Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος, κύβος, κ.λ.π.) ίναι το αντικίμνο της γωμτρίας του χώρου. Ο χώρος αποτλίται από σημία. Οι υθίς και τα πίπδα ίναι σχηματισμοί σημίων και αποτλούν μαζί μ τα σημία πρωταρχικές έννοις, οι οποίς δν ορίζονται από άλλς.. ΑΞΙΩΜΑΤΑ (πέραν των αξιωμάτων της γωμτρίας του πιπέδου). Τρία σημία που δν ίναι συνυθιακά ορίζουν ένα μοναδικό πίπδο.. Σ κάθ πίπδο υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημία μη συνυθιακά 3. Υπάρχι τουλάχιστον ένα σημία που δν ανήκι σ ένα δδομένο πίπδο.. Δύο σημία νός πιπέδου ορίζουν υθία τα σημία της οποίας ανήκουν στο πίπδο. 5. Κάθ πίπδο χωρίζι τα σημία του χώρου, που δν ανήκουν σ αυτό, σ δύο πριοχές ξένς μταξύ τους. 6. Αν δύο διακκριμένα πίπδα έχουν ένα κοινό σημίο, τότ τέμνονται σ μία υθία, που πριέχι το σημίο. Συνέπις:. Μία υθία και ένα σημίο Α που δν ανήκι στην υθία ορίζουν ένα πίπδο π=(,α) στο οποίο ανήκουν η υθία και το σημίο (σχ. ).. Δύο τμνόμνς υθίς ορίζουν ένα πίπδο π= (, ) στο οποίο ανήκουν (σχ. ). 3. Δύο παράλληλς υθίς ορίζουν ένα πίπδο π=(, ) στο οποίο ανήκουν (σχ. 3). Σχ. Σχ. Σχ. 3. ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Μία υθία ανήκι στο πίπδο αν έχι δύο κοινά σημία μ αυτό (αφού, από το αξίωμα, όλα τα σημία της θα ανήκουν τότ στο πίπδο) ( σχ.).. Η υθία που ορίζται από δύο σημία Β,Γ κατέρωθν νός πιπέδου (αξίωμα 5) τέμνι το πίπδο σ ένα μόνο σημίο Α (συνέπια του αξιώματος ) μταξύ των Β και Γ. Το σημίο αυτό λέγται σημίο τομής της υθία και του πιπέδου ή ίχνος της υθίας μ το πίπδο (σχ. ). Ορισμός.: Μία υθία λέγται παράλληλη σ ένα πίπδο, αν η υθία και το πίπδο δν έχουν κοινό σημίο (σχ.3). Σχ. Σχ. Σχ. 3. Αν μια υθία τέμνι ένα πίπδο π, τότ δν υπάρχι υθία του π παράλληλη στη.. Αν μια υθία ίναι παράλληλη σ μια υθία νός πιπέδου π και δν ανήκι σ αυτό τότ ίναι παράλληλη στο π. 3. Αν πίπδο π τέμνι υθία τότ θα τέμνι κάθ υθία παράλληλη στην.. Αν δύο τμνόμνς υθίς ίναι παράλληλς σ ένα πίπδο π τότ και το πίπδο (, ) ίναι παράλληλο στο π. Συνέπις:. Από σημίο κτός πιπέδου άγται μοναδικό πίπδο παράλληλο σ αυτό.. Δύο πίπδα παράλληλα προς τρίτο ίναι και μταξύ τους παράλληλα. 3. Αν π και π ίναι δύο παράλληλα πίπδα, τότ κάθ πίπδο τ που τέμνι το ένα τέμνι και το άλλο και οι υθίς τομής ίναι παράλληλς μταξύ τους
3. ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ Θώρημα 3.: Αν μια υθία ανήκι σ ένα πίπδο π υθία τέμνι το π σ ένα σημίο Α κτός της, τότ δν υπάρχι πίπδο που να πριέχι τις. Ορισμός 3.: Δύο υθίς λέγονται ασύμβατς, αν δν υπάρχι πίπδο που να πριέχι και τις δύο (πομένως δν έχουν κοινό σημίο και δν ίναι παράλληλς). Άρα δύο διαφορτικές υθίς του χώρου μπορί να ίναι:. παράλληλς ή τμνόμνς (οπότ ανήκουν στο ίδιο πίπδο), ή. ασύμβατς. Πόρισμα 3.3: Αν τρις υθίς τέμνονται ανά δύο τότ ανήκουν στο ίδιο πίπδο ή διέρχονται από το ίδιο σημίο.. ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ. Τα πίπδα ταυτίζονται (έχουν τουλάχιστον τρία μη συνυθιακά κοινά σημία).. Τα πίπδα τέμνονται κατά μία υθία. 3. Τα πίπδα δν έχουν κοινά σημία (ίναι παράλληλα). Πόρισμα.: Αν τρία πίπδα τέμνονται ανά δύο, τότ οι τομές τους διέρχονται από το ίδιο σημίο ή ίναι παράλληλς. 5. ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Ορισμός 5.: Μια υθία λέγται κάθτη σ ένα πίπδο π, αν ίναι κάθτη σ κάθ υθία του πιπέδου που διέρχται από το ίχνος της (γράφουμ π ). Αν η υθία δν ίναι κάθτη, λέγται πλάγια. Θώρημα 5.. Αν μία υθία ίναι κάθτη σ δυο τμνόμνς υθίς νός πιπέδου στο κοινό τους σημίο, τότ ίναι κάθτη σ όλς τις υθίς του πιπέδου που διέρχονται από το ίχνος της (και άρα ίναι κάθτη στο πίπδο π) (σχ. ). Γωνία δύο υθιών : Αν και ζ ίναι δυο υθίς του χώρου τότ: Ι) Αν οι υθίς ίναι συνπίπδς η γωνία τους ορίζται κατά τα γνωστά. ΙΙ) Αν οι υθίς ίναι ασύμβατς, από τυχαίο σημίο Α της υθίας κατασκυάζουμ υθία παράλληλη στην ζ. Οι υθίς τέμνονται στο σημίο Α, άρα ίναι συνπίπδς. Η γωνία που σχηματίζουν οι υθίς λέγται γωνία των δύο ασύμβατων υθιών και ζ (η γωνία αυτή δν ξαρτάται από το σημίο Α) (σχ. 3). Αν οι γωνία των και ζ ίναι ορθή τότ οι ασύμβατς λέγονται ορθογώνις ή ασυμβάτως κάθτς. Θώρημα 5.3. Μία υθία ορθογώνια σ δύο τμνόμνς υθίς ίναι κάθτη στο πίπδο που αυτές ορίζουν. Θώρημα 5.. Υπάρχι μοναδικό πίπδο, που διέρχται από σημίο Ο ίναι κάθτο σ υθία (δηλαδή από ένα σημίο Ο κτός υθίας άγται ένα και μόνο πίπδο κάθτο στην υθία). Πρόταση 5.5. Ο γωμτρικός τόπος των υθιών που ίναι κάθτς σ μια υθία σ ένα σημίο Α ίναι ένα πίπδο κάθτο στην στο Α. (σχ. ) Πόρισμα 5.6: Δύο πίπδα κάθτα στην ίδια υθία ίναι παράλληλα μταξύ τους. Πόρισμα 5.7: Δύο υθίς κάθτς στο ίδιο πίπδο ίναι παράλληλς. Σχ. Σχ.
Θώρημα 5.8:(τριών καθέτων): Έστω υθία που τέμνι ένα πίπδο π στο Β και ένα σημίο Α της. Αν ζ ίναι μια υθία του π η οποία δν διέρχται από το Β και έστω Γ ένα σημίο της ζ, τότ ισχύουν: (Σχ. ). Αν AB π και BΓ ζ, τότ AΓ ζ.. Αν AB π και AΓ ζ, τότ BΓ ζ. 3. Αν AΓ ζ και BΓ ζ, AB BΓ, τότ AB π. Πόρισμα 5.9: Από ένα σημίο του χώρου διέρχται ακριβώς μια υθία κάθτη σ ένα δδομένο πίπδο. Σχ. 6. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ. Αν Α ίναι ένα σημίο κτός νός πιπέδου π, ορίζουμ ως προβολή του Α στο πίπδο π το σημίο τομής Α του π μ την κάθτη υθία από το Α στο π. Η προβολή νός σχήματος του χώρου στο π ίναι το σύνολο των προβολών των σημίων του σχήματος στο π. Αποδικνύται ότι η προβολή μιας υθίας σ ένα πίπδο, που δν ίναι κάθτη σ αυτό, ίναι υθία. Αν η υθία ίναι κάθτη στο πίπδο τότ η προβολή της σ αυτό ίναι ένα σημίο, το ίχνος της. Απόσταση του σημίου Α από το πίπδο π λέγται το μήκος του υθυγράμμου τμήματος ΑΑ, όπου Α η προβολή του Α στο πίπδο π. Απόσταση δύο παράλληλων πιπέδων λέγται η απόσταση νός σημίου του νός από το άλλο. Απόσταση δύο ασύμβατων υθιών λέγται το μήκος του τμήματος της κοινής καθέτου που πριλαμβάνται μταξύ τους. Πόρισμα 6.: Ο γωμτρικός τόπος των σημίων του χώρου που ισαπέχουν από δύο σημία Α και Β ίναι το πίπδο π που ίναι κάθτο στο ΑΒ στο μέσο του (μσοκάθτο πίπδο). Πόρισμα 6.: Ο γωμτρικός τόπος των σημίων του χώρου που ισαπέχουν από τις κορυφές νός τριγώνου ίναι η κάθτη υθία στο πίπδο του τριγώνου που διέρχται οπό το σημίο τομής των μσοκαθέτων των πλυρών του. 7. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Πρόταση 7. : Αν ένα πίπδο τέμνι μια από δύο παράλληλς υθίς, τότ τέμνι και την άλλη (σχ. ). Πρόταση 7.: Αν δύο διαφορτικές υθίς ίναι κάθτς σ ένα πίπδο, τότ ίναι παράλληλς. (σχ. (βλέπ και πόρισμα 5.7). Πρόταση 7.3: Αν μια υθία διέρχται από ένα σημίο που δν ανήκι σ ένα πίπδο ίναι παράλληλη προς μια υθία του πιπέδου, τότ ίναι παράλληλη προς το πίπδο αυτό (σχ. 3). Πρόταση 7.: Αν μια υθία ίναι παράλληλη προς ένα πίπδο, τότ κάθ υθία που διέρχται από ένα σημίο του πιπέδου ίναι παράλληλη προς την πριέχται στο πίπδο (σχ. ). Πρόταση 7.5: Αν μια υθία ίναι παράλληλη προς δύο τμνόμνα πίπδα τότ ίναι παράλληλη προς την τομή τους (σχ. 5). Σχ. Σχ. Σχ. 3 Σχ. Σχ. 5
Πορισμα 7.6:. Από κάθ σημίο του χώρου, που δν ανήκι σ καμιά από τις δύο ασύμβατς υθίς διέρχται ένα μόνο πίπδο παράλληλο προς αυτές.. Δίνονται δύο ασύμβατς υθίς. Από καθμιά διέρχται μόνο ένα μόνο πίπδο παράλληλο προς την άλλη. 8. ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Πρόταση 8.: Δυο πίπδα κάθτα στην ίδια υθία σ διαφορτικά σημία της ίναι παράλληλα (βλέπ και πόρισμα 5.6). Πρόταση 8.: Αν μια υθία τέμνι ένα πίπδο τότ τέμνι και κάθ άλλο πίπδο ρ παράλληλο προς το π. Πρόταση 8.3: Αν δύο τμνόμνς υθίς ίναι παράλληλς προς ένα πίπδο π, τότ και το πίπδο που ορίζουν ίναι παράλληλο προς το π. Α). Γωνία δύο υθιών : (Βλέπ Παράγραφο 5) 9. ΓΩΝΙΕΣ Β). Γωνία υθίας πιπέδου: Είναι η γωνία που σχηματίζται από την υθία και την προβολή της στο πίπδο, αν η υθία δν ίναι κάθτη στο πίπδο. Αν η υθία ίναι κάθτη στο πίπδο ως γωνία ορίζται η ορθή Θώρημα 9.: Αν μια υθία ίναι κάθτη σ ένα πίπδο τότ ίναι ορθογώνια προς κάθ υθία του πιπέδου (σχ. ). Θώρημα 9.: Η γωνία που σχηματίζι μια υθία, η οποία τέμνι ένα πίπδο π, μ την προβολή της, ίναι η μικρότρη από τις γωνίς που σχηματίζι μ κάθ άλλη υθία του πιπέδου, που την τέμνι. Γ). Γωνία δυο πιπέδων. Θωρούμ δύο ημιπίπδα π και ρ που τέμνονται κατά την υθία. Το σχήμα λέγται δίδρη γωνία μ ακμή και συμβολίζται μ (π,ρ) (σχ. 3). Τα πίπδα λέγονται έδρς της δίδρης γωνίας και η αρχική υθία λέγται ακμή της δίδρης γωνίας. Η δίδρη γωνία χωρίζι το χώρο σ κυρτό (κυρτή δίδρη γωνία) και μη κυρτό μέρος (μη κυρτή δίδρη γωνία) (για λπτομέρις βλέπ στο σχολικό βιβλίο). Θωρούμ ένα πίπδο δ κάθτο στην ακμή και τις τομές του δ μ τα π και ρ. Οι ημιυθίς ορίζουν στο πίπδο δ μια κυρτή και μια μη κυρτή γωνία, οι οποίς ονομάζονται αντίστοιχς πίπδς γωνίς της κυρτής και μη κυρτής δίδρης γωνίας. Το μέτρο της αντίστοιχης πίπδης γωνίας λέγται μέτρο της δίδρης γωνίας. Συνήθως ως «δίδρη γωνία» θωρούμ την κυρτή. Δίδρη γωνία δύο τμνομένων πιπέδων λέγται η μικρότρη ή ίση της ορθής δίδρη γωνία που σχηματίζουν τα δύο πίπδα. Γωνία δύο πιπέδων λέγται η αντίστοιχη πίπδη της δίδρης των δύο πιπέδων. Σχ. 3 Αν η γωνία δύο πιπέδων ίναι ορθή τα πίπδα λέγονται κάθτα. Θώρημα 9.: Αν μία υθία ίναι κάθτη σ ένα πίπδο π, τότ κάθ πίπδο που πριέχι την ίναι κάθτο στο π. Θώρημα 9.: Αν δύο πίπδα ίναι κάθτα, κάθ υθέα του νός που ίναι κάθτη στην τομή τους ίναι κάθτη στο άλλο.
