.4 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 45 47 A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f() ii) f() + 6 iii) f() i) Πεδίο ορισµού είναι το R f () f () 0 0 f () > 0 > 0 > > + 4 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα + f 0 + f ց ր f() Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο για, το f() ii) Πεδίο ορισµού είναι το R f () 6 f () 0 6 0 0 f () > 0 6 > 0 < 0 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 + f + 0 f ր ց f(0) 0 + 6 6 Άρα η f παρουσιάζει µέγιστο για 0, το f(0) 6
iii) Πεδίο ορισµού είναι το R f () f () 0 0 f () > 0 > 0 > > Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα + f 0 + f ց ր f() + 4 + 4 Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο για, το f(). Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f() 6 + 5 ii) f() i) Πεδίο ορισµού είναι το R f () f () 0 0 ( 4) 0 0 ή 4 + + f () > 0 > 0 < 0 ή > 4 (εκτός των ριζών) Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 4 + f + 0 0 + f ր ց ր f(0) 0 6 0 + 5 5, f(4) 4 6 4 + 5 64 96 + 5 7 Άρα η f έχει τοπικό µέγιστο για 0, το f(0) 5, και τοπικό ελάχιστο για 4, το f(4) 7
ii) Πεδίο ορισµού είναι το R f () + f () 0 + 0 0 ή f () > 0 + > 0 < 0 < < (εντός των ριζών) Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα + f 0 + 0 f ց ր ց f( ) ( ) + ( ) + + f() + + + + Άρα η f έχει τοπικό ελάχιστο για, το f( ), και τοπικό µέγιστο για, το f(). Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν έχουν ακρότατα i) f() ii) f() + 6 iii) f() + + 0 iv) f() + 5 i) Πεδίο ορισµού είναι το R f () 6 0 για κάθε R, άρα η f δεν έχει ακρότατα ii) Πεδίο ορισµού είναι το R f () 0 για κάθε R, άρα η f δεν έχει ακρότατα iii) Πεδίο ορισµού είναι το R f () 6 + ( + ) ( ) 0 για κάθε R, άρα η f δεν έχει ακρότατα iv) Πεδίο ορισµού είναι το R f () + 6 5 6 60 4 < 0 το τριώνυµο f είναι οµόσηµο του α, δηλαδή αρνητικό, για κάθε R, άρα η f δεν έχει ακρότατα
4 4. Το άθροισµα δύο αριθµών είναι ίσο µε 40. Να βρείτε τη µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει το γινόµενό τους. Έστω, y οι δύο αριθµοί. Τότε + y 40 y 40 y 40 y + 40 Θεωρούµε τη συνάρτηση f() + 40 που εκφράζει το γινόµενο y f () + 40 f () 0 + 40 0 40 0 f () > 0 + 40 > 0 > 40 < 0 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 + f + 0 f ր ց f(0) 0 + 40 0 400 + 800 400 Άρα η f παρουσιάζει µέγιστο για 0, το f(0) 400 Εποµένως, η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει το γινόµενο y είναι 400.
