ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,... ii. Ακέραιοι αριθμοί : iii. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0 iv. Άρρητοι αριθμοί : Q...,,...,,..,... οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί) v. Πραγματικοί αριθμοί : R Q Q οι ρητοί και άρρητοι) Διαστήματα πραγματικών αριθμών i. Κλειστό διάστημα :, ii. Ανοικτό διάστημα :, iii. Ανοικτό - κλειστό διάστημα :, ] iv. Κλειστό - ανοικτό διάστημα : [, ) Επίσης : v., ) ή [, ) vi., ) ή, ]. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός τότε:...,, 0 0),, Αν ν περιττός : ενώ αν ν άρτιος : ή,,,,. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ : ) ) ) ) ) ) )... ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων : i) ) ii) ) iii) ) iv) ) v) 9 vi) vii) 8 viii) 7 i) ) ) ) ) ) i) ) ii) ) iii) ). ΡΙΖΕΣ Ισχύουν οι ιδιότητες :, και ν θετικός ακέραιος. Συνήθως :, ), θετικός ή 0 και ν θετικός ακέραιος. Συνήθως :, ), θετικός ή 0 και ν, μ θετικοί ακέραιοι.συνήθως :, ), χ εir και ν, μ θετικοί ακέραιοι. ΠΡΟΣΟΧΗ : ενώ. Όταν κάτω από τη ρίζα υπάρχει αριθμός που είναι τέλειο τετράγωνο τότε εύκολα υπολογίζω το αποτέλεσμα. π.χ., κτλ. Όταν όμως ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο κοιτώ μήπως μπορώ να απλοποιήσω τη ρίζα γράφοντας τον αριθμό σαν γινόμενο δυο αριθμών εκ των οποίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο. π.χ. 8 π.χ. π.χ. 7 Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει μια ρίζα, τότε πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη ρίζα αυτή ώστε να προκύψει κλάσμα που στον παρανομαστή δεν έχει ρίζα. π.χ. π.χ. Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει παράσταση της μορφής,,, τότε για να απαλλαγώ από τη ρίζα στον παρανομαστή πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του παρανομαστή. ) π.χ. ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

0 π.χ. 0 0 ) ) ) π.χ. ) ) ) 9 9 9 9. Η ΕΞΙΣΩΣΗ : α+β=0 Μια εξίσωση πρώτου βαθμού έχει τελικά τη μορφή α+β=0 ή α=-β ) Αν α 0, η ) έχει μόνο μια λύση ρίζα), την. Αν α=0 και β 0, η ) είναι αδύνατη δεν έχει λύση). Αν α=0 και β=0, η ) είναι ταυτότητα ή αόριστη αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό χ). π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : ) ) Λύση : ) ) 0 9 9 0 0 ) 7 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : Πρώτα από όλα θέλω να απαλλαγώ από τα κλάσματα. Βρίσκω,,) και στη συνέχεια πολ/ζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να κάνω απαλοιφή παρανομαστών. ) 7 ) ) 7 7 7 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 0 ii) ) ) 8 iii) ) 0) iv) ) 0. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 0 Αν Δ>0 τότε, Διακρίνουσα Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Είναι 9 8 0, έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες τις ), π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 0 Είναι 0 00 00 0, έχει μια πραγματική διπλή ρίζα την 0 0 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : ) ) 9 0 0 Είναι ) 8 0, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Προσοχή : Όταν β=0 ή γ=0, τότε η εξίσωση 0 μπορεί να λυθεί πιο εύκολα χωρίς τη χρήση της διακρινουσας. Πιο συγκεκριμένα : Αν β=0 τότε 0 π.χ. 0 π.χ. 9 0 9 9 π.χ. 0 π.χ. 0 Αδύνατη. Αν γ=0 τότε 0 π.χ. 0 ) 0 0 ή 0 π.χ. 0 ) 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 0 ii) 9 0 iii) ) iv) 9 0 v) 9 0 vi) 7 0 vii) 0 9) viii) 7 7. ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχουν τη μορφή 0 0 0. και λύνονται με αντικατάσταση : με π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 7 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

Λύση : Θέτω άρα η εξίσωση γίνεται 7 0. Είναι 9 ) 9 8 0,, Για Για Αδύνατη. 7) 8 7 9 ή ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε την εξίσωση : 0 8. ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχουν τη μορφή *,. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι : ) Αν α>0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α>0 και ν άρτιος έχει ακριβώς δυο λύσεις a ) Αν α<0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α<0 και ν άρτιος δεν έχει λύσεις αδύνατη) π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 7 0 7 7 π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 0 π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 0 π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 0 Αδύνατη. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 0 ii) 0 iii) 7 0 iv) 8 0 v) 0 9. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λίγα λόγια για τα πολυώνυμα) Πολυώνυμο είναι κάθε παράσταση που μπορεί να πάρει τη μορφή: Ρχ) = α ν χ ν +α ν- χ ν- +.+α χ+α 0. με α ν, α ν-,., α, α 0 σταθεροί πραγματικοί αριθμοί και χ μεταβλητή με τιμές πραγματικούς αριθμούς. Το πολυώνυμο Ρχ) έχει ρίζα τον αριθμό ρ αν και μόνο αν Ρρ)=0 αν και μόνο αν έχει παράγοντα το χ-ρ δηλαδή Ρχ)=χ-ρ)πχ). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

Αν Ρχ), Qχ) δύο πολυώνυμα με Qχ) 0 τότε υπάρχουν δύο πολυώνυμα πχ) και υχ) ώστε : Ρχ) = Qχ)πχ)+υχ). Τα πολυώνυμα πχ) και υχ) βρίσκονται κάνοντας τη διαίρεση Ρχ) : Qχ) Για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων χρησιμοποιούμε έναν από τους ακόλουθους τρόπους : Παραγοντοποίηση. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner και τους κλασικούς τρόπους παραγοντοποίησης, προσπαθούμε να φέρουμε την εξίσωση σε μορφή P ) P )... P ) 0 οπότε P ) 0 ή P ) 0 ή ή P ) 0 Στο σχήμα Horner όλες οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι διαιρέτες του σταθερού όρου.) Αντικατάσταση μιας ποσότητας, ώστε να προκύψει πιο εύκολη εξίσωση. π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Λύση : Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι,,,. Παρατηρώ όμως ότι το άθροισμα των συντελεστών της εξίσωσης είναι 0, άρα η ρίζα είναι το. - - - - - - 0 Άρα : 0 ) ) 0 0 ή 0 ή π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 9 0 Λύση : Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι,,,. Όταν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ομόσημοι είτε θετικοί, είτε αρνητικοί), τότε η εξίσωση δεν μπορεί να έχει θετικές ρίζες. Έτσι δοκιμάζω με όλες τις αρνητικές. Τελικά : 9 - - - - 0 Άρα : 9 0 ) ) 0 0 ή 0 ή ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 0 ii) 7 0 0. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, ον παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, ον παίρνω περιορισμούς, ον πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, ον ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7

8 8 Λύση : ) ) ) ) Πρέπει ) ) 0 & 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 8 0 0 δεκτή) ή δεκτή). ΑΣΚΗΣΗ 7 Να λύσετε την εξίσωση : 0. ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι εξίσωσης που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα. Για να τις λύσουμε : ον παίρνουμε τους περιορισμούς υπόρριζη ποσότητα 0), ον βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, ον αν στο ο μέλος έχει άγνωστο τότε παίρνουμε περιορισμό και για το ο μέλος 0, ον υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού του ου μέλους και ον τέλος εξετάζουμε ποιες από τις λύσεις είναι δεκτές και ποιες απορρίπτονται. π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : πρέπει 0 δεκτή π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : Έχω : πρέπει 0 ) και 0 ). Από )&) ισχύει. ) 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : δεκτή) ή απορ.) Λύση : Έχω : πρέπει 0 ) και 0 ). Από )&) ισχύει. εδώ επίσης πρέπει 0 ). Άρα από ), )&) ισχύει. Οπότε : ) 0 απορ.) δεκτή) ή ΑΣΚΗΣΗ 8 Να λύσετε την εξίσωση : i) iι) 7 iiι) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8

. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ i. Μέθοδος αντικατάστασης ii. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών π.χ. Να λύσετε τo σύστημα : 7 8 ) 0 Λύση : προσθέτοντας κατά μέλη 7 8 7 8 ) προκύπτει και αντικαθιστώντας στη η έχω : 9. Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών) 0 π.χ. Να λύσετε τo σύστημα : 0 Λύση: 0) η ) λογω της ) γίνεται : ) ) ) 0 ) 0 0 8 0 0 0 ή. Για από ) 8. Για από ). Μέθοδος της Αντικατάστασης) ΑΣΚΗΣΗ 9 Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα : i) ) ) 0 0 iii) iv) 8 0 ii) 8 9. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και στη συνέχεια διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου. Αν σε κάποιο στάδιο πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα μέλη με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της ανίσωσης. ος τρόπος : Αν θέλω να λύσω την ανίσωση με τη βοήθεια του πίνακα πρόσημου τότε λύνω την αντίστοιχη εξίσωση και στη συνέχεια βάζω τη ρίζα στο πινακάκι. Για τα πρόσημα ισχύει ότι δεξιά από το 0 είναι ομόσημο του α ενώ αριστερά ετερόσημο του α. Δηλ. - + α+β ετερόσημο α 0 ομόσημο α π.χ. Να λυθεί και με τους τρόπους η ανίσωση : 8 0 Λύση: ος 8 0 8 ή,] Λύση: ος Έχω 8 0 8 - + -+8 + 0 - Άρα επειδή θέλω 8 0 τότε,] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 9

. ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 Αρκεί να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου 0 και τις τιμές του που γίνεται θετικό ή αρνητικό. Πιο συγκεκριμένα λύνω την εξίσωση 0 βρίσκω τις ρίζες, και τις τοποθετώ στο πινακάκι από το οποίο και βρίσκω το πρόσημο τις συνάρτησης στο διάστημα που θέλω. η περίπτωση: Δ>0 Τιμές του χ - + Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α 0 ετερόσημο του α η περίπτωση: Δ=0 Τιμές του χ - + Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α ομόσημο του α η περίπτωση: Δ<0 Τιμές του χ - Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Έχω : 0 0 άρα, - + + 0-0 + Άρα επειδή θέλω 0 τότε,), ) 0 ομόσημο του α Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα,] [, ) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα,) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα [,] π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 9 0 Λύση: Έχω : 9 0 0 άρα Διπλή ρίζα) - + 9 + 0 + Άρα επειδή θέλω 9 0 τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 0

Όταν η Διακρίνουσα είναι Ο το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας δηλ. 9 ) οπότε μπορούμε να καταλάβουμε ακόμα καλυτέρα γιατί ισχύουν τα πρόσημα στο πινακάκι) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα ότι είναι αδύνατη Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Έχω 0 - + - 0 + 0 - Άρα επειδή θέλω 0 τότε [,] ΑΣΚΗΣΗ 0 Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 0 ii) 0 iii) 0 iv) 0 v) 0 vi) 9 0 vii) 9 0 viii) 0. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής P ) 0 ή P ) 0, όπου P ) πολυώνυμο βαθμού, Αρκεί να αναλύσουμε το P ) σε γινόμενο πρωτοβάθμιων ή δευτεροβάθμιων παραγόντων και να βρούμε το πρόσημο κάθε παράγοντα του. π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Έχω 0 0 - - - 0 Άρα : 0 ) ) 0 0 ή 0 ή - + - - 0 + + 0-0 + Γινόμενο - 0 + 0 + Άρα επειδή θέλω 0 τότε, ) ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η ανίσωση : 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ) ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής 0 ή 0 γράφεται ισοδύναμα ) ) ) ) 0 ή ) ) 0 [όπου ) 0 ] και αυτό γιατί το γινόμενο και το πηλίκο δυο αριθμών έχουν το ίδιο πρόσημο. π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Πρέπει 0 και Έχω : 0 ) ) 0 ) ) 0 0 ) 0 0, ή, 0 ή 0 ή - 0 + + 0-0 + + + + + + 0-0 + Γινόμενο - Πηλίκο + 0-0 + - + Άρα επειδή θέλω 0 ) ) 0 Στο,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Πρέπει 0 και Έχω : 0 ) ) 0 ) ) 0 0, ύ ή 0 ή - + + + + + 0-0 + Γινόμενο - Πηλίκο + 0-0 + τότε [,0], ). Άρα επειδή θέλω 0 ) ) 0 τότε,). Όταν μια παράσταση είναι πάντα θετική τότε δεν επηρεάζει το πρόσημο στην τελευταία σειρά στο πινακάκι. Οπότε θα μπορούσε να παραληφτεί εντελώς.) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής ) γράφεται : ) ) ) ) ) ) 0 0 [ ) ) )] ) 0 και λύνεται ) ) όπως η προηγούμενη. 8 π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 8 Λύση: Έχω : 0 ) ) ) ) Πρέπει ) ) 0 &. Σε αυτό το σημείο όμως δεν κάνω απαλοιφή παρανομαστών όπως στις αντίστοιχες κλασματικές εξισώσεις, αλλά ομώνυμα κλάσματα. Αυτό γιατί η απαλοιφή παρανομαστών δεν επιτρέπεται στις ανισώσεις καθώς η παράσταση με την οποία θα πολλαπλασιάσω κάθε όρο, δεν γνωρίζω αν είναι θετική ή αρνητική) 8 ) ) 8 8 0 0 0 ) ) ) ) 0 ) ) 0 Έχω : ) ) 0 0 ή ή 0 ή - + + 0 - - - 0 + + + 0-0 + + Γινόμενο Πηλίκο + 0 - + - 0 + Άρα επειδή θέλω 0 ) ) 0 τότε, ],) [, ). Στο -,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) 9 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 0 iii) iv) 0 0 ii) 0 7. ΑΡΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι ανισώσεις που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα. Για να τις λύσουμε : ) θέτουμε τους περιορισμούς υπόρριζη ποσότητα 0), ) βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, ) υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού του ου μέλους και ) τέλος κάνουμε συναλήθευση της λύσης με τους περιορισμούς. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 8 8 0 8 Λύση: Πρέπει : 8 0 8 Από ) και ) ισχύει : [,) ή [,8] ) 8 8 0 0 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 9 ii) 9 ) 8. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ, 0 Ορισμός :, 0 Ιδιότητες :,,,, ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Όταν σε μια άσκηση υπάρχουν απόλυτες τιμές και θέλω να απαλλαγώ από αυτές τότε : Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική, τότε φεύγει η απόλυτη τιμή και η παράσταση που είναι μέσα της γράφεται όπως είναι. Δηλ. π.χ., επειδή 0 για κάθε. π.χ. 7 7, επειδή 7 0 Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα αρνητική, τότε η απόλυτη τιμή γίνεται παρένθεση και βγαίνει ένα μείων -) απέξω. Δηλ. π.χ. ), επειδή 0 για κάθε. π.χ. 8 8 ) 8, επειδή 8 0. Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο τότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις με βάση τον ορισμό. ),, ) 0,, 0,, ). Δηλ ),, ) 0 ),, 0,, Το ίδιο μπορεί να γίνει με πινακάκι και περιπτώσεις : Μηδενίζω την παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή, βρίσκω τη ρίζα ή τις ρίζες της και κάνω πινακάκι. Από το πινακάκι διακρίνω τις αντίστοιχες περιπτώσεις και βγάζω το πρόσημο της παράστασης στο διάστημα που θέλω. Δηλ., το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο άρα, 0 - + - 0 + Αν ή [, ) τότε αφού 0 για κάθε [, ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

