ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοπός Μελέτη Μετασχηματισμός Fourier και ιδιότητες του 4
Ανάλυση & Σύνθεση Συχνοτήτων Ανάλυση λευκού φωτός Σύνθεση λευκού φωτός 5
Χρόνος & Συχνότητα: δύο βάσεις περιγραφής! Πλάτος Πεδίο Χρόνου Χρόνος Πεδίο Πλάτος ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της Φάση 6
ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 7
Μη ημιτονοειδείς κυματομορφές συντίθενται από ημιτονοειδείς ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 8
Εποπτική Προσέγγιση... ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 9
Το διάγραμμα φάσης για ένα ημίτονο μπορεί να οριστεί κοιτώντας το πρώτο πλησιέστερο στο μηδέν θετικό μέγιστο. Θ= t Τ 360 Αν το πλησιέστερο θετικό μέγιστο βρίσκεται μετά το t=0, έχω καθυστέρηση και αρνητική φάση. Αν το πλησιέστερο θετικό μέγιστο βρίσκεται πριν το t=0, το σήμα προπορεύεται και έχω θετική φάση. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 10
Η Φάση είναι απλά ένας δείκτης θέσης και όχι ένας δείκτης ενέργειας Χρόνος Συχνότητα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 11
Ο σημαντικός ρόλος της Φάσης α β γ δ 1 x(t) 1 cos(2 t1) 2 2 cos(4 t2) cos(6 t3) 3 Το σήμα x(t) δίνεται στα σχήματα για διαφορετικές τιμές στις γωνίες φ 1, φ 2, φ 3. α. φ 1 =φ 2 =φ 3 =0 β. φ 1 =4rad, φ 2 =8rad, φ 3 =12rad γ. φ 1 =6rad, φ 2 = -2.7rad, φ 3 =0.93rad δ. φ 1 =1.2rad, φ 2 =4.1rad, φ 3 = -7.02rad ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 12
Jean Baptiste Joseph Fourier and his Fourier transform Το φάσμα πλάτους καθορίζει το ποσό κάθε συνημιτονοειδούς συνιστώσας που παρουσιάζεται στην εικόνα. Η φάση καθορίζει το που ακριβώς βρίσκεται κάθε συνιστώσα στην εικόνα. 13
Εικόνα Μέτρο Fourier Φάση Fourier #1 #2 14
Μέτρο #2 + Φάση #1 Μέτρο #1 + Φάση #2 15
Εποπτικής Προσέγγισης Συνέχεια... 16
Καθώς η περίοδος T του σήματος τείνει στο άπειρο, οι γραμμές του διακριτού φάσματος πλησιάζουν. Όταν η περίοδος T γίνει άπειρη, η απόσταση μεταξύ των γραμμών μηδενίζεται και το φάσμα γίνεται συνεχές. α. Παλμός Πλάτους a=0.025 και περίοδος T=0.05 β. Παλμός Πλάτους a=0.025 και περίοδος T=0.1 Περιοδικό Σήμα Σειρά Fourier Γραμμικό Φάσμα γ. Παλμός Πλάτους a=0.025 και περίοδος T=0.2 Μη Περιοδικό Σήμα Μετασχηματισμός Fourier Συνεχές Φάσμα δ. Παλμός Πλάτους a=0.025 και περίοδος Τ 17
Κατηγορίες Σημάτων & Μετασχηματισμών Fourier Μετασχηματισμός Fourier Σήματα συνεχή και μη περιoδικά Σειρές Fourier Σήματα συνεχή και περιoδικά Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Σήματα διακριτά και μη περιoδικά Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Σήματα διακριτά και περιoδικά ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Σήματα και Επεξεργασία: Μια πρώτη προσέγγιση 18
ΑΝΑΛΥΣΗ & ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Ο πίνακας αυτός είναι από το βιβλίο: Introduction to Digital Signal Processing, J.G. Proakis, D.G. Manolakis, Macmillan Publishing, 1988 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Σήματα και Επεξεργασία: Μια πρώτη προσέγγιση 19
