Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ

Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 16, Εαρινό εξάμηνο

Περιεχόμενα I Ατρέας 3 Διανυσματικές συναρτήσεις & καμπύλες στο χώρο 3..1 Όριο και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων.................... 3.1 Καμπύλες στον R n........................................ 4. Παραδείγματα καμπύλων σε παραμετρική μορφή........................ 5.3 Παράγωγος διανυσματικών συναρτήσεων μίας μεταβλητής................... 6.3.1 Γεωμετρική ερμηνεία................................... 6.3. Εξίσωση εφαπτομένης.................................. 7.3.3 Ιδιότητες παραγώγου................................... 7.4.................................................. 8.5 Διαφορικό καμπύλης....................................... 8.5.1.............................................. 9.6 Συμπέρασμα............................................ 1.7 Ασκήσεις............................................. 1 1 Διπλά Ολοκληρώματα 13 1.1 Γενίκευση ορισμού σε μη ορθογώνια χωρία........................... 14 1. Ιδιότητες............................................. 15 1.3 Υπολογισμός πρακτικός Διπλών Ολοκληρωμάτων....................... 15 1.3.1 Σε Ορθογώνια Χωρία................................... 15 1.3. Σε μη ορθογώνια χωρία................................. 16 1.4 Εφαρμογές διπλού ολοκληρώματος............................... 18 1.5 Αλλαγή μεταβλητής στα διπλά ολοκληρώματα......................... 19 1.6 Ασκήσεις............................................. 19 Τριπλά Ολοκληρώματα 9.1 Ιδιότητες............................................. 3. Υπολογισμός τριπλών ολοκληρωμάτων............................. 3.3 Εφαρμογές τριπλού ολοκληρώματος............................... 3.4 Αλλαγή μεταβλητής........................................ 3.4.1 Μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες..................... 3.5 Ασκήσεις............................................. 33 3 Διανυσματικά Πεδία, Διαφορικοί τελεστές 38 3.1 Διανυσματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών........................ 38 3. Διανυσματικά πεδία........................................ 39 3..1 Παραδείγματα...................................... 4 3.. Παράσταση πεδίων.................................... 41 3.3 Διαφορικοί τελεστές....................................... 4 3.3.1 Διαφορικός τελεστής κλίσης............................... 4 3.3. Απόκλιση διανυσμ. πεδίου................................ 43 3.3.3 Περιστροφή διανυσμ. πεδίου στον R και R 3...................... 43 3.4 Ασκήσεις............................................. 46 4 Επικαμπύλια ολοληρώματα 48 4.1 Θεώρημα Green στο επίπεδο................................... 49 1

5 Παραμετροποιημένες επιφάνειες, επιφανειακά ολοκληρώματα και εφαρμογές 56 5.1 Εμβαδόν επιφάνειας σε παραμετρική μορφή Επιφανεικά ολοκλ. 1ου είδους.................................. 58 5.1.1 Εφαρμογές........................................ 59 5. Επιφανειακά ολοκληρώματα διανυσματικών πεδίων...................................... 59 5..1 Παρατηρήσεις...................................... 6 5.. Παρατηρήσεις...................................... 6 5.3 Ασκήσεις............................................. 6 II Ζάχαρης 68 6 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών 68 6..1 Ορισμός συνάρτησης................................... 69 6.. Όριο συνάρτησης..................................... 7 6..3 Ιδιότητες ορίων...................................... 71 6..4 Σύνθεση συναρτήσεων.................................. 71 6..5 Συνέχεια συνάρτησης................................... 71 6..6.............................................. 7 6.1 Ασκήσεις............................................. 7 6. Κατευθυνόμενη Παράγωγος................................... 78 6..1 Gradient συνάρτησης fx 1,..., x n........................... 79 6................................................ 79 6.3.................................................. 8 6.4 Θεώρημα Μέσης Τιμής...................................... 81 6.4.1 Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης........................... 81 6.4. Κριτήριο ύπαρξης ολικού διαφορικού.......................... 8 6.4.3 Συναρτηστιακή εξάρτηση................................ 84 6.5 Ασκήσεις............................................. 85 6.6 Πεπλεγμένη συνάρτηση...................................... 91 7 Στάσιμα σημεία 96 7.1 Διερεύνηση περίπτωσης συνάρτησης μεταβλητών z fx, y............................................ 97 7. Υπολογισμός στασίμων σημείων συνάρτησης z fx, y επάνω σε καμπύλη gx, y.. 1

Μέρος I Ατρέας ώρες Ζάχαρης 3.5 μον. 4 ώρες εγώ 6.5 μον. http://users.auth.gr/natreas Ρασσιάς Θ. Κωνσταντινίδου Μ. Ξένος Σημειώσεις Διανυσματικές συναρτήσεις Καμπύλες στο χώρο Ορ. Μία συνάρτηση r : A R R n απαρτίζεται από: α. το πεδίο ορισμού της A που είναι υποσύνολο της πραγματικής ευθείας και β. έναν τύπο έτσι ώστε σε κάθε πραγματικό αριθμό t A αντιστοιχεί ΜΟΝΑΔΙΚΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ rt στο διανυσματικό χώρο R n δηλαδή: A R R n : rt f 1 t,..., f n t όπου f 1 : A R R συνήθεις πραγματικές συναρτήσεις. Πεδίο ορισμού διανυσματικής συνάρτησης είναι εκείνο το υποσύνολο του R για όλα τα σημεία του οποίου ο τύπος της συνάρτησης ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ. Πρακτικά, αν rt f 1 t,..., f n t, τότε το πεδίο ορισμού της r προκύπτει από τη συναλήθευση των πεδίων ορισμού ΟΛΩΝ των συναρτήσεων f 1,..., f n. π.χ. rt ln t, 1 t διανυσματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής Πρέπει Άρα Π.Ο. της r είναι το, 1]. Όριο και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων t > λόγω λογαρίθμου και 1 t > λόγω ρίζας Θ. Έστω r : A R R n, rt f 1 t,..., f n t διανυσματική συνάρτηση και t είναι σημείο συσσώρευσης σ.σ. του A. Τότε: lim t t f 1 t a 1 lim rt a a 1,..., a n. t t lim t t f n t a n 3

Επίσης, αν A είναι και σ.σ. του, τότε: δηλ. r συνεχής στο f 1, f,..., f n συνεχείς στο lim rt rt t t lim t t f 1 t f 1 t. lim t t f n t f n t Καμπύλες στον R n Ορ. Έστω, R με <. Κάθε ΣΥΝΕΧΗΣ διανυσματική συνάρτηση: γ : [a, b] R n : r γ t f 1 t, f t,..., f n t καλείται καμπύλη στο χώρο R n και το γράφημά της καλείται ΙΧΝΟΣ της γ. rb + a ra rt Έστω γ : [a, b] R n καμπύλη. Η γ θα καλείται ΑΠΛΗ αν είναι 1-1, δηλ. t a, b με t 1 t rt 1 rt δηλ. ΔΕΝ αυτοτέμνεται. Η γ καλείται ΑΝΟΙΚΤΗ, αν αλλιώς ΚΛΕΙΣΤΗ. ra rb, Όλες οι καμπύλες γ : [a, b] R n r γ t f 1 t, f t,..., f n t x 1 f 1 t x f t λέμε ότι είναι καμπύλες σε ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ μορφή και οι. x n f n t εξισώσεις της γ. καλούνται παραμετρικές Δύο καμπύλες μπορεί να έχουν το ΙΔΙΟ ΙΧΝΟΣ. 4

π.χ. r γ1 t cos t, sin t t [, π r γ t cos t, sin t t [, π Δηλαδή το ίχνος είναι το ίδιο ΑΛΛΑ αλλάζει η ΦΟΡΑ ΔΙΑΓΡΑΦΗΣ ή ο προσανατολισμός. Έτσι, σε κάθε καμπύλη γ σε παραμετρική μορφή αντιστοιχεί με φυσικό τρόπο ένας ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙ- ΣΜΟΣ ή ΦΟΡΑ ΔΙΑΓΡΑΦΗΣ, πάντα προς την κατεύθυνση αύξησης των γ. Έστω γ 1 : [a, b] R n, γ : [b, c] R n καμπύλες. Καλώ ΑΝΤΙΘΕΤΗ της γ 1, συμβολικά γ 1, την καμπύλη που έχει ίδιο ΙΧΝΟΣ με τη γ 1 αλλά αντίθετη φορά διαγραφής. γ 1 : [a, b] R n : r γ1 t r γ1 a + b t Αν r γ1 b r γ b, ορίζω την καμπύλη γ 1 + γ ως εξής: γ 1 + γ : [a, c] R n : r γ1 +γ t r γ1, t [a, b] r γ, t b, c] Έστω ϕ : [c, d] [a, b] συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση. Τότε η σύνθεση: γ 1 ϕ : [c, d] R n είναι καμπύλη που καλείται ΙΣΟΔΥΝΑΜΗ της γ 1 και έχει το ΙΔΙΟ ΙΧΝΟΣ με τη γ 1. Αν ϕ γν. αύξουσα, τότε η σύνθεση έχει και ίδιο προσανατολισμό, αλλιώς αντίθετο προσανατολισμό σε σχέση με τη γ 1. Παραδείγματα καμπύλων σε παραμετρική μορφή Έστω A, B R n, το AB παραμετροποιείται ως: rt αρχή + πέρας αρχή, t [, 1] a 1,..., a n + t b 1,..., b n a 1,..., a n a 1 + tb 1 a 1,..., a n + tb n a n, t [, 1] επειδή για κάθε σημείο X AB: OX OA + AX OA + t AB Κύκλος x a + y b R στο χώρο R : rt f 1 t, f t, t [a, b] παραμετροποίηση γενικά Ειδικότερα rt a + R cos t, b + R sin t, t [, π με θετική φορά διαγραφής αντιωρολογιακή. Ή: rt a + R cos t, b R sin t, t [, π με αρνητική φορά διαγραφής. 5

