Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 48) Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση Αν {,,, } και {,,, } σύνολα διανυσµάτων του p p p ν q q q ν ν R, αποδείξατε ότι τα διανύσµατα p ν είναι ορθοκανονικά του R q, Λύση : Για κάθε i, j =,,, ν έχουµε : p q,, pν qν p i j p p i j p j = = pi q i q i j q q i j qj p q είναι ορθοκανονικά και = ( pi p j+ qi q j) = ( pi p j+ qi q j) = pi = + = + = + qi ( pi pi qi qi) ( pi qi ) ( ) =
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Άσκηση Βρείτε µια ορθοκανονική βάση του χώρου W span { η, η, η } =, όπου η [ ] =, η [ ] = και [ ] η = Λύση : Εφαρµόζοντας τη διαδικασία ορθογωνοποίησης Gram-Schmidt (σελ ) έχουµε ξ = η = [ ] ξ ξ ξ ξ ξ ξ η ξ ξ = η ξ = + = 6 η ξ η ξ ξ = η ξ ξ [ ] [ ] [ ] = + + 6 = [ ] [ ] [ ] Τα διανύσµατα [ ] = = 6 είναι ορθοκανονική βάση του W ξ, ξ [ ], = [ ] ξ Άσκηση Βρείτε µια ορθοκανονική βάση του υποχώρου του Λύση : Από την ισότητα { [ ] } : E = R + + = = έχουµε: [ ] = [ ] + [ ] Τα διανύσµατα η [ ] =, [ ] = E R η είναι βάση του υπόχωρου και σύµφωνα µε τη διαδικασία ορθογωνοποιήσεως Gram-Schmidt (σελ ) τα διανύσµατα [ ] ξ = ξ = [ ] [ ] = είναι κάθετα Ορθοκανονική βάση του υπόχωρου είναι τα διανύσµατα
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από ξ [ ] =, ξ = 6 6 Άσκηση 4 Αν span [ ] ερµηνεύσατε γεωµετρικά τον υπόχωρο E =, βρείτε µια βάση του E και E Λύση : Ο υπόχωρος E είναι το σύνολο των διανυσµάτων τέτοια ώστε [ ] = + = Συνεπώς E { = } [ ] Από την ισότητα = : + = + :, R [ ] + = [ ] + [ ] συµπεραίνουµε ότι τα διανύσµατα η = [ ], = [ ], η είναι βάση του Τα διανύσµατα η, η και το σηµείο ορίζουν το επίπεδο που είναι E κάθετο στο διάνυσµα [ ] Άσκηση 5 είξατε ότι το σύνολο είναι υπόχωρος του { R :, 5 } E = + = + = R και βρείτε µια βάση του E Λύση : Το σύνολο είναι υπόχωρος, γιατί αν = και E [ ] [ ] ' = ' ' ' είναι στοιχεία του E, το διάνυσµα διότι k +λ = k+λ k+λ k+λ E ( ) ( ) ( ) ( ) k+λ + k+λ k+λ = k+ +λ + =
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 4 από και ( ) ( ) ( ) ( ) k +λ 5 k +λ + k +λ = k 5 + +λ 5 + = Η λύση του συστήµατος ορίζει το χώρο = span [ 4] + = = 5 + = = 4 Ε Αν [ ] α β γ E έχουµε και τότε [ ] [ ] α β γ 4 = α+β+ 4γ = [ α β γ ] = [ β 4γ β γ ] =β[ ] +γ[ 4 ] Συνεπώς τα γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα [ βάση του E ], [ 4 ] είναι Άσκηση 6 Βρείτε µια ορθοκανονική βάση του Λύση : Τα διανύσµατα [ Αν [ ] α β γ δ E έχουµε E, όπου { [ ] [ ] } Ε = span, ] [ ] [ ], [ ] είναι βάση του E α β γ δ = α γ+ δ= (*) [ ] [ ] (**) α β γ δ = α+β+γ = Το σύστηµα των εξισώσεων (*) και (**) έχει λύση β = δ και α=γ δ Τότε, [ α β γ δ ] = [ γ δ δ γ δ ] = γ [ ] +δ[ ] τα δε διανύσµατα η [ ] =, [ ] η = είναι βάση του Με τη µέθοδο ορθογωνοποίησης βρίσκουµε τα κάθετα διανύσµατα, E
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 5 από και κατά συνέπεια ξ [ ] =, [ ] ξ = του E ξ = = [ ], ξ = = [ ] ξ ξ είναι ορθοκανονική βάση του ξ ξ 7 7 Άσκηση 7 Αν 5 5, 5 5 είναι βάση του χώρου Ε, να βρείτε την προβολή του διανύσµατος = [ 4 ] Ποια είναι η απόσταση του σηµείου από το χώρο Ε; Λύση : Αν ' [ ] επί του Ε = είναι η προβολή του επί του Ε, το διάνυσµα και θα έχουµε [ ] ' = 4 E, ( ') =, 5 5 ( ') = 5 5 Από τις ισότητες αυτές προκύπτει το γραµµικό σύστηµα Επιπλέον είναι + = = + = 5 = λ + λ λ +λ ' =λ +λ = 5 5 5 5 5 5 ισότητα αυτή συµπεραίνουµε Από την = και κατά συνέπεια [ ] ' = Η απόσταση του σηµείου από τον χώρο Ε είναι [ ] ' = 4 = 4 Άσκηση 8 Βρείτε την απόσταση του σηµείου (,, ) από το επίπεδο
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 6 από y+ z = Λύση : Θα βρούµε πρώτα µια βάση του επιπέδου Για το τυχαίο διάνυσµα στο επίπεδο είναι [ y z] = [ y y ] = [ ] + y[ ] Από την ισότητα αυτή συµπεραίνουµε ότι τα διανύσµατα [ ], [ ] είναι βάση του επιπέδου και συνεχίζουµε όπως στην άσκηση 6 Ένας άλλος τρόπος είναι να βρούµε το µέτρο της προβολής του διανύσµατος α = [ ] στο κάθετο διάνυσµα του επιπέδου Από την εξίσωση του επιπέδου y z έχουµε, ότι το διάνυσµα + = [ ] ε = είναι κάθετο στο επίπεδο, δηλ ο χώρος span{ ε } είναι το ορθογώνιο συµπλήρωµα του επιπέδου Η προβολή του διανύσµατος α επί του span{ ε } είναι ε ε α ε συνφ α ε α = OA = α συνφ = ε= ε ε ε ε ε = ε = [ 4 7 4 ] 4 Η απόσταση του σηµείου από το επίπεδο είναι α = 4 Άσκηση 9 Αν = [ 6] και = [ 7 ] άθροισµα διανύσµατος του υποχώρου ε, γράψτε το διάνυσµα σαν span{ ε } και ενός διανύσµατος καθέτου στο ε Υπολογίστε την απόσταση του και είναι παράλληλη του ε από την ευθεία που περνά από την αρχή Λύση : Στο το διάνυσµα R [ ] η = α β, που είναι κάθετο στο ε, βρίσκεται από την ισότητα [ ] [ ] η [ ] η ε = 7α+β= α 7α =α 7 = 7 Από την εξίσωση [ ] ε η 6 [ 7 ] [ 7] η δε λύση του συστήµατος =λ +µ =λ +µ,
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 7 από 7λ + µ λ 7µ = = 6 λ = 5, µ = 45, ορίζει τη ζητούµενη ανάλυση του διανύσµατος Η ευθεία που περνά από την αρχή και είναι παράλληλη του y = 7y= 7 ε έχει εξίσωση Η απόσταση του σηµείου από την ευθεία, σύµφωνα µε την άσκηση 6, είναι το µέτρο της προβολής του επί του διανύσµατος [ 7 ] Έτσι έχουµε, και κατά συνέπεια [ ] [ ] 7 4 = 7 = 5 [ 7] [ 7] = 4 [ 7 ] = 4 5 Άσκηση Αν Ε = [ ] διάνυσµα = [ ] { } span, 5 5, γράψτε το ως άθροισµα +, όπου Ε, Ε Λύση : Θα βρούµε µία βάση του Ε Αν [ ] α β γ Ε, έχουµε [ ] [ ] α β γ = α β γ 5 5 = και [ ] Από τις ισότητες αυτές προκύπτει β = και α + γ = και συνεπώς δηλ Ε = span [ [ α β γ ] = [ γ γ ] = γ[ ] { ] } Από την εξίσωση [ ] [ ] 5 5 [ ] = =λ +µ +ν βρίσκουµε λ=, µ= 5, ν = 5 Τότε,
