( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΓΩΝΙΣΜΩΝ η Εηνική Μαθηματική Ουμπιάδα "Ο ρχιμήδης" ΣΒΒΤΟ, ΦΕΒΡΟΥΡΙΟΥ 9 ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ Θέματα μεγάων τάξεων ΠΡΟΒΛΗΜ Να προσδιορίσετε τις τιμές του θετικού ακέραιου 9n n 7 είναι ρητός n για τις οποίες ο αριθμός * ρκεί να υπάρχουν ab, με ( ab, ) τέτοιοι ώστε: 9n a () n 7 b πό τη σχέση () αμβάνουμε: 7 a b 7( a 9 b ) n b 7 b () 9b a 9b a 9b a Επειδή είναι ( ab, ), έπεται ότι ( a, b ) και ( 9 b a, b ), οπότε από τη σχέση () προκύπτει ότι ο αριθμός n είναι ακέραιος, αν, και μόνον αν, ο ακέραιος 9b a είναι διαιρέτης του Επειδή οι αριθμοί ab, και n είναι θετικοί ακέραιοι, προκύπτει ότι 9b a 8, οπότε θα είναι: 9b a ( b a)( ba) { 8,,, } () Επειδή οι παράγοντες b a, ba έχουν άθροισμα ποαπάσιο του και διαφορά ποαπάσιο του και είναι b a > b a, από τη σχέση () οι μόνες δυνατές περιπτώσεις που προκύπτουν είναι οι εξής: b a,b a, ή b a,b a 8, ή b a,b a, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ab, ) (,) ή ( ab, ) (,) ή ( ab, ) ( 7, ) Το ζευγάρι ( ab, ) (,) απορρίπτεται, γιατί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των ab, είναι, οπότε προκύπτουν τεικά οι τιμές n ή n ΠΡΟΒΛΗΜ Δίνεται τρίγωνο ΒΓ με περίκεντρο Ο και, Β, Γ τα μέσα των πευρών ΒΓ, Γ και Β αντίστοιχα Θεωρούμε τα σημεία, Β, Γ έτσι ώστε: Ο Ο, ΟΒ ΟΒ και ΟΓ ΟΓ με > ποδείξτε ότι οι ευθείες, ΒΒ, ΓΓ συντρέχουν

Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΓ Τότε θα ισχύει Η Ο Δεδομένου όμως ότι Ο Ο, καταήγουμε στη σχέση: Η Ο ν τώρα C είναι το σημείο τομής των και ΟΗ (από την ομοιότητα των τριγώνων CΗ και CΟ ), έχουμε: Η C C Ο Δηαδή η περνάει από το σημείο C που χωρίζει το ΟΗ σε όγο Ομοίως, θα ισχύει ΒΗ ΟΒ Δεδομένου όμως ότι ΟΒ ΟΒ, καταήγουμε ΒΗ ΟΒ ν τώρα C είναι το σημείο τομής των ΒΒ και ΟΗ (από την ομοιότητα των τριγώνων C Η και C ΟΒ ), έχουμε: Η C C Ο Δηαδή η ΒΒ περνάει από το ση- μείο C που χωρίζει το ΟΗ σε όγο ν τώρα C είναι το σημείο τομής των ΒΒ και ΟΗ, τότε με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι η ΓΓ περνάει από το σημείο C που χωρίζει το ΟΗ σε όγο Τα σημεία όμως C, C, C ταυτίζονται Άρα οι ευθείες, ΒΒ, ΓΓ συντρέχουν Παρατηρήσεις () ν τότε το σημείο C ταυτίζεται με το βαρύκεντρο του τριγώνου Β Γ () ν τότε το σημείο C ταυτίζεται με το κέντρο του κύκου του Euler του τριγώνου ΒΓ Στη περίπτωση αυτή τα τρίγωνα ΒΓ και ΒΓ είναι ίσα και έχουν κοινό κύκο του Euler () Σε κάθε περίπτωση τα τρίγωνα ΒΓ και ΒΓ είναι όμοια με τις πευρές τους παράηες Το ένα τρίγωνο είναι εικόνα του άου μέσα από ομοιοθεσίες, οπότε μπορεί να προκύψει ύση και μέσω ομοιοθεσιών

