Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το να είναι πραγµατικός, 2 και οπότε η (1) γίνεται ± (2) Μελετώντας αυτή τη µορφή, µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι υπάρχουν ζεύγη τιµών (ζ, ± ) για τα οποία το σύστηµα είναι ευσταθές, π.χ. τέτοια ώστε για κάθε φραγµένη είσοδο αυτό να γεννά φραγµένη έξοδο. Αντιστρόφως υπάρχουν ζεύγη τιµών (ζ, ± ) για τα οποία το σύστηµα γίνεται ασταθές, δηλαδή γεννά έξοδο τιµών που προϊόντος του χρόνου τείνουν στο άπειρο. (Παραδείγµατα τέτοιων ευσταθών και ασταθών συστηµάτων υπάρχουν στο meleti_aniktou_sae_taxis2.m ) ύο τέτοια ασταθή συστήµατα είναι αυτά που παρουσιάζονται στο MATLAB µε συναρτήσεις µεταφοράς. (µε ζ-0.2, 1) (3).! (µε ζ-0.8, 1) (4)
Κεντρική ιδέα του αυτοµάτου ελέγχου Στόχος του γνωστικού πεδίου του Αυτοµάτου Ελέγχου είναι να καταστήσει ένα σύστηµα ευσταθές, ακόµα και όταν τείνει προς την αστάθεια, ενώ ταυτόχρονα, εξασφαλίζει τη σύγκλιση σε επιθυµητή κατάσταση και µε επιθυµητές ιδιότητες της απόκρισης του συστήµατος τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο της συχνότητας. Μια µέθοδος υλοποίησης των ανωτέρω είναι εκείνη που βασίζεται στην ανατροφοδότηση της εξόδου στην είσοδο του συστήµατος µέσω άλλων συστηµάτων και αφαίρεση της σχετικής πληροφορίας. Για παράδειγµα, έστω ένα ΓΧΑ σύστηµα " # µίας εισόδου και µίας εξόδου, µε συνάρτηση µεταφοράς όχι ευσταθές. Για ένα κλάδο ανάδρασης που έχει ένα ΓΧΑ σύστηµα " $ µε συνάρτηση µεταφοράς %, δηµιουργούµε το κύκλωµα-βρόχο που παρουσιάζεται κατωτέρω. + & " # _ ' " $ Το γραµµικό, χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα T G έχει κρουστική απόκριση ( ενώ το γραµµικό, χρονικά αναλλοίωτο σύστηµα ) $ έχει κρουστική απόκριση *. Τότε ισχύει ( (5) και '* (6) Συνεπώς έχουµε ' * (7) Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει (. * / ( ( * +( * ( (6)
Μετασχηµατίζοντας κατά Laplace την τελευταία σχέση λαµβάνουµε L2+( * 3L2( 3 4+L2( * 35 4+6%4 5 4.1+6%/5 Θέτοντας 4 # 7 #8$ 9 # #8$ (8) (9) παρατηρούµε ότι το πηλίκο : παραµένει ίσο µε ;ανεξαρτήτως του 5. Άρα 7 είναι εύλογο να υποθέσουµε ότι το όλο σύστηµα είναι γραµµικό µε συνάρτηση µεταφοράς 9 και κρουστική απόκριση h L 2;3. Συµβολικά, 5 + 4 4 _ % Αυτό ισχύει επακριβώς, δηλαδή το σύστηµα είναι γραµµικό και χρονικά αναλλοίωτο, για συναρτήσεις µεταφοράς που είναι πηλίκα πολυωνύµων και µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. Πράγµατι, ας θεωρήσουµε το σύστηµα 2 ας τάξεως ανοιχτού βρόχου µε συνάρτηση µεταφοράς 1 +2 + 4 5 και τη συνάρτηση ανάδρασης %>+1,> R. Τότε η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου 9 έχει ως εξής.
