ΘΕΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο φορέας χωρίζεται στα τμήματα Α και Β. Το τμήμα Α είναι τριαρθρωτό τόξο. Απομονώνοντας το Α και επιλύοντας το τριαρθρωτό τόξο, βρίσκουμε τις αντιδράσεις των αρθρώσεων #3 και #6. Αυτές τοποθετούνται με την αντίθετη φορά, αλλά με το ίδιο μέτρο, στο φορέα του τμήματος Β. Το φορτίο P 2 καταπονεί το τμήμα Β. ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
TMHMA A Επίλυση Τμήματος Α M5 = 0 30 4 2 V6 4= 0 V6 = 60kN F y = 0 V 3 + V 6 30 30 8 = 0 V 3 + 60 30 240 = 0 V3 = 20 M = 0 V 8 + H 2.5 30 4 30 8 4 = 0 60 8 + H 2.5 30 4 30 8 4 = 0 3 6 6 6 H6 = 240kN F x = 0 H H 3 6 = 0 H3 = 240kN kn ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 2
TMHMA B Επίλυση Τμήματος Β F x = 0 H 50 240 + 240 = 0 H = 50 M 2 kn = 0 60 8 + 240 5 V 8 + 20 8 4 290 2.5 = 0 480 + 200 8 V + 640 725 = 0 V = 99.375kN 2 2 F N y = 0 V + V 2 20 60 20 8 = 0 V + 99.375 430 = 0 V = 230.625k ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 3
Μόρφωση Διαγραμμάτων Εντατικών Μεγεθών [M] Μέλη (45) και (56): Μέλος (2): q l 8 = q l 8 = 30 4 8 = 60kNm 2 2 2 45 56 q l 8 = 20 8 8 = 60 knm 2 2 2 2 [Q] [N] ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 4
ΘΕΜΑ 2 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητείται η χάραξη των διαγραμμάτων M, Q, N χωρίς απολύτων κανέναν υπολογισμό. (2 μονάδες) ΕΠΙΛΥΣΗ: Μόρφωση Διαγραμμάτων Εντατικών Μεγεθών [M] Κόμβος #3: Πρέπει να ισχύει: M 32 + M35 = M34 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 5
[Q] [N] ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 6
ΘΕΜΑ 3 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητείται η οριζόντια μετατόπιση του κόμβου 5 για τη φόρτιση και τις υφιστάμενες θερμοκρασίες. (2 μονάδες) Δίνονται: E = 2 0 kn m I = 80000cm 2 A = 5cm h= 0.50m 5 a = 0 / o C T T0 = 5 o C 8 2 4 ΕΠΙΛΥΣΗ:.5 tanφ = φ = 26.565 3.0 3.0 tanθ = θ = 63.435.5 o o E = 2 0 kn m 8 2, 4 3 4 80000cm 0.8 0 2 I = = m, EI = 60000kNm 2 4 2 A = 5cm = 5 0 m, EA = 00000kNm m 2 2 Δ T = T T = 40 40 = 0 o C εσ εξ δt Tεσ + Tεξ 40 + 40 0 5 25 o = T = = C 2 2 dt = T T0 40 5 25 o εσ = = C ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 7
Κόμβος #6: F y = 0 S 6 sin φ 80= 0 S6 = 78.89 kn F = 0 S S cosφ = 0 x 2 6 S2 = 60kN Κόμβος #4: F = y 0 S 4 = 0 F x = 0 S S = 2 S = 60 kn Κόμβος #5: F = 0 S sinθ + S cosφ = S cosφ x 3 5 3 5 6 S sinθ + S cosφ = 60 () Fy = 0 S cosθ + S sinφ = S sinφ 3 5 3 6 5 S cos θ S sin φ = 80 (2) Η λύση του συστήματος εξισώσεων () και (2) είναι: S3 0 και S5 = 78.89kN F x = 0 30 7 + 60 60 + H = 0 H 20 = kn F y = 0 V 80= 0 V = 80 M kn = 0 M + 30 7 3.5 + 60 7 60 4 = 0 M = 25kNm ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 8
[Μ] Τμήμα (23): Τμήμα (2): w l 8 = 30 3 8 = 33.75 knm 2 2 23 w l 8 = 30 4 8 = 60 knm 2 2 2 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 9