Αν ή, ) τότε ) αφού 0 για κάθε, ) ) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Συχνά σε εξισώσεις με απόλυτη τιμή καταλήγουμε σε μια από τις εξισώσεις : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ α<0 είναι αδύνατη. f ) για α>0 δίνει f)=α ή f)= -α για α=0 δίνει f)=0 και για π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ή ή ή =- ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ) g ) f ) g ) ή f ) g ) π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ή ή π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: 9 ) 9 ή ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ) g ) h ) Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω τις ρίζες των f ) 0 και g ) 0, φτιάχνω πινακάκι στο οποίο βάζω τις ρίζες των παραπάνω εξισώσεων και στη συνέχεια διακρίνω περιπτώσεις για τα αντίστοιχα διαστήματα που δημιουργούνται. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ) Έχω : 0 0 - + - 0 + + - - 0 + Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν, ) η ) γίνεται : ) ) αδύνατο γιατί, ) Αν [, ) η ) γίνεται : ) δεκτή) Αν [, ) η ) γίνεται : ) δεκτή) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Για τις ανισώσεις με απόλυτη τιμή υπάρχουν οι παρακάτω σημαντικές ιδιότητες : ) α>0) ) ή α>0) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: ή αλλιώς, π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 7 Λύση: 7 7 ) ή 7 9 ),, Αν συναληθευσω της ) και ) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: 0 0 9 9 9 8 9 π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: ) 0 0 - + - 0 + + - - 0 + Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν, ) η ) γίνεται : ) ) 0, οπότε αν το συναληθευσουμε με το, ) παίρνουμε, 0) Αν [, ) η ) γίνεται : ) ), οπότε αν το συναληθευσουμε με το [, ) παίρνουμε, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

Αν [, ) η ) γίνεται : ), οπότε αν το συναληθευσουμε με το [, ) παίρνουμε [, ). Άρα οι λύσεις της ανισώσεις είναι, 0) ή, ή [, ) δηλ., 0) ή, ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) ii) iii) iv) 9. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Η διαδικασία κατά την οποία μια παράσταση από άθροισμα μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ. ), π.χ. ) ) ) ) ) ). ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 0 ) ) ) ) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ ) ). ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ ) ) π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) ) ) ii) ) 8 ) 9 9) 9) 0) 8) ΤΡΙΩΝΥΜΟ αν Δ>0 όπου, οι ρίζες, a ) ) αν Δ=0 όπου η διπλή ρίζα a ) αν Δ<0 τότε δεν παραγοντοποιείται π.χ. ) ) π.χ. 9 ) ΑΣΚΗΣΗ Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) 8, ii) 9 ΣΧΗΜΑ HORNER ΑΣΚΗΣΗ 7 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7

0. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Η τριγωνομετρία είναι δύο πράγματα: Οι τύποι και ο τριγωνομετρικός πίνακας. Βασικοί τριγωνομετρικοί τύποι και αριθμοί. ημ +συν = ή ημ = -συν ή συν = -ημ, για κάθε.,, για κάθε. για -, : ακέραιος. για -, :ακέραιος. εφ σφ =. ημ = ημ συν συν = συν ημ = - ημ = συν 7. Τύποι αποτετραγωνισμού : ημ = συν = 8. ημ = συν = εφ = 9. ημα β)= ημασυνβ συναημβ, συνα β)=συνασυνβ ημαημβ, ) 0. Νόμος ημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με R την ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου ισχύει: R. Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις: α = β +γ -βγ συνα, β = α +γ -αγ συνβ, γ = α +β -αβ συνγ. Τριγωνομετρικές εξίσωσης : ή ) ή. Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών Γωνία ω 0 ο ή 0 ο ημω 0 συνω εφω σφω 0 ή ο Δεν ορίζεται ή 0 ο ή 90 ο 0 Δεν ορίζεται 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση : ή π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση : π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση : ΑΣΚΗΣΗ 8 Να λυθεί η εξίσωση :. Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο : AΠΟ Ο -> Ο AΠΟ Ο -> Ο AΠΟ Ο -> Ο ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 9