Συνάρτηση y fx πραγματική όπου x [a, b] rt xt, yt, t [a, b] παραμετροποίηση γενικά Ειδικότερα rt t, ft t [a, b Έλλειψη x a A + y b B 1 R x a A y b B cos t x sin t, τότε A a + A cos t y B b + B sin t Έτσι rt x, y a + A cos t, b + B sin t, t [, π Υπερβολή x a A y b B 1 R rt a + A cosh t, b + B sinh t, t [, π Παράγωγος διανυσματικών συναρτήσεων μίας μεταβλητής Ορ. Έστω r : A R R n : rt f 1 t,..., f n t, t A είναι σ.σ. του. Θα λέμε ότι η r παραγωγίσιμη στο t αν υπάρχει το όριο: rt rt lim t t t t ή ισοδύναμα rt + h rt lim h h το οποίο είναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ που συμβολίζουμε με r t ή dr dt. Αν η r παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του, λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο. Θεώρημα r παραγωγίσιμη στο A f 1,..., f n παραγ. στο A και r t f 1t,..., f nt Γεωμετρική ερμηνεία Έστω h > 6

rt rt + h t + h t + Το r t έχει τη διεύθυνση της εφαπτόμενης ευθείας της r στο σημείο r και φορά τη φορά της κίνησης. Μπορεί να αναπαριστά π.χ. την ταχύτητα ενός υλικού σημείου. Εξίσωση Διανυσματική εφαπτόμενης ευθείας καμπύλης γ : [a, b] R n f 1 t,..., f n t παραγωγίσιμης στο σημείο t Αρκεί να ξέρω σημείο της ευθείας και διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία Προσοχή!!! r εφ t rt + λ r t, λ R Ιδιότητες παραγώγου Έστω r 1, r : [a, b] R n παραγωγ. καμπύλες, τότε: t r 1 r r 1 r t + r 1 r t t r 1 r r 1 r t + r 1 r t [r 1, r, r 3 ] t [r 1, r, r 3 ]+ [r 1, r, r 3 ]+ [r 1, r, r 3] 7

Πρόταση Έστω γ : [a, b] R n : r γ t f 1 t,..., f n t είναι μια παραγωγίσιμη καμπύλη στο [a, b]. Τότε: rγ t c σταθερά t rγ t r γt t Απόδειξη. r γ t c r γ t c r γ t r γ t c r γ r γ t r γ r γ + r γ r γ r γ r γ r γ r γ R t + rγ t c t σημαίνει κύκλος R 3 t + z x rγ t c t σημαίνει καμπύλη πάνω στη σφαίρα κέντρου O, και ακτίνας c y Διαφορικό καμπύλης Ορίζω dr γ t r γt dt, διάνυσμα πάνω στην εφαπτόμενη καμπύλη στο σημείο t και φορά που καθορίζεται από το πρόσημο του dt. 8

t + d t + t d r γ t r γtd t y r γ t + d t r γ t r γ t + d t r γ t d t > x Για dt, δηλ. κοντά στο t ισχύει: r γ t + dt r γ t dr γ t Ορ. Έστω γ : [a, b] R n καμπύλη σε παραμετρική μορφή. 1. Η γ καλείται ΟΜΑΛΗ αν είναι παραγωγίσιμη και r γ t. Η γ καλείται ΛΕΙΑ αν είναι ΟΜΑΛΗ και η r γ είναι ΣΥΝΕΧΗΣ συνάρτηση στο [a, b]. Αν η r γ είναι τμηματικά συνεχής στο [a, b], τότε η r γ καλείται τμηματικά λεία. Ορ. Έστω r : [a, b] R n : r γ t f 1 t,..., f n t είναι μια καμπύλη. Ορίζουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα της r γ ως εξής: ˆ b ˆ b ˆ b ˆ b r γ t dt f 1 t dt + f t dt + + f n t dt a a a a διάνυσμα στον R n Επίσης, υπάρχει παραγωγίσιμη καμπύλη q : [a, b] R n : q t r γ t Η q καλείται αντιπαράγωγος της γ. Το σύνολο qt + c : q μια αντιπαράγωγος της r γ και c R n σταθερά } καλείται ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ της r γ, συμβολικά r γ t dt t 9

Πράγματι, ˆ ˆ r γ t dt Συμπέρασμα ˆ f 1 t dt, q 1 t + ˆ f t dt,..., f n t dt c 1 R αυθαίρετη σταθερά c R αυθαίρετη σταθερά }} c 1, q t + c,..., q n t + q 1 t, q t,..., q n t + c 1,..., c n qt + c R n αυθαίρετο διάνυσμα c n R }} c n Η καμπυλότητα και η στρέψη είναι εκτός ύλης Ασκήσεις Άσκ. 1 Αν γ : [a, b] R n : r n t f 1 t,..., f n t είναι ΟΜΑΛΗ καμπύλη, ΝΔΟ: r γ t r γt r γ t r γ t Απόδειξη. r γ t r γt f 1 t,..., f n t f 1t,..., f nt f 1 tf 1t + f tf t + + f n tf nt r γ t r γ t f 1 t + + f nt + f1 t + + f nt f1 t + + f nt + 1 f 1 tf 1t + + f n t f nt f 1 t + + fnt f 1 tf 1t + f tf t + + f n tf nt Άσκ. Αν r γ t ti + j + t 3κ, υπολογίστε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας της καμπύλης στο σημείο,, 1. Απάντηση. i 1,, j, 1, κ,, 1 r γ t t,, t 3 r εφ t σημείο ευθείας γνωστό + t διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία, t Γνωστό σημείο το M,, 1. Έτσι,, 1 t,, t 3 t 3 1 t R t 1

Διάνυσμα γνωστό παράλληλο στην εφαπτομένη στο,, 1 είναι το r γ. r γt 1,, t r γ 1,, 4 και τελικά: r εφ t,, 1 + t1,, 4, t R διανυσματική εξίσωση εφαπτόμενης ευθείας Ασκ. 3 [Απάντηση] Αν vt cos t, t sint, t είναι η ταχύτητα του υλικού σημείου, βρείτε την εξίσωση κίνησης r γ, αν r γ i + 3k Απόδειξη. Είναι γνωστό ότι vt r γt r γt dt vt dt r γ t vt dt cos t dt, t sint dt, t dt sin t + c 1, cost + c, t + c 3, όπου c 1, c, c 3 R αυθαίρετες σταθερές ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ μεταξύ τους. 1,, 3 υποθ. r γ c 1, 1 c 1 1 c 1 1 + c, c 3 c + 1 c 1 c 3 3 c 3 3 Τελικά: r γ t sin t + 1, cost 1, t + 3 Άσκ. 4 Να παραμετροποιηθούν οι καμπύλες: 1. x + z a, x + 3y + 7 1. άπειρος κύλινδρος σφαίρα επίπεδο x + y + z a, x + 3y + z 1 επίπεδο Απάντηση. 1. Η καμπύλη προκύπτει ως τομή "άπειρου" κυλίνδρου x +z a και επιπέδου x+3y+z 1. Ενδεικτικό σχήμα Έστω π.χ. ότι αυτή η καμπύλη είναι η τομή κυλίνδρου και επιπέδου. y x + z a x z 11

Παραμετροποίηση καμπύλης Γενικά: r γ t xt, yt, zt, t [a, b] r προβολής t xt,, zt πάντοτε είναι ο κύκλος x +z a,y} Αλλά ο κύκλος x + z a, y } μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής: Έτσι όπου x + 3y + z 1 y 1 z x Τελικά: r γ t r προβολής t a cos t,, a sin t, t [, π r γ t a cos t, yt, a sin t, t [, π a cos t, 3 1 a sin t a cos t 3. 1 a sin t a cos t, a sin t, t [, π 3. Έχουμε ΤΟΜΗ σφαίρας και επιπέδου που είναι ΠΑΝΤΑ κύκλος. Ενδεικτικό σχήμα z y x Θέτω z t, οπότε x + y a t, y x, x a t 5 και προχωρώ λύνοντας σύστημα ή x + y + z a y x x + x + z a y x 5x + z a Οι παραστάσεις είναι ισοδύναμες, δηλαδή η καμπύλη εκφράζεται ως τομή κυλίνδρου και επιπέδου, και ανάγομαι στο ερώτημα α. Έτσι: r γ t xt, yt, zt, t [a, b] r προβολής t xt,, zt είναι πάντα η έλλειψη 5x +z a,y} Άρα: r προβολής t a 5 cos t,, a sin t, t [, π y x και έτσι r γ t a 5 cos t, yt, a sin t με yt xt a 5 cos t Τελικά: a r γ t 5 a cos t, cos t, a sin t, t [, π 5 1

Διπλά Ολοκληρώματα Όποιος δεν κατάλαβε τα διπλά ολοκληρώματα, ας μην πάει παρακάτω. Έστω f : R R R : ορθογώνιας περιοχής: z fx, y είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών ΦΡΑΓΜΕΝΗ επί της R x, y : a x b, c y d } z c d y a x b 1 Διαμερίζω το ορθογώνιο R μέσω διαμέρισης: x, y x a x 1 < x < < x N b} όπου c y 1 < y < < y N d} σε στοιχειώδη ορθογώνια Ω n,κ με εβαδόν: y n 1,..., N 1, k 1,..., M 1 n,κ x n+1 x n y k+1 y k Έστω x n, ỹ n Ω n,κ είναι ΤΥΧΑΙΟ σημείο του Ω n,κ. Ορίζω τις τιμές f x n, ỹ n. 3 Ορίζω το άθροισμα: 4 Έστω max δ n,κ : S N,M,f : N 1 n1 n 1,..., N 1 k 1,..., M 1 M 1 k1 f x n, ỹ n E nk παριστάνει τον "όγκο" όπου δ n,k x n+1 x n + y n+1 y n είναι το μήκος της διαγωνίου του ορθογωνίου Ω n,k είναι το ΜΕΓΙΣΤΟ ΠΛΑΤΟΣ της διαμέρισης. Αν lim S,f lim N 1 n1 M 1 k1 f x n, y n E nk λ R ανεξάρτητα της επιλογής της διαμέρισης και ανεξάρτητα της επιλογής των σημείων x n, ỹ n Ω n,κ. Τότε λέμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann στην ορθογώνια περιοχή R και γράφουμε: R fx, y dx dy λ R 13