5 5. Από όλα τα ορθογώνια µε εµβαδόν 00 m ποιο είναι εκείνο που έχει τη µικρότερη περίµετρο; Έστω, y > 0 οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε y 00 y 00 Περίµετρος + y + 00 + 00 Θεωρούµε τη συνάρτηση f() + 00, >0 που εκφράζει την περίµετρο f () 00 f () 0 00 0 00 0 00 0 f () > 0 00 > 0 00 > 0 00 > 0 00 0 > 00 > 0 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 0 + f 0 + f ց ր f(0) 0 + 00 0 + 0 40 0 Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο για 0, το f(0) 40 Εποµένως, το ορθογώνιο µε τη µικρότερη περίµετρο έχει 0 και άρα y 00 0 0
6 6. Ένα κουτί σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε βάση τετράγωνο και ανοικτό από πάνω πρέπει να έχει όγκο dm. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διστάσεις του κουτιού, ώστε για την κατασκευή του να χρειάζεται το ελάχιστο δυνατό υλικό. Έστω,, y > 0 οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Όγκος V y y y () Η ποσότητα του υλικού, που απαιτείται για την κατασκευή του παραλληλεπιπέδου, εξαρτάται από την επιφάνειά του Ε. Ε τετράγωνο βάσης + 4 ίσα ορθογώνια () Ε + 4y Ε + 4 Ε + 8 Θεωρούµε τη συνάρτηση Ε() + 8 που εκφράζει την επιφάνεια, και της οποίας αναζητάµε το ελάχιστο Ε () 8 Ε () 0 8 0 8 0 8 64 4 Οµοίως, Ε () > 0 > 4 Το πρόσηµο της Ε και η µονοτονία της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 4 + Ε 0 + Ε ց ր Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο για 4dm Η () y 4 6 dm
7 7. Αν ένα κουτί σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε βάση τετράγωνο και ανοικτό από πάνω πρέπει να έχει επιφάνεια ίση µε dm, ποιος είναι ο µέγιστος δυνατός όγκος του; Έστω,, y > 0 οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Ε τετράγωνο βάσης + 4 ίσα ορθογώνια y + 4y 4y y 4 Ο όγκος είναι V y ( ) 4 Θεωρούµε τη συνάρτηση V() V () 4 V () 0 4 4 0 0 4 Οµοίως V () > 0 < 4 4 (), >0 που εκφράζει τον όγκο, και της οποίας αναζητάµε το µέγιστο Το πρόσηµο της V και η µονοτονία της V φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 + V + 0 V ր ց Άρα η V παρουσιάζει µέγιστο για dm Για, η () V 4 6 4 dm που είναι ο µέγιστος όγκος
8 8. Να βρείτε το σηµείο της ευθείας µε εξίσωση y που είναι πλησιέστερο στην αρχή των αξόνων. Έστω Μ(, ) το τυχαίο σηµείο της ευθείας. Τότε (ΜΟ ) ( 0) + ( ) + 4 + 9 5 + 9 Θεωρούµε τη συνάρτηση d() 5 + 9 που εκφράζει την απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων, και της οποίας αναζητάµε το ελάχιστο. d () 5 + 9 (5 + 9) (0 ) 5 + 9 d () 0 0 0 0 6 5 d () > 0 0 > 0 0 > > 6 5 Το πρόσηµο της d και η µονοτονία της d φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 6/5 + d 0 + d ց ր Άρα η d παρουσιάζει ελάχιστο για 6 5. Εποµένως, το ζητούµενο σηµείο είναι 6 (, 6 ) ( ) 6, 5 5 5 5 5 6 (, ) 5 5
9 9. Η ταχύτητα ενός κύµατος µήκους λ µέσα στο νερό είναι υ κ λ +λ c, όπου κ c και c θετικές σταθερές. Για ποιο µήκος κύµατος έχουµε την ελάχιστη ταχύτητα; Θεωρούµε τη συνάρτηση υ(λ) κ λ +λ c όπου λ > 0, της οποίας αναζητάµε τη c θέση του ελάχιστου. υ (λ) κ λ c λ +λ ( +λ ) c c c c λ +λ c c λ c υ (λ) 0 c c λ 0 λ c 0 υ (λ) > 0 c c λ > 0 λ c > 0 λ c λ > c Το πρόσηµο της υ και η µονοτονία της υ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 c + υ 0 + υ γν. φθίν γν. αύξ λ c λ > c Άρα η υ παρουσιάζει ελάχιστο για µήκος κύµατος λ c.
