Δυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων

Δυναμική Μηχανών I 8 3 H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων

2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

Περιεχόμενα Βασική Ιδέα της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων Βήματα Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων 1. Διακριτοποίηση Γεωμετρίας 2. Δημιουργία Τοπικών Μητρώων 3. Δημιουργία Ολικών Μητρώων 4. Επιβολή Οριακών Συνθηκών Ανάλυση Κατασκευών μέσω Πεπερασμένων Στοιχείων Επεκτάσεις Θεωρείας

Βασική Ιδέα της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων

Περιορισμοί Μεθόδου Galerkin Η μέθοδος Galerkin μετασχηματίζει μια ΜΔΕ σε ένα σύστημα ΣΔΕ χρησιμοποιώντας Ν συναρτήσεις μορφής n Ν x q x, t n(x) T y(t) Η Galerkin χρησιμοποιεί συναρτήσεις μορφής n Ν x που περιγράφουν την παραμόρφωση ολόκληρης της κατασκευής! Απλές περιπτώσεις: μπορούν να βρεθούν «καλές» n Ν x Δύσκολες κατασκευές πολύ δύσκολο να βρεθούν n Ν x

Από την Galerkin στα Πεπερασμένα Στοιχεία Παρατήρηση: είναι πολύ πιο εύκολο να βρει κάποιος συναρτήσεις μορφής για ένα μικρό ομογενές κομμάτι μιας κατασκευής, παρά για ολόκληρη την κατασκευή

Βασική Ιδέα Πεπερασμένων Στοιχείων Εφαρμογή της προσέγγισης Galerkin μέσω συναρτήσεων μορφής σε μικρά «κομμάτια» της κατασκευής (πεπερασμένα στοιχεία) αντί για ολόκληρη την κατασκευή Πολύ πιο έυκολο να βρεθούν κατάλληλες συναρτήσεις μορφής για μικρά απλά στοιχεία παρά για ολόκληρη την πολύπλοκη κατασκευή

Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Mέθοδος ΠΣ: μια αριθμητική μέθοδος επίλυσης ΜΔΕ. Χρησιμοποιείται σε διάφορα πεδία της επιστήμης: Ελαστικότητα (επίλυση εξισώσεων ελαστικότητας) Ηλεκτρομαγνητισμός (επίλυση εξισώσεων Maxwell) Μηχανική των ρευστών (επίλυση Navier Stokes) Μεταφορά Θερμότητας Συνδυασμός των παραπάνω (thermal-stress analysis, fluid-structure interaction) Δυναμικής Μηχανών: εισαγωγή στην μέθοδο & εφαρμογή σε απλά 1D προβλήματα ελαστικότητας Περισσότερα στα μαθήματα των ΑΜΚ Ι και ΙΙ Εικόνες από κατασκευείς προγραμμάτων ΠΣ: ansys, fluent

Βήματα της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων

Σύνοψη Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων 1. Διακριτοποίηση γεωμετρίας: Η κατασκευή χωρίζεται σε πεπερασμένα στοιχεία (ΠΣ) που περιέχουν κόμβους Συνήθως οι κόμβοι είναι στα όρια των ΠΣ και μοιράζονται σε παραπάνω από 1 ΠΣ 2. Υπολογισμοί ΠΣ: Για κάθε ΠΣ Επιλέγεται το είδος του ΠΣ ανάλογα με το πρόβλημα (γεωμετρία, υλικό, φόρτηση) Επιλέγονται οι Β.Ε. i q του (μετατοπίσεις στους κόμβους) ΠΣ Υπολογίζονται τα μητρώα i Μ και i K και οι γεν. δυνάμεις i ξ των ΠΣ 3. Τα i Μ, i K, και i ξ των ΠΣ συνδυάζονται ώστε να υπολογιστούν τα ολικά μητρώα G Μ, G K και οι γεν. δυνάμεις G ξ του συστήματος 4. Εφαρμόζονται οι οριακές συνθήκες του προβλήματος και προκύπτει ένα γραμμικό σύστημα Ν ΣΔΕ: Μ q + Κ q = ξ Οι N Β.Ε. q t του συστήματος είναι οι Ν άγνωστες μετατοπίσεις στους κόμβους

1) Διακριτοποίηση Γεωμετρίας Σε 1D γεωμετρίες (άξονες, άτρακτοι) Χωρίζονται σε ΠΣ ευθύγραμμα τμήματα Κάθε ΠΣ έχει 2 κόμβους Σε 2D γεωμετρίες (λεπτά φύλλα, αξονοσυμμετρικά στερεά, κελύφη) Χωρίζονται σε 2D ΠΣ (τρίγωνα, παραλληλόγραμμα) Κάθε ΠΣ έχει 3 κόμβους Σε τυχαίες 3D γεωμετρίες Κατασκευή χωρίζεται σε 3D ΠΣ (πυραμίδες, παραλληλεπίπεδα κτλ) Κάθε ΠΣ έχει 4 κόμβους

1) Διακριτοποίηση Γεωμετρίας H διακριτοποίηση πραγματοποιείται σε 2 βήματα 1. Ο χρήστης δημιουργεί την γεωμετρία της κατασκευής σε ένα πρόγραμμα CAD (1D, 2D, 3D) 2. Ένα εξειδικευμένος αλγόριθμος (mesher) με βάση τις οδηγίες χρήστη χωρίζει την γεωμετρία της κατασκευής σε ΠΣ (πλέγμα) Διαφορετικά σημεία της κατασκευής πρέπει να διακριτοποιηθούν με πιο «λεπτό» πλέγμα. Π.χ. σημεία συγκέντρωσης τάσεων CAD mesh FEA www.enccad.com ansysturbomarine.com

1) Διακριτοποίηση Γεωμετρίας Μια κατασκευή μπορεί να μοντελοποιηθεί με διάφορα γεωμετρικά μοντέλα θα διακριτοποιηθεί με αντίστοιχο τρόπο Παράδειγμα: κατασκευή σε κάμψη 1D Γεωμετρική Μοντελοποίηση διακριτοποίηση με 1D ΠΣ (ευθ. τμήματα) 2D Γεωμετρική Μοντελοποίηση διακριτοποίηση με 2D ΠΣ (παραλληλογρ.) Πιο πολύπλοκα μοντέλα Πιο ακριβή, πιο πληροφοριακά, πιο ακριβά υπολογιστικά

1) Διακριτοποίηση Γεωμετρίας Παράδειγμα: εφελκυσμός σύνθετης δοκού f(t) Απλούστερη διακριτοποίηση (2 Π.Σ., 3 Κόμβοι) f 1 Κόμβος 1 Κόμβος 2 Κόμβος 3 f(t) Π.Σ. A Π.Σ. B Πιο λεπτομερής διακριτοποίηση (8 Π.Σ., 9 Κόμβοι) 1 2 3 4 5 6 7 8 f 9 1 f(t) A Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ

2α) Είδη Πεπερασμένων Στοιχείων Το «είδος» κάθε ΠΣ περιέχει πληροφορίες σχετικά με Το είδος της ΜΔΕ προς επίλυση Εδώ μόνο ΜΔΕ ελαστικότητας ή απλοποιήσεις των γενικών ΜΔΕ ελαστικότητας ΠΣ για πλήρη ΜΔΕ ελαστικότητας: επίλυση 3D τασικού πεδίου ΠΣ για απλοποιημένες ΜΔΕ ελαστικότητας: επίλυση ειδικών περιπτώσεων φόρτισης και παραμόρφωσης (πχ: μόνο εφελκυσμός, μόνο κάμψη, 2D τασικό πεδίο, αξονοσυμμετρικά προβλήματα) Την γεωμετρία του ΠΣ (1D, 2D, 3D) Τις ιδιότητες του υλικού (π.χ.: ελαστικό, διφασικό, πλαστικό, βισκοελαστικό) Το μάθημα της Δυναμικής Μηχανών θα εστιαστεί σε 1D ελαστικά στοιχεία σε εφελκυσμό, στρέψη, κάμψη ή συνδυασμούς τους

2α) Είδη Πεπερασμένων Στοιχείων Παράδειγμα: μοντέλο εμφυτεύματος σε κόκκαλο Λόγω πολύπλοκης 3D γεωμετρίας η διακριτοποίηση παράγει παντού 3D ΠΣ Επειδή διαφορετικά μέρη του προβλήματος έχουν πολύ διαφορετικές μηχανικές ιδιότητες, απαιτείται η χρήση διαφορετικών ειδών ΠΣ Περιγραφή Υλικό Δομή Μηχ. ιδιότητες Δ Γ B A Α Οστό (φλοιός) Ασβεστοποιημένες ίνες κολλαγόνου Ομοιόμορφο, πυκνό Ελαστικό, ομογενές Β Οστό (δικτυοτό) Ασβεστοποιημένες ίνες κολλαγόνου Μικρο-οργανωμένο σε ωστεόνες Ελαστικό, αφρώδου πολυμερούς C Βίδες Ανοξείδωτο ατσάλι Ομοιόμορφο Ελαστικό, ομογενές D Εμφύτευμα Κεραμικό ή σύνθετο Ομοιμόμορφο ή ανομοιόμορφο Ελαστικό, ανομοιογενές http://www.jdionline.org/

2β) Όρια και Κόμβοι των Π.Σ. Κάθε Πεπερασμένο Στοιχείο Αντιστοιχεί σε ένα κομμάτι μιας κατασκευής, περιγράφεται από ένα (νοητό) όριο Περιλαμβάνει κόμβους Είτε στο όριο του ΠΣ είτε μέσα στο ΠΣ Κόμβος 1 Κόμβος 2 Κόμβος 3 Εδώ εστιάζουμε σε 1D: Π.Σ. A Κάθε ΠΣ περιγράφει ένα ευθύγραμμο τμήμα ενός γραμμικού φορέα Όρια: τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος Οι κόμβοι βρίσκονται είτε στα όρια, είτε μέσα στο ΠΣ Π.Σ. B Γειτονικά ΠΣ μοιράζονται κόμβους που βρίσκονται στο κοινό όριο τους! Πχ: Το ΠΣ Α περιέχει τους κόμβους 1, 2. Το ΠΣ Β περιέχει τους κόμβους 2, 2. Τα ΠΣ Α και Β μοιράζονται τον κόμβο 2

2γ) Βαθμοί Ελευθερίας ενός Π.Σ. Σε κάθε κόμβο αντιστοιχούν ως Β.Ε. ένας αριθμός κατάλληλων μετατοπίσεων Οι Β.Ε. ανά κόμβο εξαρτώνται από το είδος του Π.Σ. (την ΜΔΕ προς λύση) Γεωμετρία Π. Σ. Β.Ε. ανά κόμβο 1D Εφελκυσμού/θλίψης Αξονική μετατόπιση (u) 1D Στρέψης Γωνία στρέψης (θ x ) 1D Μονοδιάσταστης Κάμψης Εγκάρσια μετατόπηση (w), Γωνία κάμψης (θ y ) 2D 2D τασικό πεδίο Μετατόπιση κατά άξονα Χ (u), Μετατόπιση κατά άξονα Y (v) 3D 3D τασικό πεδίο Μετατόπιση κατά άξονα Χ (u), Μετατόπιση κατά άξονα Y (v) Μετατόπιση κατά άξονα Z (w) Οι Β.Ε. i q t του Π.Σ. είναι το σύνολο των Β.Ε. των κόμβων του Π.Σ.