Ασκήσις:. Κοινή κάθτη ασύμβατων υθιών Έστω δύο ασύμβατς υθίς. Να αποδιχθί ότι: a. Υπάρχουν δύο πίπδα, ένα που πριέχι την και ένα που πριέχι την, τα οποία ίναι παράλληλα. b. Υπάρχι ακριβώς μία υθία που ίναι κάθτη στις (κοινή κάθτη) και το τμήμα της κοινής κάθτης μταξύ των ίναι το μικρότρο από κάθ άλλο τμήμα μ άκρα στις υθίς αυτές. Απόδιξη: a. Από τυχόν σημίο Α (σχ. ) της φέρουμ την υθία 3 παράλληλη προς την. Αν π (, 3) π//. Μ όμοια κατασκυή φέρουμ από σημίο Β της υθίας μια υθία // και έστωπ (, ) π //. πίπδο που πριέχι την π, =, τότ =. Τότ ίναι παράλληλο στην. Τα πίπδα π ίναι παράλληλα και ανξάρτητα των τυχαίων σημίων Α και Β που πιλέχθηκαν. b. Έστω π = (, 3) το πίπδο (σχ. ) που πριέχι την ίναι παράλληλο προς την όπως πριν. Από τυχόν σημίο Β της φέρουμ υθία κάθτη στο π. Έστω Γ το ίχνος της. Από το σημίο Γ φέρουμ υθία παράλληλη προς την υθία 3 που τέμνι την στο σημίο Κ. Από το σημίο Κ φέρουμ παράλληλη προς την που τέμνι την στο σημίο Λ. Αποδικνύται ότι τα σημία Κ και Λ ίναι μοναδικά καθορισμένα και ανξάρτητα από την τυχαία πιλογή των σημίων Α και Β και ότι το υθύγραμμο τμήμα ΚΛ ίναι κάθτο στα πίπδα π, π (άρα στις ) και άρα έχι το μικρότρο μήκος από όλα τα άλλα υθύγραμμα τμήματα μ άκρα στις.. Να κατασκυασθί υθία που να τέμνι δύο ασύμβατς υθίς και να διέρχται από δδομένο σημίο Ο. Λύση: Έστω π =(,Ο) και π =(,Ο). Τότ τα π καιπ τέμνονται κατά μία υθία (Αξίωμα 6). Αν υπάρχι η ζητούμνη υθία τότ αυτή πριέχι το Ο και σημίο της, άρα ανήκι στο π. Όμοια ανήκι στο π. Άρα θα ίναι η τομή των π και π. Αν // ή //, τότ το πρόβλημα δν έχι λύση. 3. Αν μια υθία τέμνι πλάγια πίπδο π στο σημίο Α, να αποδιχθί ότι υπάρχι ακριβώς μια υθία του π που διέρχται οπό το Α ίναι κάθτη στην. Λύση: Αν υπάρχι τέτοια υθία, αυτή θα ίναι μοναδική διότι αν υπήρχαν δύο, από το θώρημα 5., θα ήταν κάθτη στο π. Αν Β σημίο της που δν ανήκι στο π και ΒΓ ίναι η κάθτη από το Β στο π, τότ η ζητούμνη υθία ίναι η υθία του π που διέρχται από το Α ίναι κάθτη στην ΑΓ (Θώρημα τριών καθέτων).