ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΔΕΝΔΡΑ(MARTINGALES) ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH, ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΣΤΟΝ L¹ ΠΑΠΑΔΕΡΑΚΗ ΙΩΑΝΝΑ Επιβλέπων : Επίκουρος Καθηγητής Πετράκης Μίνως ΧΑΝΙΑ, 2012

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου Μίνωα Πετράκη, για την βοήθεια του, την επιστημονική καθοδήγηση, όσο και για την ηθική υποστήριξη που μου προσέφερε κατά την διάρκεια της εργασίας μου. Ευχαριστώ τους καθηγητές : κ.. Κανδυλάκη (Αναπληρωτή Καθηγητή) και κ. Α. Μανουσάκη (Επίκουρο Καθηγητή) που συμμετείχαν στην τριμελή επιτροπή αξιολόγησης. Ακόμα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον διδάκτορα Αναστάση Σηφαλάκη και την υποψήφια διδάκτορα Μαριάννα Παπαδομανωλάκη για τις συμβουλές τους, την βοήθεια και το κουράγιο που μου έδιναν κατά την διάρκεια των σπουδών μου. Τέλος ευχαριστώ την οικογένεια μου για την ηθική συμπαράσταση και υπομονή που μου έδιναν αυτά τα χρόνια. Η εργασιά αυτή κατατέθηκε στο Γενικό τμήμα του Πολυτεχνείου Κρήτης τον Φεβρουάριο του 2012. 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή...σελ.3 1. Βασικοί Ορισμοί...σελ.4 2. Η ιδιότητα Radon - Nikodym...σελ.11 3. Αναπαραστάσιμοι Τελεστές...σελ.12 4. Martingales...σελ.13 5 Αριθμοί εντροπίας (προσέγγισης) τελεστών...σελ.21 6. Ημιεμφυτεύσεις σε χώρους Banach...σελ.29 Βιβλιογραφία...σελ.38 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην εργασία αυτή παραθέτουμε μία σύντομη εισαγωγή στη θεωρία χώρων Banach με την Radon Nikodym ιδιότητα(rnp). Ορίζουμε την RNP και παρουσιάζουμε τα βασικα θεωρήματα(σχέση της RNP με δένδρα,martingales και τελεστές στον L 1 ). Στο κεφάλαιο 5 αποδεικνύουμε ότι άν T : L 1 X είναι φραγμένος τελεστής και c n είναιοιαριθμοίgelfand του περιορισμού του T στον L τότε ο χώρος X περιέχει ένα δένδρο του οποίου οι διαφορές(nodes) ικανοποιούν τη σχέση 2 n d n,k 2 n1 c 2 n. k1 Τέλος στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε γνωστά αποτελέσματα για ημιεμφυτεύσεις του L 1 σε χώρους Banach. 3

1.ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ: Εστω Ω,Σ,λ ένας χώρος πιθανότητας και Χ ένας χώρος Banach. Μία συνάρτηση f : Ω Χ καλείται απλή εάν υπάρχουν x 1,x 2,... x n X και n Ε 1, Ε 2,... Ε n Σέτσιώστεf x i X Ei,όπου X Ei ω 1 εάν ω Ε i και X Ei ω 0 i1 εάν ω Ε i. Το Bochner ολοκλήρωμα μιας απλής συναρτήσεως f είναι n εξ ορισμού: fdλ x i λε Ε i,e Σ. i1 Ε Μία συνάρτηση f:ω Χ καλείται μετρήσιμη εάν υπάρχει μια ακολουθία απλών συναρτήσεων s n n N έτσι ώστε lim n s n f 0 λ-σχεδόν παντού. Εάν f : Ω Χ είναι μετρήσιμη και άν υπάρχει ακολουθία απλών συναρτήσεων s n n N έτσι ώστε lim n Ω s n f dλ 0.Τότε η f καλείται Bochner ολοκληρώσιμη.σ αυτή την περίπτωση το fdλ ορίζεται για κάθε L Σ σαν το όριο lim n E s n dλ. Ε Έστω 1 p τότε L p s,σ,μ είναιτοσύνολοόλωντων μ-μετρήσιμων συναρτήσεων f : S X έτσι ώστε οι συναρτήσεις f p είναι μ-ολοκληρώσιμες.από την νόρμα f ενός στοιχείου f L p s,σ,μ εννούμε την ποσότητα: f s fs p dμs 1 p.όταν είναι σκόπιμο,για λόγους σαφήνειας,το σύμβολο f p θα χρησιμοποιείται για την νόρμα ενός στοιχείου στον L p s,σ,μ. 1.1 Θεώρημα : Έστω f : Ω Χ μία μετρήσιμη συνάρτηση.η f είναι Bochner ολοκληρώσιμη εάν και μόνο άν f dλ. Ω 4

Με L 1 X λ συμβολίζουμε τον χώρο Banach όλων των Bochner ολοκληρώσιμων συναρτήσεων με νόρμα f LX 1 f dλ. Ω Θεωρήματα για Bochner ολοκληρώσιμες συναρτήσεις : 1.Έστω Τ ένας κλειστός τελεστής από τον χώρο Banach X στον χώρο Banach Y.Εάν η f : Ω Χ και η Τf : Ω Υ είναι Bochner ολοκληρώσιμες, τοτε Τ Ε fdλ Τfdλ. Ε 2. Εάν f L X 1 και Ε Σ, λε 0 τότε 1 λε Ε fdλ cofe. 3. Εάν f : 0,1 X είναι Bochner ολοκληρώσιμη τότε για όλα σχεδόν τα 1 s 0,1 έχουμε lim h 0 h sh s ftdt fs. 4. Εάν f,g L 1 X και fdλ gdλ Ε Σ τότε f g λ σχεδόν παντού. Ε Ε 5. Εάν f L 1 X τότε fdλ f dλ Ε Σ. Ε Ε 6. Έστω f n n N μία ακολουθία απο Bochner ολοκληρώσιμες συναρτήσεις f n : Ω Χ.Εάν lim n λω Ω : f n ω fω ε 0 ε 0 και εάν υπάρχει πραγματική Lebesque ολοκληρώσιμη συνάρτηση g : Ω έτσι ώστε f n g λ -σχεδόν παντού,τότε η f είναι Bochner ολοκληρώσιμη και lim n f n dλ f n dλ Ε Σ E E 1.2 Ορισμός : Η απεικόνιση μ : Σ Χ καλείται διανυσματικό μέτρο (vector 5

measure) εάν μ A n n1 n1 ξένων συνόλων από την σ-άλγεβρα Σ. μα n lim N N n1 A n για κάθε ακολουθία A n n N Η κύμανση(variation) ενός διανυσματικού μέτρου μ, είναι η (επεκταμένη πραγματικη) συναρτηση μ : Σ 0, τηςοποίαςητιμήσ ένα σύνολο Ε Σ είναι μ sup π Α π μα όπου το supermum τοπαίρνουμεπάνωσεόλεςτις διαμερίσεις του Ε σε πεπερασμένο το πλήθος ξένων ανά δύο στοιχείων από την Σ.Εάν μ Ω τότε το διανυσματίκο μέτρο μ καλείται μέτρο φραγμένης κύμανσης (bounded variation). Εάν Ω,Σ,λ είναι ένας χώρος πιθανότητας, ΧέναςχώροςBanach και f L 1 X λ μία Bochner ολοκληρώσιμη συνάρτηση, μπορούμε να ορίσουμε ένα διανυσματικό μέτρο μ : Σ Χ ώς εξής : με fdλ, Ε Σ. Ε Το ότι το μ είναι αριθμήσιμα προσθετικό χρειάζεται απόδειξη. (Εάν Ε E n με E n n N ακολουθία ξένων ανά δύο συνόλων απο την Σ, τότε η σειρά συγλίνει απολύτως, δι ότι κυριαρχείται από την συγκλίνουσα σειρά Παρατηρούμε ότι lim m λ nm1 σημαίνει ότι μ n1 E n fdλ n1 E n fdλ En 0 και επομενώς lim m En n1 n1 nm1 E n nm1 E n n1 n1 fdλ. Είναι φανερό ότι fdλ 0 E n n1 fdλ n1 En fdλ n f dλ. En E n fdλ. Αυτό με n ). To μέτρο μ, με fdλ είναι φραγμένης κύμανσης (bounded variation) και απολύτως συνεχές ως πρός το λ (δηλαδή εάν Ε Σ και λε 0 τότε μ Ε n 0 ). Ε 6

Το επόμενο θεώρημα δίνει τον χαρακτηρισμό ασθενώς συμπαγών συνόλων στον L 1 μ. 1.3 ΘεώρημαW : Έστω μ ένα μέτρο πιθανότητας και Η ένα υποσύνολο του L 1 μ.οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες. 1. Το H δεν είναι σχετικά ασθενώς συμπαγές στον L 1. 2. Το H δεν είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο. 3. Υπάρχει ε 0 και ακολουθία από ξένα σύνολα A n n1 έτσι ώστε, sup A n f dμ : f H ε, n 1,2,... 4. Yπάρχει μία βασική ακολουθία από f n n1 μοναδιαίου διανύσματος στον l 1. H ισοδύναμη με την βάση του 5. Υπάρχει ε 0, τέτοιο ώστε,για κάθε ακέραιο Ν υπάρχουν Ν ξένα σύνολα A 1,...,A N, τέτοια ώστε sup A n f dμ : f H ε, n 1,2,...,N 6. Υπάρχει μία σταθερά K τέτοια ώστε για κάθε ακέραιο Ν υπάρχουν f 1,...,f N H, K ισοδύναμες με την βάση μοναδιαίων διανυσμάτων στον l 1 N. Απόδειξη : Η απόδειξη θα αποτελείται απο της εξής ισοδύναμες συνέπειες : 1 2.Yποθέτουμε Η L 1 μ ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο έτσι ώστε για f H έχουμε f M. ίνεται ένας ακέραιος n, γράφουμε κάθε συνάρτηση f H ώς f f n f n f X f n f X f n.το σύνολο f n : f H n B Lμ είναι σχετικά ασθενώς συμπαγές. Από μ f n M n, n ομοιόμορφη 7

ολοκληρωσιμότητα δίνει sup f n 1 : f H 0 καθώς n. Από παρακάτω λήμμα συμπερένουμε ότι το H είναι σχετικά ασθενώς συμπαγες. 1.4 Λήμμα: Ένα υποσύνολο Α Χ είναι ασθενώς συμπαγές για καθε ε 0, τότε υπάρχει ένα ασθενώς συμπαγές σύνολο Α ε Χ έτσι ώστε Α Α ε εβ Χ. 2 3.Ο όρος2 σημαίνει ότι υπάρχει ε 0 τέτοιο ώστε για κάθε n 0 υπάρχει ένα σύνολο Αn και μία συνάρτηση f n H έτσι ώστε μα n n και Αn f n dμ ε. Ας καθορίσουμε θετικούς αριθμούς δ j,k,k 2,3,..., j 1,2,...,k 1, έτσι ώστε j,k δ j,k ε. Επανειλημμένα χρησιμοποιόντας την παρατήρηση ότι ένα 2 πεπερασμένο σύνολο από συναρτήσεις είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο, βρίσκουμε σύνολα B k k1 και συναρτήσεις f k k1 στον Η έτσι ώστε Βk f k ε, κ 1,2,3,..., Bk f j δ j,k j 1,2,...,k 1. Βάζουμε Α B k jk B j. Σαφώς τα Α k k1 είναι ξένα και Αk f k dμ Βk f k dμ Bj f k dμ ε 2 jk 3 4.Ορίζουμε ξένα σύνολα Α n n1 και συναρτήσεις f n H, n 1,2,... τέτοια ώστε Αn f n dμ ε 0. Βάζουμε h n Αn f n dμ 1 f n X An και φ n sgnf n X An.Σαφώς Y spanh n n1 είναι ισομετρικά στον l 1 και Pf n1 fφ n dμ h n είναι μία προβολή από τον L 1 μ στον Υ. Είναι φανερό ότι Pf n n1 δεν δεν είναι σχετικά συμπαγές στη νόρμα. Από θεώρημα (1.5) έχουμε μία ακολουθία f nj j1 τέτοια ώστε το Pf nj j1 να είναι ισοδύναμο με την βάση μοναδιαίου διανύσματος στον l 1, αλλά αυτό σημαίνει ότι η ίδια f nj j1 είναι ισοδύναμη με τη βάση μοναδιαίου διανύσματος στον l 1. 1.5 Θεώρημα (Schur): Για ένα κλειστό υποσύνολο H l 1 οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες: 8

1. Το H είναι σχετικά συμπαγές. 2. Το H είναι σχετικά ασθενώς συμπαγές. 3. εν υπάρχει ακολουθία η οποία είναι βασική ακολουθία ισοδύναμη με τη βάση των μοναδιαίων διανυσμάτων στον l 1. Η απόδειξη προκύπτει από το παρακάτω λήμμα. 1.6 Λήμμα: Eάν H l n είναι ένα κλειστό υποσύνολο, όχι σχετικά συμπαγές τότε υπάρχει μία βασική ακολουθία a n n1 ισοδύναμη με την βάση των μοναδιαίων διανυσμάτων στον l 1. Για να αποδείξουμε το λήμμα ας υποθέσουμε b n n1 H τέτοια ώστε b n C, n 1,2,... για κάποιο C και b n b m δ, για m n και δ 0. Μια τυπική διαγώνια διαδικασία δίνει μία υπακολουθία b nj j1 τέτοια ώστε b nj k bk καθώς j για κάθε k 1,2,.... Άρα b nj b ασθενώς, επομένως από γνωστή πρόταση πέρνουμε μία επιπλέον υπακολουθία(η οποία ονομάζεται επίσης b nj ) τέτοια ώστε b nj b j1, η οποία είναι ισοδύναμη με μία block βασική ακολουθία, και κατά συνέπεια με την βάση μοναδιαίου διανύσματος στον l 1. Έστω Y spanb nj b j1, αν είναι ανγκαίο παραλλείποντας ένα πεπερασμένο αριθμό από j μπορούμε να υποθέσουμε ότι b Y. Τότε a j b nj a j b nj b a j b K a j b nj b K a j, έτσι ώστε b nj j1 είναι η επιθυμητή ακολουθία. Τώρα συνεχίζουμε την απόδειξη του θεωρήματος. 6 5.Μπορούμε να υποθέσουμε f j 1, j 1,2,...N συνεπώς K 1 N j1 a j N j1 a j f j για όλες τις ακολουθίες α j N j1. Έστω r j t ησυνάρτηση Rademacher. Έχουμε N K 1 j1 a j 1 N j1 0 a j r j tf j dμdt 1 0 N a j r j tf j j1 2 dt 1 2 dμ 9

N j1 a j f j 2 1 2 dμ max j a j f j 2 1 2 N a j f j j1 1 2 dμ max j a j f j dμ 1 2 N a j f j j1 1 2 dμ max j a j f j dμ 1 2 N a j j1 1 2 Συνεπώς N K 2 a j max a j f j dμ j j1 K 2 N max j f j dμ Έστω B s, s 1,2,...,N, ξένα σύνολα τέτοια ώστε max j f j B s f s μερικά απο αυτά μπορεί να είναι κενά, από παραπάνω έχουμε ότι : N K 2 N Bs f s dμ. s1 Επειδή f s 1 συμπεραίνουμε ότι για τουλάχιστον BS f s dμ 1 2K 2. N 2K 2 1 δείκτες s έχουμε 10

2. Η Ι ΙΟΤΗΤΑ RADON-NIKODYM 2.1 Ορισμός: Oxώρος Banach X λέμεότιέχειτηνradon Nikodym ιδιότητα RNP, εάν για κάθε χώρο πιθανότητας Ω,Σ,λ και για κάθε διανυσματικό μέτρο μ : Σ Χ το οποίο είναι φραγμένης κύμανσης και απολύτως συνεχές ως πρός το λ υπάρχει Bochner ολοκληρώσιμη συνάρτηση f L 1 X λ έτσι ώστε με fdλ Ε Ε Σ. 2.2 Ορισμός: Έστω Κ ένα κλειστό φραγμένο κυρτό υποσύνολο του χώρου Banach X. Το σύνολο K έχει την Radon Nikodym ιδιότητα εάν για κάθε χώρο πιθανότητας Ω,Σ,λ και κάθε διανυσματικό μέτρο μ : Σ Χ το οποίο είναι απολύτωςσυνεχέςωςπροςλ, είναι φραγμένης κύμανσης και που το average range με A μ,ε Σ,λΕ 0 περιέχεται στον Κ υπάρχει f L λε X 1 λ έτσι ώστε μα fdλ Ε Σ. Ένα κλειστό και κυρτό υποσύνολο Κ Χ έχει την RNP εάν κάθε κλειστό, κυρτό και φραγμένο υποσύνολο του Κ έχει την RNP. Οι χώροι L 1,c o, c0,1, l, L δεν έχουν την RNP. Κάθε αυτοπαθής χώρος, κάθε δυικός χώρος είναι διαχωρίσιμος (π.χ. l 1 ) κάθε χώρος με boundelly complete βάση έχει την RNP. Είναι πολύ εύκολο να δεί κανείς ότι : 1. Εάν Χ,Ψ είναι ισομορφικοί χώροι Banach και ο Χ έχει την RNP τότε κ ο Ψ έχει την RNP. 2. Εάν ο Χ έχει την RNP τότε και κάθε υπόχωρος του Χ έχει την RNP. 3. Εάν κάθε διαχωρίσιμος υπόχωρος του Χ έχει την RNP τότε και ο Χ έχει την RNP. 11

3. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΙΜΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ 3.1 Ορισμός: Έστω X ένας χώρος Banach. Ένας τελεστής T : L 1 0,1 X καλείται αναπαραστάσιμος (representable) αν υπάρχει g L X έτσι ώστε T φ φ g για κάθε φ L 1 0,1. 3.2 Θεώρημα: Έστω K X ένα κυρτό, κλειστό υποσύνολο του Χ με την RNP. Άν T : L 1 0,1 X είναι ένας τελεστής έτσι ώστε T φ : φ 0 φ 1 K τότε ο T είναι αναπαραστάσιμος. 3.3 Θεώρημα: ΟχώροςBanach έχει την RNP αν και μόνο αν κάθε φραγμένος γραμμικός τελεστής T : L 1 X είναι αναπαραστάσιμος. 3.4 Θεώρημα (Dunford-Pettis): Έστω T : L 1 X ένας αναπαραστάσιμος τελεστής. Άν K L 1 είναι ένα ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του L 1, τότε το σύνολο TK είναι norm-συμπαγές υποσύνολο του X. 3.5 Θεώρημα (Lewis-Stegall): Έστω T : L 1 X ένας τελεστής. Ο T είναι αναπαραστάσιμος αν και μόνο αν υπάρχουν τελεστες S : L 1 l 1, U : l 1 X έτσι ώστε T U S. 3.6 ΘεώρημαS: Έστω T : L 1 X ένας ασθενώς συμπαγής τελεστής. Τότε ο T είναι αναπαραστάσιμος. 12

4. MARTINGALES Έστω Ω,Σ,λ ένας χώρος πιθανότητας, Σ Σ μία σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Ω και Χ κάποιος χώρος Banach. Ησυνάρτησηg L X 1 λ καλείται conditional gdλ fdλ, Ε Σ. Ε expectation της f ως προς Σ αν η g είναι Σ μετρήσιμη και Ε Με Ε f Σ συμβολίζουμε την conditional expectation της f ως πρός Σ. Παρατήρηση: Το κλασικό θεώρημα Radon Nikodym δίνει κατευθείαν ότι αν f : Ω είναι μία πραγματική συνάρτηση και Σ Σ μία σ-υποάλγεβρα της Σ τότε η Ε f Σ υπάρχει. Πράγματι, αν m : Σ είναι το μέτρο ma fdλ τότε m λ A και η Ε f Σ είναι η Radon Nikodym παράγωγος dm dλ. Ο ίδιος συλλογισμός αποδεικνύει ότι αν f : Ω Χ είναι μια Bochner ολοκληρώσιμη συνάρτηση και ο Χ έχει την Radon Nikodym ιδιότητα, τότε η Ε f Σ υπάρχει. 4.1 Θεώρημα: Έστω f L X 1 Ω,Σ,λ, Σ Σ μια σ υποάλγεβρα της Σ. Υπάρχει g Ε f Σ (ουσιαστικά μοναδική) έτσι ώστε α. Ε f Σ L X 1 Ω,Σ,λ β. gdλ fdλ, Α Σ Α Α O τελεστής Ε/Σ : L X 1 L X 1 είναι γραμμικός και ικανοποιεί τα εξής: 1. Ε f Σ ω Ε f /Σ ω λ-σχεδόν παντού 2. Ε f Σ ω f 1, f L X 1 λ 13

3. Εάν Σ Σ είναι σ αλγεβρα τότε Ε Ε f Σ /Σ Ε Ε f Σ /Σ Ε f Σ 4.2 Ορισμός: Έστω Σn n1 μια αύξουσα ακολουθία απο σ υποάλγεβρες της Σ. Ένα martingale είναι μία ακολουθία f n,σ n n N, f n L X 1 λ από Bochner ολοκληρώσιμες συναρτήσεις f n : Ω Χ τέτοιες ώστε: 1. Οι f n είναι μετρήσιμες συναρτήσεις σε σχέση με την Σ n. 2. Εf n1 /Σ n f n, n N. έντρα: Ένα άπειρο δέντρο J στον Χ είναι μια ακολουθία x n στον Χ με την ιδιότητα x n x 2nx 2n1 2, για όλα τα n 1. Παράδειγμα 1: Έστω f L 1 X λ και Σ ο Σ 1 Σ 2... Σ n μια αύξουσα ακολουθία σ αλγεβρών και f n E f /Σ n.tότε η ακολουθία f n,σ n είναι ένα martingale. Παράδειγμα 2: Έστω x n,k, n 0,1,2,..., k 1,2,...2 n ένα δέντρο σ ένα χώρο Banach X. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία x n,k είναι φραγμένη και x n,k 1 x 2 n1,2k 1 x n1,2k n 0,1,2,..., 1 k 2 n. Έστω I n,k k 1 k,, 2 n 2 n n 0,1,2,..., 1 k 2 n η ακολουθία των δυαδικών διαστημάτων. Με Σ n συμβολίζουμε την πεπερασμένη άλγεβρα που γεννάται από την I n,k, 1 k 2 n Mπορούμεναορίσουμεέναmartingale με τιμές στον χώρο Χ ως εξής: 14

ξ 0 x 01 X I01 ξ 1 x 11 X I11 x 12 X I12 2 n ξ n x n,k X In,k, ξ n : 0,1 X. k1 Μπορούμε να δούμε ότι ξ ο 0,1 0,1 ξ 1 αφού x 0,1 1 2 x 11 x 12. Ομοίως έχουμε ότι Εξ n1 /Σ n ξ n που σημαίνει ότι η ακολουθία ξ n,σ n είναι ένα martingale. Ένα δέντρο x n,k καλείται ε δέντρο αν x n1,2k 1 x n,k ε n, k όπου 1 k 2 n. Το martingale ξ n,σ n που αντιστοιχεί σ ένα ε δέντρο δεν μπορεί να συγκλίνει αφού ξ n1 t ξ n t ε, t 0,1. Στον L 1 0,1 υπάρχει ένα 1 δέντρο. 15

X K 1 2 Πράγματι άν h n,k n, k 2 n 1, 1 k 2 n, 1 k 2 n, n 0,1,... έχουμε ότι 2 n h n,k 1 1 n, k όπου 1 k 2 n και h n1,2k 1 h n1,2k 1 1. Είναι επίσης φανερό ότι h n,k είναι δέντρο δηλαδή h n1,2k 1 h n1,2k 2h n,k, n, k όπου 1 k 2 n. Παραδείγματα πραγματικών Μartingales. 1Wi. Έστω X 1,X 2,... μία ακολουθία από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με E X k, k και E X k 0, k. Ορίζουμε S 0 0 και S n X 1 X 2...X n F n σx 1,X 2,...X n, F 0,Ω. Τότε για n 1, έχουμε ES n \F n 1 ES n 1 \F n 1 EX n \F n 1 S n 1 EX n S n 1. Η πρώτη ισότητα είναι προφανής από την ιδιότητα της γραμμικότητας. Από S n 1 είναι F n 1 μετρήσιμες, ES n 1 \F n 1 S n 1 και αφού η X n είναι ανεξάρτητη από την F n 1 έχουμε EX n \F n 1 EX n ( Απο γνωστή ιδιότητα γνωρίζουμε ότι έαν X είναι ανεξάρτητο απο H τότε EX/H EX ). 2Wi. Έστω X 1,X 2,... μία ακολουθία από ανεξάρτητες μη αρνητικές τυχαίες μεταβλητές με EX k 1, k. Ορίζουμε M 0 1, F 0,Ω και M n X 1,X 2,...X n, F n σx 1,X 2,...X n. Tότε για n 1, έχουμε 16

, EM n \F n 1 EM n 1 X n \F n 1 M n 1 EX n \F n 1 M n 1 EX n M έτσι το M είναι ένα martingale. 3Wi. Ας πάρουμε ακολουθία F n και έστω ξ L 1 Ω,F,P. Oρίζουμε M n Eξ\F n. Από γνωστή ιδιότητα έχουμε ότι EM n \F n 1 Eξ\F n \F n 1 Eξ\F n 1 M n 1. επομένως το M είναι ένα martingale. 4Βi. Έστω Ω,F,P ένας χώρος πιθανότητας, ν ένα πεπερασμένο μέτρο στον F και F 1,F 2,... μία ακολουθία απο σ άλγεβρες στον F. Υποθέτουμε ότι ο P υπερισχύει του ν όταν και οι δύο περιορίζονται στον F n. Έχουμε A F n με PA 0 συνεπάγεται ότι va 0. Τότε υπάρχει μία πυκνότητα ή μια Radon Nikodym παράγωγος X n από v σε σχέση με το P όταν και οι δύο περιορίζονται στον F n. Η X n είναι μία συνάρτηση που είναι μετρήσιμη στον F n και ολοκληρώσιμη στον P και ισχύει X n dp va, A F n. A Εάν A F n τότε A F n1 και X n1 dp va. A Έτσι η X n είναι ένα martingale στον F n. 5Βi. (Mία ειδίκευση του προηγούμενου παραδείγματος). Έστω P ένα μέτρο Lebesque στο σ πεδίο του F απο Borel υποσύνολα για Ω 0,1 και έστω F n μία πεπερασμένη σ άλγεβρα η οποία παράγεται από την διαμέριση του Ω σε δυαδικά διαστήματα k2 n,k 12 n, 0 k 2 n. Εάν A F n και PA 0, τότε το A είναι κενό. Επομένως το P κυριαρχεί από κάθε πεπερασμένο μέτρο ν στην F n. Η Radon Nikodym παράγωγος είναι: 17

X n ω vk2 n,k12 n 2 n εάν ω k2 n,k 12 n. 6Βi. Υποθέτουμε οτι Z είναι μια τυχαία ολοκληρώσιμη μεταβλητή στον Ω,F,P και η F n αποτελείται από σ άλγεβρες στον F. Εάν X n EZ F n τότε οι τρείς πρώτες ιδιότητες στον ορισμό των martingales πληρούνται και EX n1 F n EEZ F n1 F n EZ F n X n. Έτσι ο X n είναι ένα martingale σχετικά με την F n. Submartingales Ένα submartingale αποτελείται από τυχαίες μεταβλητές X n που σχετίζονται με σ άλγεβρες στον F n και απο γνωστές ιδιότητες ισχύει ότι: EX n1 F n X n. Όπως πρίν ο X n είναι ένα submartingale, εάν υπάρχει ένα submartingale σε σχέση με ορισμένες ακολουθίες F n, και την ειδική ακολουθία F n σx 1,...,X n, τότε λειτουργεί. Η προηγούμενη σχέση είναι ίδια με την παρακάτω: EX nk F n X n για k 1. Πέρνωντας αναμενόμενες τιμές έχουμε ότι EX 1 EX 2.... Παραδείγματα submartingales: 1. Υποθέτουμε ότι το Δ n είναι ανεξάρτητο και ολοκληρώσιμο. Αυτό χρειάζεται διότι EΔ n είναι για n 2 μη αρνητικός, εκτός από το 0. Τότε Δ 1 Δ 2...Δ n ορίζουν ένα submartingale. 2. Υποθέτουμε ότι ο X n είναι ένα martingale που σχετίζεται με τον F n. Τότε το X n είναι μετρήσιμα F n και ολοκληρώσιμα και E X n1 F n EX n1 F n X n. 18

Έτσι το X n είναι ένα submartingale σχετικό με τον F n. Ακόμη και άν τα X 1,X 2,...X n παράγουν τον F n ν, στην πραγματικότητα τα X 1,..., X n παράγουν ένα σ πεδίο μικρότερο από τον F n. 4.3 Θεώρημα: Έστω X ένας χώρος Banach και K X ένα κλειστό φραγμένο σύνολο με RNP. Τότε κάθε martingale με τιμές στον K συγκλίνει σχεδόν παντού. (Ίσχύει και το αντίστροφο). 4.4 ΘεώρημαD U: Ένα martingale f n,b n, n N στον L p μ,x συγκλίνει στην L p μ,x νόρμα αν και μόνο αν υπάρχει f L p μ,x τέτοιο ώστε E B n να n έχουμε lim n E f n dμ FE fdμ. E To επόμενο πόρισμα είναι στην ουσία το παραπάνω θεώρημα σε πιό απλή μορφή. 4.5 Πόρισμα: Ένα martingale f n,b n, n N στον L p μ,x, 1 p συγκλίνει στην L p μ,x νόρμα αν και μόνο αν υπάρχει f L p μ,x τέτοιο ώστε Ε f /B n για κάθε n N. f n 4.6 Oρισμός: Ένα martingale f n,b n, n N στον L 1 μ,x είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο αν lim f n dμ 0 ομοιόμορφα στο n N. με 0,Ε Β n E 4.7 Πόρισμα: Έστω ότι ο X έχει την Radon Nikodym ιδιότητα 1 p, και f n,b n, n N ένα martingale στον L p μ,x. Τότε το lim n f n υπάρχει στην L p μ,x νόρμα, αν και μόνο αν 1. p 1, sup n f n 1 και f n,b n, n N ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο ή 2. 1 p και sup n f n p. Το προηγούμενο πόρισμα έχει και αντίστροφο το οποίο "δένει" τη σύγκλιση του martingale με την RNP. Αυτό είναι το εξής θεώρημα: 19

4.8 Θεώρημα: Έστω X χώρος Banach τέτοιος ώστε για κάθε πεπερασμένο μετρήσιμο χώρο Ω,Σ,μ, κάθε φραγμένο ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο martingale στον L 1 μ,x συγκλίνει στην L 1 μ,x νόρμα. Τότε ο X έχει την Radon Nikodym ιδιότητα. 4.9 Θεώρημα: Ένα martingale που συγκλίνει στον L 1 μ,x, συγκλίνει και στο L 1 μ,x- οριό του σχεδόν παντού. 4.10 Oρισμός: Άν ξ n ένα martingale τότε η ακολουθία d n ξ n1 ξ n καλείται martingale difference sequence m.d.s. 4.11 Θεώρημα ( Gaposhkin ): Έστω g n μια ασθενώς μηδενική ακολουθία στον L p.tότε υπάρχει μια m.d.s. f n στον L p και μια υπακολουθία h n της g n τέτοια ώστε η σειρά n h n f n p συγκλίνει. ΑπόδειξηF: Άς υποθέσουμε ότι n 1... n k 1 και f 1,...,f k 1 έχουν οριστεί έτσι ώστε h j f j p 2 j και εάν j 2, Ef j,σ j 1 0, όπου Σ j είναι η άλγεβρα που παράγεται από τις απλές συναρτήσεις f 1,...,f j και h j g nj, για j 1,...,k 1. Έστω lim n Eg n,σ k 1 p 0, μπορούμε να διαλέξουμε n k n k 1 με Eh k,σ k 1 p 2 k 2, όπου h k g nk. Πέρνουμε μία απλή συνάρτηση f k έτσι ώστε f k h k 2 k 2. Έτσι p θέτοντας f k f k E f k,σ κ 1 μπορούμε να συνεχίσουμε με επαγωγή. 20

5. ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΤΡΟΠΙΑΣ (ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ)TEΛΕΣΤΩΝ.(entropy numbers, approximation numbers). Άν K X συμπαγές τότε ε 0 υπάρχει πεπερασμένο σύνολο F x 1,x 2,...,x n έτσι ώστε inf dx,x j ε (totally bounded). j n Άν δεν είναι συμπαγές το K τότε μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο συμπάγειας των qk infε : dx,x j ε. Άν έχω τελεστή T : X Y, ο τελεστής καλείται συμπαγής αν TB X Y συμπαγές. 5.1 Γνωστοί approximation numbers τελεστών. Έστω τελεστής T : X Y, ανάμεσα στους χώρους Banach X και Y ορίζουμε: a n T inf T A : A : X Y,rankA n. Οι approximation numbers ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες: 1.Έχουμε ότι a 1 T a 2 T... a n T... και a 1 T T. 2.Έχουμε ότι a kn 1 T 1 T 2 a k T 1 a n T 2 για Τ 1,Τ 2 : X Y, a n T 1 T 2 T 1 a n T 2. 3.Έχουμε ότι a kn 1 RS a k Ra n S για S : X Y και R : Y F, γενικά α) a n RS R a n S. β) a n RS a n R S. 4. Πέρνουμε a n T 0 εάν κ μόνο εάν η τάξη Τ n. 5.Προκύπτει ότι a n I X 1 για dimx n, όπου Ι X είναι ο ταυτοτικός χάρτης 21

από τον Banach χώρο X. 5.2. Kolmogorov numbers. 5.2.1. Πρόταση: Ένας τελεστής T : X Y όπου X,Y χώροι Βanach, είναι συμπαγής αν και μόνο αν για κάθε ε 0 υπάρχει ένας υπόχωρος πεπερασμένης διάστασης Ν ε Y με TB X Ν ε ε B Y. Οι αριθμοί Kolmogorov d n T ενός τελεστή T : X Y ορίζονται ως εξής: d n T inf ε 0:TB X Ν ε εb Y,όπου Ν ε Y και dimn ε n. 5.3 Gelfand numbers. 5.3.1 ΠρότασηC S: Ένας τελεστής T : X Y όπου X,Y χώροι Βanach, είναι συμπαγής αν και μόνο αν για κάθε ε 0 υπάρχουν πεπερασμένα x i X, 1 i k όπου Τx sup x i x ε x όπου x X. 1 i k Απόδειξη: Έστω τελεστής T : X Y και ε 0 μπορούμε να ορίσουμε πολλά πεπερασμένα στοιχεία y i X, 1 i k τέτοια ώστε TB X y i ε B 2 Y. ΕπιπλέοναποτοθεώρημαHahn Banach για κάθε y i υπάρχει ένα y i Y με y i y y i και y i 1. Περνώντας στο σηναρτησoειδές x i X που ορίζεται από την σχέση x i x Ty i x ή T k y i μας δίνει την δυνατότητα να επαληθεύσουμε την πρόταση 5.5.1. Με βάση το προηγούμενο αρκεί τυχαίο x X γιαναδουλέψουμεμεx B X x επειδή κάθε x X, x 0 μπορεί να αλλάξει σε ένα στοιχείο απο B X σε. Η x εικόνα Tx από ένα στοιχείο x B X,ωστόσο ανήκει στην ένωση,δηλαδη Tx y k ε B 2 Y. Η νόρμα του στοιχείου y k ορίζεται ως εξής: y k y k y y k y k T x y k Tx y k T x y i sup x i x ε sup 2 1 i k 1 i k. k i1 22

Άραέχουμεότι Tx Tx y k y k ε sup x i x, x X. 1 i k Αντιστρόφως ας υποθέσουμε ότι ο τελεστής T : X Y πληρεί τα παραπάνω, τότε για τυχαίο ε 0 με κατάλληλα x i X, προκειμένου να αποδείξουμε ότι TB X είναι συμπαγές υποσύνολο του Y θεωρούμε ένα σύστημα από στοιχεία y j TB X όπου y j y k 4ε για j k. Χρησιμοποιώντας τα y j Tx j με x j Bx μπορούμε να ορίσουμε ότι 4ε Tx j Tx k sup x j k i x 2ε επομένως 1 i k 2ε sup x j k i x για j k. 1 i k Το supremum μπορούμε να πούμε ότι είναι η απόσταση των στοιχείων: u j x i x j 1 i k και u k x i x k 1 i k στον Banach χώρο l k.aπό το u j sup x i x j sup x i το σύστημα u j l k είναι κλειστό υποσύνολο 1 i k 1 i k από l nε. Αλλά σε ένα χώρο Banach πεπερασμένης διάστασης κάθε κλειστό υποσύνολο είναι συμπαγές. Τα στοιχεία u j l k ικανοποιούν τα εξής 2ε u j u k για j k, ακόμη και από ένα πεπερασμένο σύστημα στον l k. Συνεπώς y j TB X είναι πεπερασμένο. Έτσι TB X αποδείχθηκε ότι είναι συμπαγές. Οι Gelfand number c n T ενός τελεστή T : X Y ορίζονται ως εξής: c n T inf ε 0: Tx sup x i x ε x,όπου x i X k,1 i k με k n. 1 i k ΘεώρημαC S: Ένας τελεστής Τ είναι συμπαγής, ανκμόνοανlim n c n T 0. Απόδειξη: Από προταση 5.3.1. ΠαρατήρησηC S: Ειναι γνωστο T συμπαγής αν η ακολουθία των approximation numbers a n, d n,... 0. 23

5.4 Gelfandαριθμοί τελεστών στον L 1. Έστω τελεστής T : L 1 X Θεωρούμε i p : L p L 1, με i p f f. Θεωρούμε T p T i p : L p X με 1 p. 5.4.1 Πρόταση: Έστω cn p cn p T c n T p. Άν lim n cn p 0 για κάποιο p 1 τότε lim n cn p 0 1 p. Απόδειξη: Άν lim n cn p 0 T p : L p X συμπαγής T : L 1 X Dunford Pettis τελεστής T p : L p X είναι συμπαγής 1 p. 5.4.2 Πρόταση: Έστω τελεστής T : L 1 X. Τότε αν p 1 p 2 έχουμε ότι cn p 2 T cn p 1 T. Απόδειξη: Έστω τελεστής T : L 1 X και i p : L P L 1 με p 1, L 1 και n N. Πέρνούμε M L 1 με codimm n x 1,x 2,...,x n X k έτσι ώστε M x : x i x 0, i n kerx i. Τότε x X, x 1 με x M δηλαδή i n x i x 0, i n και Tx c n T. Oρίζουμε T i p1 : L p 1 X με x 1,x 2,...,x n L p 1 1, p1 1 p 1 1 και x 1,x 2,...,x n L p 2 με p 1 2 1 p 2 1. Έστω p 1 p 2 έχουμε L p 1 L p 2 άρα cn p 2 T cn p 1 T. 5.4.3 Θεώρημα: Έστω T : L 1 X φραγμένος τελεστής. Έστω c n cn T c n T l.tότε υπάρχει ένα δέντρο x n,k k1,2,...,2 n, n N στον X έτσι ώστε αν οι διαφορές nodes d n,k x n1,2k 1 x n1,2k τότε n N. 2 n d n,k 2 n1 c 2 n, k1 Απόδειξη: Έστω T : L 1 X φραγμένος τελεστής και T i : L X. Έστω g 1,g 2,...,g n L 1, τότε υπάρχει r με r 1, r Β L και με rg i 0 για 24

i n και Tr c n. Κατασκευάζουμε ένα δυαδικό δέντρο στον L 1 T ως εξής: Έστω ψ 01 1 ψ 1,1 11 r 1 ψ 1,2 11 r n1 Αν έχει κατασκευαστεί το ψ n,k ορίζουμε ψ n1,2k 1 ψ n,k 1 r n,k και ψ n1,2k ψ n,k 1 r n,k. To δένδρο ψ n,k στον L 1 T μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι της μορφής του επόμενου σχήματος Για το πρώτο επίπεδο πέρνουμε ψ 01 1. Για το δεύτερο επίπεδο περνουμε ψ 1,1 1 r 1 και ψ 1,2 1 r 1 με 25

1 r 1 1 και r 1 ψ 0 2 Tr 1 c 1 Αντίστοιχα για το ψ 1,2. Για το τρίτο επίπεδο πέρνουμε ψ 2,1 ψ 1,1 r 2, ψ 2,2 ψ 1,1 r 2, ψ 2,3 ψ 1,2 r 2 και ψ 2,4 ψ 1,2 r 2 με 1 r 2 1 και r 2 ψ 2,1 0, r 2 ψ 2,2 0, r 2 ψ 2,3 0, r 2 ψ 2,4 0, 2 Tr 2 c 2 Αντίστοιχα για τα υπόλοιπα. Αν έχει κατασκευαστεί το ψ n,k ορίζουμε ψ n1,2k 1 ψ n,k 1 r n,k και ψ n1,2k ψ n,k 1 r n,k με 1 r n,k 1 και r n,k ψ n,k 0 k και 2 Tr n,k c 2 n Παρατηρούμε ότι ψ n,k ψ n1,2k αρα το δεντρο ψ n,k είναι φραγμένο. 2 n 2 n Επίσης d n,k 2rψ n,k 2 n1 r. k1 k1 Aφού Tr c 2 n έχουμε 2 n1 d n,k 2 n1 c 2 n. k1 5.4.4 Πρόταση: Έστω T : L 1 X τελεστής και c n c n T i.tότε υπάρχει S : L 1 X έτσι ώστε Sr n c 2 n, όπου r n είναι οι Rademacher συναρτήσεις. Απόδειξη: Ο S είναι ο τελεστής που ορίζεται από το δένδρο του θεωρήματος 5.8. 5.4.5 ΠόρισμαG: Άν T : L 1 X δεν είναι Dunford-Pettis τότε ο X περιέχει ένα Rademacher δένδρο. 5.4.6 Ορισμός: Ένα δένδρο λέγεται Rademacher αν υπάρχει δ 0 με 2 n d n,k δ. 1 2 n k1 26

Τελεστές συνέλιξης. Αν λ ΜΠ με λn,n N συμβολίζουμε τους συντελεστές Fourier του λ, λn e int dλt. Π 5.4.7 Ορισμός: Αν μ,ν ΜΠ τότε η συνέλιξη μ ν ορίζεται ως μέτρο μ νε με tdrt, Ε Σ. Π Ισχύουν τα εξής : 1. μ ν ν μ 2. μ ν 1 ν 2 μ ν 1 μ ν 2 3. μ ν λ μ ν λ Αν λ ΜΠ με Τ λ : L 1 Π L 1 Π συμβολίζουμε τον τελεστή συνέλιξης Τ λ f f λ δηλαδή Τ λ fx fx ydλy, f L 1 Π, x Π. Έστω Τ λ : L 1 Π L 1 Π. Έχουμε u n t e int. Π Αφού T λ u n λnu n και ο τελεστής είναι διαγώνιος τελεστής L 2 Π L 2 Π. Άν λn 0 έχουμε ότι Τ είναι συμπαγής. Oρίζουμε τις διαφορές n 0 d n,k x n1,2k 1 x n1,2k. Τα λn είναι λοιπόν ιδιοτιμές του τελεστή T λ. Είναι γνωστό από C S ότι η νιοστή ιδιοτιμή λ n 2 c n T λ. 2 n 1 Επομένως από το θεώρημα 5.4.3 έχουμε ότι d n,k c λn. 2 n k1 5.4.8 Πρόταση: Έστω μέτρο λ M0,2π. Τότε υπάρχει δένδρο στον L 1 Π έτσι 27

ώστε οι διαφορές 1 2 n 2 n d n,k c λn. k1 28

6. ΗΜΙΕΜΦΥΤΕΥΣΕΙΣ (Semi-embeddings) ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ BANACH. 6.1 Oρισμός: Έστω X και Y χώροι Banach και T : X Y ένας φραγμένος γραμμικός τελεστής. Ο T ονομάζεται semi-embedding αν ο T είναι ένα προς ένα και TB X είναι κλειστό στον Y, όπου B X η μοναδιαία μπάλα του X, δηλαδή το σύνολο x X με x 1. Λέμε ότι ο X semi-embeds στον Y αν υπάρχει μία semi-embedding απεικόνιση από τον X στον Y. Σαφώς κάθε ισομορφισμός ή embedding είναι μία semi-embedding. Συνήθως ο όρος του semi-embedding είναι πολύ ασθενέστερος από τον όρο embedding. Επίσης εάν ο X είναι αυτοπαθής τότε κάθε τελεστής T : X Y ooποίος είναι ένα προς ένα είναι semi-embedding. Από γνωστή πρόταση δεν υπάρχουν semi-embedding από τον L 1 0,1 σε οποιοδήποτε αυτοπαθή χώρο. 6.2 Πρόταση: Έστω X και Y διαχωρίσιμοι χώροι Banach και T : X Y semi-embedding. Τότε υπάρχει ένα x X με x 1, έτσι ώστε εάν x n1 x 1, n 1,2,... και Tx n Tx τότε x n x. X, Απόδειξη: Επειδή ο T είναι semi-embedding, η εικόνα από κάθε κλειστή μπάλα στον X είναι κλειστή και στον Y. Πέρνουμε ε 0 και ένα σχετικό ανοιχτό σύνολο V TB X. Έστω ακολουθία u j j1 B X έτσι ώστε να μπορούμε να ορίσουμε B X Buj,ε B X. Εφαρμόζοντας το θεώρημα κατηγορίας Baire στην κάλυψη J1 του V από κλειστά σύνολα TBu j,ε B X, παίρνουμε τα ακόλουθα: Για κάθε ε 0 και για κάθε σχετικό ανοιχτό σύνολο V TB X υπάρχει ένα συγκεκριμένο μη κενό ανοιχτό σύνολο U V έτσι ώστε T 1 U ε. Εφαρμόζοντας τα παραπάνω επαγωγικά βρίσκουμε μία ακολουθία απο συγκεκριμένα ανοιχτά σύνολα U n n1 στον TB X έτσι ώστε U n U n1 U n1 και 29

diamt 1 U n 1 n όπου 0 U. Σαφώς T 1 U n αποτελείται από ακριβώς ένα σημείο x 0. Το κατάλληλο x ισούται με n1 x 0. x 0 Εφαρμόζοντας την πρόταση 6.2 για X L 1 0,1 έχουμε το παρακάτω λήμμα. 6.3 Λήμμα: Εάν ο T : L 1 0,1 X είναι semi-embedding, τότε υπάρχει f L 1 0,1 με f 1 και ένας αριθμός δ 0 τέτοιος ώστε για όλες τις πραγματικές συναρτήσεις φ με 0 1 φtdt 0 και φ 1, έχουμε σχεδόν παντού Tφf δ. Απόδειξη: Από την πρόταση 6.2 συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ένα f L 1 0,1 με f 1 και δ 0 τέτοιο ώστε f g 1 όταν g 1 και Tf Tg δ. Λαμβάνοντας υπόψη 2 το παραπάνω φ παίρνουμε ψ φ ή ψ φ έτσι ώστε να έχουμε 1 ψ f dμ 1. Για g 1 ψf έχουμε g 1 και g f ψf 1, έτσι δ Tf Tg. Αλλά Tφf Tf Tg, έτσι οι ισχυρισμοί ισχύουν. 6.4 ΘεώρημαB R,W: Έστω μ ένα μέτρο το οποίο είναι συνεχές. εν υπάρχουν semi-embedding από τον L 1 μ στο c 0. Απόδειξη: ΕίναιαρκετόναεξετάσουμεμόνοτονL 1 0,1. Σε αντίθεση με αυτό που έχουμε υποθέσει δηλαδή ότι T : L 1 0,1 c 0 είναι semi-embedding και T 1, παίρνουμε f L 1 0,1 και δ 0 όπως το λήμμα 6.3. Ορίζουμε ένα ακέραιο N 2 και έστω A δ 1,...,A N ξένα σύνολα τέτοια ώστε Aj f 1. Για κάθε n με n 1,2,...,N, έστω ακολουθία r N j n, που δηλώνει μία Rademacher ακολουθία, όπως οι συναρτήσεις στο A n. r j n χa n, n 1,2,...,N, j 1,2,... 1 30

r j n 0, n 1,2,...,N, j 1,2,... 2 r j n f ω καθώς j για κάθε n, με n 1,2,...,N. 3 Χρησιμοποιώντας το Mazur "gliding hump" επιχείρημα, η παραπάνω σχέση 3 παράγει αριθμούς jn, n 1,...,N έτσι ώστε N n1 n n T r jn f 1.5maxT r jn f 1.5 N 1 δ. n Αλλά από την σχέση 1, 2 και το λήμμα 6.3 έχουμε N n1 n n T r jn f T r jn f δ N n1 το οποίο είναι αδύνατο. Αυτή η αντίφαση αποδεικνύει το θεώρημα. Παρόμοιας φύσης με το θεώρημα είναι κ το παρακάτω λήμμα. 6.5 Λήμμα B R: Έστω ένας τελεστής T : L 1 c 0. Για κάθε ε 0 υπάρχει μία συνάρτηση r με r 1 (και rdt 0 ) τέτοια ώστε Tr ε. Απόδειξη: Yποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι T 1. Έστω e n ορίζουμε τη συνηθισμένη βάση του l 1, και έστω f n T e n για κάθε n. Τότε η f n 0 ασθενώς και f n 1 για κάθε n. ιαλέγουμε k τέτοιο ώστε 1 ε, και για j με 1 j k ορίζουμε k 2 k I j j 1 /k, j/k. Επίσης διαλέγουμε r της μορφής r j1 r j, όπου για κάθε j, r j x 1 ή 1, άν x I j, 1 r j x 0, άν x I j, και r j dt 0 Ακόμα, για κάθε j, r j 1 1 k, οπότε Tr j 1 k. ιαλέγουμε τις r j ώστε τα Tr j 31

σχεδόν dislointly supported στο c 0. Οπότεμπορούμεναεξασφαλίσουμεότι Tr j 2max j Tr j ε. ιαλέγουμε r 1 αυθαίρεταώστεναικανοποιείτην1. Επίσης διαλέγουμε N 1 ώστε Tr 1 n ε για κάθε n N 4 1. Μπορούμε να βρούμε τώρα ακέραιους N 2,...,N k και συναρτήσεις r 2,...,r n τέτοιες ώστε για κάθε j με 2 j k, και N j 1 N j και r j να ικανοποιούν την 1, 2 Tr j n 0 αν n N j 1 3 Tr j n e αν n N 2 j1 j 4 θα χρησιμοποιήσουμε επαγωγή. Υποθέτουμε ότι 2 j k και ότι N j 1, r j 1 έχουν ήδη επιλεγεί. Από το Liapunoff convexity theorem D U, υπάρχει ένα υποσύνολο E του I j ώστε E f n dt 1 2 I j f n dt για κάθε n N j 1 και E 1dt 1 2 I j 1dt. 5 Τότε η r j χ E χ Ij E ικανοποιεί την 1 και την 3. Τώρα διαλέγουμε N j N j 1 ώστε η 4 να ισχύει. Οπότε η κατασκευή είναι πλήρης με τη βοήθεια της επαγωγής. Απαιτούμε η r r j να έχει τις επιθυμητές ιδιότητες. Επομένως η r είναι 1, 1 σχεδόν παντού και rdt 0. Παίρνουμε n θετικό ακέραιο. Άν n N k, τότε απο την 4 έχουμε k Trn j1 Tr j n j1 ε ε. 2 j1 2 Άν n N 1, τότε Trn Tr 1 n από την 3 r 1 1 ε/2. Αλλιώς, διαλέγουμε 2 i k με N i 1 n N i.tότε Trn i 1 j1 i 1 j1 Tr j n Tr i n (από την 3 ) ε 2 1 k. ε r 2 j1 i 1 (από την 4 ) Oπότε Tr ε 2 1 k ε, και το λήμμα αποδείχθηκε. 32

6.6 Θεώρημα (Menchoff)B R,W: Έστω G μία συμπαγής, άπειρη μετρήσιμη ομάδα με μία δυική ομάδα Γ. Έστω M 0 G MG το οποίο δηλώνει το σύνολο όλων των μέτρων ν με νγ c 0 Γ. Τότε το M 0 είναι ένα μή διαχωρίσιμο κλειστό σύνολο στον MG. Απόδειξη: εδομένου ότι ο μετασχημάτισμος Foureir ^:MG l Γ είναι συνεχής και δεδομένου ότι M 0 ^ 1 c 0 Γ, βλέπουμε ότι ο M είναι ένας κλειστός γραμμικός υπόχωρος. Επίσης για v M 0 και p γ Α α γ γ με πεπερασμένο A Γ εύκολα ελέγχουμε ότι p v M 0. εδομένου ότι το M 0 είναι κλειστό έχουμε ότι το M 0 είναι a band. Εάν το M 0 είναι διαχωρίσιμο, τότε υπάρχει ένα θετικό μέτρο μ MG τέτοιο ώστε M 0 L 1 μ. Εύκολα ελέγχουμε ότι το μ δεν έχει άτομα. Από θεώρημα 6.4 το BM 0 ^ δεν είναι κλειστό στο c 0 Γ, έτσι υπάρχει αγ c 0 Γ\Β M0 ^ και μ n B M0 τέτοιο ώστε μ n α στο c 0 Γ. Έστω μ ένα ω οριακό σημείο από την μ n n1. Επειδή μ 1 και μ α, συμπεραίνουμε ότι μ B M0. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την επιλογή του α. 6.7 ΛήμμαB R: Έστω X και Y χώροι Banach, T : X Y γραμμικός τελεστής και K ένα κλειστό φραγμένο διαχωρίσιμο κυρτό υποσύνολο του X. Υποθέτουμε ότι TK είναι κλειστό και ο T K είναι ένα προς ένα. Τότε αν f n είναι ένα K-valued martingale τέτοιο ώστε το Tf n συγκλίνει σχεδόν παντού, το f n συγκλίνει σχεδόν παντού. Απόδειξη: Έστω A μία σ υποάλγεβρα της Σ, και E A oρίζουμε τη conditional expectation σε σχέση με την A. ιαλέγουμε μία αύξουσα ακολουθία A n από σ υποάλγεβρες της Σ, τέτοια ώστε για κάθε n, η f n είναι A n μετρήσιμη με E n 1 f n f n 1 για n 1, όπου E n E An για κάθε n. Υποθέτουμε ότι η Σ είναι η μικρότερη πλήρης σ 33

αλγεβρα που περιέχει όλες τις A n. Από την υπόθεση υπάρχει μία Bochner ολοκληρώσιμη συνάρτηση g τέτοια ώστε Tf n g σχεδόν παντού. (Φυσικά η Tf n είναι επίσης ένα martingale σε σχέση με την A n ). Αφού το TK είναι κλειστό, υποθέτουμε ότι η g παίρνει τιμές TK παντού. Επίσης ορίζουμε f T 1 g.tο K είναι Polish χώρος και ο T K είναι ένα προς ένα συνεχής. Από το κλασικό θεώρημα του Lusin, αν U είναι ένα Borel υποσύνολο του K, το TU είναι ένα Borel σύνολο, οπότε f 1 U g 1 TU είναι Lebesque μετρήσιμη. Οπότε η f είναι μετρήσιμη και Bochner ολοκληρώσιμη. Από το Doob martingale convergence theorem, έχουμε E n f f σχεδόν παντού. Για να ολοκληρώσουμε την απόδειξη χρειάζεται ακόμα να δείξουμε ότι E n f f n σχεδον παντού για κάθε n. 1 Aκόμα αφού ο T είναι ένα πρός ένα, είναι αρκετό να δείξουμε ότι TE n f Tf n σχεδόν παντού για κάθε n. Για συγκεκριμένο n, από Tf j g στην L 1 νορμα, Αλλά Tf n E n g 2 E n g E n Tf TE n f. Επομένως αφού Tf n TE n f η 1 αποδείχθηκε. 3 6.8 ΘεώρημαB R: Έστω T : L 1 c 0 ένας τελεστής τέτοιος ώστε T P να είναι ένα πρός ένα. Τότε το TP δεν είναι κλειστό. Απόδειξη: Πρέπει να δείξουμε ότι εάν ο T είναι ένας οποιδήποτε τελεστής από τον L 1 στο c 0 τότε υπάρχει ένα δυαδικό martingale f n που αντιστιχεί στον P με την f n να αποκλίνει σχεδόν παντού. Έτσι εάν το TP είναι ένα πρός ένα, το TP δεν μπορεί να είναι κλειστό από το λήμμα 5.13.7. Για κάθε n 0,1,2,... έστω A n η άλγεβρα από σύνολα που αποτελείται από f n j 1/2 n, j/2 n :1 j 2 n. Έστω f 0 1. Yποθέτουμε n 1 και την f n 1 να έχει οριστεί έτσι ώστε f n 1 να είναι A n 1 μετρήσιμη. Για όλα τα ω 0,1 υπάρχει ένα μετρήσιμο σύνολο E ω με me ω 1 2 n 1 και f n 1 ω 2 n 1 χ Eω. Καθορίζουμε συγκεκριμένο j με 1 j 2 n 1 και σύνολα E E ω όπου ω j 1 /2 n 1.Eφαρμόζοντας το λήμμα 5.13.7 στο T L 1 E όπου μπορούμε να θεωρήσουμε E,P E,m 2 n 1 ως ένα χώρο πιθανότητας (με P E τα Lebesque μετρήσιμα υποσύνολα του E ) συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μία μετρήσιμη 34

συνάρτηση h h n j με hdm 0, hx 2 n 1 για όλα τα x E, και hx 0 για όλα τα x E έτσι ώστε Th 1/2 n. Oρίζουμε d n : 0,1 P με 2 n 1 n d n h j χ j 1/2 n 1, 2j 1/2 n χ 2j 1/2 n, j/2 n 1. j1 Τότε f n f n 1 d n. Ως εκ τούτου έχουμε ότι η f n αντιστοιχεί στον P και για όλα τα n 1 και σχεδόν όλα τα ω έχουμε, f n f n 1 ω 1 1 ενώ Tf n Tf n 1 ω 1/2 n. Έτσι η f n έχει όλες τις επιθυμητές ιδιότητες για να ολοκληρωθεί η απόδειξη. Ο L 1 δεν ημιευμφυτεύεται σε χώρο με unconditional βάση. 6.9 Ορισμός: Hακολουθία από τα στοιχεία x n n1, σε ένα χώρο Banach X ονομάζεται schauder βάση (η απλάβάση) εάν για κάθε x X, υπάρχει μία μοναδική ακολουθία πραγματικών αριθμών a n n1 τέτοια ώστε x n1 a n x n. Άς υπογραμμίσουμε ότι το σύμβολο "" σημαίνει ότι η σειρά n1 a n x n συγκλίνει στο x στη νόρμα του X. 6.10 Ορισμός: Μία Schauder βάση x n n1 με ορθογώνια συναρτησοειδή x n n1 σε ένα χώρο Banach X, ονομάζεται unconditional βάση εάν για κάθε x X ησειρά n1 x n xx n συγκλίνει unconditionally. Μία βάση που δεν είναι unconditional ονομάζεται conditional. Σαφώς τα μοναδιαία διανύσματα στον l p, 1 p, ήστοc 0 αποτελούν μία unconditional βάση. Εύκολα ελέγχουμε ότι εάν x n n1 είναι μία unconditional βάση στον X τότε 35

x n n1 είναι μια unconditional βασική ακολουθία στον X. 6.11 Θεώρημα W,L T: Είναι γνωστό ότι ο L 1 0,1 δεν εμφυτεύεται σε κανένα χώρο με unconditional βάση. Για την απόδειξη θα χρειαστούμε την παρακάτω πρόταση 6.12 Πρόταση: Ένα μπλόκ από βασικές ακολουθίες μίας unconditional βάσης είναι μία unconditional βασική ακολουθία. Απόδειξη (θεωρήματος 6.11): Έστω r n t n1 η ακολουθία από Rademacher συναρτήσεις. Σημειώνουμε ότι για κάθε x L 1 0,1, και x r n 0 καθώς n 1 x xr n 1 x 1 καθώς n 2 Άς υποθέσουμε ότι ο L 1 0,1 εμφυτεύεται σε ένα χώρο Banach Y με μία unconditional βάση y n n1. Αρχίζοντας με x 1 ορίζουμε, x n x 1 x 2...x n 1 r kn όπου το k n αυξάνεται τόσο γρήγορα ώστε 1 x 2 n 1 x 1 x 2...x n 1 2 3 H ακολουθία x n n1 θεωρείται στον Y ότι είναι ισοδύναμη με ένα μπλόκ από βασικές ακολουθίες τις βάσης y n n1. 4 Ησχέση4 μπορεί να αποδειχθεί με βάση την σχέση 1 και επιχειρήματα. Η σχέση 3 από την 2 επειδή x 1 x 2...x n 1 x 1 x 2...x n 2 x 1 x 2...x n 2 r kn 1.Oισχέσεις3 και 4 και η πρόταση 6.12 δείχνουν ότι για κάποια σταθερά C (ανάλογα με την νόρμα από τις ημιεμφυτεύσεις του L 1 0,1 στον Y ) και για κάθε επιλογή από ε n 1 και για κάθε N 36

N n1 N ε n x n C. n1 1 Αλλά αυτό και η σχέση 3 έρχονται σε αντίθεση με την ανισότητα x n p 2 1 2 C sup ε n1 N n1 ε n x n 1 p 2 και μ ένα μέτρο πιθανότητας. p N για όλα τα πεπερασμένα x n n1 L p Ω,μ, με Ο H.Rosenthal έχει αποδείξει ότι ο L 1 δεν G δ -εμφυτεύεται σε χώρο με unconditional βάση. Tο ασθενέστερο αποτέλεσμα μπορεί να αποδειχθεί ως εξής: Έστω T : L 1 X ημιεμφύτευση. ΑπότοΛήμμα6.3 (αν δεχθούμε ότι f 1 ) έχουμε ότι Tφ δ για κάθε φ με φ 0, φ 1 δηλαδή (Rosenthal) o L 1 sign-embeds στον X. Παραλαγή της απόδειξης του θεωρήματος 6.11 δίνει το αποτέλεσμα. 37

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [B] J. Bourgain, Dunford - Pettis operators on L 1 and the Radon - Nikodym property, Israel J. Math. 37, (1980), 34-47 [Bi] Patrick Billingsley, Probability and Measure, Third Edition,University of Chicago,1995 [Β-R] J. Bourgain and H.P.Rosenthal, Applications of the Theory of Semi-embeddings to Banach Space Theory, Lecture Notes in Math, 995, University of Texas at Austrin, (1983), 149-188 [C-S] Bernd Carl and Irmtraud Stefani, Entropy,Compactness and the Approximation of Operators 98, Cambridge University Press,1990 [D-S] N. Dunford - J. T. Schwartz, Linear Operators, Part I, Interscience, New York and London, 1958 [D-U] J. Diestel - J. Uhl Jr, Vector Measures, AMS 1977 [F] Francisco J. Freniche, Cesaro Convergence of Martingale Difference Sequences and the Banach-Saks and Szlenk theorems, American Mathematical Society, Volume 103, No 1, May 1988, 234-236 [G] M.Girardi,Thesis, University of Illinois,1990 [W] P.Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts, Cambridge studies in advanced Mathematics 25,1991 [Wi] David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University,1991 38

39