2γ) Βαθμοί Ελευθερίας ενός Π.Σ. Παράδειγμα: Το παρακάτω Π.Σ. εφελκυσμού Α Περιέχει 2 κόμβους (1, 2) Κάθε κόμβος έχει ως Β.Ε. την αξονική μετατόπιση u κατά τον άξονα i x του ΠΣ Οι Β.Ε. του Π.Σ. είναι το σύνολο των Β.Ε. των κόμβων του i q t = i u 1 i u 2 T i x 1 i ρ, i A, i L, i E 2 i u 1 i u 2

Ονοματολογία Β.Ε. 2γ) Βαθμοί Ελευθερίας ενός Π.Σ. i u j : η μετατόπιση κατά τον (σωματόδετο) άξονα i x στον j-ιοστό κόμβο του i-ιοστού Π.Σ. u j : η μετατόπιση κατά τον (χωρόδετο) άξονα x στον j-ιοστό κόμβο του πλέγματος Α x Β x 1 2 3 Π.Σ. A Π.Σ. B x Προς το παρών θεωρούμε ότι τα συστ. συντεταγμένων (σωματόδετο) και xyz (χωρόδετο) είναι παράλληλα i x i y i z

2δ) Συναρτήσεις Μορφής ενός Π.Σ. Προσέγγιση Galerkin: Η μετατόπιση σε κάθε σημείο εντός του Π.Σ. εκφράζεται ως συνάρτηση των i q t μέσω συναρτήσεων μορφής n(x) Οι συναρτήσεις μορφής n(x) εξαρτώνται από το είδος του Π.Σ. και ειδικά από τον αριθμό των κόμβων Η i-ιοστή συνάρτηση μορφής αντιστοιχεί στον i-ιοστό κόμβο i Ν x = 1 κόμβο i 0 αλλοι κόμβους Με το ίδιο σετ n(x) υπολογίζεται η μετατόπιση σε κάθε διάσταση ως συνάρτηση των μετατοπίσεων των κόμβων σε αυτή την διάσταση

2δ) Συναρτήσεις Μορφής ενός Π.Σ. Παράδειγμα: Για ένα Π.Σ. εφελκυσμού κάθε Π.Σ. έχει 2 κόμβους 2 συναρτήσεις μορφής n x = 1 Ν x 2 Ν x = 1 Στον κόμβο 1: 1 Ν 0 = 1 και 2 Ν 0 = 0 Στον κόμβο 2: 1 Ν i L = 0 και 2 Ν i L = 1 Η οριζόντια μετατόπιση σε μια τυχαία θέση i x εκφράζεται ως προς τους 2 Β.Ε.: i u i x, t = 1 i x i L i u 1 t + i x i L i x i L i u 2 t = 1 i x i L i x i L T i x i L i u 1 t i u 2 t = n(x) T i q t

2ε) Δημιουργία Τοπικών Μητρώων Η δυναμική που αντιστοιχεί σε ένα Π.Σ. περιγράφεται από τις δυναμικές εξισώσεις: i Μ i q + i Κ i q = i ξ Τα μητρώα αδράνειας i Μ, και ελαστικότητας i K προκύπτουν από την κινητική και την δυναμική ενέργεια του ΠΣ, οι οποίες υπολογίζονται μέσω των συναρτήσεων μορφής n(x) Οι γενικευμένες δυνάμεις i ξ υπολογίζεται από το δυνατό έργο του ΠΣ ως συνάρτηση της χωρικής κατανομής της εξωτερικής φόρτισης και των συναρτήσεων μορφής n(x)

2ε) Δημιουργία Τοπικών Μητρώων Παράδειγμα: ΠΣ εφελκυσμού Μονοδιάστατο, περιγράφεται από την τοπική συντεταγμένη Ιδιότητες: περιγράφουν γεωμετρία ( i L) και ιδιότητες ελαστικού υλικού ( i ρ, i A, i E) i x i f(x, t) i f i 1 f 2 1 2 i x i u 1 i u 2 Βαθμοί ελευθερίας ΠΣ: οι μετατοπίσεις στους 2 κόμβους κατά τον άξονα x: i q = i u 1 i u 2 T

2ε) Δημιουργία Τοπικών Μητρώων Παράδειγμα: Πεπερασμένo στοιχείo εφελκυσμού (συνέχεια) Τα μητρώα αδράνειας και ελαστικότητας για κάθε Π.Σ. προκύπτουν με βάση τις n(x) όπως παρουσιάστηκε στην μέθοδο Galerkin): i Μ = i Κ = 0 0 i L i L i ρ i E i Α n x n(x) T dx = i Α b x b(x) T dx = i ρ i E i L i Α 6 i Α i L 2 1 1 2 1 1 1 1 Τα μητρώα ενός ΠΣ εξαρτώνται από την γεωμετρία του ΠΣ (μήκος i L) και από τις ιδιότητες του υλικού του ΠΣ (πυκνότητα i ρ, μέτρο ελαστικότητας i E, εμβαδόν διατομής i Α)

2ε) Δημιουργία Τοπικών Μητρώων Παράδειγμα: Πεπερασμένo στοιχείo εφελκυσμού (συνέχεια) Υπολογισμός γεν. δύναμης i ξ(t). Έστω ότι στο Π.Σ. ασκούνται οι δυνάμεις i f 1 (t) και i f 2 (t) στους δύο κόμβους του, και η ομοιόμορφα κατανεμημένη δύναμη i f x, t = i f(t)) κατά το μήκος του i L i ξ t = n x = 0 i f 1 (t) i f 2 (t) + 0 i L i f 1 t δ x + i f 2 t δ x i L + i f t dx = n x i f t dx = i f 1 (t) i f 2 (t) + i L 2 1 1 i f(t) i ξ t = i f 1 (t) i f 2 (t) + i L 2 1 1 i f t

2ε) Δημιουργία Τοπικών Μητρώων Στην πράξη, οι αναλυτικοί υπολογισμοί των μητρώων i Μ, i Κ και των γενικευμένων δυνάμεων i ξ t γίνονται μια φορά και μετά είναι διαθέσιμοι σε πίνακες ως συνάρτηση Της γεωμετρίας του Π.Σ. Των ιδιοτήτων του υλικού Τα επόμενα slides παρέχουν τα μητρώα i Μ, i Κ και το διάνυσμα i ξ t σε διάφορα είδη 1D πεπερασμένων στοιχείων.