Προσεγγιστικά, R fx, y dx dy fx n, y k x n+1 x n y n+1 y n Γενίκευση ορισμού σε μη ορθογώνια χωρία Έστω f : T R R ΦΡΑΓΜΕΝΗ συνάρτηση πάνω σε ΦΡΑΓΜΕΝΟ χωρίο T με το σύνορο αυτού T να είναι σύνολο ΑΜΕΛΕΗΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ. Έστω T R, όπου R είναι οποιοδήποτε ορθογώνιο χωρίο που καλύπτει το T. Ορίζω την επέκταση της f στο ορθογώνιο χωρίο R ως εξής: fx, y, x, y T gx, y, x, y R T Αν η g : R R R είναι ολοκληρώσιμη επί του ορθογωνίου R, τότε λέμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη επί του T και: fx, y dx dy gx, y dx dy Θεώρημα 1 T Έστω f : T R R είναι συνεχής συνάρτηση επί ΦΡΑΓΜΕΝΟΥ χωρίου T το σύνορο T του οποίου είναι σύνορο αμελητέου εμβαδού ΕΚΤΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΣ από ένα σύνολο σημείων αμελητέου εμβαδού. Τότε η f είναι ολοκληρώσιμη επί του T. R ΣΗΜΕΙΩΣΗ Σύνολα αμελητέου εμβαδού: 1 Το πολύ αριθμήσιμο πλήθος σημείων Τμηματικά λείες καμπύλες πεπερασμένου μήκος ή το πολύ αριθμήσιμη ένωση τέτοιων Αριθμήσιμο σύνολο A Υπάρχει 1-1 αντιστοιχία του συνόλου φυσικών N με το A. π.χ Το [a, b] R είναι υπεραριθμήσιμο Το Z είναι αριθμήσιμο Το Q είναι αριθμήσιμο N 1,, 3... } π.χ. Έστω T x, y : x + y 1 } μοναδιαίος κυκλικός δίσκος f : T R : fx, y x + x y συνεχής στο T, άρα ολοκληρώσιμη 1, x y f : T R : fx, y 3, T x, x : x 1 } ολοκληρώσιμη διότι είναι συνεχής στο δίσκο T εκτός από ένα σύνολο σημείων αμελητέου εμβαδού το σύνολο x, x : x < 1 } 14

fx, y Ιδιότητες 1 x, y : x, y ρητός x, y : x, y άρρητος, x, y [, 1] [, 1] [, 1] δεν είναι ολοκληρώσιμη Ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες του ολοκληρώματος. Έστω f, g : T R R ολοκληρώσιμες σε φραγμένο χωρίο T με σύνορο αμελητέου εμβαδού. Τότε: 1 af ± bg ολοκλ. επί του T και af ± bg x, y dx dy a T f g, f g g, f ολοκλ. επί του T και fx, y dx dy 3 Αν fx, y gx, y x, y, τότε: T T T fx, y dx dy fx, y dx dy ± b gx, y dx dy T T T fx, y dx dy gx, y dx dy 4 Αν T χωρίο αμελητέου εμβαδού, τότε: T fx, y dx dy 5 Αν T T 1 T και T 1 T ή σύνολο αμελητέου εμβαδού, τότε: fx, y dx dy T fx, y + T 1 fx, y T 6 Αν m fx, y M, τότε: met T fx, y dx dy MET όπου ET εμβαδόν χωρίου T 7 Θεώρημα μέσης τιμής: Αν m fx, y M και gx, y x, y T, τότε υπάρχει µ [m, M]: fx, ygx, y dx dy µ gx, y dx dy T Αν επιπλέον f συνεχής επί του T και το T συνεκτικό, υπάρχει x, y T : fx, y dx dy fx, y gx, y dx dy Υπολογισμός πρακτικός Διπλών Ολοκληρωμάτων Σε Ορθογώνια Χωρία T T T 15

Θεώρημα Fubini Έστω f : R R R συνεχής επί ορθογωνίου χωρίου R x, y : a x b, c y d }. Τότε και οι συναρτήσεις gx d c fx, y dy και hy b a fx, y dx είναι συνεχείς επί των [a, b] και [c, d] αντίστοιχα, και: ˆ b ˆ d fx, y dx dy gx dx hy dy Με άλλα λόγια: R R fx, y dx dy ˆ b a c a ˆ d fx, y dy dx c ˆ d ˆ b fx, y dx dy 1 c a Σημείωση 1 Ξεκινάω να ολοκληρώνω ως προς όποια μεταβλητή θέλω, ΠΑΝΤΑ ΑΠΟ ΜΕΣΑ ΠΡΟΣ ΤΑ ΕΞΩ. Κάθε φορά ολοκληρώνω ως προς μία μεταβλητή, ΚΡΑΤΩΝΤΑΣ τις υπόλοιπες ΣΤΑΘΕΡΕΣ. π.χ. Ποιο το διπλό ολοκήρωμα της: fx, y x + y επί του χωρίου T x, y : x 1, y 3 }? ˆ 3 ˆ 1 I x + y dx dy τυχαία επιλογή εξειδίκευση ορίων ˆ 3 3 + y x x 3 1 dy ˆ 3 1 3 + y dy 13 y + y3 3 3... Σε μη ορθογώνια χωρία Έστω T R ΦΡΑΓΜΕΝΟ χωρίο με σύνορο αμελητέου εμβαδού. Τότε, α Το T καλείται κανονικό ως προς y, αν T είναι συνεκτικό και κάθε ευθεία y y ΕΝΤΟΣ του T τέμνει το σύνορο του T ακριβώς σε ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ. β Το T καλείται κανονικό ως προς x, αν T είναι συνεκτικό και κάθε ευθεία x x ΕΝΤΟΣ του T τέμνει το σύνορο του T ακριβώς σε ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ. γ Το T καλείται κανονικό αν είναι κανονικό ως προς x ως προς y. Ένα χωρίο: μπορεί να ΜΗΝ είναι ΚΑΝΟΝΙΚΟ μπορεί να είναι κανονικό ως προς y αλλά όχι ως προς x, και αντιστρόφως. Αν T μη κανονικό, το σπάω σε ΕΝΩΣΗ κανονικών ως προς x ή y χωρίων. Θεώρημα 3 Fubini Έστω f : T R R συνεχής επί φραγμένου χωρίου T με σύνορο αμελητέου εμβαδού. 1. Αν T είναι κανονικό ως προς y χωρίο της μορφής: T x, y : a x b, gx y hx } 16

T T α Κανονικό ως προς y β Μη κανονικό ως προς y T γ Μη κανονικό δ Μη κανονικό ως προς x Κανονικό ως προς y ε Κανονικό ως προς x Μη κανονικό ως προς y Κανονικό ζ Κανονικό 17

όπου g, h : [a, b] R συνεχείς συναρτήσεις, τότε: T fx, y dx dy ˆ b ˆ hx a gx fx, y dy. Αν T είναι κανονικό ως προς x χωρίο της μορφής: T x, y : c y d, κx x λx } όπου κ, λ : [a, b] R συνεχείς συναρτήσεις, τότε: ˆ d ˆ λx fx, y dx dy fx, y dx dy T c κx dx 3. Αν T κανονικό, τότε: T fx, y dx dy ˆ b ˆ hx a gx ˆ d ˆ λx c κx fx, y dy fx, y dx dx dy y hx d y κx λx gx c a b x x Εφαρμογές διπλού ολοκληρώματος 1 ΟΓΚΟΣ: Έστω f fx, y x, y T, όπου T R φραγμένο σύνολο με σύνορο αμελητέου εμβαδού. Τότε, αν f ολοκληρώσιμη επί του T, έχουμε: V fx, y dx dy T όπου V είναι ο όγκος του στερεού μεταξύ της επιφάνειας z fx, y του χωρίου T και της κυλινδρικής επιφάνειας με οδηγό καμπύλη την καμπύλη του συνόρου του χωρίου T και οι γενέτειρες zz. Έστω ρ ρx, y είναι συνεχής πυκνότητα μάζας/φορτίου επί φραγμένου χωρίου T με σύνορο αμελητέου εμβαδού. Τότε T ρx, y dx dϕ Συνολική μάζα/φορτίο επί του επιπέδου χωρίου T. 18

T ρx, y dx dy µ k1 n1 M ρx k, y k x k+1 x k ϕ k+1 y k 3 Αν fx, y 1 x, y T, όπου T φραγμένο χωρίο με σύνορο αμελητέου εμβαδού, τότε: 1 dx dy Συνολικό εμβαδό του χωρίου T Αλλαγή μεταβλητής στα διπλά ολοκληρώματα Θεώρημα 4 Έστω F : D R G R : T Fu, v xu, v, yu, v είναι διανυσματικό πεδίο, παραγωγίσιμο και αντιστρέψιμο, δηλαδή: Dx, y Du, v x u x v u, v D Αν f : G R f fx, y συνεχής επί του G, τότε: fx, y dx dy f xu, v, yu, v Dx, y Du, v du dv G D y u y v Εφαρμογή σε πολικές συντεταγμένες x, y ρ, θ x ρ cos θ y ρ sin θ y R Mx, y Τότε Dx, y Dρ, θ xρ cos θ yρ sin θ x ρ y ρ x θ y θ cos θ sin θ ρ sin θ ρ sin θ ρ θ x Δηλαδή Μη γνήσια ολοκληρώματα εκτός ύλης. Ασκήσεις G fx, y dx dy D fρ cos θ, ρ sin θρ dρ dθ Άσκηση 1 Υπολογίστε το: x y + x cos y dx dy T επί του χωρίου: T x, y : x 1, π y π } 19

I διαδοχική ολοκλήρωση ΠΑΝΤΑ από μέσα προς τα έξω τα y με τα dy }} τα x με τα dx }} ˆ π ˆ 1 π ˆ π π ˆ π π y x y + x cos y dx dy x 3 1 3 y + x cos y y 3 + cos y dy π 6 + sin y π το επέλεξα τυχαία Άσκηση Υπολογίστε το T x +y dx dy επί του κλειστού και φραγμένου χωρίου μεταξύ των καμπύλων y x και x y. α Υποτυπώδες σχήμα dy Σημεία τομής y x x y y y 4 x y y1 y 3 x y 4 y x ή y 1 x 1 β Το χωρίο T είναι κανονικό ως προς y. Πράγματι, τυχαία ευθεία ϵ y y εισέρχεται στο T μέσω της ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y x και εξέρχεται από το T μέσω της ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y x. Τότε το T γράφεται ως: T x, y : x 1, x y } x Έτσι: I x + y dx dy T ˆ 1 ˆ x x + y dy dx x αναγκαστικά διότι έχω θεωρήσει ότι το χωρίο κανονικό ως προς y ˆ 1 x ˆ 1 x y + y3 3 x dx x 5 x 3 + 3 x4 x6 3 7 x 7 + 15 x 5 x 5 7 + 15 1 5 1 1 5 x7 1 1 dx

Άσκηση 3 Υπολογίστε τον όγκο του στερεού μεταξύ της επιφάνειας z fx, y 1+xy, και των επιπέδων y, z, x + y 1, y x x, y. Γνωρίζω ότι V fx, y dx dy T?? Α Υποτυπώδες σχήμα στο πρόχειρο Β Προς ολοκλήρωση χωρίο V T 1 + xy dx dy Το χωρίο T είναι κανονικό δηλ. και ως προς x και ως προς y. Θα εργασθώ επιλέγοντας το χωρίο T να είναι κανονικό ως προς x. x + y 1 x y 1 / 1 / T 1

Τότε έχω: προβολή του χωρίου T στον άξονα y y }} ˆ 1 ˆ xmax V x min 1 + xy dx dy κανονικό ως προς x, μεταβλητά όρια στο εσωτερικό ολοκλήρωμα ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 y y x + x y 1 + xy dx dy 1 y y dy 1 y + y 1 y y y3 dy 1 y + y y + y3 y y3 dy 1 3 y y dy y 3 4 y y3 3 1 3 16 1 4 4 9 18 1 13 48 1 / x y x + y 1 1 / Σημείωση Αν θεωρήσουμε το χωρίο T κανονικό ως προς y, τότε θα είχα: 1 / x y x + y 1 1 / V ˆ 1 ˆ x 1 + xy dy dx + ˆ 1 ˆ 1 x 1 1 + xy dy dx

3 3 y x T y x T 3 3 Άσκηση 4 Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα I ˆ 3 ˆ 3 y e x dx dy Α Σην άσκηση, όπως είναι γραμμένο το προς ολοκλήρωση χωρίο, έχει θεωρηθεί κανονικό ως προς x. Το προς ολοκλήρωση χωρίο είναι το γραμμοσκια- Β Ποιό είναι το χωρίο? Σχεδίαση υποτυπώδης σμένο στο σχήμα Γ Θεωρώ το χωρίο αυτό κανονικό ως προς y το οποίο ισχύει και έχω: ˆ 3 ˆ x ˆ 3 ˆ x 1 ex 3 1 ye x x e x dy dx dx xe x dx e 1 Άσκηση 5 Μετασχηματίστε τα χωρία 1 A x, y : 1 x + y 4 } B x, y : 1 x + y 18x } σε πολικές συντεταγμένες. 1 3

1 A ρ, θ : 1 ρ, θ π } x + y 1 κύκλος κέντρου, ακτ. 1 x + y 18x κύκλος κέντρου 9, ακτ. 9 ρ 1 ρ 18 cos θ x 18x + y x 9x + 9 9 + y x 9 + y 9 x + y 1 Περιγράφω τις συνοριακές καμπύλες x + y σε πολικές συντεταγμένες x ρ cos θ, y 18x ρ sin θ ρ 1 ρ 1 ρ 18ρ cos θ ρ 18 cos θ ρ 1 Λύνω το σύστημα μου δίνει τα κοινά σημεία τομής των δύο κύκλων ρ 18 cos θ A 18 cos θ 1 cos θ 1 18 ρ, θ : 1 ρ 18 cos θ, arccos 4 1 θ arccos 18 } 1 1 θ arccos 18 18

Άσκηση 6 Υπολογίστε το t x + y dx dy επί του δίσκου T x, y : x + y 1 } Με μετασχηματισμό σε πολικές συντεταγμένες έχουμε: I x + y dx dy T ˆ π ˆ 1 π ρ4 4 π Αν δεν χρησιμοποιούσα πολικές συντεταγμένες: I ˆ 1 ˆ 1 x 1 ˆ 1 1 1 ρ ρ dρ dθ x + y dy dx 1 x 1 x x y + y3 dx 3 1 x 1 3 x ˆ 1 x 1 x + 1 xsin x ˆ π π cos y cos y 1 1 cos y... 3 dx sin y cos y + cos y 3 3 cos y dy Άσκηση 7 Υπολογίστε το T R x y dx dy επί του χωρίου T x, y : x + y kx } R > Α Σχήμα Έχουμε x +y Rx x Rx+y x R R x + R +y x R +y R 4, κυκλικός δίσκος κέντρου R, και ακτίνας R. Θα πρέπει να μετασχηματισθεί σε πολικές συντεταγμένες A ρ, θ : π θ π }, ρ R cos θ 5

Τότε: I ˆ π 1 ˆ R cos θ π ˆ π ˆ R cos θ 1 3 R3 3 π ˆ π ˆ π π π R3 π 3 R 3 πr3 3 + R3 3 R3 3 R3 3 ˆ π πr3 3 4R3 9 }} R ρ ρ dρ dθ κατ' ευθείαν μπορώ να κάνω την αλλαγή R ρ 1 dr ρ dθ R ρ 3 sin 3 θ ˆ π ˆ π 1 cos θ cos θ cos3 θ 3 sin 3 θ dθ R cos θ sin θ dcos θ dθ dcos θ + πr3 3 π + πr3 3 ˆ b a f gx g x dx dgx SOS! κυλινδρική επιφάνεια γιατί λείπει το y Άσκηση Υπολογίστε τον όγκο του φραγμένου στερεού μεταξύ των επιφανειών z 4 x y παραβολοειδές }} z 3x και Α Υποτυπώδες σχήμα 6

Β Χωρίο ολοκλήρωσης z 3x Η προβολή της τομής των δύο επιφανειών είναι: z 4 x y 3x4 x y 4x + y 4 x + y 4 1 έλλειψη Άρα ολοκληρώνω εντός του χωρίου T. -1 T 1 Γ Τι ολοκληρώνω? V T T zmax z min x, y dx dy 4 x y 3x dx dy Δ Υπολογισμός V Θα χρησιμοποιήσω το μετασχηματισμό: T 4 4x y dx dy x y ρ cos θ ρ sin θ Dx, y Dρ, θ x ρ y ρ x θ y θ cos θ ρ sin θ cos θ ρ sin θ ρ και x + y 4 1 xρ cos θ yρ sin θ ρ 1 ρ 1 άρα το χωρίο T μετασχηματίζεται στο: T ρ, θ : ρ 1, θ π } άρα: V 8 T 4 4x y dx dy 4 4ρ cos θ 4ρ sin θ ρ dρ dθ T ˆ π ˆ 1 8 π ˆ 1 1 ρ ρ dρ dθ ρ ρ 3 dρ 4π 7

Άσκηση Υπολογίστε το εμβαδόν μεταξύ των καμπύλων ρ a sin θ, ρ a 1 cos θ, a > στο ΑΝΩ ημιεπίπεδο. Α E 1 dx dy T ρ dρ dθ T Εννοείται η άσκηση μπορεί να λυθεί και με τον τύπο του εμβαδού του Λογισμού I. Άρα: a sin θ a1 cos θ θ [, π ] a sin θ a1 cos θ θ [ π, π] ˆ π E + ˆ a sin θ a1 cos θ ˆ π ˆ a1 cos θ π a sin θ ρ dρ dθ+ ρ dρ dθ Άσκηση Υπολογίστε το D e x y x+y dx dy επί του χωρίου του σχήματος: Θα εφαρμόσουμε αλλαγή μεταβλητών: u x y x άρα Άρα: D Σχεδίαση χωρίου D x + y 1 Dx, y Du, v e x y x+y dx dy e u v D v x + y x u y u x v y v 1 1 y 1 1 Dx, y Du, v du dv u+v x u+v x u+v + u+v 1 v 1 x + y u+v + u+v v u+v u+v 1 4 + 1 4 1 D e u v 1 du dv 1 e u v du dv D x u+v v u y u+v v u Τελικά I 1 ˆ ˆ v 1 v ˆ ve u v 1 ˆ e u v du dv v dv v 1 ve e 1 dv 1 1 4 v e 1 3 1 e 4 e 1 e 8

Τριπλά Ολοκληρώματα Έστω f : R R 3 R φραγμένη συνάρτηση επί ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R x, y, z : a 1 x b 1, a y b, a 3 z b 3 } και x, y, z, όπου x a 1 x < x 1 < < x N b 1 } y a y < y 1 < < y N b } z a 3 z < z 1 < < z N b 3 } διαμέριση του R σε M K "στοιχειώδη" ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ω n,m,k όγκου n,..., N 1 V n,m,k x n+1 x n y n+1 y n z n+1 z n m,..., M 1 k,..., K 1 Έστω x n, ỹ m, z k είναι τυχαίο σημείο στο ορθογ. παρ/δο Ω n,m,k και ορίζω την f x n, ỹ m, z k n,m,k. Θεωρώ το άθροισμα: Sf, N 1 M 1 K 1 n m k f x n, ỹ m, z k V n,m,k Έστω max δ n,m,k : n,..., N 1, m,..., M 1, k,..., K 1 } είναι το πλάτος της έδιαμρισης, όπου: δ n,m,k max ρρ : ρ, ρ; Ω n,m,k } Αν lim Sf, λ R, ανεξάρτητα της διαμέρισης και της επιλογής των σημείων x n, ỹ m, z k Ω n,m,k, τότε λέμε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωμα της f επί του παραλ/δου R και γράφουμε: fx, y, z dx dy dz λ R R Ο ορισμός γενικεύεται και για κλειστά και φραγμένα στερεά του R 3 ως εξής: Έστω S R 3 κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου π.χ. το σύνορό του αποτελείται από ένωση επιφανειών z fx, y. Έστω S Ω όπου Ω ορθογ. παρ/δο που καλύπτει το S. Αν f : S R 3 R, ορίζω την επέκτασή της στο Ω ως εξής: fx, y, z, x, y, z S gx, y, z, x, y, z Ω S 9

