ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ, ΙΓΡΑΜΜΙΚΕΣ, ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ, ΙΓΡΑΜΜΙΚΕΣ, ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Γρµµικές µορφές Έστω V δινυσµτικός ώρος επί ενός σώµτος F, όπου F το σώµ των πργµτικών ή µιγδικών ριθµών Μί πεικόνιση f : V F θ κλείτι γρµµική µορφή (lear form) ή συνρτησιοειδές, (fucoal), νν είνι γρµµική ισύει, δηλδή, ότι f ( + ) f () + f ( ) µε, V κι, F (βλέπε Γρµµικές Συνρτήσεις ) Συµβολισµός Σύµφων µε τον συµβολισµό που έουµε κθιερώσει στο Γρµµικές Συνρτήσεις, γράφουµε, ( + )f f + f Αντί γι υτό, είνι βολικό ν γράφουµε [ +, f ] [, f ] + [, f ], όπου ο συµβολισµός [, f] έει ντικτστήσει τον f () ή τον f γι την δήλωση της τιµής της συνρτήσεως f πάνω στο V ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ) Κάθε οµογενές γρµµικό πολυώνυµο πρώτου βθµού κι µετβλητών, f (, K, ) + K+ είνι µί γρµµική µορφή, εφόσον υποθέσουµε ότι είνι e + K + e (, ) F, e,, η κνονική βάση Έν µη οµογενές πολυώνυµο g(, K, ) + K+ + β δεν είνι γρµµική µορφή β) Θεωρούµε τον γρµµικό ώρο L όλων των ολοκληρώσιµων συνρτήσεων τ ), τ [ τ, τ ] R Η σέση f () ( τ τ ( τ )dτ ορίζει µί γρµµική µορφή επί του πειροδιστάτου L γ) Εύκολ ποδεικνύετι ότι το σύνολον των γρµµικών µορφών επί του V, ποτελεί γρµµικό ώρο V Ο ώρος υτός, κλείτι (dual) δυϊκός ώρος του V δ) Αν 0 r r r r V, τότε κι f (0) f (00) 0f (0) 0 Σηµείωση Το οµογενές πολυώνυµο f είνι δυντόν ν γρφή κι ως εξής: f () + K + Αντί γι υτό γράφουµε πλά f () () κι νοούµε ότι ο επνλµβνόµενος δείκτης θροίζετι Στον συµβολισµό υτό, συνήθως, τους δείκτες των συντετγµένων, τους γράφουµε άνω: f () Ορολογί Ένς δείκτης που θροίζετι κλείτι βωβός δείκτης σε ντίθεση µε τους δείκτες που δεν θροίζοντι κι οι οποίοι κλούντι ελεύθεροι δείκτες Ένς βωβός δείκτης είνι δυντόν ν ντικτστθεί πό οιοδήποτε σύµβολο, µιά κι φνερά είνι ξ ξ ξ, ρκεί βέβι, ν µη πειρθούν τ όρι θροίσεως Σύµφων, λοιπόν, µε όσ είπµε, έν σύστηµ µπορεί ν γρφεί y a Πρτηρούµε, ότι στην σέση υτή, οι δείκτες ισορροπούν, δηλδή, όσους ελεύθερους δείκτες (εδώ µόνον έν, τον ) έουµε στο ριστερό σκέλος της ισότητς, τόσους ελεύθερους δείκτες έουµε κι στο δεξιό κι µάλιστ στην ίδι θέση πάνω ή κάτω

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Έν πολυώνυµο ορίζετι πό τους συντελεστές του Το µετβλητών λοιπόν οµογενές πολυώνυµο (), ορίζετι πό τ Γράφουµε συνεπώς κι a (, ) υπονοώντς το οµογενές πολυώνυµο f Στην περίπτωση υτή, το a κθίσττι στοιείο του -διστάτου δινυσµτικού ώρου V όλων των οµογενών πολυωνύµων µετβλητών, εκφρσµένο (συνήθως) στην κνονική βάση Η τιµή, τώρ, που λβίνει το πολυώνυµο a V επί του, είνι η [, a] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το σύµβολο [, f ] νοούµενο κι σν στοιείο του V V είνι διγρµµικό, µι κι ισύουν οι σέσεις [ κ + λ, f ] κ[, f ] + λ[, f ] ως επίσης κι η (, κ f + λf) κ(, f) + λ(,f) Το [, f ] είνι στην πργµτικότητ µί διγρµµική πεικόνιση του V V στο F Είνι, συνεπώς, µί διγρµµική µορφή b ξ K, οιδήποτε στοιεί του F, ορίζετι τότε έν κι µόνον έν συνρτησιοειδές f επί του V, τέτοιο ώστε, [ b, f ] ξ γι όλ τ Απόδειξη Το τυόν V γράφετι b κτά µονδικό τρόπο Αν f V, τότε κι, f] [ b, f] [b, f] Αρκεί ν ορίσουµε το συνρτησιοειδές σε τρόπο ώστε Θεώρηµ Αν { b,b, K, } µί βάση του V κι {, ξ, ξ } [,f ], οπότε κι [ b ξ [, f] Θεώρηµ Αν {,b,, } b ξ b K µί βάση του V, τότε ορίζετι µί βάση { f },f, K, f 0 γι του V, τέτοι ώστε [ b, f ] δ, όπου δ γι Απόδειξη ) Τ f πράγουν τον V Πράγµτι, έστω f V Είνι, τότε, κι [, f] [ b, f] [b, f] ξ ξ Όµως, [, f ] [ b, f ] [b, f ] δ Άρ κι, [, f] ξ ξ [, f ] [, ξ f ] β) Τ f είνι γρµµικώς νεξάρτητ Πράγµτι, ν γι κάθε V είµε ότι [, f] ξ 0 τότε, ν βάλουµε στην θέση του το b,, θ έουµε ότι, 0 ξ [b, f δ ξ ξ ] Η βάση { },f,, f f K του V, όπως ορίσθηκε πρπάνω, κλείτι δυϊκή (dual bass b,b, K, του V ή κι cougae bass) βάση της { } Σηµείωση Το b δ κλείτι δ του Kroecer ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ζητάµε ν βρούµε την δυϊκή βάση της βάσης {, b, } όπου b (,0,0), b (,,0), b (,, ) Αν f V [, f], τότε κι, [ b + b + b, f] [b, f] + [b, f] + [b, f] Στην θέση της f, βάζουµε διδοικά τ [, f f, f, f ] + +, όπου οι εννέ συντελεστές [ b, f ] δ σέσεις Έουµε, λοιπόν,:, οπότε λµβάνουµε, b του b R, προσδιορίζοντι πό τις

