)(x) = f( x ) + sign(x)g( x ). Dokaži, da je ta preslikava izomorfizem Hilbertovih prostorov in da preslika zaporedje (, ), (cos πx πx πx l, ), (, sin l ), (cos l, ), (, sin πx l ),... v klasičen trigonometrijski sistem na [ l, l] pomnožen s konstanto. Ali je izometrija?.35 Uteženi trigonometrijski sistem je zaporedje e (x), e (x), e (x),..., { { λ sin kx, π x e k (x) = λ sin kx, < x π, e λ cos kx, π x k(x) = λ cos kx, < x π, kjer sta λ, λ taki realni števili, da velja λ + λ. Dokaži, da je to kompleten ortogonalen sistem v L [ π, π] in izračunaj njegove norme. Dvojni trigonometrijski sistemi Pri funkcijah dveh spremenljivk potrebujemo razvoj v Fourierovo vrsto po obeh spremenljivkah. Tako dobimo dvojne trigonometrijske sisteme..36 Dokaži, da funkcije,..., cos mx cos ny, cos mx sin ny, sin mx cos ny, sin mx sin ny,... tvorijo kompleten ortogonalen sistem v prostoru L ([ π, π] [ π, π]). Dokaži, da funkcije π e imx+iny, m, n Z tvorijo kompleten ortonormiran sistem..37 Razvij funkcije f(x, y) = xy, g(x, y) = sign(x y) in h(x, y) = x y v dvojni klasični trigonometrijski sistem na [ π, π] [ π, π]..38 Dokaži, da je funkcija f(x, y) = ( ) n sin nx sin ny n= n dobro definirana in zvezna. Dokaži, da je Pomagaj si s formulami f(x, y) = xy za x + y π. sin a sin b = (cos(a b) cos(a + b)),

Dvojni trigonometrijski sistemi 5 3x π = n cos nx ( ) n, π x π. n=.39 Dokaži, da je funkcija f(x, y, z) = ( ) n sin nx sin ny sin nz n= n 3 dobro definirana in zvezna. Dokaži, da je Pomagaj si s formulami f(x, y, z) = xyz za x + y + z π. sin a sin b sin c = 4 (sin(a+b c)+sin(b+c a)+sin(c+a b) sin(a+b+c)), x 3 π x = n sin nx ( ) n 3 za π x π. n=

6 FOURIEROVA TRANSFORMACIJA. FOURIEROVA TRANSFORMACIJA Osnove L teorije Za vsako funkcijo f L (R) definiramo njeno Fourierovo transformiranko F (f) (z) = π f(t)e izt dt. Označimo z C (R) prostor zveznih funkcij f : R C, ki gredo proti, ko x ±. Izkaže se, da je F(L ) prava podmnožica v C (R). Preslikavi F pravimo Fourierova transformacija. Inverzna formula r f(t) = lim F (f) (z)e itz dz r π r velja v vsaki točki t, kjer je f zvezna in izpolnjuje Dinijev pogoj: obstaja tak a >, da je integral a f(t + u) f(t) + f(t u) f(t) u du končen; to je npr. res, če ima f levi in desni odvod v t. Če je F(f) L, potem velja inverzna formula skoraj povsod (izrek o inverzu). Fourierova sinusna in kosinusna transformacija sta definirani z F c (f) (x) = π f(t) cos(xt)dt, F s (f) (x) = π f(t) sin(xt)dt.. V slovenski matematični literaturi obravnavajo Fourierovo transformacijo trije avtorji [9, 9, 4] ki jo definirajo na tri različne načine. F hla (f)(z) = F suh (f)(z) = F zak (f)(z) = f(t)e izt dt, f(t)e izt dt, f(t)e πizt dt.

Osnove L teorije 7 Naša definicija se razlikuje od gornjih treh in je posebno priljubljena pri fizikih. Kako se pretvarja med različnimi definicijami? Zapiši inverzno formulo za vsako od teh definicij. Dodaj še kako svojo definicijo.. Dokaži, da je Fourierova transformiranka sode funkcije vedno soda funkcija in da je Fourierova transformiranka lihe funkcije vedno liha funkcija..3 Dokaži, da je Fourierova transformiranka realne funkcije realna natanko tedaj, ko je soda..4 Naj bo funkcija f zvezna in odsekoma zvezno odvedljiva ter f, F(f) L. Dokaži: (a) za vsak x R velja F (f)(v) = f( v), (b) F 4 (f) = f, (c) če je f tudi soda, potem je F(f) = F (f)..5 Naj bo c >. Z direktnim računom določi Fourierove transformiranke funkcij (a) f(t) = χ [ c,c] (t), kjer je χ [ c,c] karakteristična funkcija intervala [ c, c], (b) g(t) = e c t..6 Naj bo c >. (a) Poišči Fourierovo transformiranko funkcije h(t) = c +t. (b) Kakšna je s Fourierova transformiranka funkcije k(t) = sin cx x?.7 Poišči Fourierovo in inverzno Fourierovo transformiranko funkcij f(t) = max( t, ), g(t) = max( t, )..8 Naj bo a > konstanta in f L poljubna funkcija. Izrazi Fourierovi transformiranki funkcij f(t) cos at in f(t) sin at s Fourierovo transformiranko funkcije f(t).

8 FOURIEROVA TRANSFORMACIJA.9 Naj bo a, b >. Izračunaj Fourierovi transformiranki funkcij f(t) = e a t cos bt, g(t) = e a t sin bt.. Izračunaj Fourierovo transformiranko funkcije f(t) = e t cos t sin 3t.. Izračunaj Fourierovo transformiranko funkcije kjer sta a, b >. f(t) = e a t sin bt t. Naj bo c >. Izračunaj kosinusni transformiranki funkcij f(t) = χ [,c] (t), g(t) = e ct..3 Naj bo a, b. Izračunaj kosinusno transformiranko funkcije.4 Dokaži, da komutira diagram L (R) Φ Ψ L (R + ) L (R + ) kjer sta preslikavi Φ in Ψ definirani z in sta ena drugi inverzni. f(t) = e bt e at. t F C (R) Φ Ψ F c if s C (R + ) C (R + ) Φ(f)(x) = ( (f(x) + f( x)), (f(x) f( x))), Ψ(f, g)(x) = f( x ) + sign(x)g( x ).5 Naj bo f L (R, C) in F njena sinusna transformiranka. Dokaži, da limita r F (x) lim r x dx obstaja in je končna.

