Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς
o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις f, g ειναι παραγωγισιμες στο, να αποδειξετε οτι (f(x )+ g(x)) = f (x) + g (x), x Μοναδες 7 A. Ποτε λεμε οτι μια συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο σημειο x0 του πεδιου ορισμου της; Μοναδες 4 A3. Αν x, x,..., xν ειναι οι παρατηρησεις μιας ποσοτικης μεταβλητης Χ ενος δειγματος μεγεθους ν και w, w,..., w ν ειναι οι αντιστοιχοι συντελεστες σταθμισης (βαρυτητας), να ορισετε τον σταθμικο μεσο της μεταβλητης Χ. Μοναδες 4 A4. Να χαρακτηρισετε τις προτασεις που ακολουθουν, γραφοντας στο τετραδιο σας διπλα στο γραμμα που αντιστοιχει σε καθε προταση τη λεξη Σωστο, αν η προταση ειναι σωστη, η Λαθος, αν η προταση ειναι λανθασμενη. α) Εαν για τη συναρτηση f ισχυει f (x0) = 0, για x0 (α, β), f (x) > 0 στο (α, x0) και f (x) < 0 στο (x0, β), τυοτε η f παρουσιαζει ελαχιστο στο διαστημα (α, β) για x = x0. (μοναδες ) β) Ενα τοπικο ελαχιστο μιας συναρτησης στο πεδιο ορισμου της μπορει να ειναι μεγαλυτερο απο ενα τοπικο μεγιστο (μοναδες ) γ) Η διακυμανση των παρατηρησεων μιας ποσοτικης μεταβλητης Χ εκφραζεται με τις ιδιες μοναδες με τις οποιες εκφραζονται οι παρατηρησεις. (μοναδες ) δ) Αν για τους συντελεστες μεταβολης των δειγματων Α και Β ισχυει CVB > CVA, τοτε λεμε οτι το δειγμα Β εμφανιζει μεγαλυτερη ομοιογενεια απο το δειγμα Α. (μοναδες ) ε) Αν Α, Β ειναι ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω, τοτε η εκφραση «η πραγματοποιηση του Α συνεπαγεται την πραγματοποιηση του Β» δηλωνει οτι Α Β. (μοναδες ) Μοναδες 0
o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) Α. Εστω η συναρτηση F(x) = f(x) + g(x). Εχουμε F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) (f(x h) f(x)) (g(x h) g(x)), και για Επομενως h 0, F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x). h h h F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) lm lm lm f (x) g (x). h h h h 0 h 0 h 0 Άρα (f(x) g(x)) f (x) g (x) Α. f(x h) f(x ) 0 0 Αν το οριο lm υπαρχει και ειναι πραγματικος αριθμος, τοτε h 0 h λεμε οτι η f ειναι παραγωγισιμη στο σημειο x του πεδιου ορισμου της. Το 0 οριο αυτο ονομαζεται παραγωγος της f στο x0, συμβολιζεται με f (x ) και 0 διαβαζεται f τονουμενο του x. 0 Εχουμε λοιπον: Α3. f(x h) f(x ) 0 0 f (x ) lm 0 h 0 h x x w x w... x w xw w w... w w Α4. α) Λαθος β) Σωστο γ) Λαθος δ) Λαθος ε) Σωστο
o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) 3 Eστω Α, Β και Γ ενδεχομενα ενός δειγματικου χωρου Ω. Οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Α Β και Α Β ανηκουν στο συνολο λυσεων της εξισωσης (3x )(8x 6x + ) = 0 Η πιθανοτητα του ενδεχομενου Γ ανηκει στο συνολο λυσεων της εξισωσης 9x 3x - = 0 B. Να αποδειξετε οτι Ρ(α) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Α Β) = 3 4 Μοναδες B. Να υπολογισετε την πιθανοτητα P(A B ), καθως επισης και την πιθανοτητα του ενδεχομενου Δ: «πραγματοποιειται το πολυ ενα απο τα ενδεχομενα Α και Β». Μοναδες 8 B3. Να υπολογισετε την πιθανοτητα του ενδεχομενου Ε: «πραγματοποιειται μονο ενα απο τα ενδεχομενα Α και Β». Μοναδες 6 B4. Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Β και Γ ειναι ασυμβιβαστα. Μοναδες 6
o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) 4 3x 0 3 4 4 3 8x 6x 0 (3x )(8 x 6x ) 0 η x η x η x με x 0 απορριπτεται 3 x ( ) 3 3 Δ = 8 9x 3x 0 Β. Για τα Β. ενδεχομενα Α, Β του δειγματικου χωρου Ω ειναι : Α Β Α Α Β (Α Β) (Α) (Α Β) Οποτε, (Α Β), (Α), (Α Β) 4 3 Β. (Α Β) (Α) (Β) - (Α Β) (Β) - (Β) = 3 4 Ρ(Α'- Β') = (Α') - (Α' Β') = - (Α) - [(Α Β)'] = - (Α) -+ (Α Β) = - = 3 6 3 ( ) [(Α Β)'] - (Α Β) - 4 4 Β3. Α-Β, Β-Α ( ) [(Α - Β) (Β - Α)] (Α - Β) (Β - Α) ( ) (Β) - (Α Β) = ασυμβιβαστα = - = 3 4 4 Β4. 3 (Β) (Γ) 3 Οποτε τα ενδεχομενα Β και Γ δεν ειναι ασυμβιβαστα.
3o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) Θεωρουμε ενα δειγμα ν παρατηρησεων μιας συνεχους ποσοτικης μεταβλητης Χ, τις οποιες ομαδοποιουμε σε ισοπλατεις κλασεις, οπως παρουσιαζονται στον Πινακα Ι, οπου f %, =,, 3, 4, ειναι οι σχετικες συχνοτητες επι τοις εκατο των αντιστοιχων κλασεων. Θεωρουμε οτι οι παρατηρησεις καθε κλασης ειναι ομοιομορφα κατανεμημενες. Δινεται οτι : Το ποσοστο των παρατηρησεων του δειγματος που ειναι μικροτερες του 0 ειναι 0%. Το ποσοστο των παρατηρησεων του δειγματος που ειναι μεγαλυτερες η ισες του 6 ειναι 30%. Στο κυκλικο διαγραμμα σχετικων συχνοτητων, η γωνια του κυκλικου τομεα που αντιστοιχει στην 3η κλαση ειναι 08 ο. Η μεση τιμη των παρατηρησεων του δειγματος ειναι x = 4. Γ. Να αποδειξετε οτι f % = 0, f % = 0, f3 % = 30, f4 % = 0, f % = 30. Δεν ειναι απαραιτητο να μεταφερετε στο τετραδιο σας τον Πινακα Ι συμπληρωμενο. Μοναδες 6 Γ. Να εξετασετε αν το δειγμα των παρατηρησεων ειναι ομοιογενες. Δινεται οτι 6,6,7 Kλασεις f % [8, 0) [0, ) [, 4) [4, 6) [6, 8) Μοναδες 7 Γ3. Εστω x, x, x3 και x4 τα κεντρα της ης, ης, 3 ης και 4 ης κλασης αντιστοιχα και ν, ν, ν3 και ν4 οι συχνοτητες της ης, ης, 3 ης και 4 ης κλασης αντιστοιχα. Αν 4 x ν = 780, να βρειτε το πληθος ν των παρατηρη = σεων του δειγματος. Μοναδες Γ4. Εστω α, α, α3, α4, α πεντε τυχαια επιλεγμενες παρατηρησεις διαφορετικες μεταξυ τους απο το παραπανω δειγμα ν παρατηρησεων. Ορι- ζουμε ως α τη μεση τιμη των πεντε αυτων παρατηρησεων και Sα την τυπικη τους αποκλιση. Εαν α - α β = για =,, 3, 4,, να δειξετε οτι η μεση τιμη β του δειγ S α ματος β, =,, 3, 4, ειναι ιση με 0 και η τυπικη του αποκλιση Sβ ειναι ιση με. Μοναδες 7
3o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) 6 Γ. f % = 0 f = 0,0 (υποθεση) f % = 30 f = 0,30 (υποθεση) α = 08 f 360 = 08 f = 0,30 0 0 0 3 3 3 f = f = f = f = f = f + f = 0,30 f = 0,30 - f () 3 4 4 4 x = 4 x f + x f + x f + x f + x f = 4 4 3 3 4 4 90,0 + (0,30 - f ) +30,30 +f +7 0,30 = 4... f = 0,0 και f = 0,0 4 4 Γ. s (x - x) f = ι= = (9-4) 0,+ ( -4) 0,+ (3-4) 0,3 + ( -4) 0, + (7-4) 0,3 = 6,6 s 6,6,7 Αρα s = 6,6 και CV = = = 0,8 0, x 4 4 Δηλαδη το δειγμα δεν ειναι ομοιογενες. Γ3. ν f= ν = f ν 4 ν 4 x ν = 780 x f ν = 780 ι= ι= ν (9 0,+ 0,+ 3 0,3 + 0,) = 780 8,9ν = 780 ν = 00 Γ4. ι = α - α α - α α - α α - α α - α 3 4 α - α ι= β = Σβ = + + + + = ι= S S S S S α α α α α S α α = α α - α 0 S α β = 0 α - α s (β -β) = β β ι= ι= ι= S α Αρα s β (α - α) S ι= α S S α α
