MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ PROGRAMA Prgramą rengė D. Dbravlskaitė, P. Gudynas, V. Sičiūnienė, M. Stričkienė 1. ĮVADAS Brands egzaminus laik mksleiviai, kurie mkėsi pagal Bendrąsias prgramas ir išsilavinim standartus XI XII klasėms, patvirtintus Lietuvs Respubliks švietim ir mksl ministr 00 m. rugpjūči 1 d. įsakymu Nr. 1465. Ši brands egzaminų prgrama apima ir pagrindinės mkykls matematiks sąvkas bei žinias. Pasiūlymus dėl prgrams teikė matematiks mkytjų asciacija, matematiks mkytjai knsultantai ir valstybini egzamin vertinim kmisijs nariai. Atsižvelgiant į pateiktas pastabas ir brands egzaminų rezultatus sumažinti valstybini brands egzamin reikalavimai turini temms Išvestinės, Tikimybės ir Statistika. Prgramje aptariama: matematiks mkym tikslai ir brands egzamin funkcijs; egzamin metu tikrinami mksleivių žinis ir gebėjimai; egzamin turinys; egzamin matrica; egzamin struktūra, vertinimas, vykdym tvarka.. MATEMATIKOS MOKYMO TIKSLAI IR BRANDOS EGZAMINO FUNKCIJOS Matematiks, kaip mkmj dalyk, paskirtis yra dvejpa. Pirmiausia siekiama, kad visi mksleiviai būtų matematiškai raštingi. Antra, siekiama plėtti kiekvien mksleivi gabumus matematikai. Šių dviejų tendencijų atspindėjimas svarbi egzaminų funkcija. Atsižvelgiant į tai ir į matematiks mkym skirtingais lygmenimis ypatumus, mkyklinis matematiks brands egzaminas rientujamas į mksleivių matematini raštingum tikrinimą, valstybinis brands egzaminas ir į matematini raštingum, ir į mksleivių gabumų plėttės tikrinimą. Pakeista Lietuvs Respubliks švietim ir mksl ministr 005 m. lapkriči 14 d. įsakymu Nr. ISAK-84. Svarbiausi matematiks mkym mkyklje tikslai ir uždaviniai gali būti suskirstyti į tris pagrindines grupes: matematiks žinių įgijimas ir specialiųjų gebėjimų, susijusių su atskirmis matematiks sritimis, ugdymas(is); bendrųjų matematinių gebėjimų ugdymas(is); nustatų ir vertybinių rientacijų frmavimas(is). Matematiks egzaminai turi atliepti šius tikslus, tačiau dėl įvairių bjektyvių priežasčių egzaminų prgrams ir uždutys apima ne visus matematiks mkym prgrams apibrėžtus tikslus, tik kai kurius iš jų. Pavyzdžiui, atsisakma vertinti mksleivių nustatas ir vertybines rientacijas, nes tai padaryti ypač sudėtinga.. MOKSLEIVIŲ GEBĖJIMAI Įgytų žinių kiekis ir mkėjimas gerai atlikti standartines prcedūras ne visada lemia mksleivių sėkmę tliau studijujant ir dirbant. Ši tendencija ypač ryški šiandien, besikuriančije infrmacinėje visumenėje. Vis svarbesni darsi bendrieji mksleivių gebėjimai, taigi labai aktualus uždavinys yra bendrųjų gebėjimų vertinimas. Šiulaikinėje matematiks didaktikje įprasta išskirti tris svarbiausius bendrusius matematinius gebėjimus prblemų sprendim, matematini mąstym ir matematini kmunikavim. Egzaminų prgramje detaliai aprašmi mksleivių bendrųjų matematinių gebėjimų vertinim kriterijai ir reglamentujamas bendrusius gebėjimus tikrinančių uždučių svris egzamin uždutyje. Glaudžiai su bendraisiais gebėjimais susijęs mksleivių įgytų žinių integrutumas (dalykinis, tarpdalykinis bei scikultūrinis). Jis svarbus įgyvendinant hlistini ugdym principus. Egzaminų prgramje žinių integrutumui skiriama daug dėmesi. 4. DALYKINIAI BRANDOS EGZAMINO TURINIO 4.1. Vertinams veikls pbūdis Matematiks egzamin metu vertinami mksleivių pasiekimai dviejse pagrindinėse matematinės veikls srityse matematinių žinių ir prcedūrų reprdukavim bei matematiks taikym ir matematini mąstym. Gebėjim veikti (pagal tliau aprašytą tematiką) pžiūriu mksleiviams keliami tkie bendrieji reikalavimai.
VEIKLOS RŪŠYS VEIKLOS RŪŠYS MATEMATINIŲ ŽINIŲ IR PROCEDŪRŲ REPRODUKAVIMAS Žinių įsisavinimas Įprastų prcedūrų atlikimas Pademnstruti matematinių sąvkų ir prcedūrų žinjimą paaiškinant jas savais ždžiais arba pavaizdujant piešiniu Paprasčiausiais atvejais atsiminti arba suknstruti matematiškai ekvivalenčius bjektus (gemetrines figūras, reiškinius, lygtis ir pan.) Atsiminti ir taisyklingai vartti dažniausiai pasitaikančius matematinius simblius Atsiminti svarbiausių matematinių bjektų apibrėžimus ir savybes Naudtis frmulių rinkiniais, lentelėmis, braižym įrankiais ir skaičiukliais paprastiems uždaviniams Pademnstruti matematinių sąvkų ir prcedūrų žinjimą paaiškinant jas kitais ždžiais, pavaizdujant grafiškai, išreiškiant algebriškai ir pan. Atsiminti, parinkti arba suknstruti matematiškai ekvivalenčius bjektus (apibrėžimus, gemetrines figūras, reiškinius, lygtis, teremas ir pan.) Atsiminti ir taisyklingai vartti matematinius simblius Atsiminti bei gebėti sufrmuluti svarbesnių matematinių bjektų apibrėžimus ir savybes Atsiminti matematinius bjektus ir jų savybes, tenkinančias knkrečius reikalavimus Naudtis frmulių rinkiniais, lentelėmis, braižym įrankiais ir skaičiukliais 4 Atlikti paprastas standartines skaičiavim, reiškinių pertvarkym, grafikų braižym, lygčių sprendim ir kitas (šiame dkumente numatytas) matematines prcedūras Atlikti kai kurias sudėtingesnes įprastas matematines prcedūras (paprastais atvejais patikrinti gautą atsakymą, ištirti funkciją, sutvarkyti ir pateikti dumenis ir pan.) Atlikti standartines skaičiavim, reiškinių pertvarkym, grafikų braižym, lygčių sprendim ir kitas (šiame dkumente numatytas) matematines prcedūras Atlikti sudėtingesnes įprastas matematines prcedūras (įvertinti galimą uždavini atsakymą, patikrinti gautą atsakymą, ištirti funkciją, sutvarkyti ir pateikti dumenis ir pan.) MATEMATIKOS TAIKYMAI IR MATEMATINIS MĄSTYMAS Matematinis kmunikavimas Skaityti ir suprasti uždavinių sąlygas bei kitkius paprastus matematinius tekstus Aprašyti uždavini sprendimą Dėstyti sav mintis matematinėmis temmis Skaityti ir suprasti uždavinių sąlygas bei kitkius nesudėtingus matematinius tekstus Nusekliai aprašyti uždavini sprendimą ir paaiškinti j svarbiausius etapus Frmuluti teiginius, apibendrinimus ir išvadas
VEIKLOS RŪŠYS VEIKLOS RŪŠYS Matematinis mąstymas Mdeliavimas ir prblemų sprendimas Pritaikyti algritmus ir prcedūras knkretiems uždaviniams Pastebėti paprastus dėsningumus ir jais pasinaudti Pagrįsti paprastus teiginius ir veiksmus Taikyti matematinius mdelius (lygtis, nelygybes, funkcijas ir pan.) nesudėtingiems praktini turini uždaviniams Matematiškai aprašyti sąryšius, dėsningumus ir algritmus Efektyviai vartti matematinius terminus ir simblius Pritaikyti ar sukurti algritmus ir prcedūras knkretiems uždaviniams Nustatyti dėsningumus ir daryti apibendrinimus Atlikti nesudėtingus matematinius tyrimus Pagrįsti veiksmus ir įrdyti nesudėtingų teiginių teisingumą Taikyti matematinius mdelius (lygtis, nelygybes, funkcijas ir pan.) praktini ir terini turini uždaviniams Spręsti, kurių frmulutėse yra per daug arba nepakankamai infrmacijs; kurių atsakymai nevienareikšmiai; kuriems reikia sugalvti ne visai standartinį sprendim būdą Matematiks ryšiai 4.. Egzamin tematika Derinti algebrs, gemetrijs, funkcijų ir analizės metdus sprendžiant nesudėtingus Taikyti uždaviniams matematiks vidinius ryšius (tarp temų) ir matematiks ryšius su kitais mkmaisiais dalykais bei su realimis ar pseudrealimis gyvenimiškmis situacijmis Vidurinės mkykls matematiks kursas susideda iš temų, kuris egzaminų prgramje suskirstyts į keturias sritis: skaičiai, skaičiavimai, algebra; gemetrija; funkcijs ir analizės pradmenys; kmbinatrika, tikimybės ir statistika. Lentelėje pateikiami reikalavimai mksleivių žinims ir gebėjimams iš kiekviens mkyklinės matematiks srities. Kairijje skiltyje surašyti mkyklini brands egzamin reikalavimai, dešinijje valstybini. Tie mkyklini brands egzamin reikalavimai, kurie nepaminėti ir nesustiprinti dešinijje skiltyje, galija ir valstybiniam brands egzaminui (valstybini egzamin reikalavimai apima mkyklini egzamin reikalavimus). Tliau tekste vartjami tkie uždavini sunkumą nusakantys terminai. Paprasčiausiais vadinami uždaviniai, kurius sprendžiant reikia atlikti vieną standartinę peraciją ar žinti algritmą ir mkėti jį taikyti. Paprastais vadinami uždaviniai, kurius sprendžiant reikia suderinti ir atlikti dvi standartines peracijas ar algritmus. Pakeista Lietuvs Respubliks švietim ir mksl ministr 005 m. lapkriči 14 d. įsakymu Nr. ISAK-84. 5 6