9 # #8$ B CDEBCE FBC B CDEBCE. (10) Πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρανοµαστή µε +2 + λαµβάνουµε 9 4 5 1 +2 +>+ +> 46+2 +>4+ +>45. (11) Εφαρµόζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace και στα δύο µέλη της (11) και έχουµε L 2 463+2 +>L 243+ +>L 243L 2G3. Αλλά, από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace, και LH IJ& I& K 4 0 (12) LH I J& I& K 4 0 M0 (13). και επειδή οι αρχικές συνθήκες είναι όλες µηδέν, δηλαδή 0 M0 0 τότε οπότε η (12) γίνεται L 243 N N και L 2 2 43 N2 N 2, I J& +2 I& 0 +> IJ& + 2 I& 0 +>. (14) Έχουµε όµως ήδη αποδείξει ότι το σύστηµα που περιγράφεται από µία διαφορική εξίσωση του τύπου της (14) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες είναι γραµµικό και χρονικά αναλλοίωτο. Η γενική περίπτωση ενός συστήµατος ενός κλειστού βρόχου Εν γένει, θα θεωρούµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος ανοιχτού βρόχου (δηλαδή στον οποίο δεν εφαρµόζεται ανάδραση) είναι της µορφής O P P P R S S S T, (15)
όπου τα ',',,' U λέγονται µηδενικά (zeros) ανοιχτού βρόχου και τα p 1,p 2,,p m πόλοι όπου κατά κανόνα θεωρούµε ότι m>n. Τότε εάν η συνάρτηση ανάδρασης F(s) είναι k(s-ρ 1 )(s-ρ 2 ) (s-ρ µ ) όπου µ+n<m τότε η συνάρτηση κλειστού βρόχου είναι η 9 9 1+%6 W ' O 1 XW ' 2 X 'Y 0 W Z 1 XW Z 2 X Z [. 1+O W ' 0 % 1 XW ' 2 X ' Y W Z 1 XW Z 2 X Z [ Πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε Z Z Z \ προκύπτει. 9 όπου µ+n<m. P P P R S S S T ] ^ ^ ^_ P P P R (16) Tο δεξί σκέλος της ισότητας στον τύπο (16) είναι ένα πηλίκο πολυωνύµων, δηλαδή ισχύει 9 : 7 R R` R` R T b T` b T` b T (17) όπου προφανώς, οι συντελεστές c d e d προκύπτουν άµεσα από τα µηδενικά και τους πόλους της συνάρτησης ανοιχτού βρόχου και από τις ρίζες f d της συνάρτησης ανάδρασης %. Η (17) γράφεται ισοδυνάµως \ 4+e \ 4+ +e \ 4+e \ 4 c U 5+c U 5+ +c U 5+c U 5 και αφού δράσουµε µε τον τελεστή L και στα δύο µέλη προκύπτει L 2 \ 43+e L 2 \ 43+ +e \ L 243+e \ L 243 c L 2 U 53+c L 2 U 53+ +c U L 253+c U L 253. (18) Αλλά, για οποιαδήποτε συνάρτηση που έχει της αντίστοιχης τάξης παραγώγους και για οποιαδήποτε τέτοια τάξη g+1, ισχύει:
Lh Nd Nd dilhnd N di LhN Nd N N Ndi N d0. Εποµένως, µε απλή επαγωγή προκύπτει ότι εάν τότε Προφανώς αντιστοίχως αν τότε 0 N N 0 N\ N \0 0 Lh Nd N did 4, g 0,1,,[ 1. 0 N N 0 NU N U0 0 Lh Nd N di d 5, g 0,1,,Y 1. Εποµένως η (18) γράφεται ισοδυνάµως N N \+e N \+ +e \ N +e \ N \ O I R N \ I R` I& R+O I& R`+ +O U +O I& U (19) I Με τρόπο ανάλογο µε αυτόν της απόδειξης για συστήµατα 2 ας τάξεως, µπορούµε να αποδείξουµε ότι η διαφορική εξίσωση (19) περιγράφει ένα σύστηµα Τ γραµµικό και χρονικά αναλλοίωτο. Άρα και το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ένα ΓΧΑ σύστηµα.