Odvajanje in integriranje 9.6 Dokaži, da funkcija F (x) = { x/e, x e / ln x e x < pripada C (R + ), vendar ni sinusna transformiranka nobene L funkcije..7 Naj bo f L (R, C) in F njena kosinusna transformiranka. Dokaži naslednjo trditev. Če obstaja tak ε >, da velja ε f(t) ln t dt <, potem limita r F (x) lim dx r x obstaja in je končna..8 Poišči tako funkcijo f L (R + ), da ne obstaja limita r lim r e F (x) x dx, kjer je F kosinusna transformiranka funkcije f. Odvajanje in integriranje Fourierove transformiranke lahko računamo s pomočjo odvajanja ali integriranja slike ali originala..9 Dokaži, da velja naslednja formula o odvajanju originala. odvedljiva in f, f L, potem za vsak x R velja Če je f zvezno F ( f ) (x) = ix F (f) (x).. Dokaži, da velja formula o višjih odvodih originala. Če je f dvakrat zvezno odvedljiva in f, f, f L, potem je za vsak x R F ( f ) (x) = x F (f) (x).. Dokaži formulo o odvajanju slike. Naj bosta funkciji f in g(t) = tf(t), t R, v L. Potem je F(f) odvedljiva na R in za vsak x R velja (Ff) (x) = if (g) (x).

FOURIEROVA TRANSFORMACIJA. Dokaži formulo o višjih odvodih slike: če so f(t), tf(t), t f(t) v L, potem je Ff dvakrat odvedljiva na R in za vsak x R velja (Ff) (x) = F ( t f(t) ) (x)..3 Naj bo funkcija f zvezno odvedljiva in naj f, f L. Dokaži, da velja F (f) (x) = o( x ), x ±..4 Dokaži, da za vsako dvakrat zvezno odvedljivo funkcijo f, ki zadošča f, f, f L in vsak x R velja Fourierova formula f(x) = F (f) (x)e itx dx. π.5 Naj bo a >. Izračunaj Fourierovo transformiranko funkcije f(t) = e at..6 Naj bosta a, b >. Izračunaj Fourierovi transformiranki funkcij f(t) = e at cos bt at sin bt in g(t) = e. t.7 Naj bodo f, f in f v L (R). Dokaži, da velja F c (f (t))(x) = π f () x F c (f(t))(x), F s (f (t))(x) = x π f() x F s (f(t))(x). Konvolucija Konvolucijo dveh funkcij f, g L (R) definiramo z (f g)(x) = Norma konvolucije zadošča neenakosti f(x t)g(t) dt. in izreku o konvoluciji f g f g F(f g) = πf(f)f(g).

Kompleksna integracija.8 Kako se glasi izrek o konvoluciji za transformacije F hla, F suh in F zak?.9 Naj bosta a, b >. Izračunaj konvolucijo f g, kjer je (a) f (t) = χ [ a,a] (t), g (t) = χ [ b,b] (t), (b) f (t) = e a t, g (t) = e b t, (c) f 3 (t) = sin at sin bt t, g 3 (t) = t, (d) f 4 (t) = t +a, g 4 (t) = t +b..3 Naj bodo funkcije F, G in F G iz zaloge vrednosti F. Dokaži, da velja F (F G) = π F (F ) F (G)..3 Naj bo < a < b. Določi Fourierovo transformiranko in inverzno Fourierovo transformiranko funkcije f(t) = Pomagaj si z izrekom o konvoluciji. sin at sin bt t..3 Obravnavaj rešitve integralske enačbe v odvisnosti od parametra λ f(x) = λ f(t)e x t dt + e x. Kompleksna integracija Inverzna formula za Fourierovo transformacijo r f(t) = lim F (f) (z)e itz dz r π r velja v vsaki točki t, kjer je f zvezna in ima omejen levi in desni odvod (Dinijev izrek). Jordanova lema. Naj bo a >, F : C C meromorfna in R n zaporedje nenegativnih števil z limito +. (a) Naj bo C n = {z; z = R n, Im z > a} in M n = sup F (z). z C n Če je λ > in lim M n n = potem je lim n C F n (z)eiλz dz =.

FOURIEROVA TRANSFORMACIJA (b) Naj bo C n = {z; z = R n, Im z < a} in M Če je λ < in lim n M n =, potem je lim n n = sup F (z). z C n C F n (z)eiλz dz =. Lema o delu residuuma. Naj bo F analitična v neki prebodeni okolici z in naj ima v z pol prve stopnje. Naj bo krivulja C ε rob krožnega izseka {z; z z = ɛ, φ < arg(z z ) < φ + α}, potem velja lim F (z) dz = iα Res(F, z ). ε C ε Inverzne transformiranke racionalnih funkcij. Naj bosta A in B kompleksna polinoma, B brez realnih ničel in deg B deg A +. Potem je lim r π = i r r A(z) B(z) eitz dz = i z S + Res( A(z) B(z) eitz, z), t >, z S Res( A(z) B(z) eitz, z), t <, kjer je S + = {z; B(z) =, Im z > } in S = {z; B(z) =, Im z < }..33 Dokaži gornjo formulo za inverzno transformacijo racionalnih funkcij, ki nimajo realnih polov..34 Naj bo a >. Določi Fourierovo in inverzno Fourierovo transformiranko funkcije f(t) = π(t + a )..35 Naj bo a >. Določi Fourierovi in inverzni Fourierovi transformiranki funkcij f(t) = π(t + a ), g(t) = t π(t + a )..36 Naj bo a >. Določi Fourierovi in inverzni Fourierovi transformiranki funkcij f(t) = π(t + a ), g(t) = t 3 π(t + a ). 3

L teorija 3.37 Določi Fourierove in inverzne Fourierove transformiranke funkcij f(t) = π(4a 4 + t 4 ), g(t) = t π(4a 4 + t 4 ), h(t) = t π(4a 4 + t 4 ), k(t) = t 3 π(4a 4 + t 4 )..38 Izračunaj Fourierovi in inverzni Fourierovi transformiranki funkcij f(t) = π(t + t + ), g(t) = π(t + t + )..39 Naj bo < a <. Izračunaj Fourierovo in inverzno Fourierovo transformiranko meromorfne funkcije f(x) = ch at. π ch t.4 Naj bo < a < π. Izračunaj Fourierovo in inverzno Fourierovo transformiranko funkcije sh at π( + t ) sh πt..4 Naj bo α, β > in f(t) = Γ(α)β α tα e t/β χ [, ) (t). Določi Fourierovo transformiranko F (f) (y)..4 Izračunaj kosinusni transformiranki funkcij f(x) = e at t, g(x) = t. L teorija Naj bo L = L (R, C) in L = L (R, C). V L teoriji najprej dokažemo Parsevalovo identiteto F(f) = f

