ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό µητρώο. Συµπυκνώνει αρκετές πληροφορίες σχετικά µε το µητρώο... όπως κατά πόσο το µητρώο είναι οµαλό ή όχι.... υπολογίζεται τουλάχιστον όσο δύσκολα και η παραγοντοποίηση ΛΥ. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας
Οι απλές περιπτώσεις οριζουσών: n = 2, 3 ( α11 α 12 ) A = α 21 α 22 det(a)= α 11 α 12 α 21 α 22 := α 11α 22 α 21 α 12. Ιδιότητες Γραµµικότητα Η ορίζουσα είναι γραµµική συνάρτηση των στηλών (αντίστοιχα, των γραµµών) του µητρώου. α 11 α 12 + β 12 α 21 α 22 + β 22 = α 11 α 12 α 21 α 22 + α 11 β 12 α 21 β 22
Ιδιότητες Συµβολισµοί: Εστω A=[a1,...,an] το τετραγωνικό µητρώο µε στήλες aj. Τότε γράφουµε det(a) = det([a1,...,an]) Αν δύο στήλες είναι ίσες, τότε η ορίζουσα είναι ίση µε 0. Αν προσθέσουµε σε µία στήλη το πολλαπλάσιο µίας άλλης, η ορίζουσα δεν αλλάζει. Αν εναλλάξουµε δύο στήλες, η ορίζουσα µόνον αλλάζει πρόσηµο. Αν πολλαπλασιάσουµε µία στήλη µε ϐαθµωτό, η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται µε τον ίδιο ϐαθµωτό. Η ορίζουσα του ταυτοτικού µητρώου είναι ίση det(i)=1. Η ορίζουσα ενός τριγωνικού µητρώου ισούται µε το γινόµενο των στοιχείων στη (κύρια) διαγώνιο. Ο,τι ισχύει για στήλες ισχύει και για γραµµές! Ελάσσον µητρώο και αλγεβρικό συµπλήρωµα Εστω A R n n µε στοιχεία α ij. Το µητρώο Aij R (n 1) (n 1) που σχηµατίζεται αν διαγράψουµε τη γραµµή i και τη στήλη j λέγεται ελάσσον (minor) του στοιχείου α ij. Το στοιχείο ψ ij :=( 1) i+j det(aij) λέγεται συµπαράγοντας ή αλγεβρικό συµπλήρωµα του α ij.
Ορίζοντας την ορίζουσα Γνωρίζουµε τον τύπο όταν n=2. Για n=3, α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 := α 11 α 22 α 23 α 32 α 33 α 12 α 21 α 23 α 31 α 33 + α 13 α 21 α 22 α 31 α 32 Ορίζουσα από αλγεβρικά συµπληρώµατα det(a):= α i1 ψ i1 + α i2 ψ i2 + +α in ψ in όπου ψ ij :=( 1) i+j det(aij). Ισοδύναµοι ορισµοί Μεγάλος τύπος det(a) = π S det(p)α1π(1) αnπ(n) όπου S είναι το σύνολο των n! µεταθέσεων των στοιχείων(1,...,n). Από οδηγούς Προσέξτε: ( α11 α 12 α 21 α 22 ) = ( 1 0 α 21 α 1 11 1 )( α11 α 12 0 α 22 α 21 α 1 11 α 12 ) και det(a) = α 11 (α 22 α 21 α 1 11 α 12) που ειναι
Κανόνας Cramer και επίλυση γραµµικών συστηµάτων Αν Ax = b τότε κάθε στοιχείο του x µπορεί να υπολογιστεί µε τον κανόνα Cramer που εκφράζεται ως εξής: Εστω οι στήλες a1,...,an τ.ώ. det([a1,...,an]) 0. Εστω επίσης ϐαθµωτοί ξ 1,...,ξ n τ.ώ. b=ξ 1 a1+ +ξ n an. Τότε για κάθε j = 1,...,n ισχύει ότι ξ j = det([a 1,...,aj 1,b,aj+1,...,an]) det([a1,...,an]) Κριτική Γιατί δεν χρησιµοποιούµε τον κανόνα Ο υπολογισµός των οριζουσών είναι ακριβός... εκτός αν την υπολογίσουµε µέσω LU... οπότε δεν υπάρχει λόγος να χρησιµοποιήσουµε τον κανόνα... γιατί από την LU ϐρίσκουµε τη λύση µε µπρος και πίσω αντικατάσταση, πιο ϕθηνά!
Και άλλες πολύ χρήσιµες ιδιότητες Αν οι στήλες ή γραµµές του A R n n είναι γραµµικά εξαρτηµένες τότε det(a)=0. det(a)=det(a ) det(ab) = det(a)det(b) ΠΡΟΣΟΧΗ Η τελευταία ιδιότητα αποκαλύπτει έναν τρόπο υπολογισµού του det(a) που έχει περίπου όσες πράξεις χρειάζεται η παραγοντοποίηση LU. Πώς; Αν A=PLU τότε det(a) = det(p) det(l) det(u) }{{} =1 = ( 1) κ det(u)=( 1) κ υ 11 υ 22 υ nn. όπου κ ο αριθµός των εναλλαγών που έχουν γίνει για να µετατραπεί το I σε P. Γεωµετρική ερµηνεία Η ορίζουσα ως εµβαδόν (n=2) ή όγκος (n=3) Το εµβαδόν που περιλαµβάνεται στο παραλληλόγραµο που ϐρίσκεται στο διάνοιγµα δύο διανυσµάτων x,y R 2 είναι ίσο µε (την απόλυτη τιµή) det(x,y).