ΕΠΙΣΗΣ : ), ), ), ) ημ =συν ημ =συν συν =ημ συν =-ημ εφ =σφ εφ =-σφ σφ =εφ σφ =-εφ π.χ. Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : i) 0 ii) iii) 0 iv) v) vi) 7 viii) i) ) i) Λύση : i) 0 80 0) 0 ο -> ο ) ii) 80 ) ο -> ο ) iii) 0 80 0) 0 ο -> ο ) iv) ) ο -> ο ) v) ) ο -> ο ) vi) ) ο -> ο ) vii) ) ο -> ο ) 7 viii) ) ο -> ο ) i) ) ο -> ο ) 7 ) vii) 0 i) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 0

ΑΣΚΗΣΗ 9 Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : 7 i) 0 ii) iii) 0 iv) v) vi) vii) viii) i) ) i) ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ πως διώχνω το μείον) :. ) ή ). ) ή ). ) ή ). ) ή ) π.χ. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii) Λύση : i) ή ii) iii) ή ΑΣΚΗΣΗ 0 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii) ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΙ ΤΥΠΟΙ, 7, 8, 9 ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : Είναι οι εξισώσεις που η μεταβλητή βρίσκεται στον εκθέτη. Οι μορφές που μπορεί να συναντήσουμε είναι οι εξής : f ) g ). Γράφουμε το β σε δύναμη με βάση το α αν γίνεται) ή λογαριθμίζουμε και τα μέλη. π.χ. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) e ii) e iii) Λύση : 0 i) e e e 0, ή, ii) e ln e ln ln e ln ln iii) 8 iv) 8 iv) 9 9 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) e ii) e iii) 7 f ) g ). Θέτουμε >0 και καταλήγουμε σε απλή εξίσωση με άγνωστο το. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : 9 0 Λύση : 9 0 9 0 9 0 Θέτω άρα η ) γίνεται : 9 0 ) 9) 78, 9 78 8 ή Για 9 9 Για Αδύνατο. ) ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η εξίσωση : i) 0 ii) 0 f ) g ). Δημιουργούμε τη δύναμη προηγούμενη μορφή., οπότε αναγόμαστε στην ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση : 8 8 00 0 0 00 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 9 ii). ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ : Για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων εργαζόμαστε όπως στις εκθετικές εξισώσεις. Έτσι σε οποιαδήποτε περίπτωση καταλήγουμε στην επίλυση ανίσωσης της μορφής : ) ) g f. Τότε αν : έχουμε : ) ) ) ) g f g f 0 έχουμε : ) ) ) ) g f g f π.χ. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) e ii) 8 iii) Λύση : i) 0.. 0 e e e Έχω, 0, 0 ) 0 ή - 0 + - 0 + 0 - Άρα επειδή θέλω 0 τότε ),,0) ii) 0 8.. Έχω,, 0 ή - + + 0-0 + Άρα επειδή θέλω 0 τότε ), iii) ).. ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) e ii) 0 e e iii) 7 7 iv) 8 v)

. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥ : log a π.χ. log 8 8 a Δεκαδικός λογάριθμος λέγεται ο λογάριθμος που έχει βάση το 0: log 0 π.χ. log00 0 00, log000 0 000, log 0, 0 0,, log 0,000 0 0,000, log 0 0 0 Ο νεπέριος λογάριθμος ln, >0 λέγεται ο λογάριθμος που έχει βάση το e. ln= e =, με >0 και εir. ότι έχω μέσα στο ln πρέπει να είναι πάντα θετικό >0) οπου e: lim =,788889008777 = e) Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως λογάριθμος: ε IR τότε: =lne ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ. ln 0. ln e. ln ln ln ). ln ln ln ln ln. ln e 7. e ln. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : Για να επιλύσουμε μια λογαριθμική εξίσωση, ενεργούμε ως εξής : )Βάζουμε περιορισμούς ότι είναι μέσα στο λογάριθμο >0) ) χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες λογαρίθμων, προσπαθούμε να φτάσουμε σε εξισώσεις της μορφής log a [ f )] log a [ g )], όποτε f)=g) ) τέλος ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τον αρχικό περιορισμό για την επίλυση της εξίσωσης. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : log ) log ) log 0 Λύση : Πρέπει : 0 log ) log ) log log log log log δεκτή) ή απορ.) π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : ln ) ln ) ln8 ) 0 Λύση : Πρέπει : 0,8) 8 0 8 ln ) ln ) ln8 ) ln ln8 ) log ln8 ) 8 0 δεκτή) ή απορ.) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ln ) ln ) ln ii) ln ) ln ln ) ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ : Για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων εργαζόμαστε όπως στις λογαριθμικές εξισώσεις. Έτσι σε οποιαδήποτε περίπτωση καταλήγουμε στην ανίσωση της μορφής : ln f ) ln g ) f ) g ) ή log f ) log g ) f ) g ) ) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : ln ln ln ln ) 0 0 Λύση : Πρέπει : 0 ) 0 ln ln ln ln ) ln ln ln ln ) ln ln ) 0 0 0 ) ) ) ) 0 Έχω ) ) 0 ) 0 ή 0, ή, - + ) - - 0 + + + 0 - - 0 + Γινόμενο Πηλίκο - 0 + - + Άρα επειδή θέλω ) ) 0 τότε, ), ) ) Όμως λογω περιορισμών αν συναληθευσω ) και ) τελικά, ) ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) ln e 0 ii) ln e iii) ln ) ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Έστω δυο σημεία, ) και, ). Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι,. Αν τα σημεία Α,Β είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Μ τότε το Μ είναι μέσον του ΑΒ. Έστω το διάνυσμα συντεταγμένες του διανύσματος με άκρα τα σημεία, ) και, ). Τότε οι είναι, ). Έστω το διάνυσμα, ). Το μετρό του διανύσματος είναι :. Έστω δυο διανύσματα, ) και, ). Ορίζουσα των διανυσμάτων ονομάζουμε τον αριθμό : det,. Αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα, δηλαδή // det, 0. Έστω διάνυσμα, ). Αν 0 τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος ορίζεται ο αριθμός όπου ω η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα. Αν δυο διανύσματα και έχουν συντελεστές διεύθυνσης, αντίστοιχα τότε ισχύει //. η συνθήκη παραλληλίας) Τρία σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά // det, 0 Αν ή, είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα, τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των, και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των διανυσμάτων, και. Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου προκύπτει ότι : 0 Αν, ) και, ) είναι διανύσματα του επιπέδου, τότε :. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ Η Απόσταση δυο σημείων, ) και, ) Δίνεται από τον τύπο : ) π.χ. Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α,-7) και Β,-) ) 7 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