2ε) Δημιουργία Τοπικών Μητρώων Είδος Π.Σ. Εφελκυσμός Στρέψη i x i f(t) i f i 1 f 2 i x i τ(t) i τ i 1 τ 2 i u 1 i u 2 i θ x1 i θ x2 Ιδιότητες Υλικού & γεωμετρία i ρ, i A, B. E i u 1 i u 2 T i θ x1 i θ x2 T i L, i E i ρ, i I P, i L, i G, i J Μητρώο αδράνειας i Μ Μητρώο ελαστ. i K i ρ i E i L i Α 6 i Α i L 2 1 1 2 1 1 1 1 i ρ i G i L i I P 6 i J i L 2 1 1 2 1 1 1 1 Γενικευμένες δυνάμεις i ξ i f 1 (t) i i f 2 (t) + f(t) 2 i L 1 1 i τ 1 (t) i i τ 2 (t) + τ(t) 2 i L 1 1

2ε) Δημιουργία Τοπικών Μητρώων Είδος Π.Σ Κάμψη i x i q(x, t) i M y1 i M y2 i f z1 i f z2 i θ y1 i w 1 i θ y2 i w 2 Ιδιότητες Υλικού & γεωμετρία i ρ, i A, i L, i E, B. E i w 1 i θ y1 i w 2 i θ y2 T i I z Μητρώα αδράνειας i Μ και ελαστικότητας i K i Μ = i ρ i A i L 420 156 22 i L 54 13 i L 4 i L 2 13 i L 3 i L 2 156 22 i L 4 i L 2, i K = i E i I z i L 3 12 6 i L 12 6 i L 4 i L 2 6 i L 2 i L 2 12 6 i L 4 i L 2 Γενικευμένες δυνάμεις i ξ i f Z1 1 i L ξ = i M y1 i + f Z2 i M y2 i q(t) 2 i L 6 1 i L 6

3) Υπολογισμός Ολικών Μητρώων Τα μητρώα αδράνειας G Μ και ελαστικότητας G Κ και οι γενικευμένες δυνάμεις G ξ t του συστήματος προκύπτουν συνδυάζοντας τα μητρώα i Μ, i Κ και το διάνυσμα i ξ t κάθε Π.Σ. Οι αντίστοιχες δυναμικές εξισώσεις ως προς G q: G Μ G q + G Κ G q = G ξ δεν περιλαμβάνουν οριακές συνθήκες και δεν είναι άμεσα χρήσιμες

3α) Μητρώο Αντιστοιχείας Οι Β.Ε. G q του συστήματος (καθολικοί βαθμοί ελευθερίας) είναι το σύνολο των Β.Ε. κάθε κόμβου Για κάθε Π.Σ., οι Β.Ε. i q του Π.Σ. (τοπικοί βαθμοί ελευθερίας) μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των Β.Ε. G q του συστήματος μέσω ενός μητρώου αντιστοιχείας i Τ: i q = i Τ G q Το μητρώο i Τ περιέχει μόνο 0 και 1 Μόνο ένα στοιχείο μη-μηδενικό (1) ανά γραμμή Το πολύ ένα στοιχείο μη-μηδενικό (1) ανά στήλη

3α) Μητρώο Αντιστοιχείας Φυσικό νόημα μητρώου αντιστοιχείας: Η παρουσία 1 στην γραμμη μ και στήλη ν του i Τ σημαίνει ότι ο μ-ιοστός τοπικός Β.Ε. του i-ιοστού ΠΣ ταυτίζεται με τον ν-ιοστό καθολικό Β.Ε. Το σύνολο των στηλών του i Τ όπου υπάρχουν μη-μηδενικά στοιχεία (1) είναι το σετ i t των καθολικών Β.Ε. που ταυτίζονται με τους τοπικούς Β.Ε. του i-ιοστού ΠΣ Το σετ i t είναι διατεταγμένο: το μ-ιοστό στοιχείο του i t ισούται με τον αριθμό ν της στήλης όπου υπάρχει 1 στην μ-ιοστή γραμμή του i Τ Η διάσταση του πίνακα i Τ είναι i Ν G N, όπου i Ν είναι ο # των τοπικών Β.Ε. του Π.Σ. i, και G N είναι ο # των καθολικών Β.Ε.

3α) Μητρώο Αντιστοιχείας Παράδειγμα: Κατασκευή σε εφελκυσμό Κάθε κόμβος έχει 1 Β.Ε. Οι καθολικοί Β.Ε. του συστήματος είναι το σύνολο των Β.Ε. κάθε κόμβου G q = u 1 u 2 u 3 Τ Οι Β.Ε. και τα αντίστοιχα μητρώα αντιστοιχείας των Π.Σ. είναι: A q = Β q = A u 1 A u 2 = u 1 u 2 = 1 0 Β u 1 Β u 2 = u 2 u 3 = 0 0 0 1 1 0 f 1 (t) 1 2 3 Π.Σ. A 0 0 u 1 u 2 u 3 Τ Α Τ = 1 0 0 1 u 1 u 2 u 3 Τ Β Τ = 0 0 0 1 1 0 Π.Σ. B f(t) 0 0 Α t = {1,2} 0 1 Β t = {2,3}

3β) Υπολογισμός Ολικών Μητρώων Υπολογισμός μητρώου αδράνειας G Μ: Η κινητική ενέργεια του συστήματος ισούται με το άθροισμα των κιν. ενεργειών των ν ΠΣ ν Τ = i Τ = ν 1 i=1 i=1 2 i q T ν ν i M i q = 1 2 i Τ G q T i M i Τ G q i=1 Τ = 1 2 G q T { i Τ T i M i Τ} G q = 1 2 G q T G Μ G q i=1 Οπότε το μητρώο αδράνειας G Μ προκύπτει από τα i M των Π.Σ. ως: ν G Μ = { i Τ T i M i Τ} i=1

3β) Υπολογισμός Ολικών Μητρώων Το φυσικό νόημα του όρου της προηγούμενης σχέσης είναι ότι ο υπολογισμός του μητρώου G Μ γίνεται ως εξής G Μ αρχικοποιείται ως ένα μητρώο G N G N με μηδενικά στοιχεία Για κάθε Π.Σ., προστίθεται το μητρώο i M στον υποπίνακα του G Μ που ορίζεται από το σετ των γραμμών i t και στηλών i t

3β) Υπολογισμός Ολικών Μητρώων Υπολογισμός μητρώου ελαστικότητας G K: Η δυναμική ενέργεια του συστήματος ισούται με το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών των ν ΠΣ (λόγω ελαστικών ελατηρίων) ν U = i U = ν 1 i=1 i=1 2 i q T Οπότε το μητρώο ελαστικότητας G K είναι: ν i K i q = 1 2 G q T { i Τ T i K i Τ} G q ν G K = { i Τ T i K i Τ} i=1 i=1