Γι, [b, f ] + 0 + 0, [b, f ] + + 0 0, [b, f ] + + 0 Είνι,, 0, δηλδή, [, f ] + 0 Γι, [b, f ] + 0 + 0 0, [b, f ] + + 0, [b, f ] + + 0 Είνι 0,,, δηλδή, [, f ] 0 + Γι, [b, f ] + 0 + 0 0, [b, f ] + + 0 0, [b, f ] + + Είνι 0, 0, δηλδή, [, f ] 0 + 0 + Η δυϊκή βάση, λοιπόν, της {, b, } b, ποτελείτι πό τις πεικονίσεις { f }, f, f, b όπου f [, ], [, f ], [, f ] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 4 ) Η δυϊκή βάση της κνονικής βάσης του V είνι η κνονική βάση του V β) Ο V έει διάστση την ίδι µε τον V, άρ είνι ισόµορφος του V (βλέπε ενότητ Γρµµικές συνρτήσεις ) γ) Ισύει ότι ( V ) ' V Πράγµτι, ρκεί ν πρτηρήσουµε ότι, το σύµβολο [ 0, f] όπου το 0 V, ότν το f V, πριστά έν γρµµικό συνρτησιοειδές, που ορίζετι πάνω στις f, κι είνι εκείνη η συνάρτηση f 0, που η τιµή της επί της f, είνι η [ 0, f] Είνι, συνεπώς, έν στοιείο του ώρου V Το γεγονός ότι οι ώροι V, V, ( V ) ' V έουν την ίδι διάστση, µς εξσφλίζει ότι είνι ισόµορφοι Έουµε, λοιπόν, το µετθετικό διάγρµµ, το οποίο εξσφλίζει την τυτοποίηση της f V µε το V : 0 0 V f V 0 0 f [ 0, f ] F Μετσηµτισµός των συντετγµένων Έστω η γρµµική µορφή f V, όπου το V Είνι, τότε, έει την έκφρση στην βάση {,a,, } [, f] [a f],, όπου [ a,f ] V, περνάµε στην νέ βάση { } a K a του V, a a + + K a K a του b, K, του V ρησιµοποιώντς τον γρµµικό b Από την βάση {,, }

4 µετσηµτισµό b ρa (), de( ρ ) 0 Στην νέ υτή βάση, η γρµµική µορφή έει την έκφρση [, f] [b f], β, όπου [ b,f ] β κι b Ζητάµε ν εκφράσουµε τους νέους συντελεστές β της γρµµικής µορφής f, συνρτήσει των ρικών συντελεστών της Είνι, β [ b, f] [ ρa, f] ρ[a, f] ρ Οι συντελεστές, συνεπώς, της γρµµικής µορφής µετσηµτίζοντι σύµφων µε τις σέσεις β ρ () Θ δείξουµε, τώρ, ότι η f πρµένει νλλοίωτος ως προς τους µετσηµτισµούς υτούς () Θ δείξουµε, δηλδή, ότι ισύει a, f] [ b, f], όπου το V έει τις δύο διφορετικές εκφράσεις ντίστοι {,, } b τελικές συντετγµένες [ a κι b στις βάσεις { a, K, } a b K του V Πράγµτι, είνι, [, f] β ( ρ ) Όµως, οι του, συνδέοντι µε τις ρικές του συντετγµένες τις σέσεις (βλέπε ενότητ γρµµικές συνρτήσεις, 5) β ( ρ )( σ ) ( ρσ ) δ σ, µε Είνι, λοιπόν, κι ιγρµµικές µορφές Μί πεικόνιση f : U V F γρµµική κι ως προς τ δύο της ορίσµτ U κι y V, όπου U, V δινυσµτικοί ώροι µε διστάσεις m κι ντιστοίως, κλείτι διγρµµική µορφή Το σύνολο των διγρµµικών µορφών, θ το συµβολίζουµε µε Β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 5 Φνερά, η διγρµµική µορφή που ορίζετι πό την σέση, f (, y) f(, y) + f (, y), όπου f, f B, είνι κι υτή διγρµµική µορφή Το σύνολο Β, συνεπώς, των διγρµµικών µορφών επί του ώρου U V είνι δινυσµτικός ώρος ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ) Η w (, f) [, f] είνι µί διγρµµική µορφή επί του ώρου V V β) Αν f U κι g V, τότε η συνάρτηση που ορίζετι πό την σέση w f ()g(y), όπου U κι y V, είνι µί διγρµµική µορφή επί του ώρου U V Θεωρούµε, τώρ, την βάση { u, u, K, } του U, κι την βάση {, v,, } u m κι µί διγρµµική µορφή w επί του v K του V v U V Έστω τ u, m, κι y v Είνι, τότε, w( u ), v, όπου οι m συντελεστές w(u, v ) F Ισύει κι το ντίστροφο: οθέντων των m στοιείων F, η σέση w( u ), v ορίζει µί διγρµµική µορφή επί του V U ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Το εσωτερικό γινόµενο (βλέπε Γρµµικές Απεικονίσεις 7) των δινυσµάτων, y V( R) είνι µί διγρµµική µορφή Εφ όσον γι τον ορισµό του έει ρησιµοποιηθεί η κνονική βάση { e }, του V, µπορούµε ν γράφουµε κι w (, y) Iy, Ι ο µονδιίος πίνκς, κι e + K + e (, ) R, το