Αν η g : Ω R 3 R είναι ολοκληρώσιμη επί του Ω, τότε ορίζουμε: fx, y, z dx dy dz gx, y, z dx dy dz S και αποδεικνύεται ότι ο ορισμός αυτός ΔΕΝ εξαρτάται απ' την επιλογή του Ω S. Θεώρημα Έστω f : S R 3 R όπου S κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου ΣΥΝΕΧΗΣ στο S, εκτός ενδεχομένως από ένα σύνολο σημείων αμελητέου όγκου. Τότε η f ολοκληρώσιμη επί του S. Ω Ιδιότητες Όπως στα διπλά. Υπολογισμός τριπλών ολοκληρωμάτων A Σε ορθογώνια παραλ/δα Θ Fubini Έστω f : R R 3 R ΣΥΝΕΧΗΣ επί ορθογ. παρ/δου R x, y, z : a 1 x b 1, a y b, a 3 z b 3 } Έστω D xy [a 1, b 1 ] [a, b ] D yz [a, b ] [a 3, b 3 ] D xz [a 1, b 1 ] [a 3, b 3 ] είναι οι ορθογώνιες προβολές του παρ/δου R στα επίπεδα xy, yz και xz αντιστοίχως. Τότε οι συναρτήσεις gx, y gy, z gx, z ˆ b3 a 3 ˆ b1 a 1 ˆ b a fx, y, z dz, fx, y, z dx, fx, y, z dy είναι συνεχείς επί των προβολών D xy, D yz, D xz αντιστοίχως και ˆ b3 fx, y, z dx dy dz fx, y, z dz dx dy R D xy a 3 ˆ b1 D yz a 1 ˆ b D xz a fx, y, z dx fx, y, z dz dy dz dx dy b1 b b3 a 1 a b b1 b3 a a 1 b b3 b1 a a 3 b3 b b1 a a b1 b3 b a 1 a 3 a 3 dz dy dx a 3 dz dx dy a 1 dx dz dy a 1 dx dy dz a dy dz dx b3 b1 b a 3 a 1 a dy dx dz 3

π.χ. Υπολογίστε το S xyz dx dz dy επί του στερεού S x, y, z : 1 y 1, x, 4 z 7 }. B Σε κλειστά και φραγμένα χωρία ˆ 7 ˆ ˆ 1 I xyz dy dx dz 4 1 ˆ 7 ˆ 1 xz y dy dz 4 1 ˆ 7 ˆ xz xz dy dz 4 'Εστω S R 3 κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου. Θα λέμε ότι το S είναι κανονικό ως προς z αν το S είναι συνεκτικό και ΚΑΘΕ ευθεία z z που διέρεται και από το εσωτερικό του στερεού S τέμνει το σύνορο του S ακριβώς σε δύο σημεία ΚΑΙ η προβολή του S στο Oxy επίπεδο είναι χωρίο κανονικό ως προς x ή ως προς y. S κανονικό ως προς z: Θεώρημα Fubini S x, y, z : x, y D xy, fx, y z gx, y } f : S R 3 R συνεχής συνάρτηση επί στερεού S με σύνορο αμελητέου όγκου και D xy, D xz, D yz είναι οι ορθογώνιες προβολές του στερεού S πάνω στα επίπεδα Oxy, Oxz και Oyz αντίστοιχα. Αν S είναι κανονικό ως προς z στερεό της μορφής S x, y, z : x, y D xy, Ax, y z Bx, y } τότε fx, y, z dx dy dz S D xy ˆ Bx,y Ax,y fx, y, z dz dx dy 1 Αν S είναι κανονικό ως προς y στερεό της μορφής S x, y, z : x, z D yz, Γx, z y x, z } τότε fx, y, z dx dy dz S D xz ˆ x,z Γx,z fx, y, z dy dx dz Αν S κανονικό ως προς x στερεό της μορφής S x, y, z : y, z D yz, Ky, z x Λy, z } τότε fx, y, z dx dy dz S D yz ˆ Λy,z Ky,z fx, y, z dx dy dz 3 Αν S κανονικό, τότε: S fx, y, z dx dy dz 1 3 31

Εφαρμογές τριπλού ολοκληρώματος 1 Αν w fx, y, z 1 x, y, z S όπου S κλειστό και φραγμένο στερεό, τότε 1 dx dy dz όγκος του στερεού S S Αν ρ rρx, y, z συνεχής πυκνότητα μάζας/φορτίου επί στερεού S κλειστού και φραγμένου, τότε ρx, y, z dx dy dz συνολική μάζα/φορτίο επί του στερεού S S 3 Αν w fx, y, z x, y, z S όπου w είναι μια υπερ-επιφάνεια, τότε το S fx, y, z dx dy dz υπερ-όγκος του υπερ-στερεού που περικλείεται από την w και το Oxyz-χώρο. Αλλαγή μεταβλητής Ακριβώς όπως στα διπλά ολοκληρώματα. Ενδιαφέρομαι κυρίως για τις ακόλουθες περιπτώσεις: Α Κυλινδρικές συντεταγμένες x, y, z κυλινδρ. ρ, θ, z x ρ cos θ ρ x + y y ρ sin θ ή tan θ y x x z z z z Dx, y, z x ρ x θ x z cos θ ρ sin θ Dρ, θ, z y ρ y θ y z sin θ ρ cos θ cos θ sin θ z ρ z θ z z 1 ρ sin θ ρ cos θ ρ dx dy dz ρ dρ dθ dz Μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες όπου r OM, x, y, z 1 1 r, θ, ϕ θ: η προσανατολισμένη γωνία μεταξύ της ημιευθείας Ox θ και ημιευθείας OM. θ < π ή π θ < π, ϕ: η γωνία μεταξύ του ημιάξονα Oz ϕ και της ημιευθείας OM. ϕ π Έχουμε: x y z r cos θ sin ϕ r sin θ sin ϕ r cos ϕ r x + y + z tan θ z x x cos ϕ z r z x +y +z x + y + z R σφαιρικές r R x r x θ x ϕ Τότε Dx,y,z Dρ,θ,ϕ y r y θ y ϕ r sin ϕ z r z θ z ϕ Άρα dx dy dz dr dθ dϕ r sin ϕ dr dθ dϕ Dx,y,z Dρ,θ,ϕ 3

Μη γνήσια τριπλά ολοκληρώματα εκτός ύλης Ασκήσεις Άσκηση Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I S x dx dz dy όπου S το στερεό που περικλείεται από τις επιφάνειες x, y, z και x a + y b + z c 1 a, b, c. A Υποτυπώδες σχήμα Είναι στερεό κανονικό ως προς z επιφάναια "εισόδου" επιφάνεια "εξόδου" } τυχαίας ευθείας ϵ z z που διέρχεται και από το εσωτερικό του S z z c 1 x a y b B Υπολογισμός I S x dx dz dy στερεό S κανονικό ως προς z D xy ˆ c1 x a y b η προβολή του στερεού στο Oxy επίπεδο x dz dx dy Γ Υπολογισμός D xy Τελικός υπολογισμός I x z c1 x a y b dx dy D xy 1 x a y dx dy b D xy x εργάζομαι θεωρώντας D xy κανονικό ως προς x ˆ b ˆ a1 y b ˆ b ˆ a1 y b x x3 a x y dx dy b... Σχήμα για το S Το S κανονικό ως προς π.χ. z, τότε: S D xy D xy προβολή του S στο xy S fx, y, z dx dy dz ˆ επιφ. εξόδου επιφ. εισόδου D xy κανονικό ως προς x ή y? Τότε D xy dx dy b hx a gx 33 fx, y, z dz x 1 x a y dx dy b dx dy

Άσκηση Υπολογίστε τον όγκο του στερεού S x, y, z : x + y + z az, z } x + y όπου a > Θεωρία V S 1 dx dy dz A Υποτυπώδες σχήμα σφαίρα κέντρου,, a και ακτίνας a x + y + z az x + y + z az + a 3 a x + y + z a a Η x + y + z az είναι το εσωτερικό και το σύνορο της σφαίρας του σχήματος Καμπύλη τομής των δύο επιφανειών x + y + z az x x + y z x + y x + y a x + y z x + y x + y a z a x + y + x + y a x + y z x + y x + y a z κύκλος x + y a στο επίπεδο z a a γράψω B Υπολογισμός S κανονικό ως προς z. επιφάναια "εισόδου" επιφάνεια "εξόδου" } ευθεία ϵ z z δεν χρειάζεται να το z x + y z a + a x y είσοδος έξοδος οπότε: V S θ D xy D xy 1 dx dy dz ˆ a+ a x y 1 dz dx dy x +y a + a x y x + y dx dy 34

Γ D xy : προβολή του S στο Oxy επίπεδο Υπολογισμός της 1 με χρήση πολικών συντεταγμένων ˆ π I ˆ a π πa ρ ˆ a a + a ρ ρ ρ dρ dθ aρ + ρ a ρ dρ a a π ρ3 π ˆ a a ρ 1 da ρ 3 πa π 3 a3 π 3 a ρ a πa3 3 + π 3 a3 πa 3 Άσκηση Υπολογίστε το S x +y dx dy dz επί του στερεού S x, y, z : a x + y + z b, z }. A Σχήμα Η προβολή επί του Oxy επίπεδο είναι: B Θα χρησιμοποιήσουμε μετασχηματισμό σε σφαιρικές συντεταγμένες: x r cos θ sin ϕ θ < π y r sin θ sin ϕ ϕ π z r cos ϕ στη γενική μορφή 35

Γ Υπολογισμός διότη η επιφάνεια εισόδου είναι η σφαίρα r a και η επιφάνεια εξόδου η σφαίρα r b ˆ π ˆ 3π ˆ I }} b [ r cos θ sin ϕ + r sin θ sin ϕ ] r sin ϕ dr dθ dϕ a ˆ b r 4 sin 3 ϕ dr dθ dπ διότι ΔΕΝ υπάρχουν διότι η προβολή αρνητικά Dz, xy δηλ. είναι "κάτω" όλος οημισφαίριο δίσκος του σχήματος ˆ π ˆ π ˆ π ˆ π b5 a 5 5 b5 a 5 5 a sin 3 ϕ r5 5 ˆ π ˆ π b5 a 5 π 5 b a ˆ π dθ dϕ sin 3 ϕ dθ sin 3 ϕ θ π dϕ ˆ π π 5 b5 a 5 π 5 b5 a 5 π 5 b5 a 5 3 4π 15 b5 a 5 sin ϕ dϕ ˆ π dϕ 1 cos ϕ dcos ϕ cos ϕ cos3 ϕ 3 π Άσκηση Υπολογίστε το: ˆ R ˆ R y ˆ R x y R y R x y x + y dz dx dy Το προς ολοκλήρωση στερεό έχει θεωρηθεί κανονικό ως προς z. Ολοκληρώνοντας στο τετράγωνο της επιφάνειες εισόδου z R x y και εξόδου z R x y, παίρνω x + y + z R. ˆ R ˆ R y Αλλά το dz dx dy. R y D xy : η προβολή του προς ολοκλήρωση στερεού στο Oxy επίπεδο Το D xy έχει θεωρηθεί κανονικό ως προς x. Τελικά S είναι το εξής: Εφαρμόζω σφ. συντεταγμένες για το S και έχω: ˆ π I ˆ π ˆ R ˆ π ˆ π ˆ R r cos θ sin ϕ + r sin θ sin ϕ r sin ϕ dr dθ dϕ r 4 sin ϕ dr dθ dϕ υπολογισμός όπως στην προηγούμενη άσκηση 36