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 8 από και = [ ] = 5 5 5 5 5 E 6 = 5 5 E Άσκηση Αν Ε κατά µοναδικό τρόπο ως για κάθε διάνυσµα η Ε είναι υπόχωρος του α = β+ γ, όπου β Ε, ν R, το διάνυσµα γ α Ε, ακριβώς όταν ν αναλύεται α β α η (*) Λύση : Έστω α = β+ γ, όπου β Ε, γ Ε Για κάθε η Ε έχουµε = + = + α η α β β η α β β η διότι τα διανύσµατα α β= γ Ε και β η Ε Από την ισότητα αυτή είναι προφανές ότι α β α η Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι ισχύει η προηγούµενη ανισοτική σχέση για κάθε η Ε Αν επιπλέον θεωρήσουµε µια διαφορετική ανάλυση του διανύσµατος α, ως = +, όπου β Ε και γ α β γ Ε, τότε α β = α β + β β = α β + β β, διότι α β = γ Ε και β β Ε Συνεπώς α β > α β, άτοπο Έτσι καταλήγουµε ότι η ισότητα α = β+ γ, όπου β Ε και γ Ε και ισχύει η σχέση (*), είναι µοναδική Είναι φανερό ότι β = προβ E α Άσκηση Για κάθε µ ν πίνακα A, αποδείξατε ker όπου ker( ) = { : = } ( ) ( A) = Im( A ), Im( ) = k er ( ) A A, A A και µ Im( ) = { : } A A R
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 9 από Λύση : Για την πρώτη ισότητα των συνόλων έχουµε τις ισοδυναµίες ( ) ker A A= A = A y =, y R όπου w = A y w = µ w=,, για κάθε w Im( A ) Im( A ) Για τη δεύτερη ισότητα, εφαρµόσατε την προηγούµενη για τον πίνακα (( ( )) ) ( ) χρησιµοποιείστε τη σχέση Im A = Im A A και Άσκηση Αν, Ε είναι υπόχωροι του E E E E Ε Ι + = E E E E II ( ) = + E E E E III ( ) ν R, αποδείξατε : Λύση : I Αν y E y =, για κάθε E y =, για κάθε E, διότι E E y E E E II Επειδή E E+ E και E E + E, από την (I) έχουµε ( ) E + E E και ( ) ( ) + + E E E E E E E Αντίστροφα, αν y E E y = y =, για κάθε E και ( ) ( ) ( ) + = + + E y y E E E E E E E E E E III Αντικαθιστώντας στην (II) τους υποχώρους και µε και έχουµε διότι ( i ) ( ) ( ) ( ) ( ) E + E = E E E + E = E E, E = E i, για i=, + = ( ) E E E E
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Άσκηση 4 Από την βάση {,,, } του χώρου Π να κατασκευασθεί µία ορθογώνια βάση του, µε εσωτερικό γινόµενο όπου f g= f()g()d f(), g() είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστηµα [, ] Επιπλέον να βρείτε πολυώνυµο q() Π τέτοιο ώστε q() = q () = και το εµβαδόν + q() d να είναι ελάχιστο Λύση : Εφαρµόζοντας τη µέθοδο ορθογωνοποίησης Gram-Schmidt έχουµε: p() = p() = +λ p() = p () = +λ p () +λ p () = p () = +λ p () +λ p () +λ p () = 5 διότι d p λ = = =, p p d d p p, p p p p 4 d d λ = = = λ = = =, d d p p λ = = =, λ = = =, p p p p 5 d 5 p d λ = = = p p d
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Τα πολυώνυµα που απεικονίζονται στο σχήµα ονοµάζονται ορθογώνια πολυώνυµα Legendre και επαληθεύουν τη διαφορική εξίσωση Legendre για n =,,, p (), p (), p (), p () ( ) ( ) y y + n n+ y= Για το πολυώνυµο q() = q () = α =β= Συνεπώς q(), = α+β +γ +δ από τις εξισώσεις min + q() d = min + γ δ d span, + γ δ Από τις σχέσεις ορθογωνιότητας ( ) d ( ) 4 γ + γ δ = = γ = 5 6 δ + γ δ = = δ= 5 7 5 d και τότε 5 q( ) = + 4 6 p () 5 y = + 4 p () q () - - - p () p () - - -4-4 - - - 4 - - -5 - -5 5 5 Πολυώνυµα Legendre q() και ευθεία