νοείτι κι σν ένς πίνκς, y e + K + e (, ), το y ο νάστροφος πίνκς του πίνκ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Η διγρµµική µορφή f (, y) + + 6 + 8 0 γράφετι κι f (, y) ( ) 6 4 Ay 4 0 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 6 ) Η σέση w( u ), v δηλώνει ότι µί διγρµµική µορφή πρίσττι πό έν οµογενές πολυώνυµο δευτέρου βθµού ως προς τις µετβλητές,,, Ο m πίνκς ) είνι ο πίνκς των συντελεστών της διγρµµικής µορφής w, ως προς τις βάσεις { u, K, u } κι { v, K, v } Θ ορίσουµε, τώρ, µί βάση του Β Προς τούτο, θεωρούµε τις βάσεις { u, K, u } κι { v, K, } των U κι V ντίστοι, κι θεωρούµε τις m διγρµµικές µορφές v που ορίζοντι πό τις σέσεις w (u, v ) δδ Οι διγρµµικές υτές µορφές είνι ) γρµµικά νεξάρτητες Πράγµτι, µί σέση της µορφής w 0, όπου, m κι, συνεπάγετι κι τις m σέσεις δ δ 0 Εξ άλλου, β) το τυόν ( R w B έει την έκφρση w(, y) ξ η w (, y), ότν ξ u, y η v, κι, ως εκ τούτου, w (, y) ξ η δδ ξ η β) V, ισύει ότι w (0, ) w(, 0) 0 Περιοριζόµστε, τώρ, στην περίπτωση που οι διγρµµικές µορφές µς ορίζοντι επί του V V V Με { v, K, v } θ συµβολίζουµε µί βάση του V Είνι, τότε, dm B Ορισµός Μί διγρµµική µορφή w B λέγετι συµµετρική νν w (, y) w(y, ) κι ντισυµµετρική νν w(, y) w(y, ), γι κάθε, y V ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 7 ) Ο πίνκς ( ) µις συµµετρικής διγρµµικής µορφής, είνι συµµετρικός, δηλδή, ισύει ότι, Ο πίνκς ( ) µις ντισυµµετρικής διγρµµικής µορφής, είνι ντισυµµετρικός, δηλδή, ισύει ότι, Στην περίπτωση υτή, τ διγώνι στοιεί 0 β) Οι συµµετρικές κι οι ντισυµµετρικές µορφές σηµτίζουν υποώρους του Β Γι ν βρούµε τις διστάσεις των υποώρων υτών, κτσκευάζουµε βάσεις ως εξής: + Γι τον υπόωρο B των συµµετρικών διγρµµικών µορφών Υπενθυµίζουµε ότι, ουσιστικά µί συµµετρική διγρµµική µορφή, δεν είνι τίποτ άλλο, πό έν συµµετρικό οµογενές πολυώνυµο ως προς τις µετβλητές, K,, K Γι πράδειγµ, ν λάβουµε, έουµε το πολυώνυµο 5

6 + κι επειδή, κι, το + + + + + + + + + + ( + ) + ( + ) + ( + ) Πρτηρούµε ότι, στην γενική περίπτωση, η συµµετρική διγρµµική µορφή είνι w(, y) ( + + Ορίζουµε, συνεπώς, δυντόν ν γρφεί ) < τις µορφές w (, y) + ν, w (, y), οι οποίες κι ποτελούν βάση του υποώρου των συµµετρικών διγρµµικών µορφών Το πλήθος των! ( ) στοιείων της βάσεως υτής είνι + + + ( + )!( )! Γι τον υπόωρο B των ντισυµµετρικών διγρµµικών µορφών Στην περίπτωση υτή, η τυούσ ντισυµµετρική διγρµµική µορφή πρίσττι πό έν πολυώνυµο της µορφής ( ), οπότε κι η ντισυµµετρική µορφή έει την έκφρση, < w(, y) < ( ) Ορίζουµε, συνεπώς, τις µορφές w (, y), που ποτελούν κι βάση του υποώρου Το πλήθος των! στοιείων της βάσεως υτής είνι ( )!( )! Πρότση Ισύει ότι, B B B + Απόδειξη Η w B γράφετι w(, y) [w(, y) + w(y, )] + [w(, y) w(y, )], είνι δηλδή άθροισµ συµµετρικής κι ντισυµµετρικής διγρµµικής µορφής Εξ άλλου, µί διγρµµική µορφή είνι τυτόρον συµµετρική κι ντισυµµετρική, µόνον στην περίπτωση, που υτή είνι η µηδενική Το σύνολο συνεπώς { w, w } + των στοιείων των βάσεων των υποώρων B κι B είνι γρµµικά νεξάρτητο Άρ, σύµφων µε το Πόρισµ της 5, ενότητ Γρµµικοί Χώροι, B B + B 4 Μετσηµτισµός των συντετγµένων Θεωρούµε τις βάσεις {,, v } { v,, } v K κι K v του V Θ κλούµε την πρώτη ρική κι την δεύτερη τελική Αν v ρ v οι σέσεις που συνδέουν την ρική µε την τελική βάση, κι w B, ζητά- µε ν βρούµε τον τρόπο µετβολής των συντελεστών F του πολυωνύµου w( v, v ), όπου w(v, v ), ότν εκφράζουµε υτό στην τελική βάση Είνι, βέβι, w(, y), όπου w(v, v ) κι v, y v Άρ κι w(v, v ) w( v, v ) w(v, v ρ ρl l ρρl l), δηλδή, έουµε ότι, lρρl Θέτουµε, γ lρl ρl l, οπότε είνι, ργ Θεωρούµε, τώρ, ότι τ στοιεί, ρ κι γ, είνι στοιεί των πινάκων A, P κι C ντίστοι Έουµε, τότε τις σέσεις C AP κι A PC PAP ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 8 Οι πίνκες P κι P είνι µη ιδιάζοντες πίνκες (βλέπε ενότητ Πίνκες ) Η τάξη (ra) συνεπώς του πίνκ Α της διγρµµικής µορφής w, είνι ίδι µε υτήν του πίνκ A (βλέπε ενότητ Πίνκες 4)

7 Ορισµός Τάξη (ra) της διγρµµικής µορφής w είνι η τάξη του πίνκά της ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 9 Γι την ορίζουσ του πίνκ Α κι την ορίζουσ του πίνκ A, πρτηρούµε ότι έουµε (de P) 5 Σέσεις γρµµικών µετσηµτισµών, πινάκων κι µορφών Ένς γρµµικός µετσηµτισµός T : V V είνι ισοδύνµος µε το σύστηµ + + + + K + + K + L + K+ το οποίο δίδει κι την ντιστοιί V (,, K, ) a (,, ) V Το σύστηµ υτό, συντοµογρφικά, το γράφουµε, ή κόµ, σε µορφή πινάκων, y A, όπου A ( ) είνι ο πίνκς του µετσηµτισµού, κι ότν de ( ) 0, ο µετσηµτισµός είνι έν προς έν (Βλέπε ενότητ Γρµµικοί Μετσηµτισµοί ) Αν, τώρ, µς δοθεί η διγρµµική µορφή w(, y), µε de ( ) 0, κι µί τυούσ γρµµική µορφή f () β, έουµε την δυντότητ, λύνοντς το σύστηµ β, ν προσδιορίσουµε το y (,, K, ) V, έτσι ώστε, η w (, y) ν συµπίπτει µε την f () w(, b), όπου b ( β, β, K, β ) V Μί διγρµµική µορφή, περιλµβάνει, συνεπώς, όλες τις γρµµικές µορφές, που ορίζοντι πάνω στον ίδιο ώρο Την διγρµµική µορφή w(, y) µπορούµε, κόµ, ν την γράουµε κι ως εξής: w (, y) Ay, όπου, y οι πίνκες, που έουν γι στοιεί τους τις συντετγµένες, των, y V 6 Τετργωνικές µορφές Μί τετργωνική µορφή (, ) προκύπτει πό µί συµµετρική διγρµµική µορφή, ν θέσουµε y Τούτο είνι ισοδύνµο µε το ν λέµε ότι ο πίνκς A ( ) της διγρµµικής µορφής w (, y) είνι συµµετρικός, δηλδή A A, σε κάθε βάση του ώρου Πράγµτι ν w(a, a ) w(a, a, τότε κι y ) Η συµµετρική διγρµµική µορφή, πό την οποί προκύπτει η τετργωνική µορφή, κλείτι πολική της τετργωνικής µορφής Αν δοθεί η τετργωνική µορφή, τότε η πολική της, είνι µονοσήµντ ορισµένη Έστω, λοιπόν, ότι η (, ) είνι γνωστή, κι ότι η άγνωστη πολική της είνι η w (, y) Έουµε, ( + y, + y) w( + y, + y) w(, ) + w(, y) + w(y, ) + w(y, y) (, ) + w(, y) + (y, y) Άρ, w(, y) { ( + y, + y) (, ) (y, y) }

8 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 7 ) Κάθε οµογενές κι συµµετρικό πολυώνυµο δευτέρου βθµού ως προς τις µετβλητές,, f (), (είνι, δηλδή, f ( ) f () ), είνι µί τετργωνική µορφή Αν { e, } η κνονική βάση του ώρου V {(, ), F}, κι (e, e ), τότε κι (, ) +, όπου < β) Τετργωνική µορφή επί του ώρου L είνι κι η πεικόνιση f () [( 0 )] τ dτ Φνερά, ισύει ότι, f ( ) f () Η πολική της διγρµµική τ µορφή, είνι η ( )y( τ)dτ { f ( + y, + y) f (, ) f (y, y) } 0 Αν σε κάποι βάση, όλοι οι συντελεστές 0, γι, η τετργωνική µορφή (, ) λβίνει την κνονική της έκφρση: (, ) + + K + ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 8 Ότν µί τετργωνική µορφή λάβει την κνονική της έκφρση, τότε κι η πολική της διγρµµική µορφή έει µεττρπεί στην διγώνι µορφή της w(, y),, µιά κι ο πίνκς της τετργωνικής µορφής, είνι ο ίδιος µε τον πίνκ της πολικής της Στην συγκεκριµένη περίπτωση, ο πίνκς υτός, είνι ένς διγώνιος πίνκς Αν θέλουµε, συνεπώς, ν βρούµε την τάξη της τετργωνικής µορφής που έει πίνκ Α, (κι που δεν είνι άλλη πό την τάξη της πολικής της), δεν έουµε πρά ν εκτελέσουµε ένν µετσηµτισµό των συντετγµένων, µε πίνκ Ρ έτσι ώστε, ο πίνκς A PAP που θ προκύει ν είνι διγώνιος (βλέπε ενότητ Πίνκες, Επειδή η τάξη του Α είνι ίδι µε την τάξη του Α, ο διγώνιος πίνκς που θ προκύει, θ έει το πολύ µη µηδενικά διγώνι στοιεί, µιά κι raa Ορισµός ύο τετργωνικές µορφές επί του ιδίου σώµτος F κλούντι ισοδύνµες, νν έουν την ίδι τάξη 7 Ανγωγή τετργωνικής µορφής στην κνονική της έκφρση Α Μέθοδος του Lagrage Την τετργωνική µορφή (, ) + την γράφουµε ως εξής: (, ) + + K + + g(, ) () όπου η g είνι µί τετργωνική µορφή, που δεν περιέει την µετβλητή Η πρτήρηση υτή, µς επιτρέπει ν δουλέουµε επγωγικά ) Γι η τετργωνική µορφή (, ) είνι στην κνονική της έκφρση ) Επγωγική υπόθεση: Γι, η (, ) µετσηµτίζετι στην (, ) ζ + K + --ζ ) ) Θεωρούµε τον µετσηµτισµό + + K + L 0 L 0 µε πίνκ Q L L 0 0 L