. ΕΥΘΕΙΑ Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας : Συμβολίζεται συνήθως με λ και προσδιορίζει την κλήση της ευθείας, τη γωνία δηλαδή που σχηματίζει με τον άξονα. Ισχύει : λ=εφω Εξίσωση ευθείας της μορφής : =λ+β συντελεστή διεύθυνσης το λ ο συντελεστής του ) π.χ = - + λ= -. Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας ) : 0, με 0 ή 0. Η ευθεία ) : 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης, εφόσον 0. π.χ. ε) : +0-=0 τότε. 0 Eυθείες παράλληλες : // Eυθείες κάθετες : Ευθεία παράλληλη στον : που διέρχεται από το 0, ) είναι της μορφής : 0 ε) : 0 οριζόντια) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=0. Ευθεία παράλληλη στον : που διέρχεται από το 0, ) είναι της μορφής : 0 ε) : 0 κατακόρυφη) και ο συντελεστής διεύθυνσης λ δεν ορίζεται γιατί 90.. ) Ευθεία που διέρχεται από το 0, ) έχει εξίσωση : ε) : ) 0 0 0 Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο0,0) : ) :, ειδική περίπτωση η διχοτόμος του ου και του ου τεταρτημορίου ε) : Για να βρω σημείο τομής μιας ευθείας με τον βάζω =0 στην εξίσωση της, βρίσκω το οπότε το σημείο θα είναι της μορφής Α,0) Για να βρω σημείο τομής μιας ευθείας με τον βάζω =0 στην εξίσωση της, βρίσκω το οπότε το σημείο θα είναι της μορφής B0,) Η απόσταση ενός σημείου 0, ) από την ευθεία ) : 0 είναι: 0 0 0 d, ) π.χ Να βρεθεί η απόσταση του σημείου, ) από την ) 8 8 0 Ευθεία ε) : ++8=0. d, ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με, ),, ),, ) είναι: ) det AB, A) με AB, ) και A, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7

. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία απέχουν σταθερή απόσταση ρ, ακτίνα του κύκλου), από ένα σταθερό σημείο Κ, κέντρο του κύκλου). Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του 0, 0 ) και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει εξίσωση: + =ρ τότε έχει κέντρο: Κ0,0) και ακτίνα ρ και αντίστροφα. Αν ο κύκλος έχει εξίσωση: 0 ) + 0 ) =ρ τότε έχει κέντρο: Κ 0, 0 ) και ακτίνα ρ και αντίστροφα. Αν όμως έχει τη γενική μορφή: + Α Β + A + B + Γ=0, τότε έχει κέντρο: Κ -,- ) και ακτίνα ρ= Α +Β - Γ με Α + Β Γ >0. π.χ. Nα βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα των παρακάτω κύκλων : i) C ) : 9 ii) C ) : ) ) iii) C) : 8 9 0 Λύση : i) C ) : 9 κέντρο Ο0,0) και ακτίνα ρ= ii) C ) : ) ) κέντρο, ) και ακτίνα 8 iii) C ) : 8 9 0 κέντρο,, ) ) 8 9 8 και ακτίνα π.χ. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει : i) κέντρο Ο0,0) και ακτίνα ρ= ii) κέντρο Κ0,-) και ακτίνα ρ= Λύση : i) κέντρο Ο0,0) και ακτίνα ρ=, τότε C ) : ii) κέντρο Κ0,-) και ακτίνα ρ=, τότε C ) : ) ΑΣΚΗΣΗ 7 Nα βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα των παρακάτω κύκλων : i) C ) : 9 ii) C ) : ) ) 7 iii) C) : 8 0 ΑΣΚΗΣΗ 8 Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει : i) κέντρο Ο0,0) και ακτίνα ρ= ii) κέντρο Κ-,0) και ακτίνα ρ=8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8

ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία ισαπέχουν από μια ευθεία δ), διευθετούσα) και ένα σταθερό σημείο Ε, Εστία). p p Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Διευθετούσα ) : και Εστία, 0 τότε: dm, δ) = ΜΕ) C) : p. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 9

Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Διευθετούσα dm,δ) = ΜΕ C) : p. p ) : και Εστία 0, p τότε: π.χ. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει : i) Εστία Ε,0) ii) Εστία Ε0,-) iii) Διευθετούσα δ) : iv) Διευθετούσα δ) : Λύση : p i) E,0) άρα p άρα C) : 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 0

p ii) Ε0,-) άρα p άρα p iii) δ) : p άρα p iv) δ) : άρα p 0 άρα C) : ) C) : C) : 0) 0 π.χ. Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση : i) ii) 8 iii) Λύση : i) ii) iii) iv) p p άρα Εστία :,0, 0, p Διευθετούσα : δ): p άρα Εστία : p,0,0, p Διευθετούσα : δ): p p άρα Εστία : 0, 0,, p Διευθετούσα : δ): 8 iv) p p Διευθετούσα : δ): ΑΣΚΗΣΗ 9 Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει : i) Εστία Ε,0) ii) Εστία Ε0,-) iii) Διευθετούσα δ) : iv) Διευθετούσα δ) : p άρα Εστία : 0, 0, ΑΣΚΗΣΗ 0 Να βρεθεί η εστία Ε και η διευθετούσα δ) των παραβολών με εξισώσεις i. 8 ii., ΕΛΛΕΙΨΗ Έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων, α), από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες) Πρέπει: ΕΕ = γ<α). Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Εγ,0), Ε -γ,0) τότε: ) ), β =α -γ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Ε0,γ), Ε 0,-γ) τότε: ) ), β =α -γ. Εκκεντρότητα της έλλειψης ονομάζεται ο αριθμός ε= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -,0) και Ε,0) και μεγάλο άξονα 0 ii) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε 0,-) και Ε0,) και μεγάλο άξονα Λύση : i) Ε -,0) και Ε,0) άρα γ=, μεγάλος άξονας 0 άρα 0 Επίσης 9 Άρα C) : 9 ii) Ε 0,-) και Ε0,) άρα γ=, μεγάλος άξονας άρα Επίσης 9 Άρα C) : 9 π.χ. Να βρείτε τα μήκη αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων : i) ii) 9 Λύση : i) άρα και άρα Μεγάλος Άξονας :, Μικρός Άξονας, Εστίες,0),,0) Εκκεντρότητα : 9 ii) 9 9 άρα 9 και άρα 9 Μεγάλος Άξονας :, Μικρός Άξονας, Εστίες 0, ), 0,) Εκκεντρότητα : ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει : i) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -,0) και Ε,0) και μικρό άξονα ii) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε 0,-) και Ε0,) και μεγάλο άξονα ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα μήκη αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων : i) 0 ii) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

ΥΠΕΡΒΟΛΗ Υπερβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τα οποία έχουν σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων, α), από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες), Πρέπει: ΕΕ = γ>α) Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Εγ,0), Ε -γ,0) τότε: ) ), β =γ -α. Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Ε0,γ), Ε 0,-γ) τότε: β =γ -α. ) ), ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

Εκκεντρότητα της υπερβολής ονομάζεται ο αριθμός ε=, Ασύμπτωτες τις υπερβολής C ) : είναι οι ευθείες ) : και ) :, ενώ της ) : C οι ευθείες ) : και ) :. Αν α=β, τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής υπερβολή και έχει εξίσωση της μορφής : C ) : π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -,0) και Ε,0) και κορυφές τα σημεία Α -,0) και Α,0) ii) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε 0,-0) και Ε0,0) και εκκεντρότητα Λύση : i) Ε -,0) και Ε,0) άρα γ=, κορυφές τα σημεία Α -,0) και Α,0) αρα Επίσης 9 Άρα C) : ii) Ε 0,-0) και Ε0,0) άρα γ=0, 0 εκκεντρότητα 0 Επίσης 00 8 Άρα C) : π.χ. Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών : i) 9 ii) Λύση : i) 9 9 άρα 9 και 9 άρα 9 Εστίες :,0),,0), Εκκεντρότητα : Ασύμπτωτες : ) : και ) : ii) ισοσκελής υπερβολή) άρα και άρα 8 Εστίες :,0),,0), Εκκεντρότητα : Ασύμπτωτες : ) : και ) : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει : i) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -,0) και Ε,0) και απόσταση κορυφών 8 ii) όταν έχει εστίες :,0),,0) και εκκεντρότητα :. ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τις εστίες, τις κορυφές, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών : i) 9 ii) 9 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ Εφαπτομένη του κύκλου χ +ψ =ρ στο σημείο του Αχ ο,ψ ο ): χχ ο +ψψ ο =ρ Εφαπτομένη της παραβολής p ψψ ο =pχ+χ ο ) Εφαπτομένη της παραβολής p στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): χχ ο =pψ+ψ ο ) Εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): Εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ. Να λυθούν οι εξίσωσης : i. ) ii. ) iii. iv. v. 8 0 vi. vii. 0 viii. 0 i. 0. ) i. ) ii. iii. 8 iv. 0 0 v. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