3β) Υπολογισμός Ολικών Μητρώων Υπολογισμός γενικευμένων δυνάμεων G ξ: Το δυνατό έργο του συστήματος ισούται με το άθροισμα των δυνατών έργων των ν ΠΣ ν ν δw = i δw = i q T i ξ t = G q T { i Τ T i ξ t } i=1 i=1 i=1 Οπότε οι γενικευμένες δυνάμεις G ξ είναι: ν G ξ = { i Τ T i ξ t } i=1 ν

3β) Υπολογισμός Ολικών Μητρώων Συνέχεια παραδείγματος εφελκυσμού f 1 (t) Κόμβος 1 Κόμβος 2 Κόμβος 3 f(t) Π.Σ. A Π.Σ. B A A ρ A Α A L M = 6 A A E A Α K = A L Π.Σ. Α 2 1 1 2 m A 1 1 1 1 k A 2 1 1 2 1 1 1 1 B B ρ B Α B L M = 6 B B E B Α K = B L Π.Σ. Β 2 1 1 2 m Β 1 1 1 1 k B A ξ = f 1 0 B ξ = 0 f 3 = 0 f t A u 1 A u 2 T = u 1 u 2 T B u 1 B u 2 T = u 2 u 3 T 2 1 1 2 1 1 1 1 Α Τ = 1 0 0 1 0 0 Β Τ = 0 0 1 0 0 1

3β) Υπολογισμός Ολικών Μητρώων Συνέχεια παραδείγματος εφελκυσμού Tα ολικά μητρώα αδράνειας G Μ και ελαστικότητας G Κ του συστήματος προκύπτουν συνδυάζοντας τα μητρώα των δύο Π.Σ. G Μ = Α Τ T Α M Α Τ + Β Τ T Β M Β Τ = G Κ = Α Τ T Α Κ Α Τ + Β Τ T Β Κ Β Τ = 2m A m A 0 m A 2m A + 2m B m B 0 m B 2m B k A k A 0 k A k A + k B k B 0 k B k B Οι γενικευμένες δυνάμεις G ξ του συστήματος προκύπτουν συνδυάζοντας τις γενικευμένες δυνάμεις των δύο Π.Σ. G ξ = Α Τ T Α ξ + Β Τ T Β ξ = f 10 f t

4) Εφαρμογή Οριακών Συνθηκών Το βήμα 3 παρέχει τις δυναμικές εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική όλων των B.E. (μετατοπίσεων) G q στους κόμβους G Μ G q + G Κ G q = G ξ Οι εξισώσεις αυτές δεν έχουν πρακτική αξία διότι δεν περιέχουν οριακές συνθήκες, απαραίτητες για την επίλυση ΠΑΣΣ σε ΜΔΕ. Το επόμενο βήμα είναι να εφαρμοστούν οι οριακές συνθήκες και να καταστρωθούν οι δυναμικές εξισώσεις για τις άγνωστες μετατοπίσεις Μ q + Κ q = ξ

4α) Είδη Οριακών Συνθηκών Σε κάθε κόμβο και για κάθε κατεύθυνση είναι γνωστή είτε η μετατόπιση q είτε η δύναμη f Δεν είναι δυνατών σε κάποιο κόμβο Να είναι γνωστή και η μετατόπιση και η δύναμη Να είναι άγνωστη και η μετατόπιση και η δύναμη Έστω N G ο συνολικός αριθμός δυνατών Β.Ε. (κόμβοι x Β.Ε. ανά κόμβο) Σε Ν από αυτές είναι άγνωστη η μετατόπιση Στις υπόλοιπες Ν C = N G N είναι γνωστή η μετατόπιση

4α) Είδη Οριακών Συνθηκών Παράδειγμα εφελκυσμού G q = u 1 u 2 u 3 Τ f(t) Κόμβος 1 Γνωστή μετατόπιση u 1 = 0 f Κόμβος 1 Κόμβος 2 1 Άγνωστη δύναμη f 1 (αντίδραση) Κόμβος 3 f 3 Κόμβος 2 Άγνωστη μετατόπιση u 2 Γνωστή δύναμη f 2 = 0 (δεν ασκείται εξωτερική διέγερση) Κόμβος 3 Άγνωστη μετατόπιση u 3 Γνωστή δύναμη f 3 = f(t) (εξωτερική διέγερση) Π.Σ. A Π.Σ. B Συνολικά υπάρχουν Ν = 2 άγνωστοι δυνατοί Β.Ε. (μετατόπιση κατά x στους κόμβους 2, 3) και Ν C = 1 γνωστός δυνατός Β.Ε. (μετατόπιση κατά x στον κόμβο 1)

4β) Αναδιάταξη Μετατοπίσεων Μέσω ενός Ν G Ν G μητρώου αναδιάταξης A T, το διάνυσμα G q αναδιατάσεται σε ένα νέο διάνυσμα Α q: Α q = A T G q = q q c Τα Ν πρώτα στοιχεία του Α q είναι οι άγνωστες μετατοπίσεις q Τα υπόλοιπα στοιχεία του Α q είναι οι γνωστές μετατοπίσεις q c (οριακές συνθηκ.) Σχετικά με το μητρώο αναδιάταξης A T Τα στοιχεία του είναι είτε 0 είτε 1. Περιέχει ένα μη-μηδενικό στοιχείο ανά γραμμή και ανά στήλη Ο ρόλος του είναι να αναδιατάσει τα στοιχεία ενός διανύσματος Ο αντίστροφος του είναι ο ανάστροφος του: A T 1 = A T Τ

4β) Αναδιάταξη Μετατοπίσεων Συνέχεια παραδείγματος εφελκυσμού Τα στοιχεία του διανύσματος G q = u 1 u 2 u Τ 3 αναδιατάσονται ως 0 1 0 u 2 Α q = 0 0 1 G q = u q Ν = 2 3 1 0 0 u 1 q c Ν C = 1 Το νόημα του μητρώου αναδιάταξης A T 0 1 0 A T = 0 0 1 1 0 0 Είναι να αναδιατάξει τα τρία στοιχεία του G q με την σειρά: 2, 3, 1 η σειρά προκύπτει με βάση την στήλη κάθε γραμμής που έχει το μόναδικό μημηδενικό στοιχείο

4β) Αναδιάταξη Μετατοπίσεων Οι δυναμικές εξισώσεις μετά την αναδιάταξη των μετατοπίσεων (ως προς το διάνυσμα Β.Ε. Α q) είναι: Α Μ Α q + Α Κ Α q = Α ξ Όπου Α Μ = A T G Μ A T Τ Α K = A T G K A T Τ Α ξ = A T G ξ Δηλαδή το μητρώο Α Μ προκύπτει αναδιατάσοντας τις γραμμές και τις στήλες του μητρώου G Μ σύμφωνα με την σειρά που υποδηλώνει το A T. Αντίστοιχα, το διάνυσμα Α ξ προκύπτει αναδιατάσοντας τις γραμμές του μητρώου G ξ σύμφωνα με την σειρά που υποδηλώνει το A T.

