LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije v množici polinomov... 2 1.2.1 Seštevanje in odštevanje... 2 1.2.2 Množenje polinomov... 2 1.2.3 Deljenje polinomov... 3 1.2.4 Operacije v množici polinomov - VAJE... 3 1.3 Hornerjev algoritem... 4 1.3.1 Hornerjev algoritem VAJE... 5 1.4 Ničle polinoma... 5 1.4.1 Iskanje ničel s Hornerjevim algoritmom... 6 1.4.2 Ničle polinoma - VAJE... 7 1.5 Graf polinoma... 8 1.5.1 Graf polinoma VAJE... 9 1.6 Polinomske neenačbe... 10 1.6.1 Polinomske neenačbe VAJE... 10 2 RACIONALNE FUNKCIJE... 11 2.1 GRAF RACIONALNE FUNKCIJE... 11 2.1.1 Definicijsko območje... 11 2.1.2 Ničle in obnašanje v okolici ničel... 11 2.1.3 Poli in obnašanje v okolici polov... 11 2.1.4 Presečišče z ordinatno osjo... 12 2.1.5 Predznak... 12 2.1.6 Obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča... 12 2.1.7 Graf racionalne funkcije - VAJE... 13 2.2 RACIONALNA ENAČBA... 13 2.2.1 Racionalna enačba VAJE... 14 2.3 Racionalna neenačba... 14 2.3.1 Racionalna neenačba VAJE... 15 3 EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA... 15 i

3.1 Eksponentna funkcija... 15 3.1.1 Eksponentna funkcija VAJE... 16 3.2 Eksponentna enačba... 16 3.2.1 Eksponentna enačba VAJE... 17 4 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA... 17 4.1 Logaritmi... 17 4.1.1 Pravila za računanje logaritmov... 18 4.1.2 Prehod k novi osnovi... 18 4.1.3 Logaritmi VAJE... 18 4.2 Logaritemska funkcija... 19 4.2.1 Logaritemska funkcija - VAJE... 20 4.3 Logaritemska enačba... 20 4.3.1 Logaritemska enačba VAJE... 21 5 KOTNE FUNKCIJE... 21 5.1 Sinus in kosinus... 21 5.1.1 Sinus in kosinus VAJE... 24 5.1.2 Lastnosti funkcij sinus in kosinus... 26 5.1.3 Lastnosti funkcij sinus in kosinus VAJE... 27 5.1.4 Grafa funkcij sinus in kosinus... 27 5.1.5 Grafa funkcij sinus in kosinus VAJE... 28 5.2 Tangens in kotangens... 29 5.2.1 Tangens in kotangens VAJE... 30 5.3 Adicijski izreki... 31 5.3.1 Adicijski izreki VAJE... 32 5.4 Naklonski kot premice in kot med dvema premicama... 33 5.4.1 Naklonski kot premice in kot med dvema premicama VAJE... 34 ii

POLINOMI 1 POLINOMI Naj bo nenegativno celo število,,,,, realna števila in 0. Polinom stopnje je funkcija = + + + + + +,,,, koeficienti polinoma konstantni koeficient ali konstantni člen koeficient člena z največjo stopnjo imenujemo vodilni koeficient vodilni člen Stopnja polinoma je enaka najvišjemu eksponentu spremenljivke, ki nastopa v enačbi. Nekatere polinome že poznamo: konstantna funkcija: = linearna funkcija: = + ; 0 kvadratna funkcija: = + + ; 0 Polinoma sta enaka, če imata enaki stopnji in enake koeficiente pri potencah iste stopnje. Vrednost polinoma pri dani vrednosti spremenljivke dobimo tako, da v polinomu nadomestimo spremenljivko z dano vrednostjo in dobljenemu aritmetičnemu izrazu izračunamo vrednost. 1.1 POLINOMI VAJE 1. Določi stopnjo, vodilni koeficient, vodilni člen in prosti člen polinoma a. =5 +2 3 d. = + 3 b. =4 +3 5+1 c. = +2 +2 2. Izračunaj vrednost polinoma = +2 3+4 v točkah: =1,=0,= 2 in =4. 3. Določi koeficienta in tako, da bosta polinoma =3 + +4 7 in =3 +4 + enaka. 4. Za kateri števili in je +2+=4 3? 5. Poišči realna števila, in, za katera je + 4+=2 5 7. 6. Določi stopnjo polinoma =3 +2 4+1 in izračunaj vrednost polinoma za =0,=2 in = 1. 7. Zapiši polinom druge stopnje, za katerega je 1=4, 1=6 in 0=3. 8. Zapiši polinom druge stopnje, ki ima vodilni koeficient enak 3, prosti člen pa enak 3, pri =2 pa vrednost 5. 1

POLINOMI 9. Zapiši polinom tretje stopnje, če velja 1=1, 1=1, vodilni koeficient je enak 2, prosti člen pa 0. 1.2 OPERACIJE V MNOŽICI POLINOMOV 1.2.1 Seštevanje in odštevanje Dva polinoma seštejemo (odštejemo) tako, da seštejemo (odštejemo) koeficiente pri potencah iste stopnje. Stopnja vsote (razlike) je enaka višji od stopenj sumandov. Če seštevamo polinoma iste stopnje in sta njuna vodilna koeficienta nasprotni števili, ima vsota polinoma nižjo stopnjo. Če odštevamo polinoma iste stopnje z enakima vodilnima koeficientoma, ima razlika polinomov nižjo stopnjo. ZGLED: =3 +7 4 +6 =7 2 +2 +7 +8 5 +=7 + +9 +3 +8+1 1.2.2 Množenje polinomov Množenje polinoma s številom Polinom pomnožimo s številom različnim od 0 tako, da z njim pomnožimo vse njegove koeficiente. Stopnja polinoma pomnoženega s številom je enaka stopnji prvotnega polinoma. ZGLED Polinom =3 +7 4 +6 pomnožimo s 3. 3 =9 +21 12 +18 Dva polinoma zmnožimo tako, da vsak člen prvega polinoma pomnožimo z vsakim členom drugega polinoma. Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti stopenj obeh polinomov. ZGLED =3 +2 +4 =4 +1 =3 +2 +4 4 +1 = =12 +3 +8 +2 4 +16 +4= =12 +8 +18 +4 Stopnja produkta je 5 (3 +2) 2