Άσκηση Να υπολογιστεί το τριπλό ολοκλήρωμα: ˆ R ˆ R y R o x +y ˆ R x +y z z dz dx dy σε κυλινδρικές συντεταγμένες x, y, z ρ, θ, z. Το προς ολοκλήρωση στερεό είναι το: S x, y, z : R y R, x R y, x + y z R } x + y D xy : η προβολή του S πάνω στο Oxy επίπεδο, την οποία οπωσδήποτε πρέπει να σχεδιάσω. Τότε ερμηνεύω το ˆ R ˆ R y R μαθηματικό μοντέλο του D xy D xy κανονικό ως προς x: Κυλινδρικές συντεταγμένες x ρ cos θ y ρ sin θ z z. Έτσι: ˆ π I π ˆ ˆ dx dy. ˆ R ˆ R ρ ˆ R π ˆ R π ρ ρ cos θz dz Rρ ρ cos θ z dρ dθ ρ R ρ ρ7 ρ dρ dθ cos θ dρ dθ 1 ˆ cos θ R ρ 6 R R8 dθ π 6 8 1 ˆ 1 cos θ dθr 8 π 6 1 8 ˆ R 8 1 R8 1 + cosθ 16 π R 8 1 R8 π 16 dθ Τύποι αποτετραγωνισμού cosθ cos θ 1 1 sin θ Άσκηση a, b, c Υπολογίστε τον όγκο του στερεού S x, y, z : } x a + y b + z c 1 37

V 1 dx dy dz S Θα χρησιμοποιήσω μετασχηματισμό "τύπου" σφαιρικών συντεταγμένων. Έχω: Τότε x Επίσης Τότε + y + z a b Dx,y,z Dr,θ,ϕ 1 r 1 c abc r sin ϕ ˆ π ˆ π V abc π αζιμουθιακή }} x a r cos θ sin y b r sin θ sin ϕ z c r cos ϕ ˆ 1 ˆ π πολική }} ϕ 1 abc r sin ϕ dr dθ dϕ sin ϕ dϕ Διανυσματικά Πεδία, Διαφορικοί τελεστές Διανυσματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών ˆ 1 r dr 4π 3 abc Ορ. Έστω n, m > 1. Κάθε απεικόνιση F ή F : A R n R m : Fx 1,..., x n f 1 x 1,..., x n,..., f m x 1,..., x n καλείται διανυσματική συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Στην παραπάνω οι f 1,..., f m : A R n R είναι πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών που καλούται συνιστώσες ή συντεταγμένες συναρτήσεις του πεδίου F ως προς καρτεσιανό πάντα σύστημα συντ/νων. Πεδίο ορισμού είναι η συναλήθευση των πεδίων ορισμού των συνιστωσών συναρτήσεων f 1,..., f m π.χ Fx, y, z x, y R 3 R προβολή του P x, y, z στο Oxy επίπεδο π.χ Fx, y ανεξάρτητες μεταβλητές x + y, x y, x + 3y Διάνυσμα με 3 συν/νες Fx, y, z x, y, z, 1 x y z Πρέπει: x + y + z 1 x, x, x + y, y, 3y x1, 1, 1 + y, 1, 3 παραμετρική παράσταση επιπέδου που διέρχεται από το 1,, 3 και παράγεται από τα γραμμ. ανεξ. διαν. 1, 1, 1 κ, 1, 3 Γεωμετρικά είναι το τμήμα της υπερσφαίρας F : μοναδιαία σφαιρική μπάλα του R 3 R 4 x + y + z + w 1, για w 38

Fx, y x, y, x + y z x + y το τμήμα κώνου z x + y για z Γενικότερα Κάθε διαν. συνάρτηση της μορφής Fx 1,..., x n x 1,..., x n, fx 1,..., x n, παριστάνει μία υπερ-επιφάνεια στο R. Έστω Fx 1,..., x n f 1 x 1,..., x n,..., f m x 1,..., x n διανυσματική συνάρτηση, P σ.σ. του πεδίου ορισμού της F και λ λ 1,..., λ m. Τότε: lim FP λ P P lim P P f 1 x 1,..., x n λ 1. lim P P f m x 1,..., x n λ m F συνεχής στο P f 1,..., f m είναι συνεχείς στο P Έστω ότι υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι των συνιστωσών συναρτήσεων: f i P x j, i 1,..., m j 1,..., n και είναι συνεχείς σε μια περιοχή σημείου P, για κάθε P στο πεδίο ορισμού. Ορίζουμε τη μερική παράγωγο: FP f 1 P x x,..., f mp j x j j Η F είναι διαφορίσιμη στο P και ο m n ΙΑΚΩΒΙΑΝΟΣ πίνακας J F f 1 P f 1 P x n x 1..... f m P x 1 f m P x n f 1 f. καλείται παράγωγος της F στο P, συμβολικά και F P ή DFP. Για σημεία Q "κοντά" στο P f m ισχύει: FQ FP F P Q P df P Q διαφορικό του F στο R π.χ Fx, y x + y, x 3y, x + y + 1 Διανυσματικά πεδία 1 4y F x, y 1 3 4x 1 3 Ορ. Κάθε διανυσματική συνάρτηση πολλών μεαβλητών της μορφής: F ή F : A R n R n καλείται διανυσματικό πεδίο. 39

Ερμηνεία Σε ΚΑΘΕ ΣΗΜΕΙΟ του χώρου R b ασκείται μια ΔΥΝΑΜΗ με τύπο FP Παραδείγματα Α. Γραμμικά πεδία Αν A n n είναι πίνακας πραγματικός, τότε: F : R n R n : Fx 1,..., x n A n n. π.χ Fx, y x + y, x 3y. Είναι γραμμικό? ΝΑΙ, διότι: Fx, y 1 1 3 Fx, y, z x + y + z + 1, 3x y z, x + y + 4. Είναι γραμμικό? ΟΧΙ, διότι γράφεται ως: x y x 1 x n n 1 1 1 x 1 Fx, y, z 3 1 1 y + 1 z 4 Γίνεται όμως γραμμικό αν μετατεθεί κατά 1,, 4. Τέτοια πεδία λέγονται αφφινικά. Β. Πεδία κλίσεων Έστω f : A R n R διαφορίσιμο βαθμωτό πεδίο ή αριθμητικό πεδίο, ή πραγματική συνάρτηση n-μεταβλητών. Τότε το πεδίο καλείται πεδίο κλίσεων της f. F : A R n R n : FP fp ή Fx 1,..., x n fx1,...,x n x,..., fx 1,...,x n 1 x n H f καλείται βαθμωτό ΔΥΝΑΜΙΚΟ του πεδίου F. π.χ. Έστω r x 1,..., x n και r r x 1 + + x n. Ορίζω συνάρτηση ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ f r c c σταθερά r 4

Ορίζω c E f r 1 c c r r r c r r r x 1 + + x n x 1 + + x n 1 [ ] x 1 + + x n 1 x 1, x 1 + + x n x 1,..., [ ] x 1 + + x n 1 x n x,..., x 1 + + x n x n x 1 + + x n 1 r x1, x x,..., x n 1 + + x r n Άρα E c r r r Αν q ακίνητο σημειακό φορτίο μαζί με το πρόσημό του στην αρχή των αξόνων, τότε: E q qe είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που παράγει το φορτίο q. F Q E q c q Q r r r Για c k 1 4πε σταθερά Coulomb, τότε F δύναμη Coulomb. Γ. Κεντρικά διανυσματικά πεδία Έστω f : R R πραγματική συνάρτηση. r x 1,..., x n το διάνυσμα θέσης σημείου P R n και r r. Τότε το πεδίο F : A R n,..., } R n : F r fr r r καλείται κεντρικό πεδίο διότι ο ΦΟΡΕΑΣ των εικόνων F r ΤΑΥΤΙΖΕΤΑΙ με το ΦΟΡΕΑ του διανύσματος θέσης r. } το πεδίο Coulomb ΕΙΝΑΙ ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ το βαρυτικό πεδίο Παράσταση πεδίων Α Με χρήση Η/Υ Β Διακριτοποιώ και σε κάθε σημείο P, ζωγραφίζω το διάνυσμα FP με αφετηρία το P. 41

π.χ Fx, y y, x F1,, 1, 1 F, 1 1, Γ Με χρήση διανυσματικών γραμμών F 1,, 1, 1 F, 1 1, Παραδοχή Σε κάθε σημείο P, οι τιμές του πεδίου FP είναι ταχύτητες κατά την κίνηση κάποιου υλικού σημείου στο χώρο. Οι τροχιές δηλαδή οι καμπύλες κίνησης καλούνται διανυσματικές γραμμές του πεδίου. Δηλ. αν r είναι καμπύλη κίνησης, τότε: π.χ Έστω F x, y y, x. Έστω rt xt, tt Τότε λόγω 1 έχω: Διαφορικοί τελεστές Έστω : v Fr r t F rt t [a, b] r t F rt x t, y t yt, xt x y y y x x x y xx + yy x + y c c R αυθαίρετη σταθερά V n E f : E R n R} ο χώρος όλων των διαφορίσιμων πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών ή βαθμωτών ή αριθμητικών πεδίων V n,m E F : E R n R m } ο χώρος των ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΩΝ διανυσμ. συναρτήσεων πολλώ μεταβλητών και } V n E F : E R n R n ο χώρος όλων των ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΩΝ διανυσμ. πεδίων Διαφορικός τελεστής κλίσης Συμβολίζω: τον τελεστή κλίσης που δρα ως εξής: : x, 1 x,..., x n : V n E V n E : αριθμ. πεδίο διαφορ. διανυσμ. πεδίο διαφορ. f x,..., f 1 x, E R n n : V n E V n,n E διαν. πεδίο διαφορ. διανυσμ. συνάρτ. διαφορ. E R n R n : F x,..., 1 x F F n x,..., F 1 x n 4

Απόκλιση διανυσμ. πεδίου Έστω F : E R n R n : P x 1,..., x n E έχουμε: FP f 1 P,..., f n P όπου f 1,..., f n είναι διαφορίσιμα αριθμητικά πεδία. Ορ. Καλούμε ΑΠΟΚΛΙΣΗ του πεδίου F στο σημείο P, συμβολικά divfp να είναι ο ΑΡΙΘΜΟΣ: Παρατηρώ εσωτερικό γινόμενο ότι: divfp f 1P x 1 + f P x + + f np x n div FP FP Στο εξής θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό: x,..., 1 x f 1 P,..., f n P n f 1P x 1 + + fp x n div : συμβολισμός Έτσι η απόκλιση μπορεί να θεωρηθεί ως ένας διαφορικός τελεστής που δρα ως εξής: π.χ Fx, y x + y, x + y : V n E V n E διαφορίσιμο διαφορίσιμο διαν. πεδίο βαθμωτό πεδίο Fx, y x + y x + x + y y 1 + y Η απόκλιση είναι ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ τελεστής, δηλαδή: af + bg a F + b G και επίσης ισχύει: Αν f : E R n R διαφορίσιμο αριθμητικό πεδίο και F : E R n R n διαφορίσιμο διαν. πεδίο, τότε: ff f F + f F Ορ. Ένα διανυσμ. πεδίο F : E R n με F P E καλείται ασυμπίεστο ή σωληνοειδές Περιστροφή διανυσμ. πεδίου στον R και R 3 Έστω F : E R R. Fx, y, z f 1 x, y, z, f x, y, z, f 3 x, y, z διαφορίσιμο διαν. πεδίο επί του E. 43

Ορ. Καλούμε περιστροφή του πεδίου F στο σημείο P x, y, z E να είναι το διάνυσμα: i j k rot FP x y z f3 P f P z, f 1 z f 3 x, f x f 1 y f 1 P f P f 3 P Παρατηρούμε ότι: και αυτό το συμβολισμό θα χρησιμοποιούμε στο εξής. Έτσι η περιστροφή f είναι ένας τελεστής: Η περιστροφή είναι γραμμικός τελεστής: rot : x x : V B E V b E χώρος διαν. πεδίων χώρος διαν. πεδίων G F af + bg a F + b G Αν f : E R n R διαφορίσιμο αριθμητικό πεδίο, τότε: timesff f F + f F Ορ. Αν τότε το πεδίο F καλείται ΑΣΤΡΟΒΙΛΟ FP P E Ορ. Αν Fx, y P x, y, Qx, y διαφορίσιμο πεδίο επί συνόλου E R. Τότε ορίζουμε: Qx, y P x, y Fx, y x y Ιδιότητες 1 Κάθε πεδίο κλίσεων είναι ΑΣΤΡΟΒΙΛΟ Με άλλα λόγια, αν f : E R 3 R αριθμητικό πεδίο με συνεχείς μερικές παραγώγους ης τάξης, τότε: f Απόδ. Έστω f όπως παραπάνω, και P x, y, z E f f x, f y, f z i j k f x y z f zy f yz, f xz f zx, f yx f xy,, P E f x f y f z Έστω f : E R n αριθμ. πεδίο, και P x 1,..., x n E και υπάρχουν όλες οι μερικές παράγωγοι ης τάξης του f. Τότε ορίζουμε: f f x,..., 1 x f x1,..., f xn n f x 1 x 1 + f x x + + fx n x n f x 1 + f x + + f x n 44

Συμβολίζουμε τον τελεστή : και τον καλούμε τελεστή Laplace ή Λαπλασιανή. Ισχύει δε: : V n E V n E : f f x + f 1 x + + f x n αριθμ. πεδίο αριθμ. πεδίο 3 Τα κεντρικά διανυσματικά πεδία είναι αστρόβιλα. βλέπε άσκ. παρακαλώ 4 Έστω Fx, y, z P x, y, z, Gx, y, z, Rx, y, z διαφορίσιμο πεδίο. Τότε P x P y P z F J F Q x Q y Q z R x R y R z Ίχνος J F : άθροισμα όλων των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του J F P x + Q y + R z F Αν F ασυμπίεστο Ίχνος του J F ισούται με μηδέν. Επίσης: F αστρόβιλο J F ένας συμμετρικός πίνακας 5 Έστω F : E R 3 R 3 διαν. πεδίο με συνεχείς μερικές παραγώγους ης τάξης. Τότε: F Έστω F P, Q, R. Τότε: F R y Q z, P z R x, Q x P y Άρα: F x, y, z R y Q z, P z R x, Q x P y R yx Q zx + R zy R xy + Q xz P yz 6 Έστω F : E R 3 R 3 διαν. πεδίο με συνεχείς μερικές παραγώγους επί ΚΥΡΤΟΥ χωρίου E, και επιπλέον υποθέτουμε ότι το F Είναι ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΟ στο E. Τότε υπάρχει διαφορίσιμο διαν. πεδίο G έτσι ώστε: F G Το G καλείται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ του F. Ένας τύπος για το G είναι: G r ˆ 1 Ft r d r r διάνυσμα θέσης αλλά δεν είναι μοναδικός. Πράγματι, και το πεδίο: G + F f : E R n R οποιοδήποτε διαφορίσιμο πεδίο είναι επίσης διανυσματικό δυναμικό του F διότι G + f G + f G F Ισχύει και το αντίστροφο. Αστρόβιλο πεδίο + συνθήκη έχει βαθμωτό δυναμικό, f : ERn R F f Ασυμπ. πεδίο έχει διαν. δυναμ., G : F : G 45

7 Αν F : e R 3 R 3 διαν. πεδίο με συνεχείς μερικές παραγ. επί κυρτού χωρίου E, τότε υπάρχει διαφορίσιμο αριθμ. πεδίο f : E R 3 R και διαφορ. διαν. πεδίο G : E R 3 R 3 : Ασκήσεις F f + G αστρόβιλο ασυμπίεστο Άσκ. Έστω f : R R είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση και u : R 3 R : u ux, y, z έχει συνεχείς μερικές παραγώγους. ΝΔΟ το πεδίο u fu είναι αστρόβιλο. άρα: u u x, u y, u z fu f u uπαραγώγιση σύνθετης συνάρτησης u fu u f u u i j k i j k u x u y u z f u u f uu x f uu y f x u y u z. uu z u x u y u z Άσκ. Έστω r x, y, z, r r x + y + z f : R + R παραγωγίσιμη συνάρτηση και Fx, y, z : F r fr r r διανυσμ. πεδίο επί του R 3,, } ΝΔΟ F rf r+fr r. Για ποιες f το πεδίο F είναι ασυμπίεστο στο R 3,, } ΝΔΟ F αστρόβιλο στον R 3,, } Από τύπο θεωρίας έχω: fr fr r r r fr r r + fr r r r x. y, z x, y, z παραγ. πηλίκου x x + y y + z z 3. fr r fr r r r f r r fr r r rf r fr r r r x + y + z 1 x + y + z 1 x, x + y + z y 1, x + y + z z 1 x x + y + z + y x + y + z + z x + y + z 4 r r. 46

Άρα: fr rf r fr r r r r Αντικαθιστώ στην 1 και έχω: F rf r fr r 3 rf r fr r 3 rf r + fr r r r + fr r r + 3 fr r 3 ομογενής συνήθης γραμμική δ.ε. Άρα: Από θεωρία έχουμε: F rf r + fr f r + r fr fr ce r dr ce ln x c r fr fr r r r rf r fr r r + fr r r r r i j k r x y z,,, x y z fr r + r 5 r άρα αντικαθιστώ στη. Έουμε ότι F επειδή r r και r P R 3,, } Άσκ. Έστω Fx, y, z P x, y, z, Qx, y, z, Rx, y, z διαν. πεδίου του οποίου οι συνιστώσες P, Q, R έχουν μερικές παραγώγους ης τάξης. ΝΔΟ: F P, Q, R F εξ' ορισμού F x, y, z F x x + Fy y F x, F y, F z + F z z x P x, Q x, R x + x P y, Q y, R y + z P z, Q z, R z P xx, Q xx, R xx + P yy, Q yy, R yy + P zz, Q zz, R zz P xx + P yy + P zz, Q xx + Q yy + Q zz, R xx + R yy + R zz P, Q, R 47

Άσκ. Έστω u : R 3 R : u ux, y, z έχει συνεχείς μερικές παραγώγους ης τάξης. ΝΔΟ u u u + u u Το πεδίο u u είναι αστρόβιλο στον R 3. u u x, u y, u z, άρα u u uu x, u y, u z uu x, uu y, uu z u u x, y, z uu x, uu y, uu z uux x + uuy y + uuz z u x u x + uu xx + u y u y + uu yy + u z u z + uu zz u x + u y + u z + u u xx + u yy + u zz u + u u Λαπλασιανή της u Αρκεί ΝΔΟ u u παντού στο R. Είτε μέσω ορισμού: i j k u u x y z,, uu x uu y uu z Είτε με χρήση της ιδιότητας: ff f F + f F f u, F u u u u u + u x u Επικαμπύλια ολοληρώματα Θ1 Έστω F : D R n R n συνεχές διανυσμ. πεδίο σε τόπο D, τότε: F συντηρητικό στο D F dr για κάθε κλειστή, λεία καμπύλη εντός τουd Σημ.: Στο εξής, αν γ είναι κλειστή και λεία καμπύλη, γράφουμε γ F dr αντί γ F dr Απόδ. Έστω A, B D ΤΥΧΑΙΑ σημεία και έστω γ 1, γ τυχαίες καμπύλες με αρχή A κ πέρας B κ ίχνη όπως στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι γ γ 1 γ είναι κλειστή καμπύλη: F dr F dr F dr γ1 + F dr γ γ γ 1 γ γ 1 γ ˆ ˆ F dr γ1 F dr γ γ 1 γ Άρα: γ γ ˆ ˆ F dr F dr γ1 γ 1 F dr γ γ 6 Διότι αν F συντηρ. ορ. γ F dr ανεξάρτητο του δρόμου δεξι μελος 6 6 γ F dr. Αντίστροφα: Αν γ F dr δεξί μέλος 6 ισούται με μηδέν F dr ανεξάρτητο δρόμου F συντηρητικό. 48

Θ. Έστω F : D R n R n συνεχές διαν. πεδίο επί τόπου D. Τότε: F συντηρητικό στο D F είναι πεδίο κλίσεων στο D, δηλ. F f για κάποια f : D R n R με συνεχείς μερ. παραγ. στο D Απόδ. `` '' Έστω F πεδίο κλίσεων, δηλ. F f. Τότε αν γ οποιαδήποτε καμπύλη με παραμετροποίηση r, λεία και κλειστή έχουμε: F dr f dr ορισμός γ ˆ b a f rt r t dt ˆ b a f r t dt f rb f ra, διότι η γ κλειστή καμπύλη, άρα ra rb. Άρα από Θ1 το F συντηρητικό πεδίο. Σημείωση: Η συνάρτηση βαθμωτού δυναμικού συντηρητικού πεδίου F βρίσκεται ως εξής: όπου A D σημείο του D που εσείς επιλέγετε, x 1,..., x n P τυχαίο σημείο του D και: ˆ P A fp fa ˆ P A F dr F dr συμβολισμός που δηλώνει ότι το επικαμπύλιο ολοκλ. είναι ανεξάρτητο του δρόμου Τελικά F συντηρητικό σε τόπο D γ F dr για κάθε κλειστή λεία καμπύλη εντός του D F f Π Αν D είναι ΑΠΛΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ του R n και F : D R n R n έχει συνεχείς μερικές παραγώγους στο D, τότε: F συντηρητικό στο D F αστρόβιλο στο D Αν D ΔΕΝ είναι απλά συνεκτικό, τότε ΔΕΝ συνεπάγεται κατά ανάγκη ότι ατρόφιβο πεδίο είναι συντηρητικό. Μπορεί ΝΑΙ, μπορεί ΟΧΙ. Θεώρημα Green στο επίπεδο Έστω γ είναι απλή, κλειστή και τμηματικά λεία καμπύλη στο R. Τότε αυτή χωρίζει το R σε δύο χωρία, που καλούμε εσωτερικά της γ, και ένα μη φραγμένο χωρίο που καλούμε εξωτερικό της γ. Επίσης μια τέτοια κλειστή καμπύλη λέμε ότι είναι ΘΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΕΝΗ Ανν η φορά διγραφής της είναι η αντιωρολογιακή. Έστω γ είναι μια απλή, ΚΛΕΙΣΤΗ, τμημ. λεία και ΘΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΕΝΗ κα- Θ Green μπύλη και Fx, y P x, y, Qx, y διανυσματικό πεδίο με ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΡΙΚΕΣ παραγώγους ΠΑΝΩ κ στο ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ της γ. Αν συμβολίσουμε γ : D δηλ. η γ είναι το σύνορο του εσωτερικού D της γ, τότε: D D Q x P y dx dy 49

, ή ισοδύναμα: F dr D D ισούται με Το έργο του πεδίου F κατά μήκος του συνόρου D τη συνολική περιστροφή του πεδίου F στο εσωτερικό D Υπό τις προϋποθέσεις του Θ. Green, αν ισχύει: Fx, y πάνω κ στο εσωτερικό της συνοριακής καμπύλης D, τότε F dr D Fx, y dx dy ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν το πεδίο F ΔΕΝ έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πάνω κ στο εσωτερικό της D, τότε το παραπάνω θεώρημα ΔΕΝ ισχύει, αλλά έχουμε το ακόλουθο: Θ Παραμόρφωσης δρόμου Έστω γ 1, γ είναι απλές, κλειστές, τμημ. λείες και ΘΕΤΙΚΑ προσανατολισμένες καμπύλες, έτσι ώστε: π.χ η γ να βρίσκεται στο εσωτερικό της γ 1 Αν Fx, y P x, y, Qx, y έχει ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ πάνω σε ΦΡΑΓΜΕΝΟ χωρίο R με σύνορο R γ 1 γ, τότε: F dr γ1 F dr γ + Q x P y dx dy γ 1 γ R Γενικεύοντας το Θ. παραμόρφωσης δρόμων για περισσότερες καμπύλες, προκύπτει το: Γενικευμένο Θ. Green Γ F dr Γ n F dr γj + γ j j1 όπου: Γ, γ 1,..., γ n απλές, κλειστές, τμ. λείες θετικά προσαν. RQ x P y dx dy, γ 1,..., γ n στο εσωτερικό της Γ κάθε γ i στο εξωτερικό κάθε άλλης καμπύλης γ µ, µ 1,..., i 1, i + 1,..., n F P, Q έχει συνεχείς μερ. παραγ. επί του γραμμοσκιασμένου χωρίου R Εφαρμογή: Ξέρουμε ότι Έστω F P, Q έ.ώ: π.χ F, x ή F y,, τότε από Θ. Green έχω: D ED d 1 dx dy Q x P y 1 F dr Q x P y dx dy D 1 dx dy D ED 5

Το Θ. Απόκλισης στο επίπεδοr ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ Παρασκευή 3-5μμ μάθημα με Ατρέα. Υπολογίστε τη μάζα καλώδίου πυνκότητας ρx, y, z x + y + z, που απλώνεται κατά μήκος της τεθλασμένης γραμμής P P 1 P με P 1, 1, 1, P 1,,, P,, Έχουμε: όπου γ 1 : P P 1, γ : P 1 P Γενικά, θυμάμαι ότι ˆ Γ M συμβ. ˆ ρ ds Γ επικαμπύλιο 1ου είδους ˆ ρ ds γ 1 +γ ˆ ˆ ρ ds + ρ ds, γ 1 γ ρ ds ˆ b a ρ rt r t dt όπου r rt η παραμετροποίηση της καμπύλης Γ. Για το γ 1 ρ ds : P P 1 ρ ds Μια παραμετροποίση του P P 1 είναι η r 1 t αρχή + tπέρας αρχή ˆ t r 1 t OP + t OP 1 OP 1, 1, 1 + t,, 1, 1, 1 r 1 t 1 + t, 1 + t, 1 t t [, 1] [, 1] r 1 t 1, 1, 1 r 1 t 1 + 1 + 1 3 Χρειάζομαι το ρ r 1 t, δηλ.: ρ r 1 t 1 + t + 1 + t + 1 t ˆ γ 1... Ομοίως για γ Άσκ. Υπολογίστε το έργο του πεδίου Fx, y x y, x + y επί του τμήματος της παραβολής y x + 1 με αρχή το σημείο A, 1 κ πέρας το σημείο B 3, 1 51

Στο πρόχειρο βλέπω: Έχω επικαμπύλιο ου είδους ˆ γ ˆ F dr ˆ W F rt r t dt γ F dr Θα παραμετροποιήσουμε την καμπύλη γ του τμήματος παραβολής rt t, t + 1, t [, 3] Έτσι από τύπο έχω: r t 1, t W ˆ 3 ˆ 3 ˆ 3 F rt r t dt Άσκ. Δίνεται το πεδίο Fx, y, z x, y, z t t + 1, t + t + 1 [ 1 + t t + t + 1 ] dt 1 Είναι το F συντηρητικό στο πεδίο ορισμού του? 1, t dt εσωτερικό γινόμενο!!! Αν ναι, βρείτε τη συνάρτηση βαθμωτού δυναμικού του f, αν f,, 3 Ποιές οι ισοδυναμικές επιφάνειες του F? 1 Π.Ο. του F είναι το R 3 διότι οι συνιστώσες συναρτήσεις είναι πολυώνυμα. Άρα το πεδίο ορισμού είναι ΑΠΛΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ αφού είναι το R 3 F έχει συνεχείς μερικές παραγ. σε ΑΠΛΑ συνεκτικό σύνολο + F αστρόβιλο στο D F συντηρητικό στο D i j k Έτσι F x y z,, x, y, z R 3 F αστρόβιλο σε απλά συνεκτικό x y z σύνολο, το R 3 θεωρία F συντηρητικό στο R 3 Αφού F συντηρ. Έτσι:. F πεδίο κλίσεων στο R 3, δηλ. F f. fp fa ˆ P A F dr τύπος όπου A σημείο δικής σας επιλογής και P x, y, z τυχαίο σημείο του R 3. Για A,,, P x, y, z, έχω: ˆ P fx, y, z f,, fx, y, z ˆ P O F dr F dr, O,, 5

Εφόσον F συντηρητικό στο R 3, το γ F dr είναι ανεξάρτητο του δρόμου, άρα μπορώ να επιλέξω όποιον τύπο καμπύλης εγώ επιθυμώ, αρκεί να έχει αρχή την O,, και πέρας P x, y, z. Επιλέγω να εργασθώ στο ευθ. τμήμα OP. Έχω: rt αρχή + tπέρας αρχή,, + t x, y, z,, t [, 1] rt tx, ty, tz t [, 1] r t x, y, z t [, 1], οπότε F rt tx, ty, tz. Έτσι fx, y, z + ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 F rt r t dt t x, t y, t, z t x, t y, t z dt x + y + z fx, y, z x3 + y 3 + z 3 3 ˆ 1 t dt εσ. γιν x, y, z dt 3 Για να βρω τις ισοδυναμικές επιφάνειες, Θέτω: fx, y, z c, c R x 3 + y 3 + z 3 c 3 x 3 + y 3 + z 3 c c 3c Άσκ. Υπολογίστε το έργο του πεδίου Fx, y x, xy επί του τριγώνου με πλευρές y 1 + x, y 1 x, y Εφόσον έχω καμπύλη απλή, κλειστή, τμ. λεία, ΘΕΤΙΚΑ προσανατολισμένη, χρησιμοποιώ Θ. Green αν και μπορώ και με ορισμό ˆ W F dr Q x P y dx dy D D y dx dy D ˆ 1 ˆ 1 y ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 y 1 y y3 3 y dx dy xy y+1 y 1 dy y1 y yy 1 dy 53 y y dy 1 1 3 1 3