Περιοδικά Μη περιοδικά ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Συνεχούς Χρόνου Διακριτού Χρόνου x(t) k 1 k e 2 k jk t jkot x(t) e dt o 1 x(n) 1 n0 1 k 0 j2 N X(k) W X (k) x(n) W W N e nk N nk N 1 jt x(t) ( ) e d 2 jt ( ) x(t) e dt 1 j jn x(n) ( e ) e d 2 j ( e ) x(n) e n jn ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Σήματα και Επεξεργασία: Μια πρώτη προσέγγιση 20
Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα Ολισθημένες Κρουστικές Συνέλιξη Μιγαδικά Εκθετικά Ανάλυση Fourier 21
Σήμα ως ολοκληρωτικό άθροισμα κρουστικών x(t) lim x(n ) ( n ) 0 r f(t) f( ) (t )d Οποιοδήποτε σήμα μπορεί να εκφραστεί ως ολοκλήρωμα σταθμισμένων (scaled) ολισθημένων (shifted) κρουστικών (impulses). 22
Αναλυτική Προσέγγιση... 23
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER jt ( ) x(t) e dt 1 jt x(t) ( ) e d 2 Ευθύς MF (Ανάλυση) Αντίστροφος MF (Σύνθεση) Ο MF Χ(Ω) ενός μη περιοδικού σήματος x(t) συχνά ονομάζεται φάσμα του x(t), αφού παρέχει την πληροφορία που απαιτείται για την περιγραφή του x(t) ως γραμμικού συνδυασμού (ως ολοκληρώματος) των ημιτονοειδών σημάτων στις διάφορες συχνότητες. 24
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ο MF, δηλαδή το X(Ω) είναι πεπερασμένο/συγκλίνει, όταν το σήμα x(t) έχει πεπερασμένη ενέργεια (δηλαδή τετραγωνικά ολοκληρώσιμο): x(t) 2 dt Εναλλακτικά η ύπαρξη του MF διασφαλίζεται όταν πληρούνται οι συνθήκες Dirichlet: x(t) dt 1. To x(t) να είναι ολοκληρώσιμο κατ απόλυτη τιμή. 2. Το x(t) να έχει πεπερασμένο αριθμό μεγίστων και ελαχίστων σε ένα πεπερασμένο διάστημα. 3. Το x(t) να έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα και επιπλέον καθεμιά από τις ασυνέχειες να είναι πεπερασμένου ύψους. Συμπέρασμα: Συνεχή σήματα που είναι ολοκληρώσιμα κατ απόλυτη τιμή ή που έχουν πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών έχουν MF. 25
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 1. Να υπολογιστεί ο MF του x(t)=δ(t) jt (j ) (t) e dt 1 Η κρουστική έχει MF που αποτελείται από ίση συνεισφορά ΟΛΩΝ των συχνοτήτων. 26
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 2. Να υπολογιστεί ο MF του τετραγωνικού παλμού x t = 1, t < T 2 0, t T 2 T /2 jt jt 1 jt T /2 ( ) x(t) e dt e dt e j T /2 T /2 jt /2 jt /2 1 jt /2 jt /2 2 e e 2 ( e e ) sin j 2j 2 sin 2 2 T sinc( ) 2 Όπου sinc( x) sin x x 27
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER 28
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 3. Να βρεθεί το σήμα x(t) του οποίου ο MF ισούται με: Χ Ω = 1, Ω < W 2 0, Ω W 2 W /2 jt jt jt 1 1 1 1 x(t) ( ) e d e d e 2 2 2 jt W/2 W /2 W /2 jwt /2 jwt /2 1 jtw /2 jtw /2 1 e e 1 Wt ( e e ) sin 2 tj t 2 j t 2 Wt sin W 2 W Wt sinc( ) 2 Wt 2 2 2 29
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 30
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 4. Να υπολογιστεί ο MF του x(t) e at u(t), 0 jt at jt ( a j) t e dt e e dt e dt ( ) x(t) 1 ( a j) t 1 e, 0 a j a j Ο MF έχει μιγαδικές τιμές οπότε υπολογίζουμε το μέτρο και τη φάση του: 1 1 X ( ), ( ) tan ( ) 2 2 31
