ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ ΟΜΑ Α Β 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Έστω µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η είνι συνεχής στο ι γι άθε εσωτεριό σηµείο του ισχύει, ν ποδείετε ότι η είνι στθερή σε όο το διάστηµ Μονάδες Β Πότε µί συνάρτηση έγετι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 5 Γ Ν χρτηρίσετε τις προτάσεις που οουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε άθε πρότση τη έη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι νθσµένη Αν z, z είνι µιγδιοί ριθµοί, τότε ισχύει: z z z z Μονάδες β Μί συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α έµε ότι προυσιάζει οιό εάχιστο στο A, ότν γι άθε A Μονάδες συν γ Μονάδες δ Κάθε συνάρτηση συνεχής σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της είνι ι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό Μονάδες ε Αν µί συνάρτηση είνι συνεχής σε έν διάστηµ [, β] ι ισχύει < γι άθε [, β], τότε το εµβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφιή πράστση της, τις ευθείες, β ι τον άον είνι: ΘΕΜΑ ο E Ω β Θεωρούµε τους µιγδιούς ριθµούς: z i, Μονάδες Α Ν βρείτε την είσωση της ευθείς πάνω στην οποί βρίσοντι οι ειόνες των µιγδιών ριθµών z, γι τις διάφορες τιµές του Μονάδες 9 Τεχνιή Επεεργσί: Keysone
β Από τους πρπάνω µιγδιούς ριθµούς ν ποδείετε ότι ο µιγδιός ριθµός z i έχει το µιρότερο δυντό µέτρο Μονάδες 8 Β Ν βρεθούν οι µιγδιοί ριθµοί w οι οποίοι ινοποιούν την είσωση w w z όπου z ο µιγδιός ριθµός που νφέρετι στο προηγούµενο ερώτηµ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο ίνετι η συνάρτηση: όπου > ι ln, >, A Αν ισχύει γι άθε > ν ποδείετε ότι e Β Γι e, ν ποδείετε ότι η συνάρτηση είνι υρτή Μονάδες 8 Μονάδες 5 β ν ποδείετε ότι η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ, ] ι γνησίως ύουσ στο διάστηµ [, Μονάδες 6 γ ν β, γ,,, ν ποδείετε ότι η είσωση: β έχει τουάχιστον µι ρίζ στο, γ Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 4ο Έστω µί συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει: Ορίζουµε τις συνρτήσεις:, [, ],, 6,, ] Τεχνιή Επεεργσί: Keysone
Ν ποδείετε ότι η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] Μονάδες 5 β Ν ποδείετε ότι η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, ι ότι ισχύει: ', < < Μονάδες 6 γ Ν ποδείετε ότι υπάρχει ένς ριθµός, τέτοιος ώστε ν ισχύει Η Μονάδες 7 δ Ν ποδείετε ότι υπάρχει ένς ριθµός, τέτοιος ώστε ν ισχύει: Μονάδες 7 Τεχνιή Επεεργσί: Keysone
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί - Θεώρηµ σείδ 5 σχο βιβίου Β Θεωρί - Ορισµός σείδ σχο βιβίου Γ Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Λάθος ΘΕΜΑ ο Α Έστω z yi ι Μ, y η ειόν του Τότε yi i Άρ ι y Έτσι όµως y y ηδή οι ειόνες των µιγδιών z βρίσοντι στην ευθεί ε : y β Ο µιγδιός z µε το µιρότερο µέτρο έχει ειόν το σηµείο Μ γι το οποίο είνι ΟΜ ε y : ε y- O M - y Αφού ΟΜ ε ε OM OΜ OΜ Άρ η είσωση της ΟΜ είνι: y Τεχνιή Επεεργσί: Keysone 4
Οι συντετγµένες του Μ σηµείου τοµής των ΟΜ, ε προύπτουν πό τη ύση του συστήµτος των εισώσεων y, y Εποµένως M : y y y y Άρ Μ, ι z i Β Έστω w y i, µε, y R Η είσωση w w z γράφετι y y i i y y i i y ι y ι y 4 ή ι y Άρ w 4 i ή w i ΘΕΜΑ ο Α Ισχύει ότι γι άθε > ηδή ln γι άθε > Όµως, οπότε γι άθε > Εποµένως η προυσιάζει στη θέση οιό, άρ ι τοπιό εάχιστο το Αόµη η είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων Άρ σύµφων µε το θεώρηµ Ferm είνι Όµως ln, οπότε ln e B Γι e είνι e ln Η είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο διάστηµ, µε e e > γι άθε, Άρ η είνι υρτή e ι β Αφού η είνι υρτή στο, προύπτει ότι η είνι γνησίως ύουσ στο,, µε προφνή ρίζ που είνι ι µονδιή φού η είνι γνησίως ύουσ Έτσι ν < < <, ενώ ν > > ηδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ, ] ι γνησίως ύουσ στο διάστηµ [, β γ γ Η δοσµένη είσωση ισοδύνµ γράφετι: Τεχνιή Επεεργσί: Keysone 5
Θεωρούµε τη συνάρτηση g β γ, µε [, ] g είνι συνεχής στο R ως πουωνυµιή άρ ι στο [, ] g β β β <, διότι οιό εάχιστο της ι β, g γ γ >, επίσης διότι οιό εάχιστο της ι γ *Πιο νυτιά είνι β < διότι: Αν β, επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ υτό ισχύει: < β < β > β < Αν β,, επειδή η είνι γνησίως ύουσ στο διάστηµ υτό ισχύει: < β > β Οµοίως προύπτει γ > Άρ g g <, οπότε όγω του θεωρήµτος Bolzno υπάρχει, ώστε g β γ β Άρ η δοσµένη είσωση έχει µι τουάχιστον ρίζ στο, *Πρτήρηση: Θέτοντς χάριν συντοµίς β > ι γ > θ µπορούσν ν δοθούν ι οι πράτω ύσεις: Η συνάρτηση h µε πεδίο ορισµού το, έχει όρι ι ντίστοιχ ότν ι ενώ ποδεινύετι πού εύο ότι είνι ι γνησίως φθίνουσ στο,, διότι h < γι άθε,, άρ έχει σύνοο τιµών το h, h, ι άρ το µηδέν περιέχετι στο σύνοο τιµών της δηδή η h έχει τουάχιστον µι ρίζ στο, Επίσης εντιά πό το ότι η h έχει όρι ι ντίστοιχ ότν ι, προύπτει ότι υπάρχουν ριθµοί γ, δ ώστε < γ < δ < µε γ > ι δ < οπότε όγω του θεωρήµτος Bolzno στο διάστηµ γ, δ υπάρχει ρίζ της είσωσης h Τεχνιή Επεεργσί: Keysone 6
Τεχνιή Επεεργσί: Keysone 7 β Αγεβριή ύση: Θέτοντς,, προύπτει Η τιµή υτή είνι ποδετή ως ρίζ της είσωσης φού < < ι είνι µάιστ µονδιή ρίζ ΘΕΜΑ 4 ο Η συνεχής στο [, ] άρ ι η είνι συνεχής στο [, ] Εποµένως η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο [, ], άρ είνι ι συνεχής Η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο [, ] φού η είνι συνεχής στο [, ] Άρ η είνι συνεχής στο, ] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων Εετάζουµε τη συνέχει της συνάρτησης στη θέση Είνι, διότι: ' ' DL είνι, φού η είνι συνεχής στο [, ], ι διότι η συνάρτηση είνι συνεχής, άρ η πργωγίσιµη άρ ι συνεχής Επίσης 6 6 6 6 6 Οπότε
Άρ η συνάρτηση είνι συνεχής ι στο Εποµένως η είνι συνεχής στο [, ] β Στο διάστηµ, είνι: η συνάρτηση Η πργωγίσιµη φού η είνι συνεχής, µε Η η συνάρτηση πργωγίσιµη ως πουωνυµιή µε Άρ ι η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη ως πηίο πργωγισίµων συνρτήσεων µε: Επίσης στο ίδιο διάστηµ, φού η είνι συνεχής συνάρτηση θ είνι πργωγίσιµη ι η συνάρτηση µε Άρ η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε:, < < γ Η συνάρτηση είνι συνεχής στο [, ] ι πργωγίσιµη στο,, µε πό το β ερώτηµ Βρίσουµε την τιµή της στη θέση : Όµως Έτσι όγω της είνι Ισχύουν εποµένως γι τη συνάρτηση οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Rolle στο διάστηµ [, ], άρ υπάρχει έν τουάχιστον, τέτοιο ώστε Όµως πό β ερώτηµ Άρ είνι Η Τεχνιή Επεεργσί: Keysone 8
Τεχνιή Επεεργσί: Keysone 9 δ Η συνάρτηση είνι συνεχής στο [, ] ι πργωγίσιµη στο, Άρ ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής Εποµένως υπάρχει έν τουάχιστον, : *β τρόπος: Αρεί ν δειχθεί ότι υπάρχει ρίζ στο,, µε, γι την είσωση: Θεωρούµε τη συνάρτηση P ρχιή της, γι την οποί έχουµε : είνι συνεχής στο [, ως άθροισµ της συνεχούς πό το ερώτηµ ι της πουωνυµιής β είνι πργωγίσιµη στο, ως άθροισµ της πργωγίσιµης πό το β ερώτηµ ι της πουωνυµιής, µε P γ Ρ Ρ διότι Ρ ι P
Έτσι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Rolle ι άρ υπάρχει, ώστε P P, δηδή ποδείχθηε ότι η είσωση έχει ρίζ, Τεχνιή Επεεργσί: Keysone