9 κι µε de Q 0 Ο µετσηµτισµός µς, είνι λοπόν, έν προς έν κι ντιστρέιµος Είνι, ( + + K + ) ή + + K + ) + φ(, ) Η (), τώρ, γράφετι, (, ) + g(, ) φ(, ) ή (, ) + g(, K, ) φ(, ) + y(, ) Η υπόθεση της επγωγής, µς λεει ότι, η γρµµική µορφή y, είνι δυντόν ν µετσηµτισθεί στην κνονική της διγώνιο έκφρση, εκτελώντς τον γρµµικό µετσηµτισµό ζ ρ λ λ, Είνι, λοιπόν, y(, K, ) β ζ + K + β ζ Άρ µετσηµτίζουµε τις µετβλητές σε κι στην συνέει, τις σε ζ µε τον µετσηµτισµό ζ, ζ ρ λ λ, γι, κι η τετργωνική µορφή µετσηµτίζετι στην (, ) ζ + βζ + K + βζ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Γι ν δουλέει η µέθοδος υτή, θ πρέπει ν υπάρει ένς τουλάιστον συντελεστής 0 Στην περίπτωση όµως που όλοι υτοί οι συντελεστές είνι µηδενικοί, εκτελούµε τον µετσηµτισµό + + 0 L+ 0 + 0 L+ 0 οπότε νγώµεθ στην προηγούµενη περίπτωση L Β Μέθοδος Jacob Γι την τετργωνική µορφή (, ), [όπου βέβι, είνι (a, a ), a, a } βάση του ώρου V], µε raa r, υποθέτουµε ότι ο { πίνκς Α είνι έτσι ώστε, όλες οι ορίζουσες, de, r, οι οποίες έουν ως διγώνι στοιεί τ διγώνι στοιεί του πίνκ Α, είνι µη µηδενικές Θ προσδιορίσουµε µί νέ βάση { b, b} του V, στην οποί η έκφρση της τετργωνικής µορφής θ είνι η διγώνι Γι τον σκοπό υτό, εκτελούµε τον µετσηµτισµό: b ρ a b b r ρ ρ r a a + ρ L a + K+ ρ rr a r ()

0 Γι ν έουµε την τετργωνική µορφή στην κνονική της έκφρση, θ πρέπει στην βάση { b, K, b} ν ισύουν οι σέσεις (b, b ) 0 () Όµως, είνι, γι κι γι κάθε, (b, b ) ( ρa + K + ρ a, b ) 0 ή κι ρ (a, b ) + K + ρ(a, b ) 0 (4) Συνεπώς, οι () ισύουν τότε κι µόνον, ότν είνι (a, b ) 0 όπου κι r (5) Οι ισότητες υτές, µου επιβάλουν οι συντελεστές των διπλσίων γινοµένων ν είνι µηδέν Χάριν πλότητς, επιβάλουµε ν έουµε µονάδες γι τους συντελεστές των τετργώνων Θεωρούµε, δηλδή, κι τις ισότητες (a, b ), r Μπορούµε, τώρ, ν υπολογίσουµε όλους τους συντελεστές ρ του πρπάνω µετσηµτισµού Γι r, έουµε ότι, (a, b) ρ (a, a) ρ, π όπου προκύπτει ότι 0 ρ Γι r, έουµε ότι, γι,,, την (a, b) ρ (a, a) + ρ(a, a ) 0, ή ρ + ρ 0, την οποί λβίνουµε σν πρώτη εξίσωση του συστήµτός µς Γι δεύτερη λβίνουµε υτήν που προκύπτει πό την σέση (a, b), που είνι η (a, b) ρ (a, a) + ρ(a, a ), ή ρ + ρ Κτλήγουµε, λοιπόν, στο σύστηµ ρ + ρ 0 ρ + ρ Πρτηρούµε ότι, ρ Γι r, έουµε ότι, γι, -,,, ισύουν οι σέσεις (a, b ) 0 όπου κι, στις οποίες προσθέτουµε κι την (a, b ) Το σύστηµ στο οποίο κτλήγουµε, είνι το ρ + ρ + K + ρ 0 ρ + ρ + K + ρ 0 K ρ + ρ + K+ ρ 0 π όπου υπολογίζοντι οι συντελεστές του µετσηµτισµού () Πρτηρούµε ότι ρ, µε 0 γι κάθε r Η ορίζουσ D του πίνκ Ρ του µετση- µτισµού (), είνι η 0 r- D ρρ L ρ L r r 0, κι συνεπώς, ο µετσηµτισµός µς είνι µη ιδιάζων (βλέπε ενότητ Πίνκες, ) Η τετργωνική µορφή, που στην βάση { a,,a } (, ), στην βάση { b, b} λβίνει την κνονική της έκφρση, που είνι η 0 r- (, ) + + K + r (6) r