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER 32
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 5. Να υπολογιστεί ο MF του at ( ) x(t) j e t dt e e j t dt 0 a at jt at jt 1 1 e e dt e e dt a j a j 2a 2 2 0 at x(t) e, 0 33
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 6. Να υπολογιστεί ο MF του jt at jt ( ) x(t) e dt e cos( t) e dt 0 j ot j ot at e e jt e e dt 2 ( a j jo)t ( a j jo)t e dt e dt 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 a j( 0) a j( 0) at x(t) e cos( t) u(t) 34
F F ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Γραμμικότητα: ax(t)+by(t) F ax(ω)+by(ω) Ολίσθηση στο χρόνο: x(t-to) F e -jωto X(Ω) Ολίσθηση στη συχνότητα: e jωto x(t) F X(Ω-Ωο) Κλιμάκωση στο χρόνο: x(αt) Κλιμάκωση στη συχνότητα: 1 a F 1 a t x F X( ) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 35
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Παραγώγιση: Ολοκλήρωση: Δυϊκότητα: t dx(t) F j( ) dt n d x(t) F n ( j) ( ) n dt F 1 x( )d ( ) ( ) ( ) j F x(t) 2 x( ) Συνέλιξη: F y(t) h(t)*x(t) Y( ) ( ) ( ) Πολλαπλασιασμός: Θεώρημα Parseval: F 1 y(t) s(t) x(t) Y ( ) [S( )* ( )] 2 2 2 1 x(t) dt ( ) d 2 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 36
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Απόδειξη ολίσθησης στο χρόνο: Ο ΜF του x(t-to) είναι: jt F{x(t)} x(t) e dt jt tto F{x(t to)} x(t to) e dt j( to) x( ) e d( to) jto j jto e x( ) e d e X ( ) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 37
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Παράδειγμα 7. Να υπολογιστεί ο MF του σχήματος Το x(t) μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο σημάτων x1(t) και x2(t): 1( ) sin( ) 2 2 3 sin( ) 2( ) 3 2 3 2 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 38
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Λόγω γραμμικότητας ο MF της x(t) θα ισούται με: 3 sin( ) 2sin( ) 1 ( ) 1( ) 2( ) 2 2 2 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 39
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Παράδειγμα 8. Να υπολογιστεί ο MF του σχήματος Παρατηρούμε ότι το x(t) μπορεί να γραφεί ως διαφορά παλμών: 1 T T x(t) PT/2 t PT/2 t T 2 2 sin sin 1 2 j 2 2 j 2 X ( ) e e 2 2 2 sin sin 2 2 e e j j j 2 2 2 4 40
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Παράδειγμα 9. Να υπολογιστεί ο MF του σχήματος Παρατηρούμε ότι: g(t)=x(t-2.5)=x(t- 5 2 ) 5 5 j j 2 2 G( ) e X ( ) e sin 3 2sin 2 2 41
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Πεδίο Χρόνου Πεδίο Η ολίσθηση στον χρόνο επηρεάζει μόνον την Φάση! α. Ολίσθηση Τ=-Το β. Ολίσθηση Τ=0 γ. Ολίσθηση Τ=Το 42
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 10. Να υπολογιστεί ο MF της σταθεράς 1. Γνωρίζουμε ότι (t) F 1 Και βάση την αρχή δυϊκότητας έχουμε F X(t) 2 x( ) Οπότε: 1 F 2 ( ) Επαλήθευση : Υπολογίζουμε τον αντίστροφο MF της 2πδ(Ω) 1 jt x(t) X( ) e d 2 1 2 Αφού δ(ω)=1 για Ω=0 μόνο. jt jt 2 ( ) e d ( ) e d 1 43
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 11. Να υπολογιστεί ο MF της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης u(t). A Τρόπος Έστω x(t)=u(t) και g(t)=δ(t). Γνωρίζουμε ότι ο MF της δ(t) ισούται με 1, δηλαδή g(t)=δ(t) G Ω = 1. H βηματική απόκριση μπορεί να εκφραστεί και ως ολοκλήρωμα της κρουστικής. t x(t) g( )d Λαμβάνοντας τον MF και των δύο μελών με την ιδιότητα της ολοκλήρωσης 1 1 ( ) G( ) G(o) ( ) ( ) j j 44
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Σημείωση: Θυμηθείτε ότι η δ(t) προκύπτει ως η πρώτη παράγωγος της βηματικής u(t). Με βάση αυτό και την ιδιότητα της διαφόρισης μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι δ(t) 1. du(t) F 1 (t) j ( ) 1 dt j Αφού ( ) 0 45
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Β Τρόπος Εκφράζουμε τη u(t) ως άθροισμα συναρτήσεων u(t)= 1 2 +1 2 sgn(t), όπου sgn(t) η συνάρτηση προσήμου Έχουμε 1 F ( ) 2 2 sgn(t) j Εφαρμόζοντας την ιδιότητα της γραμμικότητας έχουμε F 1 u(t) ( ) j 46
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER Δυϊκότητα: (t) F 2 x( ) Με βάση την ιδιότητα της δυϊκότητας μπορούμε να εξηγήσουμε κάποιες από τις γνωστές μας ιδιότητες, όπως αυτή της ολίσθησης στη συχνότητα, ή να εξάγουμε άλλες ιδιότητες όπως αυτή της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης στη συχνότητα: Ολίσθηση στη συχνότητα: Παραγώγιση στη συχνότητα: F ( ) jt e x t X F dx ( ) jtx(t) d 1 Ολοκλήρωση στη συχνότητα: (t) (0) (t) F x x x (w)dw jt ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 47
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟY FOURIER ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 48
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 12. Να υπολογιστεί ο MF της x(t)cosω ο t. Έχουμε Άρα 1 cos 0t e e 2 j t j t 1 jt jt x(t) cos 0t e x(t) e x(t) 2 Kαι λαμβάνοντας τον MF και των δύο μελών έχουμε: F 1 x(t)cos 0t X ( 0) X ( 0) 2 49
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Παράδειγμα 12. Να υπολογιστεί ο MF της x(t)sinω ο t. Έχουμε Άρα 1 sin 0t e e 2 j j t j t 1 jt jt x(t) sin 0t e x(t) e x(t) 2 j Kαι λαμβάνοντας τον MF και των δύο μελών έχουμε: F 1 x(t)sin 0t X ( 0) X ( 0) 2 j 50
ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 51
Αλλαγή x( t) Κλίμακας 1 X a Σήμα x(t) και το φάσμα Χ(Ω) Σήμα x 1 (t)=x(αt) με το α>1 και το φάσμα Χ 1 (Ω) Σήμα x 2 (t)=x(αt) με το 0<α<1 και το φάσμα Χ 2 (Ω) ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 52
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Διαφάνεια 5, 19: J. G. Proakis, D. G. Manolakis: "Introduction to Digital Signal Processing", Macmillan Publishing Company, 1988 Διαφάνεια 22: B. P. Lathi: "Linear Systems and Signals", Oxford University Press, 2005 Διαφάνεια 52: Σεραφείμ Καραμπογιάς, Σέργιος Θεοδωρίδης: "Σήματα και Συστήματα", Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο, 2004 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 53
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα Ι, Στο Πεδίο της». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/course_metadata/opencourses.php?fc=15 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι - Στο Πεδίο της 54