4 FOURIEROVA TRANSFORMACIJA za vsako funkcijo f L L. Odtod sledi, da je F omejena linearna preslikava iz prostora L L v prostor L. Ker je L L gost podprostor prostora L, lahko torej F razširimo po zveznosti do preslikave F : L L, F L L = F. Izkaže se, da je ta preslikava bijektivna (Plancherelov izrek) izometrija (Parsevalova identiteta velja za vsak f L.).43 Dokaži, da ni niti L L niti L L..44 Naj bo c >. Dokaži, da funkcija f(t) = sin ct t pripada L, ne pripada pa L. Dokaži, da F f pripada L, ne pripada pa C (R, C)..45 Naj bo c >. Izračunaj integral + ( ) sin ct dt. t.46 Dokaži identiteto + F (f) (t)g(t) dt = + f(t)f (g) (t) dt, za poljubni funkciji f, g L! Ali odtod sledi, da je operator F hermitski?.47 Dokaži identiteto + za poljubni funkciji f, g L. (F f)(t)(f g)(t) dt =.48 Naj bosta a, c >. Izračunaj integral + + sin cx x(a + x ) dx. f( t)g(t) dt,

L teorija 5.49 Dokaži, da velja (F f)(x) = (F f)( x) = (F f)(x) za vsak f L. Izpelji odtod naslednje lastnosti: (a) F F = F F = I, (b) (F f)(x) = f( x) za vsak f L, (c) (F ) 4 = I..5 Dokaži, da so funkcije f n (x) = e x / H n (x) lastni vektorji operatorja F, kjer so H n Hermitovi polinomi. Kakšne so pripadajoče lastne vrednosti?.5 Dokaži, da velja f g f g..5 Dokaži, da velja F (f g) = πf (f)f (g)..53 Naj bo funkcija f zvezno odvedljiva in naj f L in f L L. Dokaži, da je Ff L. Pomagaj si s Cauchy-Schwartzovo neenakostjo. To pomeni, da inverzna formula za f velja v vsaki točki. Preostale naloge se nanašajo na L -verziji sinusne in kosinusne transformacije..54 Dokaži, da za vsako funkcijo f L (R + ) L (R + ) velja F c f = F s f = f. Dokaži, da obstajata razširitvi F c,, F s, : L (R + ) L (R + ) preslikav F c, F s : L (R + ) L (R + ) L (R + ). Dokaži, da za vsak f L (R + ) F c, f = F s, f = f.

6 FOURIEROVA TRANSFORMACIJA.55 Definirajmo preslikavo Φ : L (R + ) L (R + ) L (R), Φ(f, g)(x) = f( x ) + sign(x)g( x ). Dokaži, da je Φ izomorfizem Hilbertovih prostorov in izračunaj njegov inverz Ψ..56 Dokaži, da komutira diagram L (R) Φ Ψ L (R + ) L (R + ) F L (R) Φ Ψ F c, if s, L (R + ) L (R + ) kjer sta preslikavi Φ in Ψ definirani kot v prejšnji nalogi..57 Dokaži, da za vsak f L (R + ) velja (F c, ) f = (F s, ) f = f! Dokaži, da je F c, = F c, in F s, = F s,.

LAPLACOVA TRANSFORMACIJA 7 3. LAPLACOVA TRANSFORMACIJA Osnovne lastnosti Laplacova transformiranka funkcije f : [, ) R je definirana z L (f(t)) (z) = f(t)e zt dt. Če je f integrabilna na vsakem končnem intervalu in če za dano kompleksno število z obstaja L (f(t)) (z ), potem je funkcija Lf definirana in analitična v vsakem z C, ki zadošča Re z > Re z. Merljiva funkcija f je eksponentega naraščanja, če obstajajo taka števila M, N > in k R, da je f integrabilna na [, N] in za vsak x N velja f(x) Me kx. Za take funkcije L (f(t)) (z) obstaja in je analitična za vsak z, ki zadošča Re z > k. Običajno L (f(t)) (z) najprej izračunamo za velike realne z, nato pa s pomočjo principa enoličnosti za analitične funkcije dobimo vrednost tudi za kompleksne z. Če imata dve funkciji enako Laplacovo transformiranko, potem sta enaki skoraj povsod (Lerchov izrek). 3. Dokaži, da je Laplacova transformiranka konstantne funkcije v točki z enaka z, če je Re z >. 3. Naj bo α >. Dokaži, da je če je Re z >. L (t α ) (z) = Γ(α + ) z α+, 3.3 Dokaži, da je L (ln t) (z) = γ ln z, z kjer je γ = Γ () Eulerjeva konstanta. 3.4 Naj bo α >. Dokaži, da je L (t α ln t) (z) = Γ (α + ) Γ(α + ) ln z z α+.

8 LAPLACOVA TRANSFORMACIJA 3.5 Dokaži, da za vsak k > velja L (f(kt)) (z) = k L (f(t)) ( z k ). 3.6 Premik slike. Dokaži, da za vsak a C velja L ( e at f(t) ) (z) = L (f(t)) (z a). 3.7 Naj bo a R in Re z > a. Dokaži, da je L ( e at) (z) = z a, L (ch at) (z) = z z a, L (sh at) (z) = a z a. 3.8 Naj bo a poljubno realno število. Izrazi Laplacovi transformiranki funkcij f(t) ch at in f(t) sh at z Laplacovo transformiranko funkcije f(t). 3.9 Naj bo a R in Re z >. Dokaži, da je 3. Izračunaj L (cos at) (z) = z a z in L (sin at) (z) = + a z + a. L ( e at t n) (z), L ( e at cos bt ) (z) in L ( e at sin bt ) (z). Inverzna transformacija Inverzna formula za Laplacovo transformacijo. Naj bo funkcija f(t) zvezna in odvedljiva na [, ) in od nekod naprej omejena z Me kt. Če je c > k poljubno število, potem je lim R πi c+ir c ir e zt L (f) (z) dz = { f(t), t >, t <. Jordanova lema. Naj bo c realno število, F (z) merljiva funkcija na območju Re z < c in R n R + zaporedje, ki konvergira proti. Označimo C n = {z : z = R n, Re z c} in M n = sup F (z). Če velja lim M n = in z C n n t >, potem je lim n C n F (z)e zt dz =.

Inverzna transformacija 9 Iz inverzne formule in Jordanove leme sledi drugi izrek o razvoju. Naj bo funkcija F (z) meromorfna na C, naj bo holomorfna na Re z > c, in naj zadošča predpostavkam Jordanove leme. Potem je { Res(F (z)e zt, z i ), t > L (F (z)) (t) = {z i pol F (z)}, t <. Kadar ima funkcija F (z) razvejišče v točki, si pomagamo tudi z integracijo po Bromvičevi krivulji. To je sklenjena krivulja, ki gre najprej po krožnici z = R od premice Re z = c do abcisne osi, nato po abcisi od R do ε, naredi en zavoj po krožnici z = ε, gre spet po abcisi od ε do R, zavije po krožnici z = R do premice Re z = c in nato nadaljuje po premici Re z = c dokler se ne sklene. Integrala po abscisni osi se ne pokrajšata, ker integriramo različni veji funkcije F. 3. Naj bo a >. Izračunaj inverzni Laplacovi transformiranki funkcij F (z) = (a + z ), G(z) = z (a + z ). 3. Naj bo < x <. Izračunaj inverzno Laplacovo transformiranko funkcije F (z) = ch(x z) ch( z). 3.3 Naj bo < x < π. Izračunaj inverzno Laplacovo transformiranko funkcije sh(xz) F (z) = ( + z ) sh(πz). 3.4 Naj bo ν >. S pomočjo krivuljne integracije po Bromvičevi krivulji izračunaj inverzno Laplacovo transformiranko funkcije z ν+. 3.5 Naj bo ω pozitivna konstanta. Dokaži, da velja L ( ) cos ωt (z) = πt z + ω + z z + ω,

3 LAPLACOVA TRANSFORMACIJA L ( ) z sin ωt (z) = + ω z πt z + ω. Inverzne transformiranke nekaterih realnih racionalnih funkcij lahko računamo tako, da najprej racionalno funkcijo razstavimo na parcialne ulomke in upoštevamo ( ) L (z a) n (t) = tn (n )! eat L ( A(z a) + Bb (z a) + b ) (t) = Ae at cos bt + Be at sin bt. 3.6 Izračunaj inverzne Laplacove transformiranke funkcij (a) F (z) = z 4, (b) F (z) = (z a)(z b), (c) F (z) = z +z+, (d) F (z) = z z 3 +z +z+, (e) F (z) = z 4 +4. 3.7 Periodičen original. Naj bo funkcija y(t) zvezna in periodična s periodo ω. Dokaži, da velja ω L (y(t)) (z) = e ωz y(t)e zt dt. 3.8 Naj bo f(x) = x, če je x π in naj bo f periodična s periodo π. Izračunaj Laplacovo transformiranko funkcije f.

Inverzna transformacija 3 3.9 Dokaži, da je ( L πt e a 4t ) (z) = e a z. z Laplacovo transformiranko L (f(t)) (z) lahko izračunamo tudi tako, da f(t) razvijemo v potenčno vrsto in zamenjamo vrstni red seštevanja in integracije. Inverzno Laplacovo tranformiranko L (F (z)) (t) lahko izračunamo tudi tako, da F (z) razvijemo v vrsto po potencah z in zamenjamo vrstni red seštevanja in invertiranja. 3. Naj bo a >. Dokaži, da velja ( L sin ) at (z) = ( πa z z e a z in L cos ) at (z) = e a z. πt z 3. Naj bo a >. Dokaži, da velja L ( z z e a z ) (t) = πa sh at in L ( z e a z ) (t) = πt ch at. 3. Dokaži prvi izrek o razvoju: Če je funkcija F (z) analitična v in ima v okolici Laurentov razvoj F (z) = Laplacova transformiranka dana z f(t) = funkcija. k= k= c k z k, potem je njena inverzna c k (k )! tk. Pri tem je f(t) cela 3.3 Izračunaj naslednje inverzne Laplacove transformiranke ( ) ( (a) L (z + ) (t), (b) L z (z + ) ( ) ( (c) L (z + ) 3 (t), (d) L z (z + ) 3 ) (t), ) (t). Heavisideova funkcija je definirana z {, x H(x) =, x <.

3 LAPLACOVA TRANSFORMACIJA 3.4 Premik originala v levo. Naj bo f : [, ) R poljubna funkcija in k >. Dokaži, da velja k L (f(t + k)) (z) = e kz L (f(t)) (z) e kz f(t)e zt dt. 3.5 Premik originala v desno. Naj bo f : R R poljubna funkcija in k >. Dokaži, da velja L (f(t k)h(t k)) (z) = e kz L (f(t)) (z). Vsakemu zaporedju {a n } n N kompleksnih števil lahko priredimo stopničasto funkcijo n= a n χ [n,n+) (x). Laplacovo transformiranko zaporedja definiramo kot Laplacovo transformiranko njegove stopničaste funkcije. 3.6 Dokaži L ({a n }) (z) = e z z a n e nz. n= 3.7 Izračunaj Laplacove transformiranke naslednjih zaporedij: L ( e kz z n a n = n, b n = n n, c n = n n. 3.8 Dokaži, da za poljubna k, n > velja formula ) (t) = (n )! (t k)n H(t k). 3.9 Izračunaj inverzne Laplacove transformiranke funkcij A(z) = z( e z ), B(z) = z(z e z ), in C(z) = z k (z e z ), kjer je k poljubno naravno število. Odvajanje in integriranje Laplacove transformiranke lahko računamo s pomočjo odvajanja ali integriranja slike ali originala.

Odvajanje in integriranje 33 3.3 Odvajanje originala. Naj bo funkcija y(t) zvezno odvedljiva na [, ) in eksponentnega naraščanja. Dokaži, da velja L ( y (t) ) (z) = y() + zl (y(t)) (z). 3.3 Reši naslednje sisteme diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti (a) y (t) = y(t) + 6z(t), y() =, z (t) = 8y(t) + z(t), z() =, (b) y (t) = y(t) 4z(t) + e t, y() =, z (t) = y(t) 3z(t), z() =, (c) y (t) = y(t) z(t), y() =, z (t) = 4y(t) z(t), z() =. 3.3 Naj bo funkcija y(t) eksponentnega naraščanja in zvezno odvedljiva za vsak t >, razen za t = a, kjer naj ima skok. Dokaži, da velja L ( y (t) ) (z) = e az [y(a ) y(a + )] y() + zl (y(t)) (z). 3.33 Višji odvodi originala. Naj bo funkcija y(t) n-krat zvezno odvedljiva in naj bodo funkcije y(t), y (t),..., y (n ) (t) eksponentnega naraščanja. Dokaži ( ) L y (n) (t) (z) = y (n ) ()... z n y() + z n L (y(t)) (z). 3.34 S pomočjo Laplacove transformacije reši naslednje diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti (a) y (t) + 5y (t) + 6y(t) = 9 + 8t, y() = y () =, (b) y (t) + y (t) + y(t) = ch t, y() =, y () =, (c) y (t) + 4y (t) + 8y(t) = e t sin t, y() = y () =. 3.35 Reši diferencialno enačbo pri začetnih pogojih y (4) (t) + y (t) + y(t) = sin t y() = y () = y () = y () =.