4β) Αναδιάταξη Μετατοπίσεων Συνέχεια παραδείγματος εφελκυσμού Οι άγνωστοι και γνωστοί Β.Ε. (μετατοπίσεις) είναι: q = u 2 u 3 T, q c = u 1 Με βάση το μητρώο A T, τα μητρώα Α Μ, Α Κ προκύπτoυν αναδιατάσοντας τις γραμμές και τις στήλες των G Μ, G Κ με την σειρά 2 3 1: 2m A + 2m B m B m A k A + k B k B k A A Μ = m B 2m B 0, A Κ = k B k B 0 m A 0 2m A k A 0 k A Tο Α ξ προκύπτει αναδιατάσοντας τις γραμμές του G ξ με την σειρά 2 3 1: 0 A ξ = f t f 1

4γ) Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Οι παραπάνω δυναμικές εξισώσεις ως προς Α q γράφονται: Α Μ Α q + Α Κ Α q = Α ξ M M C T M C M CC q q c + K K C K C T K CC q q c = ξ ξ c Όπου τα Ν G Ν G μητρώα Α Μ, Α Κ και το Ν G 1 διάνυσμα Α ξ έχουν γραφτεί σαν σύνθετοι πίνακες κατάλληλων διαστάσεων: Α Μ = M M C T, Α K = K K C T, Α ξ = ξ M C M CC K C K CC ξ c Τα μητρώα M και K είναι συμμετρικά με διάσταση Ν Ν (ίδια με διάσταση των q, ξ) Τα μητρώα M CC και Κ CC είναι συμμετρικά με διάσταση Ν C Ν C (ίδια με διάσταση των q c ξ c ) Τα μητρώα M C και K C έχουν διάσταση Ν Ν C

4γ) Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Από τα παραπάνω προκύπτουν δύο σετ εξισώσεων που περιέχουν τα μητρώα M, K, M CC,Κ CC, M C και K C : 1. Οι δυναμικές εξισώσεις ως προς τις άγνωστες μετατοπίσεις q: M q + K q = ξ t M C q c t + K C q c t Διέγερση των q λόγω των γνωστών δυνάμεων/ ροπών που περιέχονται στο διάνυσμα ξ Kινηματική διέγερση των q λόγω των γνωστών μετατοπίσεων q c t 2. Οι εξισώσεις που παρέχουν τις άγνωστες αντιδράσεις ξ c στα σημεία που η μετατόπιση είναι γνωστή ξ c = M CC q c + K CC q c + M T C q + K T C q Για να υπολογιστούν οι αντιδράσεις πρέπει πρώτα να έχει υπολογιστεί η απόκριση q t

4γ) Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Όταν οι γνωστές μετατοπίσεις είναι μηδενικές q c t = 0 (άρθρωση, πάντωση, κύλιση κτλ) τότε οι εξισώσεις απλοποιούνται 1. Οι δυναμικές εξισώσεις για τα q γίνονται: M q + K q = ξ t 2. Οι εξισώσεις για τις αντιδράσεις γίνονται: ξ c = M T C q t + K T C q t

4γ) Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Συνέχεια παραδείγματος εφελκυσμού Οι δυναμικές εξισώσεις γίνονται: 2m A + 2m B m B u 2 + k A + k B k B u 2 m B 2m B u 3 k B k B u = 0 3 f t m A 0 u 1 t + k A 0 u 1 t Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες (u 1 t = 0) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης για τους Β.Ε. q : 2m A + 2m B m B u 2 + k A + k B k B u 2 m B 2m B u 3 k B k B u 3 = 0 1 f(t) Αφού υπολογιστούν οι άγνωστες μετατοπίσεις u 2, u 3, η αντίδραση στον κόμβο 1 υπολογίζεται ως: f 1 t = M C T q + K C T q = m A 0 T u 2 u 3 + k A 0 T u 2 u 3 = m A u 2 (t) k A u 2 (t)

5) Ανάλυση Κατασκευών Μέσω Πεπερασμένων Στοιχείων Με βάση το δυναμικό μοντέλο Ν Β.Ε. που παρέχει η μοντελοποίηση των πεπερασμένων στοιχείων M q + K q = ξ t Μπορούν να εφαρμοστούν διάφορες τεχνικές ανάλυσης που αναλύθηκαν σε προηγούμενες θεματικές ενότητες Ιδιοανυσματική Ανάλυση: Υπολογισμός των ιδιοσυχνοτήτων i ω και ιδιοανυσμάτων i φ της κατασκευής Επειδή συνήθως ο αριθμός των Β.Ε. Ν είναι μεγάλος, τα χαμηλότερα ιδιοανύσματα προσεγγίζουν με καλή ακρίβεια τις αντίστοιχες ιδιομορφές i X(x) της κατασκευής Απόκριση στο πεδίο του χρόνου: υπολογισμός της απόκρισης q t σε διάφορα είδη μεταβατικών διεγέρσεων Απόκριση συχνότητας: εκτίμηση συνάρτησης απόκρισης συχνότητας Η i j jω σε διάφορα σημεία της κατασκευής απόκριση σε αρμονικές διεγέρσεις

5) Ανάλυση Κατασκευών Μέσω Πεπερασμένων Στοιχείων Τα μοντέρνα πακέτα πεπερασμένων στοιχείων (π.χ. Ansys, Abacus, ADINA) παρέχουν ολοκληρωμένες λύσεις για ανάλυση κατασκευών μέσω πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Analysis FEA) Γεωμετρική μοντελοποίηση Δημιουργία πλέγματος Κατάστρωση μοντέλου ΠΣ (μητρώα M, Κ και ξ) Ιδιοανυσματική ανάλυση Πεπερασμένα Στοιχεία Υπολογισμό απόκρισης σε μεταβατικές διεγέρσεις Οπτικοποίηση και παρουσίαση αποτελεσμάτων

6) Επεκτάσεις Πηγαίνοντας τα παραπάνω μερικά βήματα παραπάνω 1. Συνδυασμός 1D Π.Σ. 2. Μετασχηματισμός χώρου

6α) Συνδυασμός Π.Σ. σε 1D Γεωμετρίες Σε 1D προβλήματα, σε κάθε κόμβο υπάρχουν 6 πιθανές μετατοπίσεις. Μόνο μερικές από αυτές θεωρούνται άγνωστες και θεωρούνται Β.Ε. Οι υπόλοιπες θεωρούνται σταθερές & δεν συμμετέχουν στις δυν. εξισώσεις Αναλόγα με το πρόβλημα είναι αναγκαίο να χρησιμοποιηθούν ΠΣ για ένα ή περισσότερα από τα 4 στοιχειώδη 1D προβλήματα Μετατόπιση Μετατόπιση u κατά διαμήκη άξονα x Γωνιακή μετατόπιση θ x περί τον άξονα x Μετατόπιση v κατά εγκάρσιο άξονα y Γωνιακή μετατόπιση θ z περί τον άξονα z Μετατόπιση w κατά εγκάρσιο άξονα z Γωνιακή μετατόπιση θ y περί τον άξονα y Στοιχειώδη 1D πρόβλημα όπου η μετατόπιση είναι Β.Ε. του κόμβου Εφελκυσμός-θλίψη Στρέψη Κάμψη περί τον άξονα z Κάμψη περί τον άξονα z Κάμψη περί τον άξονα y Κάμψη περί τον άξονα y

6α) Συνδυασμός Π.Σ. σε 1D Γεωμετρίες Στο παρακάτω σύνθετο πρόβλημα, η δύναμη f(t) προκαλεί στον πρόβολο (ρ, Ε, Ι z, Α, L) τόσο εφελκυσμό όσο και κάμψη f(t) Το πρόβλημα λύνεται συνδυάζοντας 1D ΠΣ για εφελκυσμό και κάμψη Αυτό αντιστοιχεί με την λύση των ΜΔΕ εφελκυσμού και κάμψης f x (t) f z (t) Για απλοποίηση, το σύστημα διακριτοποιείται με 1 1D Π.Σ. 1 2

6α) Συνδυασμός Π.Σ. σε 1D Γεωμετρίες Σύνθετο πρόβλημα, συνέχεια: Πρόβλημα εφελκυσμού 1 Π.Σ. εφελκυσμού «Α» με 2 κόμβους 1 Β.Ε. σε κάθε κόμβο: Μετατόπιση u i κατά σωματόδετο άξονα x Συνολικά, 2 τοπικοί Β.Ε. Α q = A u 1 A u 2 1 2 x f x (t) A u 1 z A u 2

6α) Συνδυασμός Π.Σ. σε 1D Γεωμετρίες Σύνθετο πρόβλημα, συνέχεια: Πρόβλημα κάμψης 1 Π.Σ. εφελκυσμού «Α» με 2 κόμβους 2 Β.Ε. σε κάθε κόμβο (μετατόπίση w i κατά σωματόδετο άξονα z, γωνία θ i περί σωματόδετο άξονα y) Συνολικά, 4 τοπικοί Β.Ε. Α q = Β w 1 Β θ 1 Β w 2 1 x 2 f y (t) Β θ 2 Β θ Β w Β 1 1 θ 2 z Β w 2

6α) Συνδυασμός Π.Σ. σε 1D Γεωμετρίες Σύνθετο πρόβλημα, συνέχεια: Συνολικό σύστημα 2 κόμβοι Οι καθολικοί Β.Ε. του συστήματος είναι το σύνολο των Β.Ε. των κόμβων G q = u 1 w 1 θ 1 u 2 w 2 θ 2 Τ Τα μητρώα αντιστοιχείας για τα δύο Π.Σ. είναι Α q = A u 1 A = 1 0 0 u 2 0 0 0 τ 1y f 1x θ 1 f 1z 1 Χ 2 0 0 0 1 0 0 G q = Α Τ G q f z (t) u 1 u Ζ θ 2 2 w 1 w 2 f x (t) Α q = Β w 1 Β θ 1 Β = w 2 Β θ 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 G q = Β Τ G q

6α) Συνδυασμός Π.Σ. σε 1D Γεωμετρίες Σύνθετο πρόβλημα, συνέχεια: Μητρώα Π.Σ. Π.Σ. Εφελκυσμού Α A M = ρ Α L 6 A K = Ε Α L 2 1 1 2 B M = ρ A L 420 1 1 1 1 B K = E I Z L 3 Π.Σ. Β 54 13L 156 22L 4L 2 13L 3L 2 156 22L 4L 2 12 6L 12 6L 4L 2 6L 2L 2 12 6L 4L 2 A ξ = f 1x f x T B ξ = f 1z τ 1y f z 0 T Α Τ = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Β Τ = 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

6α) Συνδυασμός Π.Σ. σε 1D Γεωμετρίες Σύνθετο πρόβλημα, συνέχεια: Υπολογισμός ολικών μητρώων G Μ = Α Τ T Α M Α Τ + Β Τ T Β M Β Τ = G Κ = Α Τ T Α Κ Α Τ + Β Τ T Β Κ Β Τ = k x = ρ Α L 420 140 0 0 0 156 22L 0 22L 4L 2 70 0 0 0 54 13L 0 13L 3L 2 k x 0 0 0 12 k z 6 L k z 0 6 L k z 4 L 2 k z k x 0 0 0 12 k z 6 L k z 0 6 L k z 2 L 2 k z E A L, k z = E I Z L 3 G ξ = Α Τ T Α ξ + Β Τ T Β ξ = f 1x f 1z τ 1y f x f z 0 Τ 70 0 0 0 54 13L 0 13L 3L 2 140 0 0 0 156 22L k x 0 22L 0 4L 2 0 0 12 k z 6 L k z 0 6 L k z 2 L 2 k z k x 0 0 0 12 k z 6 L k z 0 6 L k z 4 L 2 k z

6β) Μετασχηματισμός Χώρου Έως τώρα οι τοπικοί Β.Ε. των Π.Σ. ήταν παράλληλοι με τους καθολικούς Β.Ε. του συστήματος Υπάρχει περίπτωση ένα 1D Π.Σ. να είναι υπό γωνία ως προς άξονες του χωρόδετου σ.σ. (ως προς το οποίο ορίζονται συνήθως οι Β.Ε.) Παράδειγμα: στο δικτύωμα του διπλανού σχήματος, από τους 3 φορείς (AB, AD, BD) μόνο σε ένα (AB) ο άξονας του είναι παράλληλος με άξονα X του χωρόδετου σ.σ. ΧΥΖ ω Y Χ ω ω ω ω ω

6β) Μετασχηματισμός Χώρου Σε αυτή την περίπτωση, για κάθε 1D Π.Σ. 1. Δημιουργούνται τα τοπικά μητρώα i Μ, i K και το διάνυσμα i ξ ως προς τους τοπικούς Β.Ε. i q όπως ακριβώς περιγράφηκαν στο βήμα 2 παραπάνω 2. Οι Β.Ε. i q και τα i Μ, i K, i ξ μετασχηματίζονται στα G i q και τα G i Μ, G i K, G i ξ ως προς το χωρόδετο σ.σ. μέσω ενός μετασχηματισμού περιστροφής i Β 3. Μέσω ενός μητρώου αντιστοιχίας (για τους μετασχηματισμένους Β.Ε. G i q του i-ιοστού Π.Σ.) τα τοπικά G i Μ, G i K, G i ξ συνδέονται και σχηματίζονται τα μητρώα G Μ, G Κ και το διάνυσμα G ξ t του συστήματος όπως περιγράφηκε στο βήμα 3 παραπάνω

6β) Μητρώο Περιστροφής Για το 1D Π.Σ. του παρακάτω σχήματος Έστω η γωνία i θ διεύθυνσης του σωματόδετου σ.σ. xyz του ΠΣ i ως προς το χωρόδετο σ.σ. XYZ Το σ.σ. xyz προκύπτει από το χωρόδετο σ.σ. XYZ μετά από περιστροφή κατά γωνία i θ περί τον άξονα Ζ y 2 i θ 1 x Y Χ

6β) Μητρώο Περιστροφής Για το 1D Π.Σ. του προηγούμενου σχήματος Ένα διάνυσμα i r εκφρασμένο στo σ.σ. xyz περιγράφεται στο σ.σ. XYZ ως G r μέσω ενός μητρώου περιστροφής i R G r = i R i r X Y Z = c i s i 0 s i c i 0 0 0 1 i x i y i y c i cos i θ και s i sin( i θ)

6β) Μητρώο Περιστροφής Φυσικό νόημα των στηλών του i R: c i s i 0 i R = s i c i 0 0 0 1 Πρώτη στήλη: ένα διάνυσμα κατά τον άξονα x έχει συνεισταμένες στους άξονες Χ και Υ ένας Β.Ε. κατά τον άξονα x αντιστοιχεί σε 2 Β.Ε. κατά τους άξονες Χ και Υ Δεύτερη στήλη: ένα διάνυσμα κατά τον άξονα y έχει συνεισταμένες στους άξονες Χ και Υ ένας Β.Ε. κατά τον άξονα y αντιστοιχεί σε 2 Β.Ε. κατά τους άξονες Χ και Υ Τρίτη στήλη: ένα διάνυσμα κατά τον άξονα z έχει συνεισταμένη μόνο στον άξονα Ζ ένας Β.Ε. κατά τον άξονα z αντιστοιχεί σε 1 Β.Ε. κατά τον άξονα Ζ

6β) Βαθμοί Ελεθερίας Για κάθε τοπικό Β.Ε. του Π.Σ. ως προς το σ.σ. xyz αντιστοιχούν τοπικοί Β.Ε. ως προς το σ.σ. ΧYZ ανάλογα με τα στοιχεία του i R Οι Β.Ε. i G q ως προς ΧYZ και i q ως προς xyz συνδέονται μέσω ενός μετασχηματισμόύ περιστροφής i B που περιέχει ως στοιχεία τα αντίστοιχα στοιχεία του i R G i q = i B i q

Παράδειγμα: 6β) Βαθμοί Ελεθερίας Το παρακάτω Π.Σ. εφελκυσμού έχει 2 τοπικούς Β.Ε. i q κατά τον άξονα x Ενας Β.Ε. κατά τον άξονα x αντιστοιχεί σε 2 Β.Ε. κατά τους άξονες Χ, Υ οι 2 Β.Ε. του Π.Σ. ως προς xyz αντιστοιχούν στους 4 Β.Ε. G i q ως προς ΧΥΖ i θ G i q = i B i u 2 i q G i u 1 G i v 1 G i u 2 = G i v 2 2 2 i u y y 1 G i u G i v 1 2 x x 1 1 Y G i u 1 Χ c i s i 0 0 0 0 c i s i i u 1 i u 2 G i v 2

6β) Δυναμικές Εξισώσεις Π.Σ. Με δεδομένα τα i Μ, i K, i ξ (ως προς τους σωματόδετους τοπικούς Β.Ε. i q) τα αντίστοιχα i G Μ, i G K, i G ξ για το i-ιοστό Π.Σ. ως προς τους χωρόδετους τοπικούς Β.Ε. i G q) υπολογίζονται ως G i Μ = i B G i K = i B G i ξ = i B i Μ i K Τα μητρώα G i Μ, G i K και το διάνυσμα G i ξ μέσω κατάλληλων μητρώων αντιστοιχείας συνδέονται και δημιουργούνται τα G Μ, G Κ και το G ξ t του συστήματος όπως περιγράφηκε στο βήμα 3 παραπάνω i ξ i B Τ i B Τ