POLINOMI 1.2.3 Deljenje polinomov Osnovni izrek o deljenje polinomov: Za polinom stopnje in polinom stopnje ( ) obstajata natanko določena polinoma in, da velja: = + Polinom, ki je kvocient pri deljenju polinoma s polinomom, je polinom stopnje, ostanek pa je polinom, ki je nižje stopnje od stopnje delitelja, torej stopnje nižje od. Če je polinom deljiv s polinomom, je ostanek =0 in lahko pišemo: = ZGLED Delimo polinom =3 +2 4+1 s polinomom = 4+1. ( 3x 4 + 2x 3-4x + 1 ) : ( x 2-4x + 1 ) = 3x 2 + 14x + 53 - ( 3x 4-12x 3 + 3x 2 ) 14x 3-3x 2-4x + 1 - ( 14x 3-56x 2 + 14x ) 53x 2-18x + 1 - ( 53x 2-212x + 53 ) 194x - 52 3 +2 4+1=3 +14+53 4+1+194 52 1.2.4 Operacije v množici polinomov - VAJE 1. Seštej polinoma a. +2 in +3+1 b. 2 +4 1 in 5 +6 c. 4 2 5 in 4 +2 +5 2. Odštej polinoma a. 2 +3 in + 3 b. 2 + 2 in 2 +4 c. 2 +4 1 in 5 +5 3. Dani so polinomi = 3, =2 + 4 in = 2 + 1. Izračunaj: a. + b. c. 2+ d. 3 2 3

POLINOMI 4. Izračunaj produkte in določi stopnje polinomov! a. = +3+4 in = 2 b. =3 +2 +4 in =4 +1 c. = 2 +2 in = + 5. Deli polinoma a. = +4+1 in = 2 b. = 12+32 in = 7 c. = + 10 12 in = 3 d. = 4 2 in = +1 e. =2 3 +4 2 in = +2 1 6. Ugotovi, ali je polinom deljiv s polinomom. a. = 6 +8 1 in =+3 b. =3 +6 3 2 in = +2 1.3 HORNERJEV ALGORITEM Hornerjev algoritem je metoda za reševanje polinomskih enačb. Hornerjev algoritem uporabljamo: za iskanje vrednosti polinoma v dani točki, za deljenje polinoma z linearnim polinomom, za iskanje ničel. Polinom = + + + + + + delimo z linearnim polinomom =. Za deljenje uporabimo Hornerjev algoritem. Postopek si poglejmo na konkretnem primeru: Delimo polinom =3 4 7 +3 4 s polinomom = 2. Postopek reševanja: Pri reševanju si pomagamo s tabelo. V prvo vrstico zapišemo koeficiente polinoma, na levo stran v drugo vrstico pa število. 2 3-4 0-7 3-4 Postopek računanja: vodilni koeficient prepišemo v tretjo vrstico. Pomnožimo ga s in rezultat zapišemo v drugo vrstico pod drugi koeficient polinoma. Nato seštejemo in. Rezultat zapišemo v istem stolpcu v tretjo vrstico. Ta rezultat zopet množimo s in postopek nadaljujemo. 4

POLINOMI 3-4 0-7 3-4 2 2 3 = 6 4 8 2 10 3 4 + 6 = 2 4 1 5 6 koeficienti kvocienta ostanek =3 +2 +4 ++5 =6 3 4 7 +3 4=3 +2 +4 ++5 2+6 1.3.1 Hornerjev algoritem VAJE 1. S Hornerjevim algoritmom deli polinome a. = 4 +6 7 in = 3 b. =2 2 4 in =+1 c. =4 2 +3 30 2 in = 2 2. S Hornerjevim algoritmom določi vrednost polinoma a. = +3+5 v točki = 2 b. = +4 +2 7 v točki =1 c. = + +4 +2 v točki =3 3. Ali je polinom =2 2 13 +7+6 deljiv s polinomoma 3 in +2? 1.4 NIČLE POLINOMA Število je ničla polinoma, če je =0. Ničle polinoma = + + + + + + so rešitve enačbe: + + + + + + =0 Ostanek pri deljenju polinoma z linearnim polinomom je enak 0 natanko takrat, ko je =0. To pomeni, da je ničla polinoma natanko takrat, ko je polinom deljiv z linearnim polinomom. Polinom -te stopnje lahko zapišem v ničelni obliki: =,,, so ničle polinoma. Polinom -te stopnje ima kvečjemu realnih ničel. Ko polinom razcepimo, se lahko kakšen faktor pojavi več kot enkrat. Recimo, da nastopa faktor -krat. Potem pravimo, da je -kratna ničla polinoma. 5

POLINOMI Ničle polinoma poiščemo z razstavljanjem ali s Hornerjevim algoritmom ZGLED Poišči ničle polinoma = +2 3 6 z razstavljanjem! +2 3 6=0 ( +2 3 6)=0 (+2) 3(+2)=0 (+2) ( 3)=0 (+2) + 3 3=0 Ničle so: =0 = 2 = 3 = 3 1.4.1 Iskanje ničel s Hornerjevim algoritmom Izmed možnih ničel s pomočjo Hornerjevega algoritma poiščemo pravo. možne cele ničle so delitelji prostega člena možne racionalne ničle iščemo med ulomki oblike ±, pri čemer je delitelj prostega člena in delitelj vodilnega koeficienta. ZGLED Poišči ničle polinoma = 4 +16 12 Možne cele ničle so delitelji števila 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Vsako možno ničlo vstavimo kot število v Hornerjev algoritem. Začnimo po vrsti s +1: 1-4 -1 16-12 1 1-3 -4 12 1-3 -4 12 0 =1 je ničla polinoma, ker je ostanek enak 0. = 3 4+12 = 1 3 4+12 Ostale ničle iščemo med možnimi ničlami. 6