Nesudėtingais vadinami uždaviniai, kurius sprendžiant reikia suderinti ir atlikti ar 4 standartines peracijas ar algritmus. Panašiai reikia suprasti ir ždžių junginius paprasčiausias atvejis (standartinis atvejis, prilygstantis paprasčiausiam uždaviniui), paprasta algebrinė lygtis (lygtis, iš kuris nežinmąjį paprasta išreikšti, pvz., 8x 0,15 = 0 ), nesudėtingas reiškinys (reiškinys, kuri reikšmė gali būti apskaičiuta ar 4 veiksmais) ir kt. SKAIČIAI, SKAIČIAVIMAI, ALGEBRA Skaičių terijs elementai Dalumas Realieji skaičiai Mkėti vartti sąvkas dauginamasis, daliklis, karttinis, bendrasis daliklis, bendrasis karttinis, lyginis skaičius, nelyginis skaičius, pirminis skaičius, sudėtinis skaičius sprendžiant paprastus Žinti dalum iš, 5 ir 10 pžymius ir mkėti jus taikyti paprastiems uždaviniams Mkėti vartti sąvkas natūralieji, sveikieji, racinalieji, iracinalieji, realieji skaičiai bei paprastsis ir dešimtainės trupmens sprendžiant paprastus Nesudėtingais atvejais rasti dviejų skaičių mažiausią bendrąjį karttinį ir didžiausią bendrąjį daliklį Paaiškinti sąvką pirminis skaičius ir mkėti išskaidyti sudėtinį skaičių pirminiais dauginamaisiais Žinti dalum iš,, 5, 9 ir 10 pžymius ir mkėti jus taikyti uždaviniams Paaiškinti ir gebėti vartti sąvkas natūralieji, sveikieji, racinalieji, iracinalieji, realieji skaičiai, paprastsis trupmens, dešimtainės trupmens ir standartinis skaičiaus Skaičiavimai Veiksmai su skaičiais Suprasti sąvkas priešingas skaičiui skaičius ir atvirkštinis skaičiui skaičius Užrašyti skaičiaus standartinį pavidalą Nesudėtingais atvejais palyginti du skaičius Apvalinti skaičius Įvertinti tiesigini matavim paklaidą Atlikti veiksmus su dešimtainėmis trupmenmis Paprastais atvejais atlikti veiksmus su paprastsimis trupmenmis Apskaičiuti nesudėtingų skaitinių reiškinių reikšmes Suprasti sąvkas absliučiji paklaida ir santykinė paklaida Nesudėtingais atvejais apskaičiuti reiškinių reikšmes nurdytu tikslumu pavidalas sprendžiant Išdėstyti skaičius pagal didumą Paprastais atvejais rasti skaičių aibių sąjungą, sankirtą, skirtumą Atlikti veiksmus su dešimtainėmis ir paprastsimis trupmenmis Žinti veiksmų savybes ir mkėti jmis naudtis skaičiavimams supaprastinti Apskaičiuti skaitinių reiškinių reikšmes Atlikti apytikslius skaičiavimus nurdytu tikslumu Paprasčiausiais atvejais įvertinti skaičiavim rezultatų absliučiąją, santykinę paklaidas 7 8
Prcentai Algebra Algebriniai reiškiniai Žinti ir mkėti taikyti prcentų ir trupmenų ryšius Mkėti naudtis skaičiukliu skaičiujant prcentus Spręsti nesudėtingus prcentų Suprasti sąvkas kintamasis, vienanaris, daugianaris, racinalusis reiškinys Mkėti apskaičiuti nesudėtingų algebrinių reiškinių reikšmes bei dydžių reikšmes pagal nurdytą frmulę Atlikti veiksmus su nesudėtingais daugianariais ir paprastmis algebrinėmis trupmenmis Mkėti tapačiai pertvarkyti nesudėtingus reiškinius Mkėti sutrumpints daugybs frmules (a+b)(a b) = a b, (a ± b) = a ± ab+ b ir paprasčiausiais atvejais jas taikyti reiški- Taikyti prcentus praktini ir matematini turini uždaviniams Suprasti, mkėti paaiškinti ir gebėti vartti sąvkas kintamasis, vienanaris, daugianaris, racinalusis reiškinys aiškinant uždavinių sprendimus Mkėti apskaičiuti algebrinių reiškinių reikšmes bei dydžių reikšmes pagal nurdytą frmulę Atlikti veiksmus su daugianariais ir algebrinėmis trupmenmis Mkėti sutrumpints daugybs frmules (a ± b) = = a ±a b+ab ± b ir jas taikyti tapačiai pertvarkant reiškinius Lygtys Nelygybės niams pertvarkyti, skaičiavimams supaprastinti Gebėti algebriniais reiškiniais aprašyti nesudėtingas situacijas Nesudėtingas frmules išreikšti ždinėmis taisyklėmis Suprasti sąvkas lygtis, nežinmasis, lygties sprendinys, nežinmj leistinųjų reikšmių sritis, ekvivalenčis lygtys Spręsti paprastas algebrines lygtis Žinti ir mkėti taikyti kvadratinės lygties sprendinių radim frmules Spręsti paprastas f (x) g (x) =0 pavidal lygtis Suprasti sąvkas nelygybė, nelygybės sprendinys, nelygybės Taikyti sutrumpints daugybs frmules a ± b = = (a±b)(a m ab+b ) tapačiai pertvarkant reiškinius Suprasti ir gebėti vartti (aiškinant uždavinių sprendimus) sąvkas tapatybė, lygtis, nežinmasis, lygties sprendinys, nežinmj leistinųjų reikšmių sritis, ekvivalenčis lygtys Žinti ir mkėti taikyti pagrindinius lygčių pertvarkius, pakeičiančius jas ekvivalenčimis lygtimis Mkėti išskirti dvinari kvadratą Sufrmuluti, įrdyti ir taikyti Viet bei jai atvirkštinę teremas Suprasti ir gebėti naudtis (aiškinant uždavinių sprendimus) 9 10
sprendinių aibė, ekvivalenčis nelygybės sąvkmis nelygybė, nelygybės sprendinys, nelygybės sprendinių aibė, ekvivalenčis nelygybės Žinti pagrindinius nelygybių pertvarkius, nelygybes pakeičiančius ekvivalenčimis nelygybėmis, ir gebėti jus taikyti uždaviniams Skaičių seks Suprasti ir mkėti naudtis skaičių seks sąvka aiškinant uždavinių sprendimus Gemetrinė prgresija mentuti uždavinių sprendimus Mkėti ir taikyti gemetrinės prgresijs apibrėžimą, n-j nari ir n narių sums frmules sprendžiant nesudėtingus Gemetrinėmis prgresijmis aprašyti įvairias situacijas ir remiantis prgresijų savybėmis argumentuti uždavinių sprendimus Aritmetinė prgresija Atkurti seką, išreikštą n-j nari frmule Užrašyti paprasts seks n-j nari frmulę Mkėti ir taikyti aritmetinės prgresijs apibrėžimą, n-j nari ir n narių sums frmules sprendžiant nesudėtingus Aritmetinėmis prgresijmis aprašyti įvairias situacijas ir remiantis prgresijų savybėmis argu- Planimetrija Pagrindinės planimetrijs sąvks GEOMETRIJA Atpažinti, pavaizduti, apibūdinti ir klasifikuti paprastas ge- Taikyti begalinės nykstamsis gemetrinės prgresijs sums frmulę Išreikšti peridinę dešimtainę trupmeną paprastąja trupmena Mkėti ir taikyti sudėtinių prcentų frmulę uždaviniams Apibrėžti pagrindines gemetrines figūras Argumentuti planimetrijs uždavinių 11 1
Trikampiai metrines figūras Mkėti gemetrinių figūrų elementų pavadinimus ir gemetrinių figūrų pagrindines savybes Suprasti tiesių lygiagretum ir statmenum sąvkas Suprasti figūrų perimetr ir plt sąvkas bei gebėti naudtis perimetr ir plt savybėmis sprendžiant nesudėtingus Atpažinti lygius arba panašius trikampius; remiantis trikampių lygumu ir panašumu paprastus Naudtis masteliu Gebėti taikyti trikampi kraštinių ir kampų prieklausas (stačij trikampi kraštinių ir kampų ryšius, Pitagr, sinusų ir ksinusų teremas) paprastiems uždaviniams Mkėti pagrindines trikampi plt fr- sprendimus remiantis gemetrinių bjektų apibrėžimais ir pagrindinėmis savybėmis Žinti tiesių lygiagretum ir statmenum savybes ir gebėti jmis remtis sprendžiant Gebėti naudtis figūrų perimetr ir plt savybėmis sprendžiant Apibrėžti trikampių lygumą, panašumą bei taikyti trikampių lygum ir panašum pžymius uždaviniams Mkėti įrdyti trikampi kampų sums, Pitagr, sinusų ir ksinusų teremas; taikyti šias teremas ir Pitagr teremai atvirkštinę teremą sprendžiant Mkėti įrdyti trikampi plt frmules, išreiškiant jį Daugiakampiai Apskritimas ir skritulys mules ir jas taikyti nesudėtingiems uždaviniams Atpažinti iškilusius ir taisyklingusius daugiakampius Mkėti trikampi ir keturkampi kampų sums frmules ir jas taikyti uždaviniams Klasifikuti keturkampius ir naudtis jų savybėmis sprendžiant nesudėtingus Mkėti stačiakampi, lygiagretaini, trapecijs pltų frmules ir jas taikyti nesudėtingiems uždaviniams Mkėti apskritim ilgi ir skrituli plt frmules ir gebėti jas taikyti nesudėtingiems uždaviniams Naudtis frmulėmis apskaičiujant apskritim lank ilgį, skrituli išpjvs ir nup- pagrindu ir aukštine arba dviem kraštinėm ir kampu tarp jų; taikyti įvairias trikampi plt frmules uždaviniams Sufrmuluti ir įrdyti pagrindines lygiagretaini, rmb, stačiakampi, kvadrat ir trapecijs savybes Mkėti iškilj bei taisyklingj daugiakampi apibrėžimus Mkėti daugiakampi kampų sums frmulę ir ją taikyti uždaviniams Mkėti įrdyti lygiagretaini, trapecijs pltų frmules ir jas taikyti uždaviniams Sufrmuluti pagrindines apskritim liestinių, kirstinių ir stygų savybes ir mkėti jas taikyti uždavinių sprendimams argumentuti Taikyti įbrėžt į trikampį ir apibrėžt apie 1 14