4o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) 7 Δινεται κυκλος (Ο, ρ) με κεντρο Ο και ακτινα ρ = και ορθογωνιο ΑΒΓΔ εγγεγραμμενο στον κυκλο αυτον με πλευρα ΑΒ = x, οπως φαινεται στο Σχημα Ι. A x B. O Δ Γ Δ. Να αποδειξετε οτι το εμβαδον του ορθογωνιου ΑΒΓΔ, ως συναρτηση του x, δινεται απο τον τυπο f(x) = x 00 - x, 0 < x < 0. Μοναδες 4 Δ. Να βρειτε την τιμη του x για την οποια το εμβαδον του ορθογωνιου ΑΒΓΔ γινεται μεγιστο. Για την τιμη αυτην του x, δειξτε οτι το ορθογωνιο ΑΒΓΔ ειναι τετραγωνο. Μοναδες f(+ x) - 99 Δ3. Να υπολογισετε το οριο lm x 0 98 x Μοναδες 8 Δ4. Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. Αν P(A - B) > 0, να δειξετε οτι P(A - B) P(A) f f 00 - P (A) 00 - P (A - B) Μοναδες 8
4o ΛΥΣΗ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) 9 Δ. 0 Η ΒΔ ειναι διαμετρος (Α = 90 ) οποτε απ'το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΑΒΔ : ρ= ΑΒ + ΑΔ = ΒΔ x + ΑΔ = 00 00 x με 00 x 0 αφου 0 < x < 0 Το εμβαδον του ορθογωνιου ειναι : Ε = ΑΒ ΑΔ = x 00 x Οποτε f(x) = x 00 x Δ. H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο (0, ) με f'(x) = x' 00 - x + x ( 00 - x )' = 00 - x + x -x 00 - x = 00 - x 00 - x f'(x) = 0 00 - x = 0 00 - x = 0 x = 0 x = 00 - x f'(x) > 0 00 - x > 0 00 - x > 0 x < 0 x < : f γν. αυξουσα 00 - x f'(x) < 0 00 - x < 0 00 - x < 0 x > 0 x > : f γν. φθινουσα 00 - x Δηλαδη η f παρουσιαζει μεγιστο για x = To εμβαδον γινεται μεγιστο για x =, οποτε ΑΔ = 00-0 = 0 = = x Aρα για x = το τετραπλευρο ειναι τετραγωνο. Δ3. 00 98 98 99 f() = 00 = 99 f '() = = = x 0 x 0 00 f(+ x) - 99 f(+ x) - f() lm = lm = f '() = 98x 98 + x - 98 98 Δ4. 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 00 00 ( ) 99 00 00 ( ) 99 0 00 ( ) 99 99 99 98 99 99 99 99 0 00 ( ) 99
Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) 0 4o ΛΥΣΗ 99 0 0 99 00 ( ) 00 ( ) 99 0 0 00 ( ) 99 00 ( ) 0 00 ( ) 00 ( ) H f ειναι γν. αυξουσα στο (0, ) αρα και στο (0, ]. Ετσι Α - Β Α Ρ(Α - Β) ( Α) f(ρ(α - Β)) f( (Α)) Ρ(Α - Β) 00 Ρ (Α - Β) Ρ(Α) 00 Ρ (Α) Ρ(Α - Β) 00 Ρ (Α - Β) πολλαπλασιαζουμε με Ρ(Α) 00 Ρ (Α) 00 ( ) 00 ( ) 00 ( ) 00 ( ) 00 ( ) 00 ( ) f f Ρ(Α - Β) Ρ(Α) f Ρ(Α - Β) Ρ(Α) στο (0, ] 00 ( ) 00 ( ) 00 ( ) 00 ( )