POLINOMI Možne cele ničle so delitelji števila 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Vstavimo v Hornerjev algoritem 1: 1-3 -4 12 1 1-2 -6 1-2 -6 6 =1 ni ničla, ker ostanek ni enak 0. Vstavimo v Hornerjev algoritem -1: 1-3 -4 12-1 -1 4 0 1-4 0 12 = 1 ni ničla, ker ostanek ni enak 0. Vstavimo v Hornerjev algoritem 2: 1-3 -4 12 2 2-2 -12 1-1 -6 0 =2 je ničla polinoma, ker je ostanek enak 0. Dobili smo količnik = 6, ki je druge stopnje in ga bomo razstavili po Vietovem pravilu. = 1 2 6 = 1 2 3+2 ničelna oblika polinoma Ničle polinoma so: =1, =2, =3, = 2 1.4.2 Ničle polinoma - VAJE 1. Ugotovi ali je število 2 ničla polinoma a. = 4+4 c. = +3 +32 b. = +4 +4 2. Zapiši vse ničle danega polinoma in določi njihovo večkratnost a. = 1 b. = 2 c. = +3 d. =+3 2 e. =+1 2 +2 7

POLINOMI 3. Razstavi dane polinome in zapiši njihove realne ničle a. = 25 b. ()= 49 c. ()= 2 3 4. S Hornerjevim algoritmom poišči ničle polinoma a. = 3+2 b. = 4 ++6 5. Določi ničle polinomov a. = 6 +3+10 b. =4 3+1 d. ()= +5 6 e. = + 25 25 c. = +3 +3 + c. =2 7 +7 2 d. = 9 +24 20 6. Določi polinom druge stopnje z ničlama 2 in 4, če je 1=9. 7. Določi polinom četrte stopnje z ničlami 0, 2 (dvojna) in 5, katerega graf vsebuje točko 1,9. 1.5 GRAF POLINOMA Graf polinoma = + + + + + +, 0 je neprekinjena krivulja, ker je polinom zvezna funkcija. Graf bomo vsaj približno lahko narisali, če bomo preučili: 1. definicijsko območje Polinom je definiran za vsa realna števila. :, 2. presečišče z abscisno osjo Presečišča grafa z abscisno osjo so v ničlah polinoma, to so vrednosti, za katere je =0 oziroma =0. 3. obnašanje grafa v okolici ničle Obnašanje grafa v okolici ničle je odvisno od "kratnosti" te ničle. Če je ničla lihe stopnje (enkratna, trikratna, petkratna, ), graf polinoma seka abscisno os. Polinom v lihi ničli spremeni predznak. 8

POLINOMI Če je ničla sode stopnje (dvakratna, štirikratna, šestkratna, ), se graf polinoma dotika abscisne osi. Polinom v sodi ničli ne spremeni predznaka. 4. obnašanje grafa polinoma, ko se oddaljuje od koordinatnega izhodišča Obnašanje grafa je odvisno od predznaka vodilnega koeficienta in od eksponenta : a n pozitiven n sod a n pozitiven n lih a n negativen n sod a n negativen n lih x + p (x) + p (x) + p (x) p (x) x p (x) + p (x) p (x) p (x) + graf p(x) 5. presečišče z ordinatno osjo Presečišče na ordinatni osi je enako prostemu členu polinomske funkcije. 6. predznak Predznak določimo s pomočjo številske premice, na katero nanesemo ničle. Predznak določimo na enem intervalu in zapišemo še ostale predznake. Upoštevamo pravilo, da v ničlah lihe stopnje funkcija spremeni predznak, v ničlah sode stopnje pa ga ne spremeni. 1.5.1 Graf polinoma VAJE 1. Nariši graf polinoma a. = b. = 2 2 c. 3 4 d. 2 e. 3 4 f. 1 g. 3 5 1 h. 3 4 i. 2 3 9

1.6 POLINOMSKE NEENAČBE Naj bo dan polinom, 0 Če želimo izračunati, za katere vrednosti so vrednosti polinoma pozitivne, moramo rešiti neenačbo: >0 >0 Druge oblike polinomske neenačbe: <0, 0, 0 Rešitev neenačbe so realna števila z intervala ali unije intervalov. Postopek reševanja polinomskih neenačb: 1. Vse člene damo na isto stran neenačbe. 2. Poiščemo ničle polinoma na neničelni strani neenačbe. 3. Z ničlami razdelimo os na podintervale. 4. Določimo predznak polinoma na posameznem intervalu. Upoštevamo večkratnost ničel. 5. Odčitamo rešitev neenačbe in jo zapišemo. 1.6.1 Polinomske neenačbe VAJE 1. Nariši graf polinoma 2 +5 +3 in določi tiste vrednosti spremenljivke, za katere je >0. 2. Nariši graf polinoma = in določi tiste vrednosti spremenljivke, za katere je <0. 3. Nariši graf polinoma =4 3 in določi tiste vrednosti spremenljivke, za katere je 0. 4. Nariši graf polinoma = 13+2 in določi tiste vrednosti spremenljivke, za katere je 0. 5. Reši neenačbo a. 2+3>0 b. +4 4>0 c. +<0 d. 2 2 0 e. +2 8 0 10

RACIONALNE FUNKCIJE 2 RACIONALNE FUNKCIJE Racionalna funkcija je kvocient dveh tujih si polinomov in, kjer 0. Polinoma sta si tuja, če nimata skupnih ničel., 0 2.1 GRAF RACIONALNE FUNKCIJE Graf racionalne funkcije bomo lahko približno narisali, če bomo preučili: definicijsko območje, ničle in obnašanje v okolici ničel, pole in obnašanje v okolici polov, presečišče z ordinatno osjo, predznak, obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča. 2.1.1 Definicijsko območje Definicijsko območje racionalne funkcije je množica realnih števil brez ničel imenovalca. V ničlah imenovalca racionalna funkcija ni definirana, te točke so poli racionalne funkcije. : č 2.1.2 Ničle in obnašanje v okolici ničel Ničle racionalne funkcije so ničle polinoma v števcu, torej tam, kjer je 0. Če je ničla polinoma lihe stopnje, graf v njej seka abscisno os, funkcija v taki ničli spremeni predznak. Če je ničla polinoma sode stopnje, se graf v njej dotakne abscisne osi, funkcija v taki ničli ne spremeni predznaka. 2.1.3 Poli in obnašanje v okolici polov Poli racionalne funkcije so ničle polinoma v imenovalcu. Poli so tam, kjer je 0. V polih racionalna funkcija ni definirana, graf racionalne funkcije ima v polu navpično asimptoto. 11