Simetrijs Steremetrija Pagrindinės steremetrijs sąvks jvs pltą Skirti ir mkėti pavaizduti apskritim centrinius ir įbrėžtinius kampus; žinti įbrėžtini kamp teremą ir mkėti ją taikyti nesudėtingiems uždaviniams Žinti apskritim liestinių savybes ir mkėti jas taikyti paprastiems uždaviniams Paaiškinti sąvkas simetriška figūra, centrinė simetrija, ašinė simetrija Pavaizduti paprastas figūras simetriškas dutsims tiesės arba tašk atžvilgiu bei nurdyti simetriškų figūrų simetrijs centrus arba ašis Atpažinti, pavaizduti, apibūdinti ir klasifikuti paprasčiausius steremetrinius bjektus trikampį apskritim savybes uždaviniams Suprasti įbrėžt į apskritimą daugiakampi ir apibrėžt apie apskritimą daugiakampi sąvkas Žinti įbrėžt į apskritimą ir apibrėžt apie apskritimą keturkampi pagrindines savybes ir gebėti jas taikyti uždaviniams Apibrėžti ašinę ir centrinę figūrų simetrijas bei remtis šiais apibrėžimais sprendžiant Argumentuti steremetrijs uždavinių sprendimus remiantis svarbiausių gemetrinių bjektų sąvkmis ir pagrindinėmis savybėmis Gemetriniai kūnai Atpažinti, pavaizduti piešiniais ir apibūdinti paprasčiausius gemetrinius kūnus (prizmes, piramides, kūgius, ritinius, rutulius) bei jų paviršius; atpažinti taisyklingąsias piramides ir prizmes Apskaičiuti paprasčiausių gemetrinių kūnų paviršių pltus ir tūrius Apibrėžti tiesės ir plkštums lygiagretum, tiesės ir plkštums bei plkštumų statmenum, kamp tarp tiesės ir plkštums sąvkas, atstum tarp taškų, tarp tiesių, tarp lygiagrečių plkštumų sąvkas, suprasti jų savybes ir mkėti jas taikyti sprendžiant Taikyti trijų statmenų ir jai atvirkštinę teremas uždavinių sprendimams argumentuti Pavaizduti piešiniais, apibūdinti ir klasifikuti nesudėtingus gemetrinius kūnus (prizmes, piramides, kūgius, ritinius, rutulius ir paprasčiausias jų kmbinacijas) Argumentuti uždavinių sprendimus remiantis gemetrinių kūnų savybėmis Pavaizduti įvairių kūnų paprastus pjūvius 15 16
Vektriai Vektriai plkštumje ir erdvėje, krdinačių metdas sprendžiant nesudėtingus Apskaičiuti prizmių, piramidžių, kūgių, ritinių, rutulių ir paprasčiausių jų kmbinacijų paviršių pltus ir tūrius nusekliai argumentujant sprendimą Apibrėžti vektrių lygumą, klinearumą (lygiagretumą), statmenumą bei taikyti šius apibrėžimus Atlikti veiksmus su vektriais; mkėti nustatyti, ar du vektriai statmeni vienas kitam Apskaičiuti atstumą tarp taškų Apskaičiuti kampą tarp vektrių Apskaičiuti atkarps viduri tašk krdinates Taikyti vektrius ir krdinačių metdą nesudėtingiems uždaviniams Funkcija Funkcija ir js grafikas FUNKCIJOS IR ANALIZĖS PRADMENYS Gebėti vartti sąvkas funkcija, argumentas, funkcijs reikšmė, apibrėžim sritis, reikšmių sritis, funkcijs reikšmių didėjim ir mažėjim intervalai, lyginė funkcija, nelyginė funkcija, funkcijs minimumas, maksimumas, funkcijs ekstremum taškai, didžiausia ir mažiausia funkcijs reikšmės dutajame intervale sprendžiant paprasčiausius Skaityti ir braižyti paprastų funkcijų grafikus Gebėti apibrėžti sąvkas funkcija, funkcijs apibrėžim sritis, reikšmių sritis, funkcijs reikšmių didėjim ir mažėjim intervalai, lyginė funkcija, nelyginė funkcija, funkcijs minimumas, maksimumas, funkcijs ekstremum taškai, didžiausia ir mažiausia funkcijs reikšmės dutajame intervale ir jmis naudtis sprendžiant nesudėtingus Gebėti paprastais atvejais patikrinti, ar funkcija yra atvirkštinė dutajai funkcijai Gebėti taikyti ryšį tarp funkcijs ir jai atvirkštinės funkcijs grafikų sprendžiant paprastus Braižyti nesudėtingų funkcijų, apibrėžtų baigtiniame intervale, grafikus ir funkcijų grafikų eskizus 17 18
Funkcijų taikymai Laipsninės funkcijs Pagrindinės laipsninių funkcijų savybės ir jų reikšmių skaičiavimas Atskiri laipsninių funkcijų atvejai Paaiškinti aprašytas funkcijmis nesudėtingas situacijas Gebėti aprašyti paprastas situacijas naudjantis funkcijmis Taikyti pagrindines laipsninių funkcijų m f ( x) = x ( m Z) ir g ( x) = n x savybes paprastiems uždaviniams Naudjantis skaičiukliu arba lentelėmis apskaičiuti laipsninių funkcijų reikšmes Taikyti pagrindines tiesinių, kvadratinių ir a f ( x) = funkcijų x savybes nesudėtingiems uždaviniams Naudtis funkcijų grafikais ar jų eskizais sprendžiant įvairius Taikyti funkcijas įvairiems uždaviniams Taikyti pagrindines laipsninių funkcijų g ( x) = n x ir q f ( x) = x ( q Q) savybes nesudėtingų uždavinių sprendimui argumentuti Apskaičiuti laipsninių funkcijų reikšmes Taikyti tiesinių, kvadratinių ir a f ( x) = funkcijų x savybes uždavinių sprendimui argumentuti 19 0 Lygtys ir nelygybės Suprasti ir paprastais atvejais naudti tiesigini ir atvirkštini prprcingum sąvkas, mkėti prprcijas Spręsti tiesines, kvadratines, bikvadratines, paprastas racinaliąsias ir iracinaliąsias lygtis bei dviejų lygčių sistemas, kurių viena lygtis yra tiesinė Sudaryti ir tiesines, kvadratines ir paprasčiausias racinaliąsias nelygybes su vienu kintamuju Rdiklinės ir lgaritminės funkcijs Pagrindinės funkcijų savybės ir reikšmių apskaičiavimas Suprasti, kas yra skaičiaus lgaritmas Mkėti pavaizduti paprasčiausių rdiklinių ir lgaritminių funkcijų grafikų eskizus Naudjantis skaičiukliu apskaičiuti rdiklinių funkcijų reikšmes Taikyti tiesiginį ir atvirkštinį prprcingumą uždaviniams Sudaryti ir tiesines, kvadratines, bikvadratines, racinaliąsias lygtis bei nesudėtingas lygčių sistemas su dviem kintamaisiais Sudaryti ir nesudėtingas iracinaliąsias lygtis Sudaryti ir tiesines, kvadratines ir nesudėtingas racinaliąsias nelygybes bei nelygybių sistemas su vienu kintamuju Taikyti rdiklinių ir lgaritminių funkcijų savybes uždavinių sprendimui argumentuti Apskaičiuti rdiklinių ir lgaritminių funkcijų reikšmes