() Λύσεις του προβήματος μπορούν να δοθούν με χρήση αυτικής Γεωμετρίας ή μιγαδικών αριθμών ΠΡΟΒΛΗΜ ν οι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί x, y και έχουν άθροισμα, να αποδείξετε ότι: xy y x xy Για ποιες τιμές των x, y και αηθεύει η ισότητα; Θα χρησιμοποιήσουμε στην πρώτη φάση τη γνωστή ανισότητα αβ α β, η οποία ισχύει για κάθε α, β Η ισότητα ισχύει για α β Έτσι έχουμε x y y x xy ( x y y x xy) ( xy xy y y x x xy) xy ( x y ) y ( y ) y ( y ) xy ( ) ( xy y x)( x y ) xy yx xy xy ( xy y x)( x y ) xy ( x y ) ( xy y x) ( x y ), (αφού x y ) Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι: x y y x xy ( xy y x)( x y ), () ενώ η ισότητα ισχύει, όπως προκύπτει από την (), όταν : x y ή x y, ή y, x ή x, y, οπότε, αφού είναι x y, η ισότητα αηθεύει όταν: ( x, y, ),, ή (,, ) ή (,,) ή (,,) () α β Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή ανισότητα αβ, α, β, θεωρώντας α xy y x, β x y Έτσι έχουμε ( xy y x)( x y ) ( xy y x)( x y ) xy y x x y ( x y ) () πό τις () και () αμβάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα xy y x xy Η ισότητα στην ανισότητα () ισχύει όταν: α β xy y x x y, η οποία συναηθεύει με τις ισότητες () για ( xy,, ) (,, ) ή (,,) ή (,,)

ΠΡΟΒΛΗΜ Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί αριθμοί,,,,, των οποίων οι εικόνες,,,,, είναι διαδοχικά σημεία του κύκου με κέντρο το σημείο O(,) και ακτίνα r > ν w είναι μία ύση της εξίσωσης και ισχύουν οι σχέσεις: w w (Ι), να αποδείξτε ότι: (α) Το τρίγωνο w w (ΙΙ) είναι ισόπευρο, (β) (α) Εφόσον ο μιγαδικός w είναι ρίζα της εξίσωσης, θα ισχύει w w Ποαπασιάζοντας τη τεευταία εξίσωση με w, έχουμε: w w w w w w w πό τη τεευταία εξίσωση συμπεραίνουμε ότι w ντικαθιστώντας στη σχέση (Ι) w, έχουμε: ( w ) w w w Άρα ( )w w w ( )w () ντικαθιστώντας στη σχέση (Ι) w w, έχουμε: w ( w ) w w ( )w Άρα έχουμε ( )w w (Β) πό τις σχέσεις () και (Β) έχουμε τις ισότητες:, δηαδή το τρίγωνο είναι ισόπευρο (β) Με όμοιο τρόπο (χρησιμοποιώντας τη σχέση (ΙΙ)) αποδεικνύουμε ότι και το τρίγωνο είναι ισόπευρο πό γνωστή πρόταση της γεωμετρίας έχουμε ότι, οπότε χρησιμοποιώντας μέτρα μιγαδικών αμβάνουμε: () Ομοίως, από την ισότητα χρησιμοποιώντας μέτρα μιγαδικών αμβάνουμε: ()

Ομοίως, από την ισότητα χρησιμοποιώντας μέτρα μιγαδικών αμβάνουμε: () Προσθέτοντας τις σχέσεις (), () και () κατά μέη και χρησιμοποιώντας τις ισότητες αμβάνουμε: