Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Άλγεβρα Boole, λογικές συναρτήσεις και κυκλώματα ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò
È Ö Õ Ñ Ò ³ Ð Ö Boole ½ ¾ Άλγεβρα Boole Θεωρήματα κι Ιδιότητες Λογικές Συναρτήσεις Κανονικές και Πρότυπες Μορφές Λογικής Συνάρτησης Ελαχιστόροι και Μεγιστόροι Συνάρτησης Κανονική Μορφή Συνάρτησης Ψηφιακές Λογικές Πύλες Επιπλέον Λογικές Πράξεις Θετική κι Αρνητική Λογική ΟλοκληρωμέναΚυκλώματα Οικογένειες Ψηφιακής Λογικής Σχεδιασμός Κυκλωμάτων με τη Βοήθεια Υπολογιστή
Û ³ Ð Ö Boole Η δυαδική λογική χρησιμοποιείται στα ψηφιακά συστήματα Το κόστος των ψηφιακών συστημάτων αποτελεί σημαντικό παράγοντα στο σχεδιασμό τους Η μείωση του κόστους σχεδίασης κι υλοποίησης επιτυγχάνεται με την εξεύρεση λειτουργικά ισοδύναμων, απλούστερων κι οικονομικότερων υλοποιήσεων Οι μέθοδοι απλοποίησης ψηφιακών κυκλωμάτων βασίζονται στην άλγεβρα Boole
³ Ð Ö Boole  ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ Το 1854οG. Booleαναπτύσσειτοαλγεβρικόσύστημακαιτο 1938 ο C. E. Shannon παρουσιάζει την άλγεβρα διακοπτών Ο αυστηρός ορισμός της άλγεβρας επιτυγχάνεται με τα αξιώματα πουδιατύπωσεοe. V. Huntingtonτο1904 Ηάλγεβρα Booleείναιμιααλγεβρικήδομή,ηοποίαορίζεταισεένα σύνολοστοιχείων B,μετουςδύοδυαδικούςτελεστές +και,έτσι ώστε:
Ü ôñ Ø Huntington  ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ 1.Κλειστότηταωςπρος +και,δηλαδή x,y B: x+y B, x y B 2. 0 ουδέτεροστοιχείοωςπρος +: x+0 = 0+x = x 1 ουδέτεροστοιχείοωςπρος : x 1 = 1 x = x 3. Οι πράξεις + και είναι αντιμεταθετικές: x+y = y +xκαι x y = y x 4.Ηπράξη είναιεπιμεριστικήωςπροςτην +,δηλαδή: x (y +z) = (x y)+(x z) Ηπράξη +είναιεπιμεριστικήωςπροςτην,δηλαδή: x+(y z) = (x+y) (x+z) 5. x B x Bώστε: x+x = 1και x x = 0 6. τουλάχιστονδύο x,y B : x y
Ü ôñ Ø Huntington  ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ Διαφορές με αριθμητική και συμβατική άλγεβρα: Δεν υπάρχει ο προσεταιριστικός κανόνας αν κι αποδεικνύεται Οεπιμεριστικόςκανόνας x+(y z) = (x+y) (x+z)υπάρχει μόνο στην άλγεβρα Boole Δεν υπάρχουν αντίστροφες πράξεις των + και Ο τελεστής συμπληρώματος δεν υπάρχει στη συμβατική άλγεβρα Ηδίτιμηάλγεβρα Booleορίζεταιστοσύνολο B = {0,1}
Ü ôñ Ø Huntington  ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ Απόδειξη της επιμεριστικής ιδιότητας ως προς την με τη βοήθεια πινάκων αληθείας:
 ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ Ü ôñ Ø Â ÛÖ Ñ Ø Ø ³ Ð Ö Boole Δυϊσμός: Κάθε αλγεβρική έκφραση που συνάγεται με βάση τα αξιώματα της άλγεβρας Boole παραμένει σε ισχύ εάν οι τελεστές και τα ουδέτερα στοιχεία εναλλαχθούν Παραδείγματα: x+0 = x x 1 = x x+x = 1 x x = 0
 ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ Ü ôñ Ø Â ÛÖ Ñ Ø Ø ³ Ð Ö Boole (α ή α:συμπλήρωματου α)
ÈÖÓØ Ö Ø Ø Ì Ð ØôÒ Â ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ Για εκφράσεις της άλγεβρας Boole: Προτεραιότητα1: (, ), [, ], {, } Προτεραιότητα 2: Πράξη ΟΧΙ(NOT) Προτεραιότητα 3: Πράξη ΚΑΙ(AND), Προτεραιότητα 4: Πράξη Η(OR),«+»
ËÙÒ ÖØ Boole ³ Ð Ö Boole  ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ Εστωοιμεταβλητές x 1,x 2,...,x n {0,1},τότεμιαλογική συνάρτηση ή συνάρτηση Boole συμβολίζεται ως: f = f (x 1,x 2,...,x n ) {0,1} Κάθε συνάρτηση Boole μπορεί να παρασταθεί από ένα μοναδικό πίνακα αληθείας Κάθε συνάρτηση Boole μπορεί να μετασχηματιστεί σε ένα λογικό κύκλωμα Ωστόσο, η αλγεβρική μορφή μιας συνάρτησης Boole μπορεί να αναπαρασταθεί με λογικές πύλες με παραπάνω από έναν τρόπους!!
ËÙÒ ÖØ Boole ³ Ð Ö Boole  ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ f = (x+y )z Πίνακας αληθείας της f από όλους τουςσυνδυασμούςτιμώντων x,yκαι z Η fπεριέχειένα ORκιένα AND Η f υλοποιείται από το ακόλουθο λογικό κύκλωμα:
ÔÐÓÔÓ ËÙÒ ÖØ Boole  ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ Σκοπός Σχεδιαστών Ψηφιακών Συστημάτων Μείωση πολυπλοκότητας κι αριθμού πυλών σε ένα λογικό κύκλωμα Μείωση κόστους ψηφιακών συστημάτων Δεδομένης μιας έκφρασης μιας συνάρτησης Boole, χρησιμοποιώ κανόνες της άλγεβρας Boole προσπαθώντας να καταλήξω σε απλούστερες εκφράσεις για τη συνάρτηση
 ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ È Ö Ñ ÔÐÓÔÓ ËÙÒ ÖØ Boole Εστωηf 1 = x y z +x yz +xy ÈÒ Ð Ø f Ô ÐÓÙ ØÓÙ ÙÒ Ù ÑÓ Ø ÑôÒ ØÛÒ x,y z À f 1 Ô Ö Õ Ò OR Ó AND ØÖ ôò ÛÒ Ñ AND Ó ÛÒ À f 1 ÙÐÓÔÓ Ø Ô ØÓ ÐÓÙ Ó ÐÓ ÐÛÑ
 ÛÖ Ñ Ø Á Ø Ø ÄÓ ËÙÒ ÖØ È Ö Ñ ÔÐÓÔÓ ËÙÒ ÖØ Boole f 1 =x y z +x yz +xy =x z(y +y)+xy =x z +xy Η f 1 περιέχειπεριέχειπλέονένα ORκαιδύο ANDδύοεισόδων
Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ελαχιστόρος συνάρτησης(πρότυπο γινόμενο): το λογικό γινόμενο κάθε δυνατού συνδυασμού όλων των μεταβλητών εισόδου της συνάρτησης ή/και των συμπληρωμάτων τους, πχγιαδύομεταβλητέςεισόδου xκαι yοιελαχιστόροιείναιοι x y, x y, xy και xy Μεγιστόρος συνάρτησης(πρότυπο άθροισμα): το λογικό άθροισμα κάθε δυνατού συνδυασμού όλων των μεταβλητών εισόδου της συνάρτησης ή/και των συμπληρωμάτων τους, πχγιαδύομεταβλητέςεισόδου xκαι yοιελαχιστόροιείναιοι x +y, x +y, x+y και x+y Για n μεταβλητές εισόδου το πλήθος των ελαχιστόρων και των μεγιστόρων είναι 2 n Κανονική μορφή λογικής συνάρτησης: όταν είναι εκφρασμένη σε άθροισμα ελαχιστόρων ή γινόμενο μεγιστόρων
Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Εστω συνάρτηση n μεταβλητών. Τοποθετώ κατά αύξουσα σειρά κάτω από τις n μεταβλητέςτους n-bit 2-δικούςαριθμούςαπό 0έως 2 n 1.Δίπλασεκάθε 2-δικό αριθμό, τοποθετώ: Ð Õ Ø ÖÓ m j j = 0,1,...,2 n 1 ÌÓ Ò Ñ ÒÓ ÐÛÒ ØÛÒ n Ñ Ø Ð ØôÒ Ñ Ñ Ø Ð Ø ÙÑÔÐ ÖÛÑ Ò Ò ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ bit ØÓÙ 2¹ Ó Ö ÑÓ Ò 0 Ñ ÙÑÔÐ ÖÛÑ Ò Ò ÙØ Ò 1 Ã Ò Ñ ÒÓ ÔÓØ Ð ØÓ m j Ñ ØÓ j Ò Ò Ò Ô Ö Ø ØÓ 10¹ ØÓÙ 2¹ Ó Ö ÑÓ ÔÓÙ ÒØ ØÓ Õ ØÓÒ Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ M j j = 0,1,...,2 n 1 ÌÓ ÖÓ Ñ ÐÛÒ ØÛÒ n Ñ Ø Ð ØôÒ Ñ Ñ Ø Ð Ø ÙÑÔÐ ÖÛÑ Ò Ò ØÓ ÒØ ØÓ ÕÓ bit ØÓÙ 2¹ Ó Ö ÑÓ Ò 1 Ñ ÙÑÔÐ ÖÛÑ Ò Ò ÙØ Ò 0 Ã ÖÓ Ñ ÔÓØ Ð ØÓ M j Ñ ØÓ j Ò Ò Ò Ô Ö Ø ØÓ 10¹ ØÓÙ 2¹ Ó Ö ÑÓ ÔÓÙ ÒØ ØÓ Õ ØÓÒ Ñ Ø ÖÓ
Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ
à ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Εστω ο πίνακας αληθείας μιας λογικής συνάρτησης, τότε η συνάρτηση αυτή δύναται να εκφραστεί αλγεβρικά ως: Άθροισμα«+»εκείνωντων m j sγιαταοποίαοσυνδυασμόςτιμών των μεταβλητών της συνάρτησης δίνουν 1 στη συνάρτηση Γινόμενοεκείνωντων M j sγιαταοποίαοσυνδυασμόςτιμών των μεταβλητών της συνάρτησης δίνουν 0 στη συνάρτηση Οταν η αλγεβρική έκφραση μιας συνάρτηση είναι σε κανονική μορφή, ο πίνακας αληθείας της προκύπτει άμεσα
Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ f 1 (x,y) = (1,3) = m 1 +m 3 f 1 (x,y) = (0,2) = M 0 M 2 f 2 (x,y) = (0,1) = m 0 +m 1 f 2 (x,y) = (2,3) = M 2 M 3 f 3 (x,y) = (0,3) = m 0 +m 3 f 3 (x,y) = (1,2) = M 1 M 2
Á Ó ÙÒ Ñ Ã ÒÓÒ ôò ÅÓÖ ôò Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Άθροισμα Ελαχιστόρων: f 1 =x y +xy =y(x +x) =y Γινόμενο Μεγιστόρων: f 1 =(x+y)(x +y) =xx +xy +yx +yy =0+xy +x y +y =x y +y = y
Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ f 1 (x,y,z) = (1,3,4,5) = m 1 +m 3 +m 4 +m 5 f 1 (x,y,z) = (0,2,6,7) = M 0 M 2 M 6 M 7 f 2 (x,y,z) = (0,1,3,5,7)= m 0 +m 1 +m 3 +m 5 +m 7 f 2 (x,y,z) = (2,4,6) = M 2 M 4 M 6
Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ ÍÔÓÐÓ Ñ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Εστωπχηλογικήσυνάρτηση f 1 (x,y,z) = x+y z,ηοποίαδενείναι εκφρασμένη σε κανονική μορφή. Για να σχηματίσω την αλγεβρικά ισοδύναμη κανονικής μορφής έκφρασή της: Άθροισμα ελαχιστόρων: συμπληρώνω σε κάθε όρο του αθροίσματος τις μεταβλητές που λείπουν πολλαπλασιάζοντας το άθροισμα καθεμιάς από αυτές με το συμπλήρωμά της Κατάτημετατροπήαυτήχρησιμοποιώτιςιδιότητες: A 1 = Aκαι A+A = 1 Γινόμενο μεγιστόρων: συμπληρώνω σε κάθε παράγοντα του γινομένου τις μεταβλητές που λείπουν προσθέτοντας το γινόμενο καθεμιάς από αυτές με το αντίστοιχο συμπλήρωμά της Κατάτημετατροπήαυτήχρησιμοποιώτιςιδιότητες: A A = 0και A+B C = (A+B) (A+C)
È Ö Ñ Ø ³ Ð Ö Boole Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Εστωηλογικήσυνάρτηση f 1 (x,y,z) = x+y z f 1 (x,y,z) =x(y +y )(z +z )+y z(x+x ) =xyz +xyz +xy z +xy z +xy z +x y z =m 1 +m 4 +m 5 +m 6 +m 7 = (1,4,5,6,7)
È Ö Ñ Ø ³ Ð Ö Boole Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Εστωηλογικήσυνάρτηση f 2 (x,y,z) = xy +x z f 2 (x,y,z) =(xy +x )(xy +z) =(x+x )(y +x )(x+z)(y +z) =(y +x +zz )(x+z +yy )(y +z +xx ) =(x +y +z)(x+y +z)(x+y +z) (x +y +z )(x+y +z)(x +y +z) =M 0 M 2 M 4 M 5 = (0,2,4,5) Μετατροπή Μεταξύ Κανονικών Μορφών Λογικής Συνάρτησης Είναιεμφανές,χρησιμοποιώνταςτοθεώρημα DeMorgan,ότι m j = M j πχ f(x,y,z) = (1,4,5,6,7) f(x,y,z) = (0,2,3)
ÈÖ ØÙÔ Ð Õ Ø ÖÓ Å Ø ÖÓ ËÙÒ ÖØ Ã ÒÓÒ ÅÓÖ ËÙÒ ÖØ Εξ ορισμού, σπάνια οι κανονικές μορφές συνάρτησης περιέχουν τον ελάχιστο δυνατό αριθμό παραγόντων, άρα και λογικών πυλών κατά το σχεδιασμό Πρότυπη μορφή αθροίσματος γινομένων: Η έκφραση αυτή περιέχει όρους ANDκαι OR Πρότυπη μορφή γινομένου αθροισμάτων: Η έκφραση αυτή περιέχει όρους ORκαι AND Η υλοποίηση με τη βοήθεια πρότυπων μορφών είναι προτιμητέα δίοτι παράγει την ελάχιστη καθυστέρηση διάδοσης των σημάτων, μέσωτωνπυλών,απότιςεισόδουςτωνστηνέξοδο
Ô ÔÐ ÓÒ ÄÓ ÈÖ Ü Ô ÔÐ ÓÒ ÄÓ ÈÖ Ü Â Ø ÖÒ Ø ÄÓ Εστω n 2-δικές μεταβλητές, τότε πλήθος των διαφορετικών συναρτήσεων Booleείναι 2 2n Συνάρτηση NAND Συνάρτηση NOR Συνάρτηση XOR Συνάρτηση XNOR
Ô ÔÐ ÓÒ ÄÓ ÈÖ Ü Â Ø ÖÒ Ø ÄÓ
Ô ÔÐ ÓÒ ÄÓ ÈÖ Ü Â Ø ÖÒ Ø ÄÓ
Â Ø ÖÒ Ø ÄÓ Ô ÔÐ ÓÒ ÄÓ ÈÖ Ü Â Ø ÖÒ Ø ÄÓ Ηαντιστοίχισητουλογικού 0και 1στηνυψηλήκαιχαμηλήτάση δύναται να γίνει με δύο τρόπους: Τάση ( Volts) 4.0 3.0 2.0 0.5 0-0.5 Θετική Λογική Υψηλή Στάθμη Λογικό 1 Μεταβατική Περιοχή Χαμηλή Στάθμη Λογικό 0 Τάση ( Volts) 4.0 3.0 2.0 0.5 0-0.5 Αρνητική Λογική Υψηλή Στάθμη Λογικό 0 Μεταβατική Περιοχή Χαμηλή Στάθμη Λογικό 1
Ç Ó Ò ÄÓ ËÕ Ñ ÃÙ ÐÛÑ ØÛÒ Ñ Ø Ó ÍÔÓÐÓ Ø Ολοκληρωμένο κύκλωμα βάση κρυστάλλου ημιαγωγού πυριτίου με διασυνδεδεμένα ηλεκτρονικά στοιχεία που υλοποιούν ψηφιακές πύλες Transistor-Transistor Logic (TTL) φθηνή και παλιά τεχνολογία (σπάνια) Emitter-Coupled Logic (ECL) πλεονεκτεί σε συστήματα που απαιτούν υψηλή ταχύτητα(σπάνια) Metal-Oxide-Semiconductor (MOS) για υψηλή πυκνότητα στοιχείων Complementary MOS (CMOS) για χαμηλή κατανάλωση ενέργειας
Ç Ó Ò ÄÓ ËÕ Ñ ÃÙ ÐÛÑ ØÛÒ Ñ Ø Ó ÍÔÓÐÓ Ø É Ö Ø Ö Ø ÇÐÓ Ð ÖÛÑ ÒÛÒ ÃÙ ÐÛÑ ØÛÒ Τα χαρακτηριστικά ενός ολοκληρωμένου κυκλώματος περιγράφονται από τα χαρακτηριστικά του βασικού ηλεκτρονικού κυκλώματος πύλης της οικογένειας που ανήκει δυνατότητα εξόδου πλήθος τυπικών φορτίων που δύναται να οδηγήσει η έξοδος της πύλης χωρίς να αποκλίνει από την κανονική λειτουργία της δυνατότητα εισόδου πλήθος εισόδων της πύλης κατανάλωση ισχύος καθυστέρηση διάδοσης μέσος χρόνος καθυστέρησης μετάδοσης ενός σήματος από τις εισόδους της πύλης στην έξοδό της περιθώριο θορύβου μέγιστη τάση εξωτερικού θορύβου που μπορεί να προστεθεί σε ένα σήμα εισόδου χωρίς να προκαλέσει ανεπιθύμητη αλλαγή στην έξοδο του κυκλώματος
Ç Ó Ò ÄÓ ËÕ Ñ ÃÙ ÐÛÑ ØÛÒ Ñ Ø Ó ÍÔÓÐÓ Ø ËÕ Ñ ÃÙ ÐÛÑ ØÛÒ Ñ Ø Ó ÍÔÓÐÓ Ø Στην πλειονότητα των περιπτώσεων, η ανάπτυξη κι η επαλήθευση της ορθής λειτουργίας συστημάτων πολυπλοκότητας VLSI επιτυγχάνεται με εργαλεία CAD Ολοκληρωμένο κύκλωμα εξειδικευμένο για συγκεκριμένες εφαρμογές(asic) Προγραμματίσιμη από το χρήστη διάταξη πυλών(fpga) Συσκευή προγραμματίσιμης λογικής(pld) Ολοκληρωμένο κύκλωμα σχεδιασμένο από την αρχή Γλώσσες περιγραφής υλικού HDL Verilog VHDL
Ì ÐÓ Â Ñ Ø Ò Ø Ø Ç Ó Ò ÄÓ ËÕ Ñ ÃÙ ÐÛÑ ØÛÒ Ñ Ø Ó ÍÔÓÐÓ Ø ÙÕ Ö Øô Ø Ò ÔÖÓ ÓÕ ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg eclass: http://eclass.uop.gr/courses/tst289/