Lygtys ir nelygybės Naudjantis skaičiukliu apskaičiuti skaičiaus dešimtaini lgaritm reikšmes Spręsti paprasčiausias rdiklines ir lgaritmines lygtis Spręsti paprasčiausias rdiklines nelygybes Trignmetrinės funkcijs Radianinis Suprasti radian kamp matas sąvką Trignmetrinės funkcijs Skaičiukliu apskaičiuti kamp laipsninį matą, kai žinmas radianinis matas, ir atvirkščiai Mkėti sinus, ksinus ir tangent apibrėžimus Taikyti trignmetrinių funkcijų sinx, csx, tgx savybes ir grafikus bei jų eskizus Sudaryti ir nesudėtingas rdiklines ir lgaritmines lygtis bei dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas, kurių viena lygtis yra rdiklinė arba lgaritminė Sudaryti ir nesudėtingas rdiklines ir lgaritmines nelygybes bei paprastas jų sistemas (su vienu kintamuju) Apskaičiuti kamp laipsninį matą, kai žinmas radianinis matas, ir atvirkščiai Taikyti trignmetrinių funkcijų sinx, csx, tgx ir ctgx savybes ir grafikus bei jų eskizus uždavinių sprendimui argumentuti paprastiems uždaviniams Naudjantis skaičiukliu arba lentelėmis apskaičiuti trignmetrinių funkcijų reikšmes Žinti t paties argument trignmetrinių funkcijų pagrindinius sąryšius ir mkėti jus taikyti paprastiems trignmetriniams reiškiniams pertvarkyti ir trignmetrinių funkcijų reikšmėms apskaičiuti Aprašyti trignmetrinėmis funkcijmis paprastas praktines situacijas Žinti 0, 0, 45, 60 ir 90 kampų trignmetrinių funkcijų reikšmes Apskaičiuti trignmetrinių funkcijų reikšmes Įrdyti t paties argument trignmetrinių funkcijų sąryšius bei gebėti jus taikyti uždaviniams Redukuti trignmetrines funkcijas Taikyti dviejų kampų sums ir skirtum sinus, ksinus ir tangent bei trignmetrinių funkcijų sums ir skirtum frmules bei jų išvadas nesudėtingiems reiškiniams pertvarkyti, trignmetrinių funkcijų reikšmėms apskaičiuti Aprašyti trignmetrinėmis funkcijmis nesudėtingas praktines ir matematines situacijas 1
Funkcijs, atvirkštinės trignmetrinėms funkcijms Trignmetrinės lygtys ir nelygybės Mdulis Mdulis Išvestinės Funkcijs išvestinės samprata Vartti simblius arcsin, arccs, arctg užrašant paprasčiausių trignmetrinių lygčių sprendinius Skaičiukliu apskaičiuti arksinus, arkksinus ir arktangent reikšmes Spręsti af ( kx) + b = 0 pavidal lygtis, kai f (x) yra elementariji trignmetrinė funkcija Suprasti skaičiaus mduli sąvką, gebėti apskaičiuti paprastų reiškinių su mduliais reikšmes Suprasti terminus argument pkytis, funkcijs pkytis; išvestinę suvkti kaip funkcijs reikšmių kitim greitį Mkėti arksinus, arkksinus, arktangent ir arkktangent apibrėžimus, savybes ir grafikus bei jus taikyti uždaviniams Apskaičiuti trignmetrinėms funkcijms atvirkštinių funkcijų reikšmes Spręsti nesudėtingas trignmetrines lygtis, paprastas nelygybes Mkėti skaičiaus mduli apibrėžimą bei gebėti jį taikyti pertvarkant nesudėtingus reiškinius ir braižant nesudėtingų funkcijų grafikus Spręsti paprastas lygtis ir nelygybes su mduliais Suprasti išvestinės gemetrinę prasmę ir gebėti ja remtis sprendžiant nesudėtingus Funkcijų išvestinių skaičiavimas ir taikymai Naudjantis išvestinių skaičiavim taisyklėmis mkėti apskaičiuti daugianarių išvestines Naudjantis išvestinėmis mkėti tirti daugianariais apibrėžtas funkcijas (rasti reikšmių didėjim ir mažėjim intervalus, ekstremumų taškus, ekstremumus, didžiausią ir mažiausią reikšmes dutajame intervale, nubraižyti grafiką) Taikyti išvestines paprasčiausiems realaus turini uždaviniams Suprasti išvestinę kaip funkcijs reikšmių kitim greitį ir taikyti šią sampratą nesudėtingiems uždaviniams Nesudėtingais atvejais taikyti laipsninės, rdiklinės, lgaritminės, tiesiginių trignmetrinių funkcijų išvestinių frmules ir funkcijų sums, skirtum, sandaugs, santyki, sudėtinės funkcijs išvestinių skaičiavim taisykles Užrašyti funkcijs grafik liestinės taške lygtį ir gebėti ją taikyti uždaviniams Gebėti atlikti funkcijs tyrimą ir jį argumentuti Taikyti išvestines braižant funkcijų grafikus ir sprendžiant paprastas prblemas Gebėti rasti paprasčiausių funkcijų pirmykštes funkcijas, mkėti apskaičiuti paprastus apibrėžtinius 4