RACIONALNE FUNKCIJE Če je pol lihe stopnje (liha ničla polinoma ), funkcija pri prehodu čez pol spremeni predznak. Če je pol sode stopnje (soda ničla polinoma ), funkcija pri prehodu čez pol ne spremeni predznaka. 2.1.4 Presečišče z ordinatno osjo Graf racionalne funkcije seka ordinatno os v točki 0,, kjer je 0. 2.1.5 Predznak Predznak določimo s pomočjo številske premice, na katero nanesemo ničle in pole. Predznak določimo na enem intervalu in zapišemo še ostale predznake. Upoštevamo pravilo, da v ničlah oziroma polih lihe stopnje funkcija spremeni predznak, v ničlah oziroma polih sode stopnje pa ga ne spremeni. 2.1.6 Obnašanje grafa daleč od koordinatnega izhodišča Vodoravne asimptote določajo vrednost, ki se jim približuje funkcija, ko gre ali. Racionalna funkcija se daleč od izhodišča obnaša kot količnik vodilnih členov. ± Glede na stopnjo polinoma in ločimo tri možnosti. Naj bo stopnja polinoma enaka in stopnja polinoma q enaka. 1. Stopnja v števcu je nižja od stopnje v imenovalcu, <: os (0) je vodoravna asimptota funkcije. Graf racionalne funkcije se daleč od izhodišča približuje abscisni osi. 2. Stopnji v števcu in imenovalcu sta enaki, : vodoravna asimptota funkcije je premica. Graf racionalne funkcije se daleč od izhodišča približuje vodoravni asimptoti. 3. Stopnja števca je večja od stopnje imenovalca, >: Funkcija nima vodoravne asimptote ampak ima poševno asimptoto. Enačbo poševne asimptote dobimo tako, da polinom v števcu delimo s polinomom v imenovalcu. 12

RACIONALNE FUNKCIJE 2.1.7 Graf racionalne funkcije - VAJE 1. Zapiši točke v katerih racionalna funkcija ni definirana a. c. b. d. 2. Določi definicijsko območje racionalne funkcije a. b. 3. Zapiši ničle racionalne funkcije a. b. c. d. c. d. 4. Določi ničle in presečišče z ordinatno osjo za racionalno funkcijo a. b. 5. Zapiši enačbo vodoravne asimptote za funkcijo a. b. 6. Nariši graf racionalne funkcije a. b. c. d. e. c. c. d. f. g. h. i. j. 2.2 RACIONALNA ENAČBA Kadar iščemo tak, pri katerem imata dve racionalni funkciji enako vrednost (tam se njuna grafa sekata), moramo rešiti racionalno enačbo oblike:, kjer so,,, polinomi Enačba je smiselna le za take, za katere je 0 in 0. 13

RACIONALNE FUNKCIJE Preoblikujmo enačbo: 0 0 Ulomek je enak 0, kadar je števec enak 0, imenovalec pa različen od 0. Tako poiščemo rešitve enačbe: 0; 0 0 2.2.1 Racionalna enačba VAJE 1. Zapiši vrednosti spremenljivke, za katere ulomki v enačbi nimajo pomena a. c. = b. 2 = 2. Reši enačbo a. =0 b. 1 c. d. =9 e. 6 f. g. 0 h. 3. Dana je funkcija. Nariši graf funkcije in poišči njegova presečišča s premico 3=0. 2.3 RACIONALNA NEENAČBA Racionalne neenačbe so oblike: >0, <0, 0, 0 in sta polinoma, 0. Strategija reševanja racionalnih neenačb: 1. Vse člene damo na isto stran neenačbe in na skupni imenovalec. 2. Ulomek na neničelni strani enačbe okrajšamo. 3. Poiščemo ničle in pole dobljene racionalne funkcije. 4. Z ničlami in poli razdelimo os na podintervale. 5. Določimo predznak racionalne funkcije na posameznem podintervalu (upoštevamo obnašanje grafa v okolici ničel in polov). 6. Odčitamo rešitev neenačbe. 14

EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA 2.3.1 Racionalna neenačba VAJE 1. Nariši graf racionalne funkcije katere je >0. 2. Nariši graf racionalne funkcije = katere je 0. 3. Nariši graf racionalne funkcije = katere je 0. 4. Nariši graf racionalne funkcije = katere je 0. 5. Reši neenačbo a. 0 b. 0 c. 0 in določi tiste vrednosti spremenljivke, za in določi tiste vrednosti spremenljivke, za in določi tiste vrednosti spremenljivke, za in določi tiste vrednosti spremenljivke, za d. e. f. 1<0 0 1 3 EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA 3.1 EKSPONENTNA FUNKCIJA Eksponentna funkcija z osnovo je funkcija oblike je pozitivno realno število, 1. Definicijsko območje je množica vseh realnih števil. Lastnosti eksponentnih funkcij za >: definirane so za vsa realna števila ( ) zaloga vrednosti je množica pozitivnih realnih števil ( ) grafi sekajo ordinatno os v točki 1,0 so naraščajoče funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso omejene os je vodoravna asimptota 15

EKSPONENTNA FUNKCIJA IN EKSPONENTNA ENAČBA Lastnosti eksponentnih funkcij za <<: definirane so za vsa realna števila ( ) zaloga vrednosti je množica pozitivnih realnih števil ( ) grafi sekajo ordinatno os v točki 1,0 so padajoče funkcije so navzdol omejene z 0, navzgor pa niso omejene os je vodoravna asimptota V naravoslovju pogosto naletimo na posebno eksponentno funkcijo =. Število je iracionalno število. Imenujemo ga Eulerjevo število. 3.1.1 Eksponentna funkcija VAJE 1. Določi osnovo eksponentne funkcije, če je a. 38 b. 4625 d. 16 c. 32 2. Tabeliraj funkcijo na danem intervalu s korakom a. 3, 2, 4, 1 b., 8, 6, 2 3. V isti koordinatni sistem nariši grafa funkcij a. 4, b., 4. Določi osnovo eksponentne funkcije, če njen graf poteka skozi točko a. 2, 36 b. 2, 3.2 EKSPONENTNA ENAČBA Enačba je eksponentna, če neznanka nastopa samo v eksponentu. Pri reševanju upoštevamo pravila za računanje s potencami in poskušamo enačbo preoblikovati v eno od naslednjih oblik, iz katerih potem sklepamo o rešitvi: 0 = reševanje nadaljujemo z logaritmiranjem. Rešitev je lahko ena, več ali pa ni rešitev. 16

LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA ZGLED: 7 7 3=2+5 =5 3.2.1 Eksponentna enačba VAJE 1. Reši enačbe a. 3 =81 b. = c. 5 =5 5 d. 2 = e. 10 =0,01 f. 5 =0,2 2. Reši enačbe a. 3 +3 =90 b. 2 +3 2 2 +1=0 c. 3 4 +4 =28 g. 7 =1 h. = i. 4 :4 = j. 3 :3 = 3 k. 5 =7 l. 3 8 =0 4 LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA 4.1 LOGARITMI Zapis: log logaritmand (argument) osnova Beremo: logaritem števila z osnovo Logaritem s pozitivno osnovo je tisti eksponent, pri katerem je potenca z osnovo enaka številu. log, če in samo če je kjer je a pozitivno realno število in 1. ZGLED: log 81=4, ker je 3 =81 Logaritme z osnovo 10 imenujemo desetiški logaritmi. Pri desetiškem logaritmu opuščamo pisanje osnove in namesto log uporabimo okrajšavo log. Logaritme z osnovo imenujemo naravni logaritmi. Za naravni logaritem se je uveljavila oznaka log ln. 17

LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA 4.1.1 Pravila za računanje logaritmov Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov posameznih faktorjev: log log log Logaritem potence je enak produktu eksponenta in logaritma osnove potence: log log Logaritem količnika je enak razliki logaritma deljenca in delitelja: log log log Pri poljubno osnovi >0, 1, velja za vsak realen : log 1=0, ker je 1; log =1, ker je =; log =, ker je = 4.1.2 Prehod k novi osnovi Včasih je treba zapisati logaritem pri drugi osnovi. Takrat uporabljamo obrazec: log log log ZGLED: Zapišimo log 7 z logaritmom osnove 7: log 7 4.1.3 Logaritmi VAJE 1. Izračunaj a. log 8 b. log 81 c. log 18 d. log e. log6 2. Izračunaj s kalkulatorjem na dve decimalni mesti natančno a. 2log613log2+log65 b. ln0,1 ln14+ln0,5 ln2,55 3. Izrazi z logaritmi z osnovo pozitivnih števil, in a. log b. log c. log d. log e. log

LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA 4. Izrazi z logaritmi pozitivnih števil, in a. log10 b. log c. log 5. Zapiši kot logaritem enega samega izraza a. log +log +log b. 3log 5log d. log d. 2log 2 log 4 c. 2log + log 6. Brez uporabe kalkulatorja izračunaj a. log12 log30+log250 b. 2log 36 log 9 7. Izračunaj na 3 mesta natančno a. log 7 d. log b. log 10 c. log5 4.2 LOGARITEMSKA FUNKCIJA Naj bo >0 in 1. Logaritemska funkcija z osnovo je funkcija log, pri čemer je log natanko takrat, ko je. Definicijsko območje je množica pozitivnih realnih števil. Logaritemsko funkcijo z osnovo dobimo iz eksponentne funkcije z osnovo tako, da zamenjamo vlogi neodvisne in odvisne spremenljivke. Funkcija log je inverzna eksponentni funkciji. Lastnosti logaritemskih funkcij za >: definirane so za vsa pozitivna realna števila ( ) zaloga vrednosti je množica realnih števil ( ) imajo ničlo pri 1 so naraščajoče ordinatna os je navpična asimptota funkcije so navzdol in navzgor neomejene 19

LOGARITEMSKA FUNKCIJA IN LOGARITEMSKA ENAČBA Lastnosti logaritemskih funkcij za <<: definirane so za vsa pozitivna realna števila ( ) zaloga vrednosti je množica realnih števil ( ) imajo ničlo pri 1 so padajoče ordinatna os je navpična asimptota funkcije so navzdol in navzgor neomejene Zaradi povratne enoličnosti eksponentne funkcije je tudi logaritemska funkcija povratno enolična. Če je >0 in 1, potem za poljuben par realnih števil in iz log log sledi 4.2.1 Logaritemska funkcija - VAJE 1. Določi osnovo logaritemske funkcije log, če je a. 2 1 d. 8 b. 216 3 c. 1 2. V isti koordinatni sistem nariši grafa danih funkcij a. log, log b. log, log 3. Določi definicijsko območje funkcije a. log 1 b. log 2 1 c. log 3 d. 3log 2 1 1 4.3 LOGARITEMSKA ENAČBA Pri reševanju logaritemskih enačb si pomagamo z: definicijo logaritma log lastnostjo povratne enoličnosti iz log log sledi z drugimi pravili za računanje z logaritmi. 20

KOTNE FUNKCIJE 4.3.1 Logaritemska enačba VAJE 1. Reši enačbo a. log b. log 1=3 c. log 2 = d. ln3+5=2 e. log 8=1 f. log 20=1 g. log 4 3=1 2. Reši enačbo a. log 5 4=1 d. log 3+10=2 b. log +2+5=3 c. log 13 26= 2 3. Reši enačbo a. log log 3 2=0 b. log2+1 log=0 c. log +4=log 2+2 d. log+1+log 2=1 e. log+1=log2 f. log 3 6 log 5=log 7+3+log 3 g. log3+log+1=log12 h. log 2+log+1=log+4+log 3 4. Reši eksponentne enačbe tako, da enačbo logaritmiraš a. 3 =5 b. 2 =7 c. 4 =3 d. 6 =12 5 KOTNE FUNKCIJE 5.1 SINUS IN KOSINUS Če nas ne zanima lega kota v ravnini, ampak le velikost kota, lahko postavimo kot v standardno lego. Vrh kota je v izhodišču pravokotnega koordinatnega sistema, začetni krak kota sovpada s pozitivnim poltrakom abscisne osi, smer vrtenja je ista kot pri originalnem kotu. Pravimo, da leži kot v I., II., III. ali IV. kvadrantu, če leži njegov končni krak v standardni legi v I., II., III. ali IV. kvadrantu. 21