Κόμβος #6: F = y 0 S 6 = 0 F = x 0 S 2 = 0 Κόμβος #4: F = x 0 S = 0 F = y 0 S 4 = 0 Κόμβος #5: F = x 0 S3sinθ + S5cosφ = (3) F = y 0 S3cosθ S5sinφ = 0 (4) Η λύση του συστήματος εξισώσεων (3) και (4) είναι: S3 = S 5 = 0.559kN F = y 0 V = 20kN F x = 0 H = ( 0.559cos φ ) 2 H ( ) = kn M = M + + φ = 0 0.559 7 0.559 4 cos 0 M = 5.5kNm ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 0
[ M ] [N ] M ΔT S + R Δ = M dx + Ma dx + Na Tdx + S l + S a dtl δ5 i 6 6 i i T T i i EI h δ i= EiAi i= i T i ( 65) (.5) 2 ( 855) (.5 5.5) ( 25) ( 5.5) 4 M + + 6 M dx = = EI EI + (.5) ( 2 273.75 65) 3 6 392.875 = { 3050 + 87.875} = = 0.08707875 EI 60000 ΔT MaT dx = 0, αφού Δ = 0 o 5 5 T C, NaTδTdx = ( 0.25) 3 0 25 = 8.75 0 h 6 Si 3 Si li = 3.35398 0, αφού EA i= i i i l i S i S i Si Si SSl ( EA ) i i i i i 3 60 0 0 0 2 3 60 0 0 0 3 3.354 0 0.559 0 0 4.5 0 0 0 0 5 3.354-78.89 0.559-335.398-3.35398 0-3 6 3.354-78.89 0 0 0 6 i= i T i ( ) Sa dtl = 0 25 0.559 3.354 + 0.559 3.354 = 93.7443 0 5 5 5 3 5 Άρα, δ = 0.08707875 + 0 8.75 0 3.35398 0 + 93.7443 0 5 δ 5 = 0.0837m= 8.37cm ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum
ΘΕΜΑ 4 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος και για κίνηση του κατακόρυφου μοναδιαίου φορτίου από 2 έως 5 ζητείται η χάραξη των γραμμών επιρροής: ) της ροπής κάμψεως στη διατομή α της πακτώσεως. 2) της ροπής κάμψεως στη διατομή β (μέσο του 2-3) 3) της τέμνουσας στη διατομή β (μέσο του 2-3) Να υπολογισθούν οι ακραίες τιμές της ροπής κάμψεως στη διατομή α για φορτίο p = 20kN m απεριορίστου μήκους. ΕΠΙΛΥΣΗ: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 2
Κινητό φορτίο P= στον κόμβο #2: Κινητό φορτίο P= στο β: M = 0 V = 0 δεξ 3 4 Mα = y = 0 V = 0 M β = x = 0 H = 0 Qβ = 0 M 0 F F M = = 0 0 0 δεξ M3 = 0 V4 = 0 Mα = 3 Fy = 0 V = αριστ Qβ = 0 Fx = 0 H = 0 δεξ Qβ = M = 0 M = 3 Κινητό φορτίο P= στον κόμβο #3: Κινητό φορτίο P= στον κόμβο #4: M δεξ 3 4 Mα = y = 0 V = M β = x = 0 H = 0 Qβ = 0 M 6 F F M = 0 V = 0 = = 6 3 Fx = 0 H = 0 Mα = 0 M = 0 M = 0 M β = 0 M = = Q = 0 αριστ 3 0 V 0 Fy = 0 V4 = β Κινητό φορτίο P= στον κόμβο #5: M = 0 0 V 6 = 0 V = 0 6 =.67 δεξ 3 4 4 Mα = x = 0 H = 0 M β = y = 0 + 4 = = 0.67 Qβ = 0 6.67 2 0 4 F F V V V M = M = M = 4 2 0.6 [Μ] [Q] ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 3
Έστω [N] l το μήκος στο οποίο ασκείται το φορτίο, τότε V+ V4 = 20l. Από τη γραμμή επιρροής της M α διαπιστώνεται ότι αυτή μεγιστοποιήθηκε, όταν η Συνεπώς, η μέγιστη l = 4m. V 4 έγινε αρνητική. προκύπτει για μέγιστη καταπόνηση του τμήματος 4-5, δηλαδή για ( ) M δεξ = 0 6 V 4 20 6 + 2 = 0 V = 06.67kN 3 4 4 V + V = 20l V = 20l V = 20 4 06.67 = 26.67kN 4 4 M αριστ = 0 M 26.67 6 = 0 M = 60.02kNm 3 Ομοίως σκεπτόμενοι, η ελάχιστη τιμή της M α στη γραμμή επιρροής προκύπτει, όταν το μοναδιαίο φορτίο δεν έχει μοχλοβραχίονα για να μειώσει τη M (σημείο 3) κατά M 3 = 0. Εδώ l = 2m. M δεξ = 0 6 V 20 6 3= 0 V = 60kN 3 4 4 F = 0 V + V = 20l = 240 V = 80kN y 4 M αριστ = 0 M + 80 6 = 0 M = 080kNm 3 Επομένως, max Mα = 60.02kNm και min M = 080 knm α V ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ http://users.ntua.gr/vkoum 4