. Να λυθούν οι εξίσωσης : i. ) ii. ) iii. ) iv. v. 0 vi. vii. viii. 0 i.. i.. α. ) 7 0 να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. β. ) ) 0 να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες άνισες. γ. Αν ) 0 με 0, νδο η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.. Να λύσετε τις εξίσωσης : i. 7 0 ii. 0 iii. 0. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. 9 9 0 ii. 0. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. ii. iii. 7 8 iv. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8 7. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα : i. 0 ii. iii. iv. ) ) 0 ) v. vi. vii. viii. i. 0. 0 i. 0 8. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 0 ii. 0 iii. 0 iv. 0 v. 0 vi. 0 vii. 9. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : i. ii. 8 7 iii. 7

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 9 0. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. ii. iii.. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : i. ii. iii.. Να παραγοντοποιήσετε και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τα οποίες ορίζονται. i. ii. iii. 9 iv. 9 v. vi. vii. 9 viii. i.. i. ii. iii. 8 0 iv. 9

v. vi. vii. ) ) ) 7) 9 8. Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : i) 0 ii) 0 iii) iv) v) vi) viii) i) ) i) ii) 9 vii). Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii). Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. e ii. e iii. e iv. 9 8 9 0 v. 9 0 vi. 0 vii. viii.. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : i. e ii. 9 iii. iv. v. 7. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. ln ) 0 ii. ln e ) iii. ln 7) ln ) ln iv. ln ) ln ln v. ln ) ln ) ln 8 vi. log ) log ) log 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 0

8. Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων : i. Α,-) και Β,) ii. Α0.) και Β,) 9. Να βρεθεί η τιμή του R για την οποία οι ευθείες : i. =λ+)+ και =+ είναι παράλληλες. ii. =λ+ και =λ-)-9 είναι κάθετες. 9. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή χ -ψ =. Α. Να βρείτε τις εστίες Ε, Ε,τις κορυφές Α, Α και τις ασύμπτωτες της υπερβολής. Β. Να δείξετε ότι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Α, Α, τις κορυφές της υπερβολής ), και κορυφές τα σημεία Ε, Ε, τις εστίες της υπερβολής), έχει εξίσωση χ +ψ =8. Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της υπερβολής και της έλλειψης. Δ. Αν Μ, να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διχοτομούν τις γωνίες E M E και AM A. 0. Δίνονται τα σημεία Α, ) και Β -, - ). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. δ) Να βρείτε την προβολή της αρχής των αξόνων πάνω στην ευθεία ΑΒ ε) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ.. Δίνεται ο κύκλος C: + ++8=0 να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του.. Δίνεται ο κύκλος C: + 0 + + =0 να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του.. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ-,) από την ευθεία ε με εξίσωση a) -+=0 b) =- g) =- d) +=0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

.. Δίνονται τα σημεία Α8,0) και Β0,) του καρτεσιανού επιπέδου O. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ. β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ.. Α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Ρ,-) από την ευθεία η) : +-=0 B) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ε) +-=0 και διέρχεται από τι σημείο όπου η ε) τέμνει τον. 7. Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου C ) : 7 0. 8. Δίνεται ο κύκλος C ) : 9 0. Να βρείτε : i. Το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. ii. Την εξίσωση του κύκλου C ), ο οποίος είναι ομόκεντρος με τον κύκλο C ) και εφάπτεται στην ευθεία ε) : 0. 9. Να βρεθεί η εστία Ε και η διευθετούσα δ) των παραβολών με εξισώσεις : i. 8 ii. 0. Δίνεται η έλλειψη 0. Να βρείτε τις εστίες, τα μήκη των αξόνων και την εκκεντρότητα της. Δίνεται το σημείο Ε,0) και η ευθεία δ) : -=0. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος C) των σημείων M του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι η απόσταση τους από το σημείο Ε ισούται με τα / της απόστασης τους από την δ). Στη συνέχεια να βρεθούν οι εστίες, οι κορυφές, η εκκεντρότητα και οι ασύμπτωτες της C). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα