x x και µε P το γινόµενο x1 x2 2α 2α α

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ I ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Θεώρηµα (Τύποι του Vieta) Έστω ότι η εξίσωση αx + βx+ γ=, α έχει πραγµατικές ρίζες x Αν συµβολίσουµε µε S το άθροισµα x+ x και µε P το γινόµενο x x, τότε: β = + = α γ P = x x = α S Σχόλιο Ισχύει : = β+ β = α α β+ + β+ = = α α α Παρατήρηση Μία παράσταση Π(x,ψ) µε δύο µεταβλητές x,ψ λέγεται συµµετρική όταν δεν µεταβάλλεται µε εναλλαγή των x,ψ, δηλαδή Π(x,ψ) = Π(ψ, x) Για παράδειγµα, οι παραστάσεις: x+ ψ, x ψ, x + ψ, +, (x+ )(ψ+ ) + xψ x ψ είναι συµµετρικές παραστάσεις των µεταβλητών x,ψ Οι συµµετρικές παραστάσεις µε δύο µεταβλητές x,ψ µπορούν να εκφραστούν από το άθροισµα x+ ψ και το γινόµενο x ψ των x,ψ Είναι χρήσιµες οι παρακάτω ταυτότητες: (i) x + ψ = (x+ ψ) xψ (ii) x + ψ = (x+ ψ) xψ(x+ ψ) Εποµένως από το άθροισµα S και το γινόµενο P των ριζών της εξίσωσης αx + βx+ γ=, α µπορούµε να υπολογίσουµε συµµετρικές παραστάσεις των ριζών Παράδειγµα Αν x είναι ρίζες της εξίσωσης x + 9x = να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: (i) + (ii) + (iii)(x x ) x + x + (iv) + (v) x + x Λύση 9 Ισχύουν x+ x = και x x =, εποµένως: ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ 9 x+ x (i) + = = = x x 7 + (x + ) + (x + ) (x + x ) + + = = = = x 8 + x+ (x+ )(x + ) xx+ (x+ x ) + 4 + 4 (ii) (iii) (iv) 8 4 ( ) = x + x = (x+ x ) 4xx = + = 8 6 + x + x (x+ x ) xx + = = = = x x 79 9 79 8 4 x + x = (x + x ) (x + x ) = = = (v) II ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Θεώρηµα Αν δύο αριθµοί x, x έχουν άθροισµα S και γινόµενο P, τότε οι αριθµοί αυτοί είναι ρίζες της εξίσωσης: + = x Sx P Παρατηρήσεις Με βάση το προηγούµενο θεώρηµα µπορούµε: I Να κατασκευάσουµε µια εξίσωση β βαθµού όταν γνωρίζουµε τις ρίζες της ή το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της II Να βρούµε αµέσως τις ρίζες µιας εξίσωσης της µορφής βρίσκοντας δύο αριθµούς µε άθροισµα S και γινόµενο P x Sx+ P=, Παράδειγµα Να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης: x x 7 = Λύση 7 Αν x είναι οι ρίζες της εξίσωσης που δίνεται τότε x+ x = και x x = Έστω ρ, ρ οι ρίζες της ζητούµενης εξίσωσης τότε ρ = και ρ =, οπότε ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ x+ x S= ρ+ ρ = + = = = και x 7 x 7 P= ρ ρ = = = = x 7 x 7 Άρα η ζητούµενη εξίσωση είναι: x + x = 7x + x = 7 7 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση Άθροισµα Γινόµενο Ριζών Αν οι εξισώσεις x 7x 6 + = και το άθροισµα α + β είναι ίσο µε Α Β Γ 4 49 Ε 6 xα x β = έχουν τις ίδιες λύσεις, τότε x c Αν x µε x x είναι ρίζες της εξίσωσης qx+ =, p και ισχύει p p = x x, τότε το γινόµενο c q είναι ίσο µε Α Β Γ 4 Ε Αν η εξίσωση x + αx = έχει ρίζες x και η εξίσωση έχει ρίζες,, τότε το άθροισµα α+ β είναι ίσο µε Α Β Γ 4 Ε 4 Αν x είναι ρίζες της εξίσωσης 7x + x =, τότε το άθροισµα + + είναι ίσο µε Α 9 6 Β 4 9 Γ 9 4 6 9 Ε 6 ίνονται οι εξισώσεις x ( λ+ ) x =, x 8x 4β= x + λ x+ = Αν οι ρίζες της δεύτερης εξίσωσης είναι κατά µία µονάδα µεγαλύτερες από τις ρίζες της πρώτης εξίσωσης, τότε ο λ R είναι ίσος µε Α Β Γ Ε ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ 6 Αν οι ρίζες x, α+ x α+ x+ α =, α R είναι αντίστροφες, τότε το άθροισµα x+ x είναι ίσο µε Α Β Γ Ε x της εξίσωσης 7 Αν x µε x x είναι ρίζες