Ο πίνκς της (6) είνι ένς διγώνιος πίνκς, µε διγώνι στοιεί τους συντελεστές λ, r, της (6) 8 Ισοδύνµες τετργωνικές µορφές Έστω ότι, η (, ) έει λάβει, σε κάποι βάση, την κνονική της έκφρση Αν Α ο πίνκς της (, ), κι raa r, τότε, οι µη µηδενικοί συντελεστές της τετργωνικής µορφής, θ είνι r το πλήθος r Η (, ) γράφετι κι ως εξής: (, ) λ ( ) + λ ( ) + K + λ r ( ) (), όπου ισύει ότι λ 0 ότν r Ο µετσηµτισµός λ, r, κι, γι r + µεττρέπει την (, ) στην (, ) s ( ), όπου s ± Ας υποθέσουµε ότι οι όροι µε θετικό πρόσηµο είνι, οπότε υτοί µε ρνητικό θ είνι r Θ δείξουµε ότι: Θεώρηµ Αδρνείς ύο ισοδύνµες τετργωνικές µορφές έουν το ίδιο πλήθος θετικών (άρ κι ρνητικών) όρων Απόδειξη Έστω οι ισοδύνµες τετργωνικές µορφές + r + r ( ) + K + ( ) ( ) K ( ) κι ( ) + K + ( ) ( ) K ( ) Το γεγονός ότι οι τετργωνικές υτές µορφές είνι ισοδύνµες, σηµίνει ότι µπορούµε ν τις θεωρήσουµε ότι είνι εκφράσεις µιάς κι της υτής τετργωνικής µορφής (, ) σε δύο διφορετικές βάσεις { a, K,a } κι { b,, b } K του ώρου V Θεωρούµε τους υποώρους P κι Q του V που πράγοντι πό τ a, K, κι a b +, b Γι κάθε 0 P, φνερά, είνι (, ) ( ) + K + ( ) > 0 Επίσης + r γι κάθε y Q, (y, y) ( ) K ( ) 0 Εξ άλλου, P Q {0}, άρ κι dm P + dmq, ή κι + ( ), ή Ανάλογ, έουµε κι την Ορισµός Μί τετργωνική µορφή επί του δινυσµτικού ώρου V, (dm V ), κλείτι θετικά ορισµένη νν V, (, ) > 0 Φνερά, µί τετργωνική µορφή της οποίς η τάξη είνι κι το σύνολο των θετικών της όρων στην κνονική της έκφρση είνι κι υτό, είνι θετικά ορισµένη Κριτήριο του Sylveser Μί τετργωνική µορφή είνι θετικά ορισµένη, νν > 0, Απόδειξη Το νγκίο προκύπτει πό την (6) Αντίστροφ, ν η, της οποίς ο πίνκς είνι Α, είνι θετικά ορισµένη, είνι δυντόν, τότε, ν βρεθεί µί κτάλληλη βάση, στην οποί ο πίνκς Α της θ είνι ο µονδιίος πίνκς, οπότε, κι, (βλέπε πρτήρηση 9), de A de(p )de(p) de(p) > 0, όπου Ρ ο πίνκς του µετσηµτισµού της λλγής της βάσης Ορίζουσ του Gram ίδοντι δινύσµτ του,, K, V, κι η τετργωνική µορφή (, ) : V V F Ορίζουσ του Gram είνι η

(, ) L (, ) G O (, ) L (, ) Θεώρηµ Έστω ότι η είνι θετικά ορισµένη Τότε G > 0, ν τ,, είνι γρµµικά νεξάρτητ Αν τ είνι γρµµικά εξρτηµέν, τότε G 0 Απόδειξη ) Τ είνι γρµµικά νεξάρτητ Θεωρούµε τον ώρο που υτά πράγουν, κι περιορίζουµε την πάνω σ υτόν τον ώρο Αφού η είνι θετικά ορισµένη, η > 0 Η ορίζουσ όµως υτή δεν είνι άλλη πό την ορίζουσ του Gram β) Τ είνι γρµµικά εξρτηµέν Υπάρουν τότε 0 λ F,, έτσι ώστε λ 0 Άρ κι (, λ ) 0, Το σύστηµ υτό έει µη µηδενική λύση λ, κι συνεπώς, η ορίζουσ των συντελεστών του είνι µηδέν 9 Μί γενίκευση του εσωτερικού γινοµένου (Γι τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου, βλέπε ενότητ Γρµµικές πεικονίσεις 7 ες επίσης κι την ενότητ Γεωµετρικές Εφρµογές ) Οι διγρµµικές µορφές, ωρίζοντι σε δύο µεγάλες κτηγορίες: Τις συµµετρικές, ότν, w (, y) w(y, ), κι τις ντισυµµετρικές, ότν w(, y) w(y, ) Η πράγρφος υτή, σολείτι µε τις συµµετρικές διγρµµικές µορφές Ορισµός Μί πεικόνιση V ( F) V(F) (, y) y R + θ κλείτι µονόµετρο ή εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων κι y, νν ισύουν οι σέσεις: Συµµετρική y y Γρµµική ( λ + λ ) y λ y + λ y Ο πυρήνς της είνι { 0} Άµεση συνέπει των ιδιοτήτων υτών είνι, το εσωτερικό γινόµενο ν είνι µί συµµετρική διγρµµική µορφή µε τάξη πίνκος ίση µε την διάστση του ώρου v, K, τυούσ βάση του V ), η πεικόνιση y g(, y), όπου Αν { } v (R οι συντετγµένες του δινύσµτος, (το οποίο νοείτι κι ως πίνκς), οι συντετγµένες του δινύσµτος y, εκφρσµένες βάση {,, } v g (R v K του V ) κι g g(v, v ) g(v, v) g Γράφουµε κι d(, y) Gy Τ δινύσµτ, y είνι ορθογώνι, νν y 0 Το διάνυσµ είνι ορθογώνιο στον υπόωρο U L(v, K, v ) νν είνι ορθογώνιο σε κάθε v, κ κ ύο υπόωροι U κι W είνι ορθογώνιοι, νν κάθε διάνυσµ του ενός, είνι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσµ του άλλου Η νόρµ (orm) του, ορίζετι πό την σέση + Προσοή! Η νόρµ του, είνι δυντόν ν είνι ένς φντστικός ριθµός Μετρική d, θ κλούµε κάθε τετργωνική µορφή d : V (F) V(F) R +, που το τετράγωνό της ορίζετι πό την σέση (, ) Η τετργωνική υτή µορφή, προκύπτει πό την διγρµµική µορφή εσωτερικό γινόµενο, την οποί έει κι ως πολική, κι την οποί συµβολίζουµε κι υτήν µε d (, y) Μέσ στον V (R), έουµε ότι, (, ) g Στην περίπτωση, που η µετρική είνι θετικά ορισµένη, στην περίπτωση, δηλδή, που έουµε ότι d(, y) 0 µε d (, y) 0 νν y, ισύει τότε κι η τριγωνική νισότης d (, z) d(, y) + d(y, z)