34 LAPLACOVA TRANSFORMACIJA 3.36 Reši sistem enačb y (t) = y(t) + z(t) + t, pri začetnih pogojih z (t) = 4y(t) 3z(t) t, y() = y () = z() = z () =. 3.37 Reši naslednjo diferenčno-diferencialno enačbo y (t) = y(t ) +, y() =. 3.38 Reši naslednjo diferenčno-diferencialno enačbo y (t) + 4y (t ) + 4y(t ) = t, y() = y () =. 3.39 Odvajanje slike. Naj bo funkcija y(t) zvezna na [, ) in eksponentnega naraščanja, f(t) Me kt. Dokaži, da za Re z > k velja d L (y(t)) (z) = L (ty(t)) (z). dz 3.4 Višji odvodi slike. Naj bo funkcija y(t) zvezna na [, ) in eksponentnega naraščanja. Dokaži, da velja ( ) d n L (y(t)) (z) = ( ) n L (t n y(t)) (z). dz 3.4 Pripravi tabelico naslednjih transformirank : L (ty(t)) (z), L (ty (t)) (z) in L (ty (t)) (z). 3.4 Reši enačbo ty (t) ( + t)y (t) + ( t)y(t) =, pri začetnih pogojih y() = a, y () = b. Ali je začetni problem rešljiv pri poljubnih a in b? Ali je rešitev enolična? Razloži ta pojav s pomočjo eksistenčnega izreka.

Odvajanje in integriranje 35 3.43 Poišči vse rešitve diferencialne enačbe ki zadoščajo pogoju y() =. ty (t) + (4t )y (t) + (4t )y(t) =, 3.44 Poišči vse rešitve diferencialne enačbe ty (t) + (t + )y (t) + (t + )y(t) =. 3.45 Integriranje slike. Dokaži, da velja ( ) f(t) L (z) = L (f(t)) (u) du. t z 3.46 Dokaži, da je ( ) sin t L (z) = arcctg z. t 3.47 Naj bo a, b >. Dokaži, da velja ( e bt e at ) L (z) = ln t ( ) z a. z b 3.48 Integriranje originala. Dokaži, da velja ( t ) L f(u) du (z) = L (f(t)) (z). z 3.49 Dokaži, da velja ( t L sin u u ) du (z) = arcctg z. z 3.5 Če je funkcija f zvezno odvedljiva na intervalu [, ) in če sta f in f eksponentnega naraščanja, potem dokaži, da velja lim zl (f(t)) (x) = f(). x Inverzne transformiranke lahko računamo tudi s pomočjo formul za odvajanje ali integriranje slike in originala.

36 LAPLACOVA TRANSFORMACIJA 3.5 Izračunaj inverzno Laplacovo transformiranko funkcije F (z) = ln( + z ). 3.5 Naj bo a >. Izračunaj inverzni Laplacovi transformiranki funkcij F (z) = ln( + a z ), a G(z) = ln( z ). 3.53 Izračunaj inverzno Laplacovo transformiranko funkcije F (z) = ( ) z ln z. + z 3.54 Izračunaj inverzno Laplacovo transformiranko funkcije F (z) = ln( + z). z 3.55 Izračunaj inverzno Laplacovo transformiranko funkcije Konvolucija F (z) = arctg z. z Konvolucija funkcij f, g : R + R je definirana s formulo Izrek o konvoluciji pravi (f g)(x) = x f(x t)g(t) dt. L (f g) (z) = L (f) (z) L (g) (z). Iz izreka o konvoluciji sledi, da je L (F (z)g(z)) (t) = (F G)(t) = če sta F in G v sliki Laplacove transformacije. t F (t u)g(u) du,

Konvolucija 37 3.56 Dokaži, da je f g = g f. 3.57 Izračunaj cos at cos bt in e at e bt. 3.58 Naj bo a >. Izračunaj inverzni Laplacovi transformiranki funkcij z uporabo izreka o konvoluciji. F (z) = (a + z ), G(z) = z (a + z ). 3.59 Naj bo a >. Izrazi inverzne Laplacove transformiranke funkcij F (z) = a z z + a, F (z) = s funkcijo napake erf(x) = π x e s ds. z(z a ) in F 3(z) = z + a z 3.6 Naj bo a, b >. Reši naslednje Volterrove integralske enačbe prve vrste: (a) x cos a(x t)φ(t) dt = sin bx, (b) x ea(x t) φ(t) dt = cos bx, (c) x ea(x t) φ(t) dt = xe bx. 3.6 Reši naslednje Volterrove integralske enačbe druge vrste: (a) φ(t) = x φ(t) dt + et, (b) φ(t) = x et x φ(t) dt + cos x, (c) φ(t) = x (x t)φ(t) dt + cos x. 3.6 Reši naslednjo integro-diferencialno enačbo : y (x) = x sin(x t)y(t) dt + cos(x). Preostale naloge se nanašajo na posplošeni izrek o konvoluciji.

38 LAPLACOVA TRANSFORMACIJA 3.63 Dokaži posplošeni izrek o konvoluciji. Če za funkcije f, F, g, G, q velja L (f(t)) (z) = F (z), L (g(t, τ)) (z) = G(z)e τq(z), potem velja ( ) L f(τ)g(t, τ)dτ (z) = F (q(z))g(z). 3.64 Dokaži, da za primerno funkcijo f velja L (f(t)) ( ( z) = L f(s)e s 4t z πt ) ds (z). 3.65 Izračunaj L ( e a z z ) (t). 3.66 Dokaži, da za primerno funkcijo f velja ( x t f(t) L (f(x)) (ln z) = L Γ(t) ) dt (z). 3.67 Izračunaj ( ) L (x). ln z 3.68 Dokaži, da za primerno funkcijo f velja ( x t ) f(t) L (f(x)) (ln z) = L z Γ( + t) dt (z). 3.69 Izračunaj ( ) L (x). z ln z

PARCIALNE DIFERENCIALNE ENAČBE PRVEGA REDA 39 4. PARCIALNE DIFERENCIALNE ENAčBE PRVEGA REDA Kvazlinearna PDE prvega reda na R je enačba oblike Lu = F (x, y, u, p, q) = a(x, y, u)p + b(x, y, u)q c(x, y, u) =, kjer sta p in q običajni oznaki za parcialna odvoda u po x oz. y. Zanima nas rešitev kvazilinearne enačbe Lu =, pri čemer zahtevamo, naj graf u vsebuje krivuljo S. Recept za reševanje je naslednji: () parametriziramo krivuljo S, s γ(s) = (x(s), y(s), u(s)), () rešimo karakteristični sistem pika označuje odvod na t. ẋ = F p = a, ẏ = F q = b, u = pf p + qf q = c; Na podoben način se lotimo začetnih nalog za nelinearne enačbe prvega reda: Lu = F (x, y, u, p, q) =, graf u vsebuje krivuljo S le da je gornjemu karakterističnemu sistemu potrebno dodati še enačbi za ṗ in q, in izračunati začetna pogoja za p in q. Karakteristični sistem je ẋ = F p, ẏ = F q, u = pf p + qf q, ṗ = F x pf u, q = F y qf u, začetna pogoja za p in q pa izračunamo iz parametrizacije krivulje in diferencialne enačbe. Analogno gre reševanje za enačbe na R n, le da je karakteristični sistem ustrezno večji.

4 PARCIALNE DIFERENCIALNE ENAČBE PRVEGA REDA Pfaffova enačba je enačba oblike p(x, y, z)dx + q(x, y, z)dy + r(x, y, z)dz =. Če označimo F = (p, q, r), se enačba prepiše v F dr =. Rešitve enačbe so vse ploskve, ki so pravokotne na vektorsko polje F. Še drugače, rešitve so vse ploskve G(x, y, z) = c, kjer je grad G = µf za neko funkcijo µ. Izkaže se, da je Pfaffova enačba rešljiva natanko tedaj, ko je F rot F =. Metoda za reševanje je naslednja: (a) Fiksirajmo eno spremenljivko, npr. z. Pri fiksnem z dobimo enačbo p(x, y, z)dx + q(x, y, z)dy = F dr =, kjer je F = (p, q). (b) Ker v R za vsako vektorsko polje V obstaja tak Lagrangev množitelj µ, da je µv = grad G za neko funkcijo G, je gornja enačba rešljiva. Naj bo G (x, y, z) + f(z) rešitev, kjer je f(z) integracijska konstanta. (c) Pišimo G(x, y, z) = G (x, y, z) + f(z). Radi bi določili f tako, da bo grad G = µf za nek µ. Pogoj F rot F = zagotavlja, da bomo iz gornjega sistema dobili navadno diferencialno enačbo prvega reda za f, kar nam bo dalo rešitev originalne enačbe. 4. Dan je diferencialni operator Lu = xu x + yu y. (a) Uvedi taki novi koordinati α in β, da bo enačba Lu = v novih koordinatah oblike u β = f(α, β, u). (b) Reši enačbo Lu = pri naslednjih pogojih () u(x, y) = na x + y =, () u(x, y) = xy na x + y =, (3) u(x, x) =, (4) u(x, x) = x +. (c) Reši enačbo Lu = u x y pri pogoju u(x, ) = x x.

PARCIALNE DIFERENCIALNE ENAČBE PRVEGA REDA 4 4. Reši enačbo pri pogoju u =, x + y =. (xy + xu)p (yx + yu)q + (x y )u = 4.3 Reši enačbo xzu x + yzu y (x + y )u z = pri začetnem pogoju u(x, y, ) = x+y. Nasvet: rešitev išči v implicitni obliki. 4.4 Reši enačbo pri pogoju u(x, ) = x. xp + yq = pq 4.5 Poišči vse rešitve enačbe pri pogoju u(x, ) = x. xu x + yu y u y = 4.6 Poišči vse rešitve enačbe pri pogoju u(x, x) =. xpq + yq = 4.7 (a) Poišči popolni integral (dvoparametrično družino rešitev) enačbe qz = pqx + q y + + q. (b) Poišči vse članice zgornje družine, ki se dotikajo ploskve x = y + z. Nasvet: iz pogoja na gradiente izrazi y, z kot funkciji parametra. (c) Poišči tisto rešitev, ki se dotika ploskve x = y + z vzdolž neke krivulje. Določi še krivuljo.

4 PARCIALNE DIFERENCIALNE ENAČBE PRVEGA REDA 4.8 Poišči vse rešitve enačbe pq xp + yq = pri pogoju u(x, x) =. Rešitev izrazi z originalnimi koordinatami. 4.9 Poišči vse rešitve enačbe pri pogoju u(x, ) = x. pq xp + yq = 4. Reši xu y yu x = u pri pogoju u(x, ) = h(x). 4. Reši F (p) = q pri pogoju u(x, ) = h(x), če je F razreda C. 4. Reši xu x u y = pri pogoju u(x, ) = x. 4.3 Naj bo u C (R ) nekonstantna. Pokaži, da u ne more biti rešitev enačbe xp 3 + yq 3 =. 4.4 Reši enačbo pri pogoju u(x, y, ) = x + y. u x + u y + u z = u x u y u z 4.5 Reši enačbo pri pogoju u(x, ) = x. xu x + yu y = u x + u y 4.6 Reši enačbo pri pogoju u(x, y, ) = x + y. xu x + yu y + zu z = u x + u y + u z

PARCIALNE DIFERENCIALNE ENAČBE PRVEGA REDA 43 4.7 Reši enačbo pri pogoju u(x, x) = 3. p + pq + q u =. 4.8 Reši enačbo p 3 + p q + pq + q 3 u = pri pogoju u(x, x) = 4. Rešitev izrazi z originalnimi koordinatami. 4.9 Pokaži, da je F (x,..., x n, u) = implicitno podana rešitev kvazilinearne parcialne diferencialne enačbe, če je F prvi integral karakterističnega sistema. Naj bosta F, G prva integrala karakterističnega sistema. Pokaži, da je z enačbo H(F, G) = tudi implicitno podana rešitev kvazilinearne parcialne diferencialne enačbe. 4. Dana je linearna diferencialna enačba f(x, y, z)u x + g(x, y, z)u y + h(x, y, z)u z = a(x, y, z, u), f + g + h =. Naj bosta F in G funkcijsko neodvisna prva integrala sistema ẋ = f, ẏ = g, ż = h. Pokaži, da (vsaj lokalno) obstaja taka funkcija H, da ima v novih koordinatah α = F, β = G, γ = H diferencialna enačba obliko u γ = A(α, β, γ, u). 4. (a) Med vsemi ploskvami v prostoru, katerih normala je pravokotna na krajevni vektor, poišči tisto, ki vsebuje krivuljo s (cos s, sin s, s). (b) Poišči vse ploskve, katerih normala je pravokotna na krajevni vektor. Kakšno lastnost imajo njihove implicitne enačbe? Odgovor utemelji! Nasvet: Reši najprej problem za krivulje v ravnini. 4. Med vsemi ploskvami, ki so ortogonalne na družino poišči tisto, ki vsebuje krivuljo z = a + xy, a R r(s) = (s,, s), s R.

44 PARCIALNE DIFERENCIALNE ENAČBE PRVEGA REDA 4.3 Dani sta družini ploskev y z = A, x(y z) = B. (a) Poišči vektorsko polje V, ki je tangentno na obe družini. (b) Poišči ploskev h, ki je ortogonalna na vektorsko polje V in vsebuje krivuljo γ(s) = (s, s, s/). (c) Poišči ploskev h, ki je tangentna na vektorsko polje V in vsebuje krivuljo γ(s) = (s, s, s/). Rešitvi pri (b) in (c) izrazi v originalnih koordinatah. 4.4 Poišči družino ploskev, ortogonalnih na družini x + y + z = C, x + y = Dz. 4.5 Poišči družino ploskev, ortogonalnih na družini x + y + z = C, x y + z = D. 4.6 Dano je vektorsko polje F = (z(3z + ), z(3z + ), x + y). (a) Poišči družino ploskev f(x, y, z) = C, ki so ortogonalne na F. (b) Poišči družino ploskev, ki so ortogonalne na f(x, y, z) = C. Katera vsebuje krivuljo z =, x + y =? 4.7 Poišči družino ploskev, ki je taka, da gredo vse tangentne ravnine na posamezni članici družine skozi isto točko. Katera vsebuje r(s) = (, s, s)? 4.8 (a) Naj bo d = (a, b, c) R 3 neničeln vektor. Pokaži, da vsaka rotacijska ploskev z = u(x, y) v R 3, ki ima Rd za rotacijsko os, zadošča kvazilinearni parcialni diferencialni enačbi (bz cy)u x + (cx az)u y = ay bx. Nasvet: Pokaži, da je vsaka krožnica s središčem na Rd, ki leži v ravnini z normalo d, karakteristika. (b) Reši zgornjo enačbo za (a, b, c) = (,, ) pri začetnem pogoju u(x, x) =. Katero ploskev dobiš?

KLASIFIKACIJA PDE DRUGEGA REDA V DVEH SPREMENLJIVKAH 45 5. KLASIFIKACIJA PDE DRUGEGA REDA V DVEH SPREMENLJIVKAH Naj bo Lu = au xx + bu xy + cu yy + du x + eu y + f diferencialni operator drugega reda. Operator L u = au xx + bu xy + cu yy imenujemo glavni del L. Glede na diskriminanto D(x, y) = b (x, y) a(x, y)c(x, y) enačbe lahko klasificiramo. Enačba Lu = je v točki (x, y) hiperbolična, če je D(x, y) >, parabolična, če je D(x, y) = in eliptična, če je D(x, y) <. Tip enačbe je neodvisen od koordinatnega sistema. Izkaže se, da za vsak tip enačbe lahko najdemo posebej enostavno obliko enačbe, ki ji pravimo kanonična. Kanonična oblika za eliptično enačbo je Lu = u xx + u yy + L (u), kjer je L diferencialni operator prvega reda. Parabolična enačba ima kanonično obliko Lu = u xx + L (u), za hiperbolično pa sta dva, in sicer Lu = u xx u yy + L (u) in Lu = u xy + L (u). 5. Klasificiraj enačbo in jo reši: u xx + 4u xy + 4u yy =. 5. Klasificiraj enačbo in jo prevedi na kanonično obliko: u xx + 6u xy + u yy =. 5.3 Klasificiraj enačbo in jo prevedi na kanonično obliko: ch xu xx sh xu xy + u yy =. 5.4 Klasificiraj enačbo in jo prevedi na kanonično obliko: y u xx xyu xy + x u yy = (y /x)u x + (x /y)u y

46 KLASIFIKACIJA PDE DRUGEGA REDA V DVEH SPREMENLJIVKAH 5.5 Zapiši enačbo u xx (y )u yy u y =, y >, v kanonični obliki. Reši enačbo pri pogojih lim u(x, y) = x, lim yuy (x, y + ) = x. y + y +

LAPLACOVA ENAČBA 47 6. LAPLACOVA ENAčBA Laplacova enačba se glasi kjer je u =, u = u x x +... + u xn x n. Rešitvam Laplacove enačbe pravimo harmonične funkcije. Harmonične funkcije zadoščajo principu maksima: če je D odprto omejeno območje in f nekonstantna harmonična funkcija na D, ki je zvezna na D, zavzame f maksimum (in minimum) na robu. Harmonične funkcije imajo tudi lastnost povprečne vrednosti: za vsaka a, r za katera je B(a, r) D, velja f(a) = vol(b(a, r)) B(a,r) f(x)dv x. Fundamentalna rešitev za Laplacov operator je funkcija N(x), ki v (smislu distribucij) reši enačbo N = δ. Za R n dobimo naslednje rešitve: kjer je N(x) = log x v dveh dimenzijah in π N(x) = za n >, ( n)ω n x n ω n = πn/ Γ(n/) površina enotske sfere v R n. Naj bo D omejeno območje gladkim (to je C ) robom in S = D. Greenova funkcija območja D za Laplacov operator z Dirichletovimi robnimi pogoji je funkcija G(x, y), ki zadošča naslednjim pogojem: (a) G(x, y) je definirana za vsak x D, y D, x y, (b) za vsak x D je funkcija y G(x, y) + N(x y) harmonična na D in zvezna na D, (c) za vsak x D in vsak y S je G(x, y) =.

48 LAPLACOVA ENAČBA Izkaže se, da obstaja ena sama taka funkcija. Greenovih funkcij: Omenimo tri lastnosti velja G(x, y) = G(y, x) za poljubna x, y D, x y, velja < G(x, y) < N(x y) za poljubna x, y D, x y, za vsako dovolj lepo funkcijo f : D R je funkcija v(x), definirana s predpisom v(x) = D G(x, y)f(y)dy, rešitev naloge v = f, v D =. za vsako dovolj lepo funkcijo g : S R je funkcija w(x), definirana s predpisom w(x) = S n y G(x, y)g(y)dy, rešitev naloge w =, w D = g. Funkciji P : D S R, ki je definirana kot minus normalni odvod G na robu, P (x, y) = n y G(x, y), pravimo Poissonovo jedro za območje D. Harmonične funkcije, Greenova funkcija, Poissonovo jedro 6. Naj bosta Ω, Ω R območji. Pokaži, da C difeomorfizem f : Ω Ω ohranja harmoničnost, se pravi u harmonična na Ω u f harmonična na Ω, natanko tedaj, ko je konformna preslikava. Namig. V eno smer zadošča pogoj napisati na harmoničnih polinomih nizkih stopenj. 6. Naj bo F : D D konformna preslikava, ki je homeomorfizem D D, kjer sta D, D R odprti omejeni množici z Greenovima funkcijama G oziroma G. Dokaži: G(x, y) = G (F (x), F (y)). 6.3 Napiši Greenovo funkcijo za naslednja območja: () R R +, () prvi kvadrant, (3) B (, a) (R R + ), (4) pas R [, a], (5) prvi oktant, (6) R n R +, (7) B n (, a) (R n R + ).

Harmonične funkcije, Greenova funkcija, Poissonovo jedro 49 6.4 Naj bo P (x, y) Poissonovo jedro za krog B (, a), G(x, y) pa Greenova funkcija (x, y R ). Izračunaj integrala P (x, y) ds y in G(x, y) dv y S (,a) 6.5 (a) Naj bosta a in b realni števili. Reši je B (,a) u = a na B n (, ), u = b na S n (, ). (b) Naj bo g zvezna funkcija na S n (, ) in f C (B n (, )). Pokaži, da sup u B n (,) sup g + S n (,) n sup f, B n (,) če je funkcija u rešitev enačbe u = f, u S n (,) = g. 6.6 Naj bo Z : R n R n zrcaljenje preko hiperravnine R n {} in D R n območje, za katerega je Z(D) = D. Privzemimo, da ima D Greenovo funkcijo G(x, y) in Poissonovo jedro P (x, y). Z G + (x, y) in P + (x, y) označimo Greenovo funkcijo in Poissonovo jedro za območje D + = D (R n R + ). (a) Izrazi G + z G. (b) Poišči zvezo med P in P +. Naj bo ( D) + = D (R n R + ) in L = D (R n {}). (c) Za dano funkcijo f : ( D) + R definiramo { f(x), x ( D) F + (x) = + {, f(x), x ( D) inf (x) = +,, x L f(z(x)), Z(x) ( D) +. Privzemi, da je F + zvezna in pokaži, da funkcija H(x) := P (x, y)f (y) ds y D reši enačbo H(x) = na D +, H D + = F + (x). Preden se lotiš reševanja, si nariši sliko!

5 LAPLACOVA ENAČBA 6.7 Naj bo < a < b. Reši Poissonovo enačbo, r < a u =, a r b, b > r, kjer je u zvezno parcialno odvedljva funkcija na R 3, ki je odvisna samo od oddaljenosti r od izhodišča in gre v neskončnosti proti. Reševanje z integralskimi transformacijami Kadar je območje D ravnina, polravnina, kvadrant, pas ali polpas se lotimo Laplacove enačbe na D z eno od treh Fourierovih transformacij. Izbor je odvisen od robnih pogojev. Ponovimo osnovne formule: F (f) (z) = + f(x)e izx dx, f(x) = + F (f) (z)e izx dz, π π F s (f) (z) = f(x) sin zx dx, f(x) = F s (f) (z) sin zx dz, π π F c (f) (z) = f(x) cos zx dx, f(x) = F c (f) (z) cos zx dz. π π Predpostavili smo, da sta tako funkcija f kot njena transformiranka v L. Pri računanju inverzne transformiranke si pogosto pomagamo s formulo F (f g) (z) = F (f) (z) F (g) (z), (f g)(x) = + f(x u)g(u) du π ali pa z izrekom o residuih. Drugi odvodi se transformirajo takole: Pri tem smo predpostavili, da je F ( f ) (z) = z F (f) (z), ( F s f ) (z) = π f()z z F s (f) (z), ( F c f ) (z) = π f () z F s (f) (z). lim f(x) = in lim f (x) =. x ± x ±

Reševanje z integralskimi transformacijami 5 6.8 Naj bosta a, b >, ab kπ. Reši enačbo u = na območju x R, y a pri robnih pogojih u(x, ) = e b x, u(x, a) =. 6.9 Naj bosta a, b >. Reši enačbo u = na območju x R, y pri robnem pogoju { b, x < a u(x, ) =, x a. Rešitev tudi geometrijsko interpretiraj. 6. Naj bosta a, b > in h R. Reši enačbo u = na območju x R, y pri robnem pogoju { b, x < a u y (x, ) + hu(x, ) =, x a. Kaj se zgodi v primeru h =? 6. Naj bosta a, b >. Reši enačbo u = na območju x, y pri robnih pogojih { b, x a u(, y) =, u(x, ) =., x > a

5 LAPLACOVA ENAČBA 6. Naj bosta a, b >. Reši enačbo u = na območju x, y pri robnih pogojih u(, y) =, u y (x, ) = { b, x a, x > a. 6.3 Naj bosta a, b >. Reši enačbo u = na območju x, y a pri robnih pogojih u(, y) = in u(x, ) =, u(x, a) = b. Reševanje s separacijo spremenljivk Enačbe, ki jih dobimo po separaciji spremenljivk, so odvisne od tega, v katerih koordinatah delamo. Obravnavali bomo kartezične, polarne, cilindrične in sferične koordinate. Kartezične koordinate Kadar je območje D interval, pravokotnik ali kvader, uporabimo pri reševanju Laplacove enačbe na D kartezične koordinate. V teh treh primerih je u = u (x), u = u xx + u yy oziroma u = u xx + u yy + u zz. Po separaciji spremenljivk dobimo eno od trigonometrijskih vrst. Katero, je odvisno od robnih pogojev. 6.4 Naj bo < a < b. Reši enačbo { u, x < a (x) =, a x b, pri robnih pogojih u( b) = u(b) =. Reši isto enačbo pri nehomogenih robnih pogojih oblike u( b) = c, u(b) = d tako, da jo s primerno substitucijo prevedeš na enačbo s homogenimi robnimi pogoji.

Reševanje s separacijo spremenljivk 53 6.5 Naj bosta a, b > in f, f L [, a]. Reši Laplacovo enačbo u = na območju [, a] [, b] pri robnih pogojih u(x, ) = f (x), u(x, b) = f (x), u(, y) =, u(a, y) =. 6.6 Naj bosta a, b > in f, f L [, a] in g, g L [, b]. Reši Laplacovo enačbo u = na območju [, a] [, b] pri robnih pogojih u(x, ) = f (x), u(x, b) = f (x), u(, y) = g (x), u(a, y) = g (x). 6.7 Reši enačbo u = na območju [ π/, π/] pri pogojih u(x, π/) = u(x, π/) =, u( π/, y) = cos(y) = u(π/, y). 6.8 Reši enačbo u = na območju [ π, π] pri pogojih u( π, y) = u(π, y) =, u(x, π) = u(x, π) = π x. 6.9 Naj bosta a, b > in f L [, a]. Reši Laplacovo enačbo u = na območju [, a] [, b] pri robnih pogojih u y (x, ) =, u(x, b) = f(x), u x (, y) =, u(a, y) =. 6. Naj bo D = [, a] [, b] in h L (D). Reši Poissonovo nalogo u = h na območju D pri robnem pogoju u D =. V primeru h = koeficiente tudi eksplicitno izračunaj.