της εξίσωσης η σχέση x x = x x, τότε το β είναι ίσο µε Α 4 Β Γ 4 4 8 Αν α, β είναι ρίζες της εξίσωσης εξίσωσης x βx =, β R και ισχύει Ε x + µx+ ν= και α, β είναι ρίζες της x + µ x =, τότε το άθροισµα 4α+ 4β είναι ίσο µε Α Β Γ 4 Ε Εξίσωση µε γνωστό άθροισµα και γινόµενο ριζών 9 Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις έχει ρίζες τους αριθµούς x= και + x = Α x + x = Β x + x+ = Γ x + x = x x = Ε x x = Αν x είναι ρίζες µιας εξίσωσης δευτέρου βαθµού και ισχύουν οι σχέσεις x + + 8= x x+ 9= τότε οι x είναι ρίζες της εξίσωσης Α x + x = Β x + x+ = Γ x x+ = x x = Ε x x = ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άθροισµα Γινόµενο Ριζών Η εξίσωση x x 6= έχει ρίζες x Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: (i) + (ii) ( x ) ( x ) (iii) + x+ x+ (iv) + (v) x + x (vi) + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 4

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Αν x και x είναι ρίζες της εξίσωσης x αx+ α =, να υπολογίσετε το α R ώστε να ισχύει η σχέση: x + x = Για ποιες τιµές του α R, η εξίσωση αντίθετες x α α x α 4 Να υπολογίσετε το α Rώστε οι ρίζες της εξίσωσης να είναι: (i) Αντίθετες (ii) Αντίστροφες x 4α + 7α x+ 6α + α = + = έχει ρίζες Να βρείτε την τιµή του α R, αν είναι γνωστό ότι το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης x 4x+ α= είναι ίσο µε 6 6 Για ποιες τιµές του α R, το άθροισµα των ριζών της εξίσωσης x α x = είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών της 7 Να βρείτε την τιµή του α R για την οποία µία ρίζα της εξίσωσης x + α x+ α + = είναι διπλάσια της άλλης 8 Για ποιες τιµές του α R, ο λόγος των ριζών της εξίσωσης είναι ίσος µε x + αx+ α+ = 9 Για ποιες τιµές του α R, οι ρίζες x και x της εξίσωσης x ( α+ ) x+ α =, ικανοποιούν τη σχέση x= 9x Κατόπιν να βρεθούν οι ρίζες ν ν Έστω Sν = x + x όπου x και x οι ρίζες της εξίσωσης αποδείξετε ότι: Sν+ psν + qsν = Η εξίσωση αν γνωρίζετε ότι = 6 x + px+ q Να α x α x = έχει ρίζες x Να βρείτε τον α R Χωρίς να βρείτε τις ρίζες x της εξίσωσης x + + x υπολογίσετε την παράσταση: Π= 4 + 4 x 7x 4 =, να ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Αν x και κ+ x κ+ x+ κ =, να x είναι ρίζες της εξίσωσης υπολογίσετε το κ R ώστε να ισχύει η σχέση: κ κ 6 + = ( κ+ ) 4 Να βρείτε τον α R ώστε το άθροισµα των ριζών της εξίσωσης x α x α α+ = να είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους Εξίσωση µε γνωστό άθροισµα και γινόµενο ριζών Να γράψετε την εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθµούς α (i) α και α (ii) α+ β και α β (iii) και α (iv) α β και β (v) α β και (vi) κ + λ και κ λ α α+ β 6 Να βρείτε την εξίσωση β βαθµού που έχει ρίζες αντίστροφες των ριζών των εξισώσεων (i) x + x 8= (ii) x + κx+ λ= (iii) αx + βx+ γ= 7 Να βρείτε την εξίσωση β βαθµού της οποίας οι ρίζες x και x έχουν γινόµενο 4 και ισχύει η σχέση α 7 + = x x α 4 8 Να βρείτε την εξίσωση β βαθµού της οποίας οι ρίζες x και x έχουν άθροισµα και ισχύει η σχέση x x 4α + + = x x 4α + + + 9 Έστω α= + ( ) και x είναι ρίζες της εξίσωσης x 8x+ α= Να βρείτε την εξίσωση που έχει ρίζες αντίστροφες των τετραγώνων των ριζών της παραπάνω εξίσωσης Αν x είναι ρίζες της εξίσωσης x + 8x+ =, να βρείτε την εξίσωση που xx έχει ρίζες τους αριθµούς ψ = και ψ = x + + x ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6