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σε ένν Ευκλείδειο ώρο, (βλέπε ενότητ Γεωµετρικές Εφρµογές ) όπου ορίζετι πό την σέση OX, y OY, είνι, XY ( d(, ) g όπου, εκφρσµένες στην τυούσ βάση {,, } ), η µετρική του ώρου, οι συντετγµένες του δινύσµτος v K v του V ) κι g (v, v ) το εσωτερικό γινόµενο των στοιείων της βάσεως του V Γράφουµε κι d(, ) G, εφ όσον το διάνυσµ νοείτι κι ως πίνκς Η σέση d (, y) d(y, ) υπορεώνει τον πίνκ G (g ) (που κλείτι κι µετρικός τνυστής του ώρου) ν είνι συµµετρικός πίνκς κι ντίστροφ, ν ο G είνι συµµετρικός, τότε d (, y) d(y, ) Πράγµτι, έουµε ότι, g g g g, µιά κι οι θροιζόµενοι δείκτες είνι βωβοί δείκτες Το γεγονός ότι η d είνι γρµµική προκύπτει πό τις σέσεις : g ( κ ) g ( κ ) κg, κι g ( + ) g + g Η σέση d(, y) 0 υπορεώνει τον πίνκ G ν πληροί το κριτήριο του Sylveser Έουµε, επγωγικά, γι, φνερά g > 0 Γι κι g > 0, έουµε ότι, Gy υτού πολυωνύµου είνι η θετική, γι ν έει το πολυώνυµο το πρόσηµο του g, ν είνι δηλδή, πάντ θετικό Επγωγικά, λβίνουµε το κριτήριο του Sylveser Θεωρούµε, τώρ, το διάνυσµ V( ) κι το τετράγωνο του µήκους του, g + g + g + g Η δικρίνουσ του δευτεροβθµίου gg gg gg g, κι πρέπει υτή ν είνι R d (, ) G Αλλάζουµε στην συνέει την βάση του ώρου, πό { v, K, v } σε { v, K, } Επειδή το µήκος του δεν µετβάλλετι, ότν υτό εκφράζετι στην v νέ βάση, έουµε ότι, έκφρση του στην βάση { } έει την έκφρση G P GP (R ( P )G(P ) (P GP), όπου, P, η νέ v, K, Στην νέ υτή βάση, η µετρική του ώρου v 0 Πλειογρµµικές µορφές Οι µονόµετρες πεικονίσεις (µορφές) που θ θεωρούµε m εδώ, θ είνι της µορφής w : V (F) K V(F) (, m) w(, m ) F Οι πεικονίσεις υτές, θεωρούντι γρµµικές ως προς κάθε V Ισύει, δηλδή, w(, a + βb, m ) w(, a, m ) + βw(, b, m ) Γράφουµε κι m w L (T0 ) Οι πεικονίσεις υτές, λέγοντι m-µορφές (Προσοή! Το δηλώνει την διάστση του ώρου των συντετγµένων του V επί το σώµ F, που είνι διφορετικό, εν γένει, πό το πλήθος m των ορισµάτων ( µετβλητών) της πεικονίσεως w) Θ θεωρούµε επίσης µονόµετρες πεικονίσεις της µορφής w, όπου θ έουµε ορίσµτ (µετβλητές) πό τον ώρο V κι πό τον δυϊκό του ώρο V (Γενικότερ: Αρκεί ν έουµε ζεύγος ώρων V, V, έτσι ώστε, ένς γρµµικός µετσηµτισµός που δρ επί τον V κι µετσηµτίζει covaraly τ στοιεί του κι coravaraly τις συντετγµένες των στοιείων του, επι του V, ν µετσηµτίζει coravaraly τ στοιεί του κι covaraly τις συντετγµένες των στοιείων του) Τις πεικονίσεις υτές, είνι δυντόν ν τις ωρίσουµε σε δύο µεγάλες κτηγορίες:

4 ) Τις συµµετρικές, γι τις οποίες ισύει ότι w(, K, ) w(,, ), όπου m K m, K, m µί διάτξη των δεικτών, κι οι οποίες γενικεύουν το εσωτερικό γινόµενο, κι ), υτές, γι τις οποίες w(, m ) w(, ) όπου m, K, m µί περιττή διάτξη των δεικτών, κι οι οποίες γενικεύουν το εξωτερικό γινόµενο Ιδιίτερ, µί διγρµµική µορφή w : V (F) V(F) (, y) w(, y) F κλείτι εξωτερική, νν είνι ντισυµµετρική ισύει δηλδή, w(, y) w(y, ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω ( ξ, ξ ), y ( η, η R Ορίζουµε w : R R R ) ξ η ως εξής w(, y) de ξη ξ η ξ η ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην περίπτωση, που το y V είνι γρµµικά εξρτηµένο πό το V, κι ντιστρόφως, τότε, w (, y) 0 Πράγµτι είνι, w(, λ) w( λ, ) κι, συνεπώς, V, λw(, ) λw(, ), κι επειδή λ 0, νγκστικά w (, ) 0 Συνέπει του γεγονότος υτού, είνι ότι η διάστση του ώρου V, είνι ίση µε δύο, που είνι το πλήθος των ορισµάτων της w Γι την γενική περίπτωση, µε ενότητ Ορίζουσες dm V κι πλήθος ορισµάτων m, βλέπε την ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ εξωτερικού γινοµένου δύο -µορφών επί του R, τις w ( ) κι w ( ), όπου, R V Το εξωτερικό γινόµενο των w w ( ) κι w w ( ) είνι η -µορφή w w : V V R, που ορίζετι πό την ισότητ, w ( ) w ( ) w (, ) (w w )(, ) w ( ) w ( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το εξωτερικό γινόµενο των µορφών w ( ) κι w ( ) συµπίπτει πολύτως, µε το διπλάσιο εµβδόν του τριγώνου, που έει κορυφές τ σηµεί O (0,0), ( ξ, ξ ) κι ( η, η ) A B Υποθέτουµε, τώρ, ότι έουµε τον γρµµικό ώρο V κι τον δυϊκό του V, µε βάσεις ντίστοι { b } κι { f },, (βλέπε κι ενότητ Άλγεβρ Τνυστών, 6 Σηµτίζουµε το τνυστικό γινόµενο T κι υποθέτουµε κόµ, ότι έουµε κι την γρµµική µορφή w : T F, όπου F το σώµ των πργµτικών ή µιγδικών ριθµών Αν εκφράσουµε τ ορίσµτ της γρµµικής µορφής στις βάσεις { b } κι { f }, θ λάβουµε την ισότητ K w w (,, y, y ) τ K K όπου K K K τ είνι η τιµή της γρµµικής µορφής πάνω σε όλ τ τυπικά γινόµεν των στοιείων των βάσεων { b },{ f } κι K, K οι συντετγµένες των, K,,κι y, K, y στις ντίστοιες βάσεις Οι βάσεις όµως υτές είνι ντίστροφες Η τιµή συνεπώς της γρµµικής µορφής είνι είτε µηδέν είτε έν,