KOTNE FUNKCIJE Od začetnega h končnemu kraku danega kota lahko pridemo tudi tako, da poltrak še dodatno zavrtimo za poljubno število polnih obratov v pozitivni ali negativni smeri. Tako dobljeni kot se za večkratnik polnega kota razlikuje od danega kota. Torej velja: 360 za Ÿ ZGLED V katerem kvadrantu leži dani kot? 230 o o o Ker je 180 < 230 < 270, leži kot 230 v III. kvadrantu. 1380 o Velja: 1380 3 360 = 300 in o o o o o 270 300 < 360 <, torej leži kot 1380 v IV. kvadrantu. Doslej smo kote merili s stopinjami. Za računanje s kotnimi funkcijami, pa je primernejše merjenje kotov v radianih. Osnovna zveza za preračunavanje kotnih stopinj v radiane in obratno je: o 180 =π radianov. o π 1 = radianov 180 Tabela za pretvarjanje vrednosti nekaterih pomembnejših kotov iz stopinj v radiane in obratno in vrednosti kotnih funkcij sin in cos za ostre kote: stopinje 0 30 45 60 90 180 270 360 π π π π 3π radiani 0 π 2π 6 4 3 2 2 V ravnini, opremljeni s koordinatnim sistemom, naj bo krožnica s središčem v izhodišču koordinatnega sistema in s polmerom 1, imenujemo jo enotska krožnica. Te kote lahko prikažemo tudi na enotski krožnici. ZGLED Pretvori v radiane! π 270 = 270 radianov 180 3π = radianov 2 Sinus kota je enak kosinusu komplementarnega kota: sincos 2 cos=sin 2 22

KOTNE FUNKCIJE Predznak funkcij sinus in kosinus je odvisen od kvadranta, v katerem leži kot. II. kvadrant sin>0 cos<0 I. kvadrant sin>0 cos>0 III. kvadrant sin<0 cos<0 IV. kvadrant sin<0 cos>0 Pri določanju vrednosti kotnih funkcij za neostre kote si lahko pomagamo z ostrimi koti tako, da kotne funkcije neostrega kota β prevedemo na kotne funkcije ostrega kota α : π < β < π (premični krak kota β je v drugem kvadrantu) 2 α = π β sinsin coscos 3π π < β < (premični krak kota β je v tretjem kvadrantu) 2 α = β π sinsin coscos 3π < β < 2π (premični krak kota β je v četrtem kvadrantu) 2 α = 2 π β sinsin coscos ZGLED Prevedi na kotne funkcije ostrih kotov! sin 120 Kot 120 leži v II. kvadrantu, zato je sin 120 = sin180 120 = sin 60 cos 120 Kot 120 leži v II. kvadrantu, zato je cos 120 = cos180 120 = cos 60 23

KOTNE FUNKCIJE 7π sin 6 7π Kot leži v III. kvadrantu, zato je 6 7π 7π 7π 6π π sin = sin π = sin = sin 6 6 6 6 6 7π cos 6 7π Kot leži v III. kvadrantu, zato je 6 7π 7π 7π 6π π cos = cos π = cos = cos 6 6 6 6 6 Vrednost funkcije sinus in kosinus se ne spremeni, če vrednosti kota prištejemo večkratnik kota 2 oz. 360 sin+2=sin cos+2=cos Za vsak kot α velja osnovna identiteta: ZGLED Poišči 2 2 sin α + cos α = 1 cos α, če je sin in leži α v II. kvadrantu! sin cos 1 +cos =1 cos =1 cos = cos=± Ker je za vsak α, ki leži v II. kvadrantu, cos= cos α negativen je naša rešitev: 5.1.1 Sinus in kosinus VAJE 1. Izrazi kot v radianih a. 180 b. 45 c. 150 d. 225 24

KOTNE FUNKCIJE 2. Izrazi kot v stopinjah a. d. b. c. 3. Določi predznak vrednosti kotne funkcije a. sin75 b. sin289 c. cos230 d. cos123 12 e. sin 4. V enotskem krogu nariši kot, katerega sinus je a. 1 b. 0,5 f. cos g. cos h. sin d. c. 5. V enotskem krogu nariši kot, katerega kosinus je a. 25 c. 1 b. 0,4 d. 6. Izračunaj natančno sin, če je: a. cos= ; sin>0 c. cos= ; 180 <<270 b. cos= ; 0 <<90 d. cos= ; << 7. Izračunaj natančno cos, če je: a. sin= ; cos>0 b. sin= ; 270 <<360 d. sin= ; << c. sin= ; 0 <<90 8. Izrazi s kotno funkcijo ostrega kota, manjšega od 45 a. sin850 c. cos1025 b. sin1225 d. cos123 47 9. Natančno izračunaj a. sin150 e. sin b. cos330 f. cos c. sin945 d. cos600 10. Uredi po velikosti a. sin720,sin300,sin150,sin90,sin270 b. cos0,cos60,cos540,cos120,cos45 11. Natančno izračunaj a. b. c.

KOTNE FUNKCIJE 5.1.2 Lastnosti funkcij sinus in kosinus Periodičnost Naj bo α poljuben kot v standardni legi. Če ga povečamo za polni kot, se končna kraka obeh kotov ujemata in sekata enotsko krožnico v isti točki. Zato je sin α + 360 = sinα in cos( α + 360 ) = cosα ali sin( α + 2π ) = sin α in cos( α + 2π ) = cosα. Funkciji sinus in kosinus sta periodični funkciji s periodo 2 π. Prav tako se vrednost obeh funkcij ponovi, če kot povečamo ali zmanjšamo za poljubno število polnih kotov. Zato za poljubno celo število k velja sin( α + k 2π ) = sinα cos( α + k 2π ) = cosα Vsak cel večkratnik števila 2 π je perioda funkcije sinus in kosinus. Najmanjša pozitivna perioda je število 2 π, pravimo mu tudi osnovna perioda funkcij sinus in kosinus. Lihost in sodost Kosinus je soda funkcija, sinus je liha funkcija: cos( α ) = cosα sin( α ) = sinα ZGLED Poenostavi izraz! 1 1+cos + 1 1 cos = 1 = 1+cos + 1 1 cos = = 1 cos+1+cos (1+cos)(1 cos) = 2 = 1 cos = = 2 sin 26

KOTNE FUNKCIJE 5.1.3 Lastnosti funkcij sinus in kosinus VAJE 1. Natančno izračunaj a. b. 2. Poenostavi izraze a. sin sin b. 5.1.4 Grafa funkcij sinus in kosinus Funkcijo sinus smo definirali na množici, zaloga vrednosti funkcije pa je interval 1,1. : 1,1 : sin Graf funkcije sin, je množica točk, ;, sin Lastnosti funkcije sinus: ničle ima pri 0,, 2, 3, ; Ÿ maksimum 1 doseže pri, 2, ; Ÿ minimum 1 doseže pri, 2, je periodična z osnovno periodo 2 je liha, saj je sin sin je omejena, spodnja meja je 1, zgornja meja je 1 ; Ÿ 27

KOTNE FUNKCIJE Funkcija kosinus je definirana za vsa realna števila. : 1,1 : cos Graf funkcije kosinus ima enako obliko kot graf funkcije sinus, le da je premaknjen za v levo. Graf funkcije cos, je množica točk, ;, cos Lastnosti funkcije kosinus: ničle ima pri,,, ; Ÿ maksimum 1 doseže pri 0, 2, 4, ; Ÿ minimum 1 doseže pri, 3, 5, ; Ÿ je periodična z osnovno periodo 2 je soda, saj je cos cos je omejena, spodnja meja je 1, zgornja meja je 1 5.1.5 Grafa funkcij sinus in kosinus VAJE 1. Reši enačbo a. sin 0 b. cos 0 c. sin 1 d. cos 1 2. Izračunaj ničle dane funkcije in določi tiste vrednosti spremenljivke, pri katerih ima funkcija največjo oz. najmanjšo vrednost a. sin 2 c. sin b. cos 3 28

KOTNE FUNKCIJE 5.2 TANGENS IN KOTANGENS Funkcija tangens je kvocient funkcij sinus in kosinus sin tan cos Definirana je povsod razen v ničlah imenovalca, to je v ničlah funkcije kosinus: ; cos 0 ; Ÿ 2 V točkah ; Ÿ so poli. V polih ima funkcija tangens navpične asimptote. Ničle funkcije tangens so ničle števca, torej ničle funkcije sinus: ; Ÿ Funkcija tangens je periodična z osnovno periodo : tan tan Funkcija tangens je liha: tan tan Lastnosti funkcije tangens: je periodična s periodo je liha funkcija je odsekoma naraščajoča ni omejena zaloga vrednosti je množica realnih števil Funkcija kotangens je kvocient funkcij kosinus in sinus cos cot sin 29

KOTNE FUNKCIJE Definirana je povsod razen v ničlah imenovalca, to je v ničlah funkcije sinus: ; sin 0 ; Ÿ Pri večkratnikih števila ima funkcija kotangens pole, v polih pa navpične asimptote. Ničle funkcije kotangens so ničle števca, torej ničle funkcije kosinus: ; Ÿ Funkcija kotangens je periodična z osnovno periodo : cot cot Funkcija kotangens je liha: cot cot Podobno kot pri sinusu in kosinusu lahko tudi tangens in kotangens kotov, večjih od, prevedemo na tangens in kotangens ostrega kota. Tangens in kotangens sta pozitivna v točkah, v katerih imata sinus in kosinus enak predznak, sicer sta negativna. Tangens in kotangens sta pozitivna v I. in III. kvadrantu in negativna v II. in IV. kvadrantu. Veljata zvezi: 1 tan 1 cot 5.2.1 Tangens in kotangens VAJE 1. Izračunaj a. tan 135 tan 585 b. c. d. 30

KOTNE FUNKCIJE 2. Izračunaj tan, če je: a. kot oster in sin= b. kot top in cos= 3. Izračunaj sin in cos, če je a. kot oster in tan=2 c. 180 <<270 in sin= d. <<2 in cos= d. 270 <<360 in tan= b. kot top in tan= c. 180 <<270 in tan= 5.3 ADICIJSKI IZREKI Za poljubna kota in veljajo adicijski izreki: sinus vsote kotov sinsincoscossin sinus razlike kotov sinsincoscossin kosinus vsote kotov coscoscossinsin kosinus razlike kotov coscoscossinsin tangens vsote kotov tan tantan 1 tantan tangens razlike kotov tan = tan tan 1+tantan ZGLED: cos+ 3 =coscos 3 sinsin 3 = =cos 1 2 sin 3 2 = = 1 2 cos 3 2 sin Poišči natančno vrednost za cos75! cos75 =cos30 +45 = =cos30 cos45 sin30 sin45 = = 3 2 2 2 1 2 2 2 = = 6 4 2 4 = = 6 2 4 31

KOTNE FUNKCIJE Kosinus in sinus dvojnega kota izrazimo s funkcijama kosinus in sinus enojnega kota takole: cos2=cos sin sin2=2sincos 5.3.1 Adicijski izreki VAJE 1. Izračunaj sin in cos, če je a. 375 c. 465 b. 75 2. Izračunaj a. sin65 cos25 cos65 sin25 b. cos63 cos17 sin63 sin17 3. Naj bo kot oster. Izračunaj a. sin+ in cos 135, če je sin= b. sin in cos 120, če je cos= 4. Naj bo 180 <<270. Izračunaj a. sin+150 in cos+150, če je sin= b. sin in cos+, če je sin= 5. Izračunaj sin+ in cos+, če a. sta kota in topa, cos= in cos= b. sta kota in ostra, cos= in cos= c. je sin=,180 <<270 in sin=,270 <<360 6. Skrči izraz a. sin+270 cos 180 b. cos 45 +cos+45 c. sin+60 sin 60 7. Izračunaj tan+ in tan, če je a. tan=2 b. tan= 8. Izračunaj sin2 in cos2, če je: a. sin=,0 <<90 c. sin=,<< b. cos=,<< d. cos= 32