0 0. Να προσδιοριστούν δύο θετικοί αριθµοί µε τις εξής ιδιότητες: Το άθροισµά τους να είναι 0 και το άθροισµα των τετραγώνων τους να είναι ελάχιστο. Έστω, y δύο τυχαίοι θετικοί αριθµοί µε + y 0 y 0. To άθροισµα των τετραγώνων τους είναι + y + (0 ) + 00 0 + 0 + 00 Θεωρούµε τη συνάρτηση σ() 0 + 00, 0< <0 της οποίας αναζητάµε το ελάχιστο σ () 4 0 4( 5) σ () 0 5 0 5 σ () > 0 5 > 0 > 5 Το πρόσηµο της σ και η µονοτονία της σ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 5 0 σ 0 + σ γν. φθίν γν. αύξ Άρα η σ παρουσιάζει ελάχιστο για 5 Εποµένως, οι ζητούµενοι αριθµοί είναι 5 και y 0 5 5
B ΟΜΑ ΑΣ. Αν υ 00p( + ln r) 00qr, όπου p και q θετικές σταθερές, να δείξετε ότι το υ έχει τη µέγιστη τιµή όταν r p q Για να έχει νόηµα ο lnr, πρέπει r > 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση υ(r) 00p( + lnr) 00qr, r > 0 p q r υ (r) 00p( + lnr) 00q 00p. r 00q 00 ( ) υ (r) 0 p r q 0 p qr 0 qr p r p q υ (r) > 0 p r q > 0 p qr > 0 qr < p r < p q Το πρόσηµο της υ και η µονοτονία της υ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα r 0 p/q + υ + 0 υ γν. αύξ γν. φθίν Άρα η υ παρουσιάζει µέγιστο για r p q
. Αν υ κ ln( ), τιµή όταν e. όπου κ θετική σταθερά, να δείξετε ότι το υ έχει τη µέγιστη Πρέπει > 0 > 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση υ() κ ln( ), > 0 υ() κ ln υ () κ ( ln ) κ [( ) ln + υ () 0 υ () > 0 κ[ ln + κ[ ln + κ[ ln ] κ[ ln ] ln 0 ln ln ln > 0 ln > (ln ) ] ( ) ] ( ) e ] ln < < e e Το πρόσηµο της υ και η µονοτονία της υ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα e 0 e υ + 0 + υ γν. αύξ γν. φθίν Άρα η υ παρουσιάζει µέγιστο για e
. Από ένα φύλλο λαµαρίνας σχήµατος τετραγώνου πλευράς 60cm θα κατασκευαστεί ένα δοχείο, ανοικτό από πάνω, αφού κοπούν από τις γωνίες του τέσσερα ίσα τετράγωνα και στη συνέχεια διπλωθούν προς τα πάνω οι πλευρές..να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του δοχείου, ώστε να έχει το µέγιστο όγκο. Έστω η πλευρά του τετραγώνου που αποκόπτεται από κάθε γωνία της λαµαρίνας. (Πρέπει να είναι 0 < < 0) θα είναι και το ύψος του δοχείου, το δε τετράγωνο βάση του δοχείου θα έχει πλευρά 60. Ο όγκος του δοχείου θα είναι V() (60 ) 4(0 ) 4(900 60 + ) 4( 60 + 900), 0 < < 0 V () 4( 0 + 900) ( 40 + 00) V () 0 40 + 00 0, 600 00 400 40± 400 40± 0 60-0 ή 0 απορρίπτεται αφού 0 < < 0 V () > 0 40 + 00 > 0 0 < < 0 ή 0 < < 60 απορρίπτεται αφού 0 < < 0 Το πρόσηµο της V και η µονοτονία της V φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 0 0 V + 0 V γν. αύξ γν. φθίν Άρα η V παρουσιάζει µέγιστο για 0 Οπότε οι διαστάσεις του δοχείου θα είναι 60 0 40, 40, 0
4 4. Θέλουµε να περιφράξουµε µια περιοχή 6000 m σχήµατος ορθογωνίου µε µεταβλητές διαστάσεις και να τη χωρίσουµε στη µέση. Ο φράχτης για την περίφραξη κοστίζει 9 ευρώ/m και ο φράχτης για το χώρισµα 6 ευρώ/m. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε, να έχουµε το ελάχιστο κόστος για την περίφραξη µαζί µε το χώρισµα. Έστω, y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Εµβαδόν y y 6000 y 6000 () Περίµετρος + y Κόστος περίφραξης + Κόστος χωρίσµατος ( + y)9 + y 6 8 + 8y + 6y 8 + 4y () 8 + 4 6000 Θεωρούµε τη συνάρτηση K() 8 + 4 6000 που εκφράζει το κόστος K () 8 + 4 6000 8 4 6000 K () 0 8 4 6000 0 8 4 6000 0 8 4 6000 4 8 6000 4 9 600. 0 40 0 80 0 80 0 K () > 0 > Το πρόσηµο της K και η µονοτονία της K φαίνονται στον παρακάτω πίνακα y 0 80 0 / + K 0 + K γν. φθίν γν. αύξ 00 Άρα η K παρουσιάζει ελάχιστο για 80 0 Από () y 6000 0 600 0 600 0 0 80 0 0 0
5 5. Σε έναν κύκλο ακτίνας ρ να εγγράψετε το ορθογώνιο µε το µεγαλύτερο εµβαδόν. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο εγγεγραµµένο στο δοσµένο κύκλο και, y οι διαστάσεις του. Φέρουµε την ΑΓ Πυθαγόρειο στο τρ, ΑΒΓ: (ΑΒΓ ) y 4ρ Θεωρούµε τη συνάρτηση εµβαδόν E () 4ρ + ( 4ρ + 4ρ + 4ρ + + y (ρ) y 4ρ ρ y 4 y E() 4ρ ) 4ρ 4ρ 4ρ 4ρ () Α 4ρ µε 0 < < ρ, που εκφράζει το (4ρ ( ) ) 4ρ 4ρ O Γ Β E () 0 4ρ 4ρ 0 4ρ 0 4ρ ρ ρ E () > 0.. < ρ Το πρόσηµο της E και η µονοτονία της E φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 ρ ρ Ε + 0 Ε γν. αύξ γν. φθίν Άρα η Ε παρουσιάζει µέγιστο για ρ Από () y 4 ρ ( ρ ) 4ρ ρ Εποµένως το ζητούµενο ορθογώνιο είναι το τετράγωνο ρ ρ
6 6. Ένα σύρµα µήκους λ κόβεται σε δύο τµήµατα µε τα οποία σχηµατίζουµε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο αντιστοίχως. Να δείξετε ότι το άθροισµα των εµβαδών των δύο σχηµάτων είναι ελάχιστο, όταν η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση µε τη διάµετρο του κύκλου. Έστω το τµήµα µήκος του κύκλου, οπότε (λ ) θα είναι η πλευρά του 4 τετραγώνου. Αν ρ είναι η ακτίνα του κύκλου, τότε πρ ρ Εµβαδόν του κύκλου π Εµβαδόν του τετραγώνου ρ π( ) π 4π π 6 (λ ) 6 Άθροισµα των εµβαδών : E() ( + 4π 6) Ε () ( + 4π 6) 8 λ Ε () 0 ( + ) 8 λ 0 4π 6 (4+π) λπ 4 λπ +π 4π 6 ( λ + π λ ) 8 λ + 6 8 λ + 6 λ λ, όπου 0 < < λ Ε () > 0 > 4 λπ +π Το πρόσηµο της E και η µονοτονία της E φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 λπ/(4+π) λ Ε 0 + Ε γν. φθίν γν. αύξ Άρα η Ε παρουσιάζει ελάχιστο για λπ 4 +π Τότε η πλευρά του τετραγώνου (λ ) γίνεται 4 4 (λ λπ 4+π ) 4λ+λπ λπ 4 4+π 4 4λ 4+π λ 4+π, λπ και η διάµετρος του κύκλου ρ π π 4+π π λ, άρα ίσες 4 +π
7 8. Ένα ορισµένο όχηµα, όταν ταξιδεύει µε ταχύτητα υ km/h, καταναλώνει την ώρα 6 + 0,000υ λίτρα καύσιµα. i) Να βρείτε τη συνολική ποσότητα καυσίµων που χρειάζεται για να διανύσει µια απόσταση 000 km µε σταθερή ταχύτητα υ. ii) Να βρείτε την τιµή του υ για την οποία έχουµε την οικονοµικότερη κατανάλωση καυσίµων, καθώς και την ποσότητα καυσίµων που χρειάζεται το όχηµα για να διανύσει τα 000km. Να σχολιάσετε αν η απάντηση στο ερώτηµα ii) είναι εφαρµόσιµη λόγω της µεγάλης απόστασης. i) Για να διανύσει 000km θα χρειαστεί 000 υ ώρες, άρα θα καταναλώσει Λ(υ) (6 + 0,000υ ) 000 υ Λ(υ) 6000 υ + 0, υ () ii) Λ (υ) 6000 υ + 0, υ 6000 υ + 0,υ Λ (υ) 0 6000 υ + 0,υ 0 λίτρα 6000 + 0,υ 0 0,υ 6000 υ 60000 υ 0000 υ 0000 0 0 km/h Λ (υ) > 0.. υ > 0 0 Το πρόσηµο της Λ και η µονοτονία της Λ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα υ 0 0 0 + Λ 0 + Λ γν. φθίν γν. αύξ Άρα η Λ παρουσιάζει ελάχιστο για υ 0 0 km/h (η οικονοµικότερη ταχύτητα) Η ποσότητα καυσίµων που χρειάζεται το όχηµα για να διανύσει τα 000km µε την οικονοµικότερη ταχύτητα είναι, από την (): Λ(0 0 ) 6000 0 0 + 0, (0 0 ) Σχολιασµός : εν είναι εφαρµόσιµη λόγω της µικρής ταχύτητας και της µεγάλης απόστασης.
8 9. ύο ηλεκτρικές αντιστάσεις πρέπει να έχουν άθροισµα 450 Ω. Πως πρέπει να επιλεγούν ώστε, όταν συνδεθούν εν παραλλήλω να δίνουν τη µέγιστη ολική αντίσταση; Έστω, y δύο αντιστάσεις µε + y 450 y 450 Όταν συνδεθούν εν παραλλήλω, η ολική αντίσταση θα είναι + y + 450 Θεωρούµε τη συνάρτηση α() + που εκφράζει την ολική αντίσταση 450 σε παράλληλη συνδεσµολογία α () ( ) + ( 450 ) - (450 ) (450 ) - (-) (450 ) (450 ) α () 0 (450 ) 0 (450 ) 0 (450 ) 450 450 5 α () > 0 > 5 Το πρόσηµο της α και η µονοτονία της α φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 5 450 α 0 + α γν. φθίν γν. αύξ Άρα η α παρουσιάζει ελάχιστο για 5
9 0. Το µεσηµέρι ένα ιστιοφόρο βρίσκεται 0 χιλιόµετρα βορείως ενός φορτηγού πλοίου. Το ιστιοφόρο ταξιδεύει νότια µε 40 km/h, και το φορτηγό ανατολικά µε 0 km/h. Αν η ορατότητα είναι 0 km, θα έχουν οι άνθρωποι οπτική επαφή σε κάποια στιγµή; Το µεσηµέρι ( χρονική στιγµή t 0 0 ), το πλοίο βρίσκεται σε θέση Π 0 και το ιστιοφόρο σε θέση Ι 0 ώστε ( Π0 Ι 0 ) 0. Σε χρόνο t, το πλοίο θα διανύσει απόσταση ( Π0Π) 0t και το ιστιοφόρο απόσταση ( Ι 0 Ι) 40t, άρα ( Π0Ι) ( Π0 Ι 0 ) ( Ι 0 Ι) Ι 0 Ι βοράς 0 40t 0( t) Πυθαγόρειο: (Ι Π) ( Π Ι ) + ( Π Π ) 0 0 Π 0 Π ανατολή [0( t)] + (0t) 400( 4t+ 4t ) + 400t 0 4t+ 4t + t 0 5t 4t+ Θεωρούµε τη συνάρτηση d(t) 0 d (t) 0 5t 4t+ (5 t 4t + ) 0 (0t 4) 5t 4t+ 5t 4t+ µε t > 0 που εκφράζει την απόσταση (Ι Π) d (t) 0 0t 4 0 t 5 d (t) > 0 0t 4 > 0 t > 5 Το πρόσηµο της d και η µονοτονία της d φαίνονται στον παρακάτω πίνακα t 0 /5 + Λ 0 + Λ γν. φθίν γν. αύξ Άρα η d παρουσιάζει ελάχιστο για t 5 Η ελάχιστη απόσταση d θα είναι d( 5 ) ( ) 0 0 5 4 + 5 5 5 4 4 + 5 5
0 0 4 8 + 5 0 5 5 5 5 0 5 0 5 5 4 5 6 5 80 < 00 0 Η ελάχιστη λοιπόν απόσταση τους είναι < της ορατότητας 0, άρα κάποια στιγµή θα έχουν οπτική επαφή.