integralus ir jus taikyti paprasčiausių kreivinių trapecijų pltams apskaičiuti paprasčiausise situacijse KOMBINATORIKA, TIKIMYBĖS IR STATISTIKA Kmbinatrika Galimybių medis Kmbinatrinės sudėties ir daugybs taisyklės Skaičiaus faktrialas Nubraižyti galimybių medžius, kurių šaks tiesigiai suskaičiujams, ir jus taikyti uždaviniams Taikyti kmbinatrinę sudėties taisyklę paprastiems uždaviniams Taikyti kmbinatrinę daugybs taisyklę paprastiems uždaviniams Taikyti galimybių medžius uždavinių sprendimams aiškinti Sufrmuluti ir paaiškinti kmbinatrinę daugybs taisyklę Spręsti, kurių sprendimuse kartu su daugybs taisykle reikia taikyti ir sudėties taisyklę arba kitus metdus Mkėti n! apibrėžimą ir apskaičiuti knkrečių skaičių faktrialus Pertvarkyti nesudėtingus algebrinius reiškinius, kuriems užrašyti naudjami skaičių faktrialai Deriniai Apibrėžti derinį iš n elementų p m elementų, užrašyti derinių Tikimybės Įvyki tikimybės klasikinis apibrėžimas Nepriklausmi įvykiai Atpažinti, kada galima taikyti klasikinį įvyki tikimybės apibrėžimą Apskaičiuti paprastų įvykių tikimybes naudjantis klasikiniu įvyki tikimybės apibrėžimu Apskaičiuti įvykiui priešing įvyki tikimybę Žinti dviejų įvykių nepriklausmum apibrėžimą ir atpažinti nepriklausmus įvykius m n skaičiaus ( C ) frmulę ir mkėti ją taikyti nesudėtingiems uždaviniams Pertvarkyti paprastus algebrinius reiškinius ir lygtis su derinių skaičiaus simbliais Mkėti klasikinį įvyki tikimybės apibrėžimą ir gebėti paaiškinti, kada jis taikmas Taikyti klasikinį įvyki tikimybės apibrėžimą uždaviniams Apibrėžti ir mkėti paaiškinti bei pritaikyti įvykiui priešingą įvykį, įvykių sąjungą ( A B), sankirtą ( A B), įvykių nesutaikmumą Dviejų atsitiktinių įvykių nepriklausmum sąvką taikyti uždaviniams 5 6
Apskaičiuti dviejų nepriklausmų įvykių sankirts tikimybę Apskaičiuti sugruputų dumenų vidurkį ir dispersiją Atsitiktiniai dydžiai ir jų skirstiniai Statistika Imtis, imties vaizdavimas Imties skaitinės charakteristiks Paprasčiausiais atvejais sutvarkyti dumenis ir nubraižyti imties dažnių arba santykinių dažnių diagramą Apskaičiuti imties vidurkį Palyginti imtis remiantis vidurkiais Rasti (apskaičiuti ir užrašyti lentele) nesudėtingų atsitiktinių dydžių skirstinius remiantis klasikiniu įvyki tikimybės apibrėžimu ir įvykių nepriklausmumu Apskaičiuti atsitiktini dydži (galinči įgyti tik keletą skirtingų reikšmių) matematinę viltį, dispersiją bei vidutinį kvadratinį nukrypį, medianą, kai dutas j skirstinys Taikyti matematinę viltį ir dispersiją uždaviniams Sutvarkyti dumenis suskirstant imtį į intervalus ir nubraižyti dažnių arba santykinių dažnių diagramą Apskaičiuti imties vidurkį, dispersiją, mdą, medianą 5. EGZAMINO MATRICA Taikyti imties skaitines charakteristikas paprastiems uždaviniams Valstybini ir mkyklini brands egzamin uždutys sudarms vadvaujantis turini struktūra ir struktūrinių dalių prprcijmis, nusakytmis matrica. TEMATIKOS SRITYS VEIKLOS SRITYS Skaičiai, skaičiavimai, algebra MATEMATINĖS ŽINIOS IR PROCEDŪROS MATEMATIKOS TAIKYMAI IR MATEMATINIS MĄSTYMAS Gemetrija 0 Funkcijs ir analizės pradmenys Kmbinatrika, tikimybės ir statistika % 55 45 100 Ši lentelė rd, kad, pavyzdžiui, gemetrijs žinių prireiks sprendžiant maždaug 0 prc. uždavinių, uždaviniai, kuriais tikrinami mksleivi gebėjimai taikyti matematiks žinias ir matematiškai mąstyti, sudarys maždaug 45 prc. viss egzamin užduties. Knkrečise uždutyse galimi tam tikri nukrypimai nu šių skaičių, tačiau jie neturėtų būti didesni kaip ± 5 prc. % 5 5 10 7 8
6. MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINŲ STRUKTŪRA, VERTINIMAI, VYKDYMO TVARKA Organizujami dviejų tipų matematiks brands egzaminai mkyklinis ir valstybinis. Mkyklinis brands egzaminas pagal mksleivi darb vertinim principus yra kriterinis. Jis turi patvirtinti mksleivi brandą. Tu tikslu mksleivi žinis ir gebėjimai lyginami su atitinkamais egzamin reikalavimais. Mkyklinis egzaminas administrujamas ir vertinamas mkyklje. Abiturientų darbai vertinami vadvaujantis vertinim instrukcijmis. Ši egzamin mksleivių darbai vertinami pažymiais 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4 arba neišlaikė. Egzamin trukmė,5 val. (150 min.) be pertrauks. Mkyklini egzamin užduties taškų suma turėtų būti ne mažesnė nei 5. Mksleivis gauna vieną uždutį, kurią sudar 15 18 uždavinių, tarp jų 4 6 su pasirenkamaisiais atsakymais, 5 trump sprendim, 4 struktūruti ir 1 nestruktūrutas. Valstybini brands egzamin vertinimas yra nrminis. J paskirtis patikrinti mksleivi matematines žinias ir gebėjimus, palyginti visus mksleivius tarpusavyje, t.y. palyginti kiekvien mksleivi žinias ir gebėjimus su kitų mksleivių žinimis ir gebėjimais. Valstybinis brands egzaminas administrujamas centruse, mksleivių darbai taismi centralizutai. Egzamin trukmė val. (180 min.) be pertrauks. Valstybini brands egzamin užduties taškų suma turėtų būti ne mažesnė nei 50. Mksleivis gauna vieną uždutį, kurią sudar 18 0 uždavinių, tarp jų 6 8 su pasirenkamaisiais atsakymais, 4 trump sprendim, 5 struktūruti ir 4 nestruktūruti. Matematiks egzaminų metu leidžiama naudtis rašym priemnėmis, braižybs įrankiais bei skaičiukliais, neturinčiais tekstinės atminties. Prie kiekviens egzamin užduties pateikiamas matematinių frmulių rinkinys ir uždučiai atlikti reikalings lentelės. Mkyklini brands egzamin frmulių * rinkinys a b c Trikampis. a = b + c bc cs A, = = = R, sin A sin B sin C 1 abc S = ab sin C = p( p a)( p b)( p c) = rp = ; 4R čia a, b, c trikampi kraštinės, A, B, C prieš jas esantys kampai, p pusperimetris, r ir R įbrėžtini ir apibrėžtini apskritimų spinduliai, S pltas. πr πr Skrituli išpjva. S = α, l = α ; 60 60 čia α centrini kamp didumas laipsniais, S išpjvs pltas, l išpjvs lank ilgis, R apskritim spindulys. Ritinys. V = πr H, šninis paviršius S = πrh. 1 Kūgis. V = π R H, šninis paviršius S = πr l. 1 Piramidė. V = SH ; čia S pagrind pltas, H piramidės aukštinė. 4 Rutulys. S = 4πR, V = πr. Trignmetrinės funkcijs ir lygtys. 1 1 1 + tg α =, 1 + ctg α =, cs α sin α sin x = a, k x = ( 1) arcsin a + πk, čia k Z, 1 a 1; cs x = a, x = ± arccs a + πk, čia k Z, 1 a 1; tg x = = a x arctg, a + πk, čia k Z. * Egzamin uždutyje šis frmulių rinkinys gali būti papildytas. 9 0
Išvestinių skaičiavim taisyklės. ( cu ) = cu ; ( u ± v) = u ± v ; čia u ir v taške diferencijujams funkcijs, c knstanta. α 0 0 45 60 sin α 0 1 / 1 cs α 1 1 / 0 tg α 0 1 90 Valstybini brands egzamin frmulių * rinkinys abc Trikampis. S = p ( p a)( p b)( p c) = rp= ; 4R čia a, b, c trikampi kraštinės, p pusperimetris, r ir R įbrėžtini ir apibrėžtini apskritimų spinduliai, S trikampi pltas. π R πr Skrituli išpjva. S = α, l = α; 60 60 čia α centrini kamp didumas laipsniais, S išpjvs pltas, l išpjvs lank ilgis, R apskritim spindulys. Nupjautinis kūgis. S= π( R+ r) l, V= π H ( R + Rr + r ); čia R ir r kūgi pagrindų spinduliai, S šnini paviršiaus pltas, V tūris, H aukštinė, l sudarmji. 1 Nupjautinės piramidės tūris. V = H ( S1 + S1S + S ); čia S 1, S pagrindų pltai, H aukštinė. Rutulys. S = 4πR, V = π R ; čia S rutuli paviršiaus pltas, V tūris, R spindulys. * Egzamin uždutyje šis frmulių rinkinys gali būti papildytas. 1 Rutuli nupjvs tūris. V = πh (R H) ; čia R spindulys, H nupjvs aukštinė. 1 Vektrių skaliarinė sandauga. r r r r a b = x1x + y1 y + z1z = a b cs α ; čia α kampas tarp vektrių a r { x, y z } ir { x, y z } 1 1, 1 b r,. n b (1 q ) n 1 1 Gemetrinė prgresija. b = b q, S =. n 1 n 1 q b Begalinė nykstamji gemetrinė prgresija. S = 1. 1 q 1 1 Trignmetrinės funkcijs. 1 + tg α =, 1 + ctg α =, cs α sin α sin α = 1 cs α, cs α = 1 + cs α, sin( α ± β) = sinα csβ ± csα sinβ, cs( α ± β) = csα csβ m sin α sinβ, α ± β α m β sin α ± sinβ = sin cs, α + β α β csα + csβ = cs cs, α + β α β cs csβ = sin sin α, ( α ± β) sin x = a, k x = ( 1) arcsin a + πk, čia k Z, cs x = a, x = ± arccs a + πk, čia k Z, x = = a x arctg, a + πk, čia k Z. Deriniai k n k n! Cn = Cn =. k!( n k)! tgα ± tgβ tg =. 1 m tgα tgβ 1 a 1; 1 a 1;
Tikimybių terija. Atsitiktini dydži X matematinė viltis yra EX = x 1 p 1 + x p +... + x n p n, dispersija DX= ( x1 EX ) p1 + ( x EX ) p +... + ( xn EX ) pn. Išvestinių skaičiavim taisyklės. ( cu ) = cu ; ( u ± v) = u ± v ; u u v uv ( uv ) = u v + uv ; = ; v v čia u ir v taške diferencijujams funkcijs, c knstanta. (a x ) = a x 1 lna, ( lga x) =. x ln a Sudėtinės funkcijs h(x) = g(f(x)) išvestinė h (x) = g (f (x)) f (x). Funkcijs grafik liestinės taške ( x 0, f ( x0 )) lygtis. y = f ( x0 ) + f ( x0 )( x x0 ). lgc b Lgaritm pagrind keitim frmulė. lga b =. lg a c