5 νάλογ µε την εµφάνιση τυπικού γινοµένου ( ζεύγους) µε ίδιους είτε K διφορετικούς άνω κι κάτω δείκτες Είνι, λοιπόν, w (,, y, y ) τ K Σε κάθε γρµµική µορφή w, είνι συνεπώς δυντόν ν ντιστοιίσουµε κτά µονδικό τρόπο τον τνυστή K τ b b f K f T K K Η ντιστοιί υτή είνι έν προς έν, κι νεξάρτητος πό τις ρησιµοποιούµενες βάσεις Ο κλείτι κι τνυστής της w Οι δύο µεγάλες κτηγορίες των -µορφών Θεωρούµε την γρµµική µορφή ( T ) w w (, ) w ( b K b ) K w (b Kb τ K L 0 ) Η µορφή υτή είνι, όπως σηµειώσµε πρπάνω, είτε συµµετρική, είτε ντισυµ- µετρική Ο τνυστής, που ντιστοιεί σε συµµετρική µορφή κλείτι συµµετρικός ενώ υτός που ντιστοιεί σε ντισυµµετρική µορφή, ντισυµµετρικός ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ τ δ του Kroecer Έστω το T V K V V K V µε dm V Το δ του Kroecer το ορίσµε γι την περίπτωση πό τις σέσεις [ b, f ] δ µε τιµές δ νν, δ 0 νν Το δ µπορούµε, συνεπώς, ν το τυτίσουµε µε τον τνυστή της διγρµµικής µορφής [b, f ], κι ν τον 0 πριστάνουµε µε τον µονδιίο πίνκ O Μί βσική ιδιότητ του δ, 0 εκφράζετι πό την σέση δ u u Ερόµστε, τώρ, στην περίπτωση, που δκ δ λ Ορίζουµε, τότε, το δκλ de δ κδλ δλδκ δκ δ,,, κ, λ Επγωγικά, λ δ κ δλ L δρ δ κ δλ L K δρ µπορούµε ν ορίσουµε το δκλ K ρ de,,, κ, λ, K Οι O δρ δρ L δρ τιµές που λβίνει η συνάρτηση υτή, είνι Πράδειγµ,,, κ, λ Είνι, δ, δ κι όλες οι άλλες οι περιπτώσεις 0 Πράγµτι, δ δ δ δ δ de δ δ δ δ, κι δ de δ δ δ δ δ δ ενώ η δ δ δ δ περίπτωση δ de 0 δ δ δ δ δ δ K + γι διφορετικούς άνω κι κάτω δείκτες, σε ρτί µετάθεση των µεν ως προς τους δε - γι διφορετικούς άνω κι κάτω δείκτες, σε περιττή µετάθεση των µεν ως προς τους δε 0 σε κάθε άλλη περίπτωση

6,,, m, κ, λ, µ Εδώ, είνι, δ δ δ, δ δ δ, κι κάθε άλλη περίπτωση, όπως η δ 0 Ορίζουµε την πεικόνιση σ : L ( T0 ) L( T0 ) ως εξής: L ( T0 ) w w (, K, ) a w ( σ(), σ() ) L ( T0 ) Όπου σ( ), K ; σ() µί µετάθεση των δεικτών Η πεικόνιση υτή, είνι, φνερά, ένς ισοµορφισµός του L (T 0 ) στον ευτό του Στην συνέει, ορίζουµε κι τις πεικονίσεις ( ) κι [ ] του L (T 0 ) επί του L (T 0 ) θέτοντς σ(), σ() (w ) σ (w ) κι [w ] δ,, K, σ(w )! σ()! σ() Οι τνυστές που ντιστοιούν στις µορφές (w ) κι [w ] είνι ντίστοι οι T 0 σ() σ() ( ) K bσ() Kbσ() T0 κι! σ() σ() Kσ() σ() σ() [ ] δ K K bσ() Kbσ()! σ() T0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ) Γι, ( w (, u) ) {w (,u) + w (u, )}! Γι dm V µε βάση { e, e } του ώρου V, περνώντς σε συντετγµένες, e + e, y e + e, ( w (, ) ) {w ( e + e, e + e) + w ( e + e, e + e) { w (e, e) + w (e, e) + w (e, e) + w (e, e) + w (e, e ) + w (e, e ) + w (e, e ) + w (e, e )} g + g + g Αν επιπλέον υποθέσουµε ότι + g y, ( w (, ) ) g + g + (g + g ) κι ν πρόκειτι γι συµµετρική µορφή, ( w (, ) ) g + g + g Στην περίπτωση, που είνι dm V, ( w (, ) ) g + g ) Ανάλογ, [ w (, ) ] {w (, y) w (y, )} δ! g g ) Γι, ( w (,, )) g! κ κ g + δ g < + δ g {w (,, ) + w (,, ) + w (,, )! + w (,, ) + w (,, ) + w (,, )} + δ g

7 κ κ κι, [ w (,, )] g 4) Γι,! δ κ σ() Kσ () ( w (, K, )) gσ() Kσ() K κι, σ() Kσ() σ() Kσ() [ w (, K, )] δ g g, όπου K σ() Kσ() K K! η ορίζουσ των συντετγµένων των de K O K Ένς συµµετρικός τνυστής ρκτηρίζετι πό το γεγονός ότι, η µορφή µε την οποί συνδέετι πληροί την σέση ( w) w, ενώ γι ένν ντισυµµετρικό έουµε την [ w] w