Από τις ορίζουσες στις permanents Για ϕανατικούς! perm(a):= π S α1π(1) αnπ(n) όπου S είναι το σύνολο των n! µεταθέσεων των στοιχείων(1,...,n). Ενώ η ορίζουσα µπορεί να υπολογιστεί µε O(n 3 ) πράξεις, µέσω της παραγοντοποίησης LU, ο υπολογισµός της perm(a) απαιτεί πολύ µεγάλο πλήθος πράξεων (µεγαλύτερο από πολυωνυµικό)! Ο πιο γνωστός αλγόριθµος (Ryser) για τον ακριβή υπολογισµό απαιτεί O(n2 n ) πράξεις!!! Ερευνητικό πρόβληµα: Επινόηση γρήγορων αλγορίθµου για την αποτελεσµατική προσέγγιση της permanent σε πολυωνυµικό χρόνο. Πρόβληµα ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων (Algebraic Eigenvalue Problem) Περιγραφή Για δοθέν µητρώο A R n n, αναζητούµε ϐαθµωτούς λ (ιδιοτιµή) και αντίστοιχα διανύσµατα x 0 (ιδιοδιάνυσµα) τ.ώ. Ax = λx. Ερωτήµατα Υπάρχουν; Τι χαρακτηριστικά έχουν; Γιατί µας ενδιαφέρουν; Πώς τα υπολογίζουµε;
Για τις ιδιοτιµές Προσέξτε: Αν Ax = λx (A λi)x = 0 εποµένως το A lambdai δεν είναι αντιστρέψιµο, άρα det(a λi)=0 Ας εξετάσουµε πώς µοιάζει το det(a λi): Αν A λi = ( α11 λ α 12 α 21 α 22 λ ) det(a λi) = (α 11 λ)(α 22 λ) α 21 α 12 = λ 2 (α 11 + α 22 )λ+α 11 α 22 α 21 α 12. Το det(a λi) είναι πολυώνυµο 2ου ϐαθµού ως προς λ. Οταν A R 3 3 Αν γνωρίζετε πώς να υπολογίζετε ορίζουσες, τότε µπορείτε να δείξετε ότι αν A R 3 3, τότε det(a λi)=( 1) 3 λ 3 + γ 2 λ 2 + γ 1 λ+γ 0 είναι πολυώνυµο 3ου ϐαθµού ως προς λ. Γενικότερα για πραγµατικά ή µιγαδικά µητρώα n n οθέντος A K n n, det(a λi)=( 1) n λ n + n 1 j=0 γ j λ j είναι πολυώνυµο ϐαθµού n ως προς λ. Προσέξτε ότι ο συντελεστής του λ n έχει πάντα µέτρο 1.
Χαρακτηριστικό πολυώνυµο και ιδιοτιµές Προσοχή: οθέντος A K n n, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A, είναι το πολυώνυµο ϐαθµού n, p(λ) = det(a λi). Οι ιδιοτιµές του A είναι οι ϱίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του. 1 Υπάρχουν ακριβώς n ιδιοτιµές (µε τις πολλαπλότητές τους) {λ 1,λ 2,...,λ n }. 2 Κάθε ιδιοτιµή µπορεί να είναι πραγµατική ή µιγαδική. 3 Οι ιδιοτιµές µπορεί να είναι µονές ή πολλαπλές. 4 Οταν το µητρώο είναι πραγµατικό, οι µιγαδικές ιδιοτιµές εµφανίζονται ω συζυγή Ϲεύγη. 5 Γενικά, όταν n 5 δεν µπορούν να υπολογιστούν από τύπο µε ϱιζικά Abel, Ruffini 1824, Galois posth. 1846. Για το πρόβληµα ιδιοτιµών Ιδιοτιµές του A είναι οι n ϱίζες του χαρακτηριστικού πολυώνυµου det(a λi)=0 Φάσµα ονοµάζεται το σύνολο των ιδιοτιµών, συχνά συµβολίζεται σ(a) ήλ(a). Η πολλαπλότητα της κάθε ϱίζας του p(λ) ονοµάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ. γ 0, Ax = λx (γa)x =(γλ)x
Ιδιοδιανύσµατα Για κάθε ιδιοτιµή λ, ιδιοδιάνυσµα ονοµάζεται το µη µηδενικό διάνυσµα x για το οποίο Ax = λx. Μία ιδέα υπολογισµού ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 Εύρεση του χαρακτηριστικού πολυωνύµου 2 Υπολογισµός των ϱιζών του (ιδιοτιµές) 3 Για κάθε ιδιοτιµή, επίλυση του(a λi)x = 0 ως προς ιδιοδιάνυσµα x ΠΡΟΣΟΧΗ γ 0, Ax = λx A(γx)=λ(γx). Εποµένως, κάθε ιδιοδιάνυσµα δεν είναι µοναδικό! Ενδιαφέρει η κατεύθυνση αλλά µπορούµε και να κανονικοποιήσουµε για να αποκτήσουµε µοναδικότητα