KOTNE FUNKCIJE 5.4 NAKLONSKI KOT PREMICE IN KOT MED DVEMA PREMICAMA Naklonski kot premice v koordinatnem sistemu je kot, ki ga premica oklepa s pozitivno smerjo osi. O naklonskem kotu premice odloča koeficient v enačbi premice, ki ga imenujemo tudi smerni koeficient premice. Smerni koeficient premice je enak tangensu naklonskega kota premice. tan ZGLED Poiščimo naklonski kot premice 4+3. tan=4 =75 58 Kot ϕ med premicama s smernima koeficientoma in izračunamo z enačbo: tan 1+ ZGLED Izračunajmo kot med premicama =2 5 in = 2. =2 = tan tan tan tan 1 =1 =45 33

KOTNE FUNKCIJE 5.4.1 Naklonski kot premice in kot med dvema premicama VAJE 1. Določi naklonski kot premice a. 64 b. = 7 c. 2 2. Določi naklonski kot premice, ki poteka skozi točki a. 1,2 in 2,4 b. 0,3 in 4,3 3. Izračunaj kot med premicama a. =2 3 in =5+4 b. =3+1 in = 2+1 c. =2+5 in = 2 d. 2 6=0 in +2 8=0 e. 64 2=0 in 2 3+60 d. 3 +5=0 e. 5+2+12=0 f. 1 c. 2,3 in 1,1 d. 1,0 in 1,3 34

REŠITVE Matematika 1 2. Del Polinomi in Racionalne funkcije 1.1 Polinomi 1. a. b. c. d. stopnja 2 3 4 5 vodilni koeficient 5 4 1 1 vodilni člen 5 4 prosti člen -3 1 2 5 2 2. 1=4,0=4, 2=10,4=88 3. =0,= 7 4. =4,= 11 5. =2,=3,=5 6. stopnja: 4; 0=1,2=57, 1=6 7. =2 +3 8. =3 2 3 9. =2 + 2 1.2 Operacije v množici polinomov 1. a. + +5+1 b. 3 +4 +6 1 c. 0 2. a. 2 +2+3 b. +2 +3 4 2 c. 7 +4 5 1 3. a. 2 +2 5 b. 2 6 7 +12 c. 2 +2 5 4 d. 7 12+6 4. a. + 2 8 b12 +8 +18 +4. c. +2 + 2 2 +2 5. a. =+6,=13 b. = 5,=67 c. = +5+5,= 3 d. = 3,= 4+1 e. =2 5+12,= 15+10 6. a. ne b. da 1.3 Hornerjev algoritem 1. a. = +3,=2 b. =2 2 + 3,= 1 c. =4 +8 +14 +31+32,=62 2. a. 2=3 b. 1=0 c. 3= 16 3. z 3 je deljiv, z +2 je deljiv 1

1.4 Ničle polinoma 1. a. ni ničla b. je ničla c. ni ničla 2. a. =1 (2. st) b. =2 (3. st) c. =0 (1. st), = 3 (1. st) d. = 3 (2. st), =2 (1. st) e. =0 (1. st), = 1 (4. st), =2 (4. st), = 2 (5. st) 3. a. =+5 5 =0 (1. st), = 5 (1. st), =5 (1. st) b. = +7 7 =0 (2. st), = 7 (1. st), =7 (1. st) c. =+1 3 =0 1 (1. st), =3 (1. st) d. =+6 1 =0 (1. st), = 6 (1. st), =1 (1. st) e. =+1+5 5 = 1 (1. st), = 5 (1. st), =5 (1. st) 4. a. =1 (2. st), = 2 (1. st) b. = 1 (1. st), =2 (1. st), =3 (1. st) c. =0 (1. st), = 1 (3. st) 5. a. = 1 (1. st), =2 (1. st), =5 (1. st) b. = 1 (1. st), = (2. st) c. =1 (1. st), =2 (1. st), = (1. st) d. =0 (1. st), =2 (2. st), =5 (1. st) 6. = 2+8 7. = +4 5 1.5 Graf polinoma 1. a. ničle: = 1, =0, =1 b. ničle: = 1, =0, =1 c. ničle: = 1, =0, =4 d. ničle: = 2, =0, =1 e. ničle: =0, =, =1 f. ničle: = 1, =1 2

g. ničle: =, =1 h. ničle: = 1, =1 i. ničle: = 1, =0, = 1.6 Polinomske neenačbe 1., 1 0, 2., 2 0,2 3.,0 1, 4.,1 5. a. 3,1 b. 4, 1 1, c. 1,0 1, d. 0 1, e., 4 0,2 2.1 Graf racionalne funkcije 1. a. =0 b. =5 c. = d. = 2, =7 2. a. : 0 b. : 6 c. : 3,7 d. : 5,0,5 3

3. a. =6 b. = c. = 8, =1 d. =0, =2+ 2, =2 2 4. a. N: = 2; 0= 2 b. N: = 3; 0= 2 c. N: = 5, =9; 0= 5 5. a. =0 b. =0 c. =1 d. =1 6. a. N: / P: = 2 A: =0 b. N: / P: =0 A: =0 c. N: = 2 P: = 1, =1 A: =0 d. N: = P: = 2, =1 A: =0 e. N: =0, =2 P: = 2, =1 A: =0 f. N: =0 P: =1 A: =1 g. N: =1 P: = 2 A: =2 h. N: =0 P: =2, = 2 A: =1 i. N: =1 P: = 1, = 2 A: =1 j. N: = 1, =3 P: =0, A: = 1 2.2 Racionalna enačba 1. a. = 3 b. = 1,=2 c. = 3,=5 2. a. R=3 b. R= 2 c. R=1 d. R= e. ni rešitve f. R= g. R=1, d. ni rešitve 4

3. N: = 3, =3 P: =1, A: = 1 = 3,0 = 1,2 =2,5 2.3 Racionalna neenačba 1. N: / P: = 3, A: =0, 3 2. N: =0 P: = 2, A: = 1, 2 0, 3. N: = P: =3, A: =3, 3, 4. N: =0 P: =, A: =1 0, 5. a. 5, b., 4 7, c. 2,4 d.,10 e